Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Transkrypt

1 Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

2 Plan wystąpienia Wycena kontraktu terminowego dla różnych klas instrumentów bazowych Kontrakt futures na akcje model a rzeczywistość dywidenda implikowana z modelu ryzko bazy Kontrakt futures na indeks WIG20 Opcje na indeks WIG20 wzory Blacka-Scholesa wzory Blacka put-call parity zmieności implikowane z ceny spot i ceny futures (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

3 Instrumenty bazowe Instrument bazowy: akcja, indeks Instrument pochodny: kontrakt terminowy (forward, futures), opcja Klasy finansowych instrumentów bazowych: I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentu pochodnego II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilach czasu w czasie życia instrumentu pochodnego III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentu pochodnego Przypomnienie wyceny kontraktu forward jeśli stopy procentowe są deterministyczne (przewidywalne) to cena forward = cena futures (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

4 Założenia modelu Założenia o funkcjonowaniu rynku finansowego: oprocentowanie kredytów i depozytów bankowych jest jednakowe i niezmienne w czasie trwania instrumentu pochodnego, instrumenty bazowe są doskonale podzielne, nie ma kosztów transakcji, nie ma podatków, istnieje możliwość zajmowania (nieograniczonych) długich i krótkich pozycji, inwestorzy posiadają jednakowy dostęp do wszystkich instrumentów i informacji dotyczących cen (symetryczność informacji) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

5 Wycena kontraktu forward I. I. Instrument bazowy nie generuje przepływów pieniężnych w czasie życia instrumentu pochodnego F (0, T ) 0 T czas S(0) model ciągły model dyskretny F (0, T ) = S(0)e rt F (0, T ) = S(0)(1 + rt ) gdzie: S(0) - cena instrumentu bazowego T - czas zapadalności kontraktu (liczony w latach) r - stopa wolna od ryzyka w czasie życia kontraktu wycena kontraktu = brak możliwości arbitrażu (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

6 Dywidenda w chwili t (t < T ) spółka wypłaca dywidendę gdy t < t akcja jest notowana z prawem do dywidendy (cum-dividend) w chwili t akcjonariusz nabywa prawo do dywidendy gdy t > t akcja jest notowana bez prawa do dywidendy (ex-dividend) Konwencja D+3 WZA ex-dividend date cum-dividend date prawo do dywidendy wypłata dywidendy czas W dniu ex-dividend date mamy korygowaną cenę akcji (wartość indeksu) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

7 Wycena kontraktu forward II. II. Instrument bazowy generuje znane przepływy pieniężne w dyskretnych chwilach czasu w czasie życia instrumentu pochodnego Przykład: F (0, T ) 2,0 2,3 0 t 1 t 2 T czas 92,0 cena akcji S(0) = 92 PLN, spółka wypłaci dywidendy: div 1 = 2 PLN za 1 miesiąc od dzisiaj oraz div 2 = 2,30 PLN za 5 miesięcy od dzisiaj kontrakt forward: akcja spółki, T = 12 7, r = 6% Zakładamy 2 możliwe scenariusze F m(0, T ): (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

8 Wycena kontraktu forward II. I scenariusz F m(0, T ) = 93,40 PLN. Twierdzimy, że rynkowa cena forward F m(0, T ) jest za wysoka konstruujemy portfel: wystawiamy kontrakt z cena F m(0, T ) = 93,40 PLN pożyczamy w banku 92 PLN nabywamy akcję za S(0) = 92 PLN Po 1 miesiącu: dostajemy dywidendę div 1 = 2 PLN spłacamy cześć zadłużenia w banku; dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2 PLN dywidendy wynosi 92 e 0,06 1/12 2 = 90,46 PLN Po upływie 5 miesięcy: dostajemy dywidendę div 2 = 2,3 PLN spłacamy kolejną cześć zadłużenia w banku; dług w banku po dopisaniu odsetek i spłacie 2,30 PLN i wynosi 90,46 e 0,06 4/12 2,30 = 89,99 PLN Po upływie 7 miesięcy: zamykamy kontrakt: dostarczamy akcję za F m(0, 7/12) = 93,40 PLN spłacamy pozostaje zadłużenie w banku w wysokości 89,99 e 0,06 2/12 = 90,89 PLN Zysk portfela: 93,40-90,89 = 2,51 PLN Excel (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

