Zadania z funkcji zespolonych III semestr 1
Spis treści 1. Liczby zespolone - dzia lania i w lasności Zad. 1 1. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzność Zad. 11-19 3. Funkcje elementarne Zad. -3 4. Odwzorowania konforemne Zad. 33-49 5. Ca lki zespolone, twierdzenia ca lkowe Cauchy ego Zad. 5-58 6. Szeregi Taylora Zad. 59-7 7. Szeregi Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych Zad. 73-78 8. Ca lki rzeczywiste Zad. 79-99 9. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum Zad. 1-11
1. Liczby zespolone - dzia lania i w lasności 1. Wykonać nastepuj ace dzia lania na liczbach zespolonych: (a) (1 + i)( + i) + (1 i)( i), (b) (1 + i)(3 i)(5 5i), (c) 1+i 3+i, (d) (1+i)7 1 (1 i) 4 1. Odpowiedzi: a), b) 5, c) 1 + 1 i, d) 7 5 8 5 i.. Udowodnić równość z + iw + w + iz = ( z + w ) dla z, w C. Wywnioskować stad, że z + iw ( z + w ) dla z, w C. 3. Zapisać w postaci trygonometrycznej nastepuj ace liczby zespolone: (a) + 3i, (b) 3 + i, (c) 1 i 1+, 3i (d) + 3i, (e) 3 i. Odpowiedzi: a) 4(cos( π 3 ) + i sin( π 3 )), b) (cos( π 6 ) + i sin( π 6 )), c) 17π 17π (cos( ) + i sin( )), 1 1 d) 4(cos( π 3 ) + i sin( π 3 )), e) (cos( 5π 6 ) + i sin(5 π 6 )). 4. Korzystajac ze wzorów Moivre a obliczyć: (a) ( 1 + 3i) 3, (b) (1 + i) 5, 3
(c) ( 3 + 1 i ) 4, (d) ( + 3i) 16 (1+ 3i) 7, (e) (f) (g) (h) (1+i) 8 ( + (1 i)8 3+i) 18 (, 3 i) 18 4 16, 3 i, 6 1. Odpowiedzi: a) 3, b) 1 ( 1 + i), c) 1, d) 5 ( 1 + i 3), e), f) z = + i, z 1 = + i, z = i, z 3 = i, g) z = i, z 1 = 3 i 1, z = 3 i 1, h) z = 1, z 1 = 1 +i 3, z = 1 +i 3, z 3 = 1, z 4 = 1 i 3, z 5 = 1 i 3. 5. Obliczyć: (a) 8 6i, (b) 3 4i, (c) 11 + 6i. Odpowiedzi: a) a 1 + ib 1 = 1 + i3, a + ib = 1 i3, b) a 1 + ib 1 = + i, a + ib = i, c) a 1 + ib 1 = 5 + i6, a + ib = 5 i6. 6. Rozwiazać w dziedzinie zespolonej równania: (a) z 3 = 8i, (b) z 4 = 16, 4
(c) z 6 + 64 =, (d) (1 i) 4 z 4 = 1, (e) z z = 1 + i, (f) ( zz) z + z 1 =, (g) z z + (z z) = 3 + i, (h) z 7 z 4 i + z 3 i =, (i) z 6 z 4 + 4z 4 =. Odpowiedzi: a) z = 3 + i, z 1 = 3 + i, z =, b) z =, z 1 = i, z =, z 4 = i, c) z = 3 + i, z 1 = i, z = 3 + i, z 3 = 3 i, z 4 = i, z 5 = 3 i, d) z =, z 1 = i, z =, z 3 = i, e) z = 3 i, f) z = i, z 1 = 1, z = 1, z 3 = 1, g) z 1 = + i, z = + i, h) z = 3 + 1i, z 1 = 3 + 1i, z = i, z 3 = + i, z 4 = + i, z 5 = i, z 6 = i i) z 1 = 1, z = 1, z 3 = 1 + i, z 4 = 1 + i, z 5 = 1 i, z 6 = 1 i. 7. Niech z b edzie pierwiastkiem wielomianu o wspó lczynnikach rzeczywistych. Udowodnić, że z jest także pierwiastkiem wielomianu W (z). 8. Znaleźć pozosta le pierwiastki wielomianu w(z) = z 4 4z 3 + 4z + 4z 5 wiedzac, że z = i jest pierwiastkiem tego wielomianu. : z 1 = + i, z = i, z 3 = 1. 9. Znaleźć pozosta le pierwiastki wielomianu w(z) = z 4 4z 3 + 6z 4z + 5 wiedzac, że z = + i jest pierwiastkiem tego wielomianu. : z 1 = i, z = i, z 3 = 1. 5
1. Zaznaczyć na p laszczyźnie zespolonej zbiory: (a) {(x, y) C : 1 < z < 4}, (b) {(x, y) C : Rez + 1 Imy}, (c) {(x, y) C : z 1 i = 5}, (d) {(x, y) C : z i 1}, (e) {(x, y) C : z < 9 z + < 9}, (f) {(x, y) C : z 1 < z + }. Odpowiedzi: a) pierścień {(x, y) R : 1 < x + y < 4}, b) pó lp laszczyzna z brzegiem {(x, y) R : x + 1 y}, c) okrag {(x, y) R : (x 1) + (y ) = 5}, d) zewnetrze ko la wraz z okregiem {(x, y) R : x + (y ) 1}, e) cześć wspólna dwóch kó l {(x, y) R : (x ) + y < 9 (x + ) + y < 9}, f) pólp laszczyzna z brzegiem {(x, y) R : x }. 6
. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzność 11. Znaleźć cześć rzeczywista i urojona funkcji: (a) f(z) = z 3 + i z, (b) f(z) = z+1 z 1. Odpowiedzi: a) u(x, y) = x 3 3xy + xy, v(x, y) = 3x y + x, b) u(x, y) = x +y +1 (x 1) +y, v(x, y) = x+y (x 1) +y. 1. Dana jest cz eść rzeczywista u(x, y) i cz eść urojona v(x, y) funkcji zespolonej f. Przedstawić t e funkcj e jako funkcj e zmiennej zespolonej z: (a) u(x, y) = x 4 6x y + y 4 x, v(x, y) = 4x 3 y 4xy 3 y, (b) u(x, y) = x y + x, v(x, y) = xy + y, (c) u(x, y) = Odpowiedzi: x + x, v(x, y) = x +y a) f(z) = z 4 z, b) f(z) = z + z, c) f(z) = 1 z + z. y x +y y. 13. Sprawdzić w jakich punktach z C nastepuj ace funkcje spe lniaja warunki Cauchy ego- Riemanna: (a) f(z) = z, (b) zimz, (c) f(z) = z + z, (d) f(z) = z. Odpowiedzi: a) f spe lnia warunki Cauchy ego-riemanna dla dowolnego z C, b) f spe lnia warunki Cauchy ego-riemanna tylko dla z =, 7
c) f spe lnia warunki Cauchy ego-riemanna tylko dla z =, d) f nie spe lnia warunków Cauchy ego-riemanna w żadnym z C. 14. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f oraz znaleźć jej pochodna w punktach w których istnieje: (a) f(z) = zrez, (b) f(z) = z z. Odpowiedzi: wspólna dla (a) i (b) f ma pochodna tylko dla z = i f () =. 15. Zbadać holomorficzność funkcji: (a) f(z) = z + z, (b) f(z) = z, (c) f(z) = (z + 1) z, (d) f(z) = z + z, (e) f(z) = z (z + 1). Odpowiedzi: Wspólna dla (a)-(e) f nie jest holomorficzna w dowolnym punkcie z C. 16. Dla funkcji wymienionych w zadaniu 16 (a) policzyć pochodne f x oraz f y, (b) korzystajac z definicji policzyć pochodna formalna f, z (c) w jakich punktach p laszczyzny istnieje f (z), (d) korzystajac z definicji policzyć pochodna formalna f, z (e) zbadać holomorficzość f. Odpowiedzi: a) Dla f(z) = z f +z, (x, y) = x+, f f (x, y) = y+i, x y f (z) istnieje tylko dla z = i f () =. (x, y) = x+iy, z 8
b) Dla f(z) = z, f f (x, y) = x yi, x (x, y) = y xi, y f z (x, y) = x yi, f (z) istnieje tylko dla z = i f () =. c) Dla f(z) = (z + 1) z pochodne f x (nie istnieje f x (, ) i f x f (x, y) = x(x +y )+x 3 )+i( y(x +y ) x y) x f z (x, y) = 1 f (, ) i (, ) należy policzyć z definicji y (, )), dla pozosta lych punktów: x +y, f (x, y) = y(x +y )+y 3 +i( x(x +y ) y x) y ( 5x 3 +6xy +i(y 3 x y), x +y ), x +y f (z) nie istnieje dla dowolnego punktu z C. d) Dla f(z) = z + z pochodne f f (, ) i (, ) należy policzyć z definicji (nie x y istnieje f f (, ) i (, )), dla pozosta lych punktów: f x x (x, y) = x f y (x, y) = y f z (x, y) = 1 x x +y +, x +y ( + i, x+iy x +y ), f (z) nie istnieje dla dowolnego punktu z C. e) Dla f(z) = z (z + 1), f (x, y) = x 3x + y + x + ixy, f (x, y) = yx + y + y i(x + 3y ), f (x, y) = z x y + x + i(xy + y), f (z) istnieje dla z = i wynosi. 17. Niech f H(D(, R)). Udowodnić, że: (a) jeśli f (z) = dla z D(, R), to f = const, (b) jeśli f(z) = const dla z D(, R), to f = const. 18. Pokazać, że twierdzenie o wartości średniej nie zachodzi dla funkcji holomorficznych. Należy rozpatrzeć funkcje f(z) = z 3 oraz odcinek l acz acy punkty 1 oraz i. 9
19. Znaleźć funkcje holomorficzna f(z) = u(x, y)+iv(x, y) (a nastepnie zapisać ja w postaci zespolonej) wiedzac, że: (a) u(x, y) = x y + xy, (b) u(x, y) = x 3 + 6x y 3xy y 3, (c) u(x, y) = x, x +y (d) u(x, y) = x y (x +y ). Odpowiedzi: a) v(x, y) = xy x + y + c, f(z) = z (1 1 i) + ic, b) v(x, y) = x 3 + 3x y + 6xy y 3 + c, f(z) = (1 i)z 3 + ic, c) v(x, y) = y + c, f(z) = 1 + ic, x +y z d) v(x, y) = xy + c, f(z) = z + ic. (x +y ) 1
3. Funkcje elementarne. Wykazać, że: (a) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, (b) cos z = cos x cosh y i sin x sinh y, (c) tan z = sin x + i sinh y, cos x+cosh y cos x+cosh y (d) sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y, (e) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y, (f) tanh z = Odpowiedzi: a) b) sinh x + i sin y. cosh x+cos y cosh x+cos y sin z = eiz e iz = e y+ix e y ix = e y (cos x + i sin x) e y (cos x i sin x) i( ) i ( ) i e y e y e y + e y = cos x + i sin x = sin x cosh y + i cos x sinh y. i i cos z = eiz + e iz = e y (cos x + i sin x) + e y (cos x i sin x) ( ) ( ) e y + e y e y e y = cos x + i sin x = cos x cosh y i sin x sinh y. c) d) sin x coth y + i cos x sinh y cos x coth y + i sin x sinh y tan z = cos x coth y i sin x sinh y cos x coth y + i sin x sinh y = cos x sin x(cosh y sinh y) + i sinh y cosh y cos x cosh y + sin (cosh y 1) sin x = cos x + cosh y + i sinh y cos x + cosh y. sinh z = ez e z = ex+iy e (x+iy = ex (cos y + i sin y) e x (cos y i sin y) ( ) ( ) e x e x e x + e x = cos y + i sin y = sinh x cos y + i cosh x sin y. 11
e) f) cos hz = ez + e z = ex+iy + e (x+iy = ex (cos y + i sin y) + e x (cos y i sin y) ( ) ( ) e x + e x e x + e x = cos y + i sin y = cosh x cos y + i sin hx sin y. sinh x cos y + i cosh x sin y tanh z = cosh x cos y + i sin hx sin y = Korzystajac z cos x = 1(1 + cos x) i z cosh x = = sinh x + i sin y cos y + cosh x = sinh x cosh x + i sin y cos y cosh x cos y + sinh x sin y. cosh x=1 sinh x cosh x + cos y + i sin y cosh x + cos y 1. Wykazać, że: (a) sin z = sin x + sinh y, (b) cos z = cos x + sinh y, (c) sinh z = sinh x + sin y, (d) cosh z = sinh x + cos y. Odpowiedzi: a) sin z = sin x cosh y + cos x sinh y = sin x cosh y + (1 sin x) sinh y = sin x cosh y sin x sinh y = sin x + sinh y. b) cos z = cos x cosh y + sin x sinh y = cos x cosh y + (1 cos x) sinh y = cos x(cosh y sinh y) + sinh y = cos x + sinh y. c) sinh z = sinh x cos y + cosh x sinh y = sinh x(1 sin y) + cosh x sin y = sin y(cosh y sinh x + sinh x = sin y + sinh x. 1
d) cosh z = cosh x cos y + sinh x sin y = cosh x cos y + sinh x(1 cos y = (cosh x sinh x) cos y + sinh x = cos y + sinh x.. Wykazać, że nastepuj ace funkcje sa okresowe: (a) sinz, cosz o okresie T = π, (b) tgz, ctgz o okresie T = π, (c) chz, shz o okresie T = πi. : np. dla sin(z + π) = sin(x + iy + π) = sin(x + π) cosh y + i cos(x + π) sinh y = sin(x) cosh y + i cos(x) sinh y = sin z. np. dla cosh(z + πi) = cosh x cos(y + π) + i sin hx sin(y + π) = cosh x cos y + i sin hx sin y = cosh z. 3. Wykazać, że dla z C: (a) cosiz = chz, (b) shz = ish(iz), (c) cos z + sin z = 1, (d) ch z sh z = 1, (e) sin z = sin(z), (f) cos z = cos(z), (g) cos( z) = cos z, (h) sin( z) = sinz, (i) cos(z 1 + z ) = cosz 1 cosz sinz 1 sinz, (j) sin(z 1 + z ) = sinz 1 cosz + cosz 1 sinz. 13
4. Korzystajac z definicji pochodnej formalnej f udowodnić, że funkcje sinz, cosz z tgz, ctgz, shz, chz, thz, cthz sa holomorficzne w swojej dziedzinie. : Pokażemy jak udowodnić, że funkcja sinh z jest holomorficzna dla każdego z C. Wiemy, że f jest holomorficzna w C, jeśli f = dla każdