Modele z czasem dyskretnym
|
|
- Oskar Bukowski
- 9 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21. Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech miesi cach T = 3/12 wyznacza zmienna losowa S T, która przyjmuje dwie warto±ci: S d = 18 i S u = 22. Zatem analitycy przewiduj,»e albo nast pi wzrost ceny o 5% (realny wzrost czyli S u e /12 > S 0 albo nastapi spadek(realny) ceny o 15% z pewnym prawdopodobie«stwem P (miara). Zatem nasze Ω jest zªo»one z dwóch scenariuszy Ω = {ω 1, ω 2 }. Zakªadamy,»e na ten okres roczna stopa procentowa (kredytu i depozytu) dla kapitalizacji ci gªej r = 12%. Instrumenty nansowe zob. Hull [1] Opcja call to instrument nansowy, który pozwala jego nabywcy kupi akcj za okre±lon cen np. K = 21, zwan cen wykonania. Zazwyczaj dochodzi do rozliczenia opcji. Wystawca opcji musi nabywcy opcji wypªaci kwot o prolu wypªaty dla opcji call równym (S T K) + = { ST K = = 1 o ile S u = 22 0 o ile S d = 18 (1.1) W ogólno±ci rozwa»a si wypªat losow f = { fu o ile S u f d o ile S d (1.2) Miara martyngaªowa i wycena opcji call Miara martyngaªowa Q, to miara równowa»na mierze P oraz E Q S T e rt = S 0. Wiadomo,»e cena europejskiej opcji call jest równa C = EQ [(S T K) + ] e rt. Dla losowego instrumentu f C(f) = EQ [f] e rt.
2 2 Miara Q jest miar martyngaªow jednoznacznie wyznaczon z równa«{ E Q [S T ] e rt = 22q 1 e 0,12 3/ q 2 e 0,12 3/12 = 21 = S 0, q 1 + q 2 = 1 (1.3) St d q 1 = 0, 9099 za± q 2 = 0, 0901 za± cena opcji call C = 0, zabezpieczenie (hedging) dla opcji binarnych Wystawca opcji call (czy ogólnie losowego instrumentu o prolu wypªaty f) dostaje zatem kwot C = 0, 883 (C(f)) + mar»a. Kwota C musi wystarczy do zabezpieczenia jego pozycji. Wystawca opcji MUSI kupi akcji = f u f d S u S d = 1 4. Potrzebuje zatem 21 = Poniewa» otrzymaª C = 0, 881 na rynku pieni»nym po»ycza , 881 = 4, 367. Jego portfel skªada si z: 1 short call, long akcji i po»yczki 4, 367. Zauwa»my,»e warto± portfela 1 short call, long akcji po trzech miesi cach jest staªa i równa kwocie nale»no±ci wymagalnej przez po»yczkodawc 4, 367 e 0,12 3/12 = 4, 5 gdy» f u + S u = f d + S d = 4, 5. Pieni dze te ±ci gamy z rynku akcji i oddajemy. Zrobili±my doskonaªe zabezpieczenie. Rynek z dynamik cen w dwóch etapach Rozwa»amy dynamik zmian ceny akcji w dwóch etapach. W pierwszym nast puje wzrost (realny) S u i spadek do S d w chwili T 1 = 3/12 z pewnym prawdopodobie«stwem P. Zmienna losow oznaczmy przez S 1 Nastepnie od ka»dej z tych mo»liwo±ci nastepuje taki sam scenariusz w chwili T 2 = 6/12, czyli np. od ceny S d obserwujemy wzrost do S dd i spadek do S du. Zmienna losow oznaczmy przez S 2. Roczna stopa procentowa dla kapitalizacji ci gªej wynosi r = 12% i jest staªa (równiez w przyszªo±ci). Nasze Ω jest zªo»one z czterech scenariuszy Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 }, Konkretnie niech scenariusz ω 1 to dynamika w czasie od S 0 do S dd, scenariusz ω 2 to dynamika od S 0 do S du itd. Aby modelowa zmiany informacji w czasie wprowadzamy ltracj czyli σ-ciaªa F 1 = σ{{ω 1, ω 2 }, {ω 3, ω 4 }} za± Wprowadzamy jeszcze σ ciaªo trywialne F 2 = σ{{ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }, {ω 4 }} F 0 = {, Ω} + "zbiory miary zero" Wówczas S 1 jest F 1 mierzalne za± S 2 jest F 2 mierzalne co oznacza,»e mamy proces adaptowany do ltracji. Miara martyngaªowa i wycena isntrumentów nansowych Miara martyngaªowa Q, to miara równowa»na mierze P dla której dynamika zdyskontowanej ceny akcji jest Q-martyngaªem czyli [ ] E Q S2 e F rt2 1 = S 1 e rt1
3 3 oraz E Q [S 1 F 0 ] = E Q S 1 e rt1 e = S 0. rt1 Wiadomo,»e cena europejskiej opcji call jest równa Dla losowego instrumentu f = f(s 2 ) C = EQ [(S 2 K) + ] e rt2. C(f) = EQ [f] e rt2. Warunkowe warto±ci oczekiwane Przypomnienie przykªady. Zob. [3] Twierdzenie 1.1 Niech (Ω, F, P ) zupeªna, czyli F zawiera zbiory miary zero. Je±li U : L 2 (Ω) L 2 (Ω) jest rzutem ortogonalnym (M = U(L 2 (Ω)) jest domkni t podrzestrzeni L 2 (Ω)) oraz U(1) = 1 i je±li X 0 to U(X) 0, to istnieje pod-σ ciaªo B F takie,»e U(X) = E P [X B] oraz M = L 2 (Ω, B). Denicja 1.1 Niech X L 1 (Ω, F, P ) oraz B F pod-σ ciaªo. Wówczas istnieje zmienna losowa caªkowalna E[X B] taka,»e dla ka»dego B B E P [X B]dP = XdP. (1.4) B Warunek (1.4) mo»emy zapisa w sposób równowa»ny dla ka»dej ograniczonej zmiennej losowej Y B Y E P [X B]dP = Y XdP. (1.5) Ω Z równania (1.5) wynika,»e prawdziwe jest te» twierdzenie odwrotne Twierdzenie 1.2 Niech (Ω, F, P ) zupeªna. Je±li dane jest pod-σ ciaªo B F (zupeªne), to U(X) = E P [X B]. deniuje rzut ortogonalny U : L 2 (Ω, F) L 2 (Ω, B) L 2 (Ω, F). Wystarczy pokaza,»e U 2 = U U = U oraz dla dowolnych zmiennych losowych ograniczonych X, Y U(X)Y dp = U(X)U(Y )dp. Ω Ω B Ω
4 Podstawowe poj cia Denicja 1.2 Niech (Ω, F, P ) przestrze«probabilistyczna z ltracj (F n ) n T, gdzie F j jest σ ciaªem oraz F 0 F 1 F 2... F F 0 = {, Ω} + "zbiory miary zero". Inaczej mówi c miara P jest zupeªna. Przez rynek (B, S) rozumiemy wektor zªo»ony z d-procesów cen akcji adaptowanych do ltracji S = (S 1,..., S d ) S n = (S 1 n,..., S d n) tak,»e dla ka»dego i = 1,..., d oraz n T, S i n > 0 S i = (S i n F n ) n T. Przez T rozumiemy choryzont czasowy. Rozwa»amy dwa przypadki albo T = {0, 1,..., N} T = {0, 1,...}. Ponadto dany jest proces warto±ci pieni dza (B n ) n T. Zakªadamy,»e B 0 = 1 oraz proces jest prognozowalny czyli B n F n 1, n 1. Zauwa»my,»e proces (B n ) n T generuje proces prognozowalny stóp procentowych r n F n 1, n 1 stopy procentowe dla kapitalizacji ci gªej dla okresu czasu od chwili n 1 do chwili n B n+1 = B n e rn+1, n 0. Zwykle zakªadamy,»e proces warto±ci pieni dza ro±nie. Denicja 1.3 (Portfel inwestycyjny, Strategia (inwestycyjna)) Niech dany jest rynek (B, S). Przez strategi rozumiemy dwa procesy prognozowalne π = (β, γ), gdzie γ = (γ 1 n,..., γ d n) n 1. Oznaczaj one ilo± pieni dza w portfelu oraz ilo± akcji. Przyjmuj one dowolne warto±ci. Warto±ci ujemne oznaczaj pozycje krótkie, czyli dla β < 0 kredyt dla γ i n < 0 oznacza,»e w chwili n podj to decyzj o krótkiej sprzeda»y ilo±ci γ i n i-tek akcji. Denicja 1.4 (Warto± portfela) Niech dany jest rynek (B, S). Niech dany jest rynek. Dla strategii π warto± porfela w chwili n jest procesem oznaczonym przez X π n i równym dla n 1 X π n = β n B n + d γns i n i = β n B n + γ S n. i=1 W chwili n = 0 dysponujemy na pocz tek gotówk X π 0.