9 Wycena kontraktu forward II. cd. przykładu: II scenariusz F m(0, T ) = 87,20 PLN. Twierdzimy, że rynkowa cena forward F m(0, T ) jest za niska Konstruujemy portfel: nabywamy kontrakt z cena F m(0, T ) = 87,20 PLN pożyczamy akcję i sprzedaje na krótko za S(0) = 92 PLN lokujemy w banku kwotę 92 PLN (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

10 Wycena kontraktu forward II. cd. przykładu: Po miesiącu spółka wypłaca dywidendę div 1 : wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2 PLN, która po wcześniejszym dopisaniu odsetek wynosi 92 e 0,06 1/12 2 = 90,46 PLN, płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div 1 = 2 PLN Po upływie 5 miesięcy spółka wypłaca dywidendę div 2 : wyciągamy z lokaty bankowej kwotę 2,30 PLN, która po wcześniejszym dopisaniu odsetek wynosi 90,46 e 0,06 4/12 2,30 = 89,89 PLN płacimy inwestorowi, od którego pożyczyliśmy akcję, dywidendę div 2 = 2,30 PLN Po upływie 7 miesięcy: wyciągamy z banku kwotę 89,99 e 0,06 2/12 = 90,99 PLN zamykamy kontrakt czyli kupujemy akcję za 87,20 PLN oddajemy akcję inwestorowi od którego pożyczyliśmy Zysk portfela: 90,89-87,20 = 3,69 PLN Excel (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

11 Wycena kontraktu forward II. Ogólnie: liczymy koszt finansowania pozycji w I scenariuszu mamy przepływy pieniężne po przekształceniu ((S(0)e r t1 div 1 )e r (t2 t1) r (T t2) div 2 )e S(0)e r (t1+t2 t1+t t2) div 1 e r (t2 t1+t t2) r (T t2) div 2 e w ostateczności koszt finansowania (replikacja krótkiego forwardu) Czyli: S(0)e r T div 1 e r (T t1) r (T t2) div 2 e r(t )T F (0, T ) = (S(0) div 0 )e gdzie: div 0 = div 1 e r(t1)t1 + + div k e r(t k )t k F (0, T ) div 1 div 2 0 t 1 t 2 T czas S(0) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

12 Wycena kontraktu forward II. W modelu dyskretnym gdzie F (0, T ) = (S(0) div 0 )(1 + r T ) div 0 = div 1 (1 + r t 1 ) + + div k (1 + r t k ) oczywiście t k < T. W rzeczywistości mamy zwykle 1 dywidendę w czasie życia kontraku i wtedy Zatem cena forward div 0 = div 1 (1 + r t 1 ) F (0, T ) = (S(0) div 1 (1 + r t 1 ) )(1 + r T ) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

13 Wycena kontraktu forward II. Model wyceny kontraktu implikuje wartość dzisiejszą dywidendy i wysokość dywidendy div 0 = S(0) div 1 = ( S(0) r T F (0, T ) r T F (0, T )) (1 + r t 1 ) Przykład Cena akcji KGHM SA = 117,00 PLN (zamknięcie 27 czerwca 2014) proponowana dywidenda = 2,50 PLN data ustalenia praw = 8 lipca 2014; ex-dividend date = 4 lipca 2014 cena FKGHU14 = 112,90 implikowa wysokość dywidendy div 1 = 5,07 PLN (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

14 Wycena kontraktu forward III. III. Instrument bazowy generuje stopę dywidendy q w czasie życia instrumentu pochodnego (indeks, waluta) model ciągły model dyskretny gdzie: q - stopa dywidendy Model może implikować stopę dywidendy q q = 1 T F (0, T ) = S(0)e (r q)t F (0, T ) = S(0) 1 + r T 1 + q T ( S(0) (1 + r T ) 1) F (0, T ) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

15 Wycena kontraktu futures T termin zapadalności kontraktów forward oraz futures, r stała stopa procentowa w czasie życia (trwania) kontraktu, F (0, T ) cena forward w chwili 0 kontraktu forward zapadającego w chwili T, f (0, T ) cena futures w chwili 0 kontraktu futures zapadającego w chwili T, Fakt Jeśli stopy procentowe są deterministyczne to F (0, T ) = f (0, T ). r(t t) f (t, T ) = S(t)e r(t t) f (t, T ) = (S(t) div 0 )e (r q)(t t) f (t, T ) = S(t)e Dla losowych stóp procentowych tw. nie zachodzi. (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

16 Ryzyko bazy Baza (basis) kontraktu futures w chwili t zapadającego w chwili T b(t, T ) = f (t, T ) S(t) gdzie: S(t) - cena instrumentu bazowego w chwili t, a f (t, T ) cena futures kontraktu w chwili t zapadającego w chwili T. Alternatywna definicja b(t, T ) = S(t) f (t, T ) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

17 Ryzyko bazy Obserwacje: bo f (T, T ) = S(T ). Gdy stopy procentowe: r, q stałe: gdy t T to b(t, T ) 0 instrument bazowy, które nie generuje przepływów pieniężnych w czasie trwania kontraktu b(t, T ) = S(t)e r(t t) S(t) = S(t)(e r(t t) 1) instrument bazowy, który generuje znaną dywidendę w dyskretnych chwilach czasu b(t, T ) = (S(t) div 0 )e r(t t) S(t) = S(t)(e r(t t) r(t t) 1) div 0 e instrument bazowy, który generuje stopę dywidendy q b(t, T ) = S(t)e (r q)(t t) S(t) = S(t)(e (r q)(t t) 1) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

18 Ryzyko ceny a ryzyko bazy Zauważmy, że baza może się zmieniać (osłabiać lub wzmacniać) zmiany bazy są losowe Z definicji bazy mamy b(t, T 1 ) = f (t, T 1 ) S(t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T 1 b(t, T 2 ) = f (t, T 2 ) S(t) baza w chwili t kontraktu zapadającego w chwili T 2. Załóżmy, że mamy długą pozycję w kontrakcie krótszym i krótką pozycję w kontrakcie dłuższym, wtedy nasza ekspozycja ryzyko bazy f (t, T 1 ) f (t, T 2 ) = b(t, T 1 ) S(t) b(t, T 2 ) + S(t) = b(t, T 1 ) b(t, T 2 ) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

19 Ryzyko ceny a ryzyko bazy Akcje KGHM: baza rynkowa (krzywa zielona) i baza teoretyczna (krzywa fioletowa) dla serii czerwcowej... (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

20 Ryzyko ceny a ryzyko bazy... i wrzesniowej: baza rynkowa (krzywa czerwona) i baza teoretyczna (krzywa zielona) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

21 Kontrakt na WIG20 Wartość indeksu WIG20 = 2474 pktów ceny futures dla serii: cena baza stopa dywidendy baza teoretyczna FW20M ,45% -14 FW20U ,5% -67 FW20Z ,60% -67 FW20H ,40% -54 stopa dywidendy z pliku DX ZAR ze strony KDPW czy korzystać przy wycenie kontraktu futures z danych z pliku? (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

22 Parytet kupna - sprzedaży r(t t) C (t) P(t) = S(t) Ke Kontrakt futures a parytet put-call Przypominamy: cena futures dla różnych klas instrumentów bazowych Parytet put-call dla kontraktów futures r(t t) f (t, T ) = S(t)e r(t t) f (t, T ) = (S(t) div t)e (r q)(t t) f (t, T ) = S(t)e C (t) P(t) = f (t, T )e r(t t) r(t t) Ke Przykład Kontrakt futures na WIG20: f (0, 12 3 ) = 2540 punktów. Opcja kupna i sprzedaży na WIG20: C (0) = 180 punktów, P(0) = 130 punktów. Opcje i kontrakt zapadają za 3 miesiące; dla opcji K = 2500 punktów. Stopa wolna od ryzyka r = 4,0%. Twierdzimy, że istnieje możliwość arbitrażu. (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

23 Parytet kupna sprzedaży Przykład (cd.) Konstruujemy następującą strategię arbitrażową: nabywamy kontrakt futures wystawiamy opcję kupna: 180 punktów nabywamy opcję sprzedaży: -130 punktów lokujemy 500 PLN (50 punktów) po stopie r W dniu wygaśnięcia opcji i kontraktów: jeśli S(T ) K = 2500 długa pozycja w kontrakcie futures wypłaca: 10 (S(T ) 2540) opcja kupna wygasa bez wartości realizujemy opcję sprzedaży: 10 (2500 S(T )) wypłacamy z lokaty bankowej: 500e 0, = 505,0 PLN Wartość pozycji 10 (S(T ) 2540) + 10 (2500 S(T )) = 105 PLN jeśli S(T ) > K = 2500 Excel (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

24 Wzór Blacka Scholesa Wzór Blacka Scholesa na cenę opcji kupna gdzie C (t) = S(t)N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) d 1 = ln(s(t)/k ) + (r + σ2 /2)(T t) σ T t d 2 = ln(s(t)/k ) + (r σ2 /2)(T t) σ = d 1 σ T t T t N jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego: d N(d) = gdzie: S(t) - cena akcji w chwili t, K - cena realizacji (wykonania) opcji, T - data zapadalności opcji, r - stopa wolna od ryzyka, σ - zmienność cen instrumentu bazowego. Cena opcji sprzedaży 1 2π e x2 2 dx P(t) = Ke r(t t) N( d 2 ) S(t)N( d 1 ) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

25 Opcje na indeks Cena europejskiej opcji kupna i sprzedaży na instrument bazowy generujący stopę dywidendy q gdzie C (t) = S(t)e q(t t) N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) P(t) = S(t)e q(t t) N( d 1 ) + Ke r(t t) N( d 2 ) d 1 = d 2 = q(t t) S(t)e ln K + (r σ2 S(t) )(T t) σ ln K = + (r q σ2 )(T t) T t σ T t q(t t) S(t)e ln K (r σ2 )(T t) σ = d 1 σ T t T t (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

26 Wzory Blacka Cena futures wtedy (r q)(t t) f (t, T ) = S(t)e C (t) = f (t, T )e r(t t) N(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) = e r(t t) (f (t, T )N(d 1 ) KN(d 2 )) (1) P(t) = e r(t t) ( f (t, T )N( d 1 ) + KN( d 2 )) (2) gdzie d 1 = r(t t) f (t,t )e ln K + (r σ2 f (t,t ) )(T t) σ ln K = σ2 (T t) T t σ T t d 2 = d 1 σ T t a σ jest zmiennością cen futures f (t, T ). (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

27 Zmienności implikowane dla opcji kupna dla opcji call (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa czerwona: ceny ask) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

28 Zmienności implikowane dla opcji kupna dla opcji call (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa czerwona: ceny ask) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

29 Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen spot (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta: ceny ask) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

30 Zmienności implikowane dla opcji sprzedaży dla opcji put (seria czerwcowa) dla cen futures (krzywa niebieska: ceny bid, krzywa żółta: ceny ask) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31

31 Podsumowanie i wnioski istnieją dobre modele wyceny nie przystają do rzeczywistości ryzyko zmiany proponowanej dywidendy ryzyko zmiany terminu ustalenia praw do dywidendy trudno zarządzać ryzykiem cenowym rynek dyskontuje wszystkie informacje (analiza techniczna??) (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives 28 maja / 31