Rozdziaª 9: Wycena opcji

Transkrypt

1 Rozdziaª 9: Wycena opcji MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 1 / 23

2 Denicja opcji. Opcja nansowa:. Warunkowy kontrakt terminowy na sprzeda» lub kupno instrumentu bazowego, który jest zawarty mi dzy wystawc i nabywc opcji. Posiadacz opcji ma prawo (nie obowi zek) nabycia instrumentu bazowego po okre±lonej cenie w okre±lonym. terminie. Aby opisa opcj nale»y okre±li : instrument bazowy (waluty, akcje, indeksy gieªdowe) rodzaj opcji (opcja kupna, opcja sprzeda»y) typ opcji (opcja europejska, opcja ameryka«ska) cen wykonania (strike price) moment wyga±ni cia opcji (expiration date) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 2 / 23

3 Opcje na WIG20 Oznaczenia opcji na WIG20 notowanych na GPW: OW20ABCCC gdzie kolejne fragmenty nazwy oznaczaj : O: dany instrument jest opcj ; W20: instrumentem bazowym jest indeks WIG20; A: miesi c terminu wykonania oraz rodzaj opcji. Litery C, F, I oraz L oznaczaj opcje kupna o terminach wyga±ni cia w trzeci pi tek marca, czerwca, wrze±nia i grudnia, za± litery O, R, U i X opisuj odpowiednie opcje sprzeda»y; B: ostatnia cyfra roku terminu wykonania opcji; CCC: cena wykonania opcji (podzielona przez 10). MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 3 / 23

4 Terminologia O opcji kupna o cenie wykonania K i bie» cej cenie instrumentu bazowego P mówimy,»e: jest w cenie (in-the-money) je»eli P > K ; jest po cenie (at-the-money) je»eli P = K ; nie jest w cenie (out-of-the-money), je»eli P < K. Dla opcji sprzeda»y, nazewnictwo jest odwrotne. MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 4 / 23

5 Proces stochastyczny w czasie ci gªym. Proces stochastyczny {Y t } w czasie ci gªym. Ci g zmiennych losowych Y t, gdzie indeks czasu t nale»y do zbioru liczb rzeczywistych. o warto±ciach nieujemnych. MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 5 / 23

6 Proces Wienera Proces {w t } jest procesem Wienera (ruchy Browna) je»eli: 1. przyrost w t w s jest niezale»ny od w u dla dowolnych u s t 2. s t w t w s N(0, t s); 3. trajektorie procesu {w t } s ci gªe w czasie. Rozkªad procesu Wienera oraz jego przyrostów dw t = w t+dt w t : w t N(w 0, t) dw t N(0, dt) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 6 / 23

7 Uogólniony proces Wienera Dla zmiennych z dryfem i wariancj proporcjonaln do upªywu czasu stosowany jest uogólniony proces Wienera {x t } postaci: dx t = µdt + σdw t, gdzie µ okre±la dryf, za± σ odchylenie standardowe procesu x t. Rozkªad uogólnionego procesu Wienera oraz jego przyrostów: x t N(x 0 + µt, σ 2 t) dx t N(µdt, σ 2 dt) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 7 / 23

8 Proces Ito Je»eli dryf oraz zmienno± procesu s zmienne w czasie to mówimy o procesie Ito, którego przyrosty s dane przez: dx t = µ(x t, t)dt + σ(x t, t)dw t Warto± Procesu Ito jako: t t x t = x 0 + µ(x s, s)ds + σ(x s, s)dw s 0 0 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 8 / 23

9 Geometryczny proces Wienera Przykªadem procesu Ito jest geometryczny proces Wienera dla którego: µ(x t, t) = µx t σ(x t, t) = σx t Dynamika geometrycznego procesu Wienera: dx t = µx t dt + σx t dw t. MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 9 / 23

10 Lemat Ito Niech x t b dzie procesem Ito postaci: dx t = µ(x t, t)dt + σ(x t, t)dw t, za± y t procesem stochastycznym: y t = f (x t, t), gdzie f jest ró»niczkowaln funkcj wzgl dem x t oraz t. Dynamika y t jest dana przez: [ f (x t, t) dy t = + f (x t, t) µ(x t, t) + 1 t x t 2 gdzie w t jest procesem Wienera. 2 f (x t, t) x 2 t ] σ 2 (x t, t) dt + f (x t, t) σ(x t, t)dw t, x t MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 10 / 23

11 Lemat Ito - przykªad Jak przykªad zastosowania lematu Ito rozwa»my przypadek, gdy x t geometrycznym procesem Wienera oraz y t = f (x t, t) = ln x t, tj: jest µ(x t, t) = µx t, σ(x t, t) = σx t, f (x t, t) = 0, t f (x t, t) x t = 1 x t, 2 f (x t, t) = 1. x 2 t 2x 2 t Podstawiaj c do wzoru: [ f (x t, t) dy t = Uzyskujemy: t + f (x t, t) x t µ(x t, t) dy t = 2 f (x t, t) x 2 t ) (µ σ2 dt + σdw t. 2 ] σ 2 (x t, t) dt + f (x t, t) σ(x t, t)dw t, x t y t jest uogólnionym procesem Wienera o drye µ σ 2 /2 oraz wariancji σ 2 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 11 / 23

12 Formuªa Blacka-Scholesa - zaªo»enia cena instrumentu bazowego P t jest geometrycznym procesem Wienera nie wyst puj koszty transakcji oraz nie ma podatków rynek jest doskonale pªynny, za± wszystkie instrumenty s doskonale podzielne wszyscy uczestnicy rynku mog po»ycza i inwestowa ±rodki wedªug tej samej procentowej r MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 12 / 23

13 Formuªa Blacka-Scholesa - wyprowadzenie Cena opcji: Y t = Y (P t, t) Stwórzmy portfel skªadaj cy si z krótkiej pozycji na jedn opcj oraz Y t P t sztuk instrumentu bazowego o warto±ci: Poniewa» (zgodnie z Lematem Ito): dp t = µp t dt + σp t dw t [ Yt dy t = t V t = Y t + Y t P t P t dv t = dy t + Y t + Y t P t µp t dynamika portfela jest deterministyczna: [ Yt dv t = + 1 t 2 P t dp t 2 Y t P 2 σ 2 P 2 t t MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 13 / 23 ] 2 Y t P 2 σ 2 P 2 t t dt + Y t P t σp t dw t. ] dt.

14 Formuªa Blacka-Scholesa - wyprowadzenie Poniewa» stopa zwrotu z portfela V t jest deterministyczna to zgodnie z warunkiem arbitra»u powinna ona by równa stopie wolnej od ryzyka r, czyli: dv t = rv t dt. Poª czenie zale»no±ci prowadzi do uzyskania równania ró»niczkowego Blacka-Scholesa: Y t t + rp t Y t P t Y t P 2 t σ 2 P 2 t = ry t. Formuªa BS dla opcji europejskiej stanowi rozwi zanie powy»szego równania ró»niczkowego przy warunku,»e w momencie wyga±ni cia T, warto± opcji wynosi: { max(y T K, 0) dla opcji kupna Y T = max(k Y T, 0) dla opcji sprzeda»y, MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 14 / 23

15 Formuªa Blacka-Scholesa Wzór na cen opcji: { P t Φ(d 1 ) e r(t t) KΦ(d 2 ) Y t = P t Φ( d 1 ) + e r(t t) KΦ( d 2 ) dla opcji kupna dla opcji sprzeda»y, gdzie Φ jest dystrybuant rozkªadu normalnego, za± warto±ci d 1 oraz d 2 wynosz : d 1 = ln(p t/k) + (r + σ 2 /2)(T t) σ T t d 2 = ln(p t/k) + (r σ 2 /2)(T t) σ. T t MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 15 / 23

16 Formuªa Blacka-Scholesa - przykªad > P <- 100; sig <- 0.25; r <- 0.10; K <- 100; tau <- 0.5 > OptP <- function(type,p,k,r,sig,tau){ d1 <- (log(p/k) + (r+sig^2/2)*tau)/(sig*sqrt(tau)) d2 <- (log(p/k) + (r-sig^2/2)*tau)/(sig*sqrt(tau)) if(type == "call"){ return(p*pnorm(d1) - K*exp(-r*tau)*pnorm(d2))} if(type == "put") {return(k*exp(-r*tau)*pnorm(-d2) - P*pnorm(-d1))} } > OptP("call",P,K,r,sig,tau) > OptP("put",P,K,r,sig,tau) Wartosc opcji kupna: 9.58 Wartosc opcji sprzedazy: 4.71 MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 16 / 23

17 Greckie wska¹niki w wycenie opcji Cena opcji a cena instrumentu bazowego Cena opcji a stopa procentowa Cena opcji opcja kupna opcja sprzedazy Cena opcji opcja kupna opcja sprzedazy Cena instrumentu bazowego stopa procentowa Cena opcji a zmiennosc Cena opcji a termin do wygasniecia Cena opcji opcja kupna opcja sprzedazy Cena opcji opcja kupna opcja sprzedazy zmiennosc termin do wygasniecia MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 17 / 23

18 Greckie wska¹niki w wycenie opcji Cena instrumentu bazowego (delta), = Y t P t : call = Φ(d1) oraz put = Φ(d1) 1 Zauwa»my,»e call (0, 1), put ( 1, 0) oraz call put = 1 Druga pochodna (gamma), Γ = Y t = 2 Y t P 2 : t ϕ(d1) Γ call = Γ put = P tσ T t gdzie ϕ(x) = Φ (x) jest funkcj g sto±ci rozkªadu normalnego. Zmienno± (vega), ν = Y t σ : Stopa wolna od ryzyka (rho),ρ = Y t r : ν = P tϕ(d1) T t ρ call = (T t)ke r(t t) Φ(d2) oraz ρ put = (T t)ke r(t t) Φ( d2) Moment obserwacji (theta) - θ = Y t t : θ call = P tϕ(d1)σ 2 T t rke r(t t) Φ(d2) oraz θ put = P tϕ(d1)σ 2 T t + rke r(t t) Φ( d2) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 18 / 23

19 Greckie wska¹niki w wycenie opcji > library(rquantlib) > EuropeanOption("call", P, K, 0, r, tau, sig) > EuropeanOption("put", P, K, 0, r, tau, sig) Wspolczynniki greckie dla opcji kupna value delta gamma vega theta rho Wspolczynniki greckie dla opcji sprzedazy value delta gamma vega theta rho MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 19 / 23

20 Przykªad - wycena opcji na WIG20 Przykªad dotyczy wyceny opcji na podstawie danych do 30 kwietnia 2010 r. na WIG20 o terminie wyga±ni cia 18 czerwca 2010 r.. Porownanie teoretycznych i rzeczywistych cen opcji Opcje kupna Opcje sprzedazy K model dane K model dane OW20F OW20R OW20F OW20R OW20F OW20R OW20F OW20R OW20F OW20R OW20F OW20R OW20F OW20R OW20F OW20R OW20R OW20R MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 20 / 23

21 Przykªad - wycena opcji na WIG20 Opcja kupna Opcja sprzedazy model dane model dane cena wykonania cena wykonania MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 21 / 23

22 Zmienno± implikowana Spo±ród parametrów wyst puj cych w formule Blacka-Scholesa w momencie t znane s warto±ci ceny instrumentu bazowego P t, ceny wykonania opcji K, stopy wolnej od ryzyka r oraz terminu wyga±ni cia T t. Warto± dla parametru opisuj cego zmienno±ci instrumentu bazowego σ nie jest znana Cena opcji jest funkcj prognozy zmienno±ci: Y = Y (σ P, K, r, τ) Odwracaj c zale»no± obliczymy warto± zmienno±ci implikowanej (implied volatility): σ = Y 1 (Y P, K, r, τ) MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 22 / 23

23 Zmienno± implikowana - przykªad opcja kupna opcja sprzedazy cena wykonania cena wykonania MPGzR (rozdz. 9) Wycena opcji 23 / 23