5 5 Denicja 1.5 (Strategia samonansuj ca ) Niech dany jest rynek (B, S). Strateigia π jest samonansuj ca je±li n Xn π = X0 π + (β k B k + γ k S k ), k=1 gdzie B k = B k B k 1 oraz S k = ( S 1 k,..., Sd k ), Si k = Si k Si k 1. Twierdzenie 1.3 Niech dany jest rynek (B, S). Strategia π jest samonansuj ca wtedy i tylko wtedy gdy dla ka»dego n 2 B n 1 β n + S n 1 γ n = 0. Uzasadnienie: Skorzysta z formuªy dla ci gów Wówczas (a n b n ) = a n b n + b n 1 a n. X π n = (β n B n ) + (γ n S n ). Domykamy horyzont czasowy.niech T = T {+ }. Denicja 1.6 (Czas zatrzymania, czas Markowa, Shiryaev ) Niech (Ω, F, P ) przestrze«probabilistyczna z ltracj (F n ) n T. Uogólniona zmienna losowa jest czasem stopu je±li dla ka»dego n T Czas stopu jest sko«czony je±li τ : Ω T {τ = n} F n. P ({τ = + }) = 0. Zadanie: Poni»sze obiekty przeanalizowa na rynku akcji cen w N- etapach zob. Rozdziaª Je±li τ i s s czasami stopu, to τ + s, min{τ, s} = τ s oarz max{τ, s} = τ s s czasami stopu. zauwa»my,»e ró»nica czasów stopu zwykle wymaga informacji o przyszªo±ci. 2. τ jest czasem stopu wtedy i tylko wtedy gdy dla ka»dego n T 3. Niech {τ n} F n. F τ = {A F : n T A {τ n} F n }. Wówcas F τ jest pod σ ciaªem F. 4. Niech (X n, F n ) n T b dzie procesem adaptowalnym i τ sko«czonym czasem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa X τ : Ω R jest F τ mierzalna. warto±ci X τ obliczamy wg. wzoru dla ω takich,»e τ(ω) = n mamy X τ (ω) = X n (ω). 5. F τ = σ{x τ : (X n, F n ) n T dowolny adaptowany proces}.
6 6 Denicja 1.7 (Martyngaª ) Niech (X n, F n ) n T b dzie procesem adaptowalnym. Wówczas (X n, F n ) n T jest martyngaªem je±li 1. dla ka»dego n T X n L 1 (P ) czyli E X n < 2. E[X n F n 1 ] = X n 1, n 1, n T. Denicja 1.8 (Ró»nica martyngaªowa ) Niech (X n, F n ) n T b dzie procesem adaptowalnym. Wówczas (X n, F n ) n T jest ró»nic martyngaªow je±li 1. dla ka»dego n T X n L 1 (P ) czyli E X n < 2. E[X n F n 1 ] = 0, n 1, n T. Lemat 1.4 Niech (X n, F n ) n T b dzie martyngaªem. Wowczas proces dla n 1 Y n = X n X n 1, jest ró»nica martyngaªow. Lemat 1.5 Je±li Y n n 1 jest ró»nic martyngaªow i X o F 0 to proces jest martyngaªem. X n = X 0 + Y Y n Denicja 1.9 (Lokalny martyngaª ) Niech (X n, F n ) n T b dzie procesem adaptowalnym. Proces (X n, F n ) n T jest lokalnym martyngaªem je±li istnieje rosn cy ci g czasów stopu (τ k ) k T, czyli τ k τ k+1 oraz τ k + p.prawie wsz dzie taki,»e dla ka»dego k proces zatrzymany jest martyngaªem. X τ k = (X τk n, F n ) Zauwa»my,»e zgodnie z zadaniem 1-5 zmienne losowe (X τk n s adaptowane do ltracji F n zatem denicja jest poprawna. Niech X zmienna losowa. Mo»na j rozªo»y jednoznacznie (czyli z dokªadno±ci do zbioru miary zero (p. prawie wsz dzie)) na dwie zmienne losowe nieujemne X +, X, X = X + X. Denicja 1.10 (Uogólniona warto± oczekiwana ) 1. Niech X zmienna losowa nieujemna. To z twierdzenia Radona Nikodyma istnieje taka funkcja E[X B] B,»e dla dowolnejgo zbioru B B XdP = E[X B]. B Mo»emy rownowa»nie zdeniowa E[X B] korzystaj c z wersji twierdzenie Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej dla warunkowych warto±ci oczekiwanych, np. E[X B] := lim E[X k B]. k B
7 7 Zbie»no± jest p.prwie wsz dzie. Z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej wynika,»e defnicja nie zale»y od ci gu funkcji zbie»nych do X. 2. Niech X zmienna losowa i niech X = X + X.. Niech B pod σ ciaªo F. Zakªadaj c,»e E[X + B] i E[X B] nie s jednocze±nie równe niesko«czono± E[X B] = E[X + B] E[X B]. Przykªad istnienia uogólnionej warto±ci oczekiwanej. Niech Ω = R z miar gausowska unormowan. Niech X(x) = e x2. Ta funkcja nie jest caªowalna. Niemniej istnieje warunkowa warto± oczekiwana ( i jest ona sko«czona) dla pod σ ciaªa generowanego przez zbiory [k, k + 1], k Z. Wªasno±ci uogónionej warto±ci oczekowanej s podobne do warto±ci oczekowanej niemniej potrzeba pewnej ostro»no±ci. np. Lemat 1.6 Niech X 0 i 0 f c zmienne losowe oraz f B Wówczas ale tylko na zbiorze {f > 0}. E[fX B] = fe[x B] Problem polega na tym,»e na zbiorze {f = 0} mo»e by symbol nieokre±lony po prawej stronie równania. Denicja 1.11 (Uogólniony martyngaª ) Niech (X n, F n ) n T b dzie procesem adaptowalnym. Proces (X n, F n ) n T jest uogólnionym martyngaªem je±li E[ X n F n 1 ] = E[X + n F n 1 ] + E[X n F n 1 ] < p. prawie wsz dzie oraz E[X n F n 1 ] = X n 1, n 1. Denicja 1.12 (Transformata martyngaªowa ) Niech (X n, F n ) n T b dzie procesem adaptowalnym. Proces (X n, F n ) n T jest transformat martyngaªow je±li stni procesy prognozowalny (Y n, F n ) n T oraz martyngaª (M n, F n ) n T tak,»e n X n = M 0 + Y j M j. j=1 Lemat 1.7 Je±li proces (X n, F n ) n T jest transformat martyngaªow tak,»e procesy Y j s ograniczone, to X n jest martyngaªem. Twierdzenie 1.8 Niech (Ω, F, P ) przestrze«probabilistyczna z ltracj (F n ) n 1. Niech (X n ) n T proces adaptowany. Wówczas nast puj ce warunki s równowa»ne 1.(X n ) n T jest lokalnym martyngaªem 2.(X n ) n T jest uogólnionym martyngaªem 3. (X n ) n T jest transformat martyngaªow
8 8 Dowód. (iii) (i). Niech (X n ) n T b dzie transformat martyngaªow, czyli istniej procesy prognozowalny (Y n, F n ) n 1 oraz martyngaª (M n, F n ) n T tak,»e n X n = M 0 + Y j M j. j=1 Defninjujemy zmienn losow zatrzymuj c proces (Y n, F n ) n T τ j = inf{n 1 : Y n > j}. na poziomie j, czyli Wówczas τ j jest czasem stopu. Ponadto τ j τ j+1 oraz τ dla j. W przypadku sko«czonej perspektywy czasowej τ j = dla j j(ω). Deniujemy nowy proces zatrzymany τ j n Xn τj = X n τj = X 0 + Y k M k == X 0 + k=1 n Y k χ {k τj} M k, gdzie χ A jest funkcj charakterystyczn zbioru A. Zauwaz»my,»e proces {Y k χ {k τj}} jest procesem prognozowalnym i ograniczonym. Z lematu 1.7 proces {Xn τj } jest martyngaªem. Denicja 1.13 (Arbitra») Niech T = {0, 1,..., N}. Mówimy,»e rynek (B, S) dopuszcza arbitra» je±li istnieje strategia samonansuj ca π taka,»e oraz X π 0 = 0, n T X π n 0 P ({X π N > 0}) > 0. Uwaga. Inwestycja π dla której zachodzi nazywa si dopuszczalna. n T X π n 0 k=1 Denicja 1.14 (Rynek zdyskontowany) Rynek ( B, S), gdzie nazywamy rynkiem zdyskontowanym. B := 1, S := S B Wszytkie podstawowe poj cia maj swoje analogiczne rozwini cia na rynku zdyskontowanym. Dlatego b dziemy posªugowa si rynkiem zdyskontowanym czyli takim dla którego r n = 1. Twierdzenie 1.9 (Podstawowe twierdzenie wyceny) Lemat 1.10 (Transformata Eshera) Denicja 1.15 (Cena kupuj cego i sprzedaj cego) Lemat 1.11 (Opcjonalny rozkªad nadmartyngaªu) Twierdzenie 1.12 (Reprezentacja ceny kupuj cego i sprzedaj cego)
9 Rozdziaª 2 Modele z czasem ci gªym Proces Wienera Zbie»no±c spaceru losowego na procesu Wienera Konstrukcja procesu Wienera za pomoca bazy Haara Wektor gausowski i konstrukcja wielowymiarowego procesu gausowskiego o staªej korelacji Ilustracja twierdzenia o iterowanym logarytmie dla proecsu Wienera Funkcjonaª max dla trajektorii procesu Wienera i jego rozkªad. Zasada odbicia Czasy stopu i ich wªasno±ci. Opcje europejskie, ameryka«skie, barierowe, opcje lookback
10 Literatura [1] John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives Pearson Prentice Hall 7th edition [2] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Š. Stettner Matematyka nansowa WNT [3] Jacques Neveu, Discrete-parameter martingales. North-Holland, Amsterdam; American Elsevier, New York, 1975
Strategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Modele z czasem dyskretnym
Rozdział 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1 Wprowadzenie- rynki dyskretne 1.1.1 Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieniądza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili początkowej wynosi
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Elementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Rozdziaª 9: Wycena opcji
Rozdziaª 9: Wycena opcji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 1 / 23 Denicja opcji. Opcja nansowa:. Warunkowy kontrakt terminowy na sprzeda» lub kupno instrumentu bazowego,
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Zadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,
Zadanie 1 Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e Eµ A 0, 02, Eµ 2 A 0, 0175, V arµ A 171 10 4, Eµ B 0, 135, Eµ 2 B 0, 02275, V arµ B 181 4 10 4, Eµ A µ B 0,
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Podstawy In»ynierii Finansowej. Lista 5
Podstawy In»ynierii Finansowej Lista 5 1. Przedstaw meechanizm marking to market dla opcji kupna i sprzeda»y na przykªadzie opcji kupna i sprzeda»y dla WIG20. Wystawca opcji deponuje depozyt pocz tkowy
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji
Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008
Zadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Numeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Mierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Stacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Liniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Tomograa komputerowa
Tomograa komputerowa Wykªad inauguracyjny r.a. 2010/2011 Andriy Panasyuk Katedra Algebry i Geometrii, WMiI Dramat matematyka, Akt I Dramat matematyka, Akt II Dramat matematyka, Akt III Dramat matematyka,
Geometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie R to rata miesi czna, odsetki w k-tej racie to ods k = R( v 8 k ), a spªata kapitaªu wyra»a si wzorem kap k = Rv 8 k, gdzie v = (, 5) /6. Dany jest ukªad nierówno±ci z którego wynika Rv 8 N R(
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1
Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Zastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:
Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania
Inżynieria Finansowa: 5. Opcje
Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE wiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Amounts outstanding of assets and derivatives Derivatives Derivatives Note:
Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1
Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)
Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008
Przemysław Klusik Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - Teoria i praktyka Warszawa, 9 11 czerwca 2008 (UWr) Zagadnienia Aktuarialne -
INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE
INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«
Jarosªaw Mederski i Sªawomir Plaskacz Wst p do matematyki nansów i ubezpiecze«materiaªy dydaktyczne dla studentów II-go roku matematyki specjalno± : matematyka w ekonomii i nansach. Wydziaª Matematyki
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Zadanie 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M =
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dana jest nast puj ca macierz: M = 2 14 2 10 8 0 10 8. a) Znajd¹ rozwi zanie dwuosobowej gry o sumie zero maj cej powy»sz macierz wypªat. b) Przyjmuj
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia logicznie równowa»ne Denicja. Wyra»enia rachunku zda«nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj równe warto±ci logiczne dla dowolnych warto±ci logicznych zmiennych zdaniowych. 1 Przykªady: Wyra»enia
f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:
Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Wykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) W modelu rezerwy R n = u + n (W 1 + + W n ) wiemy,»e W i s iid o rozkªadzie geometrycznym na 0, 1, 2,...
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych
O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza
Proste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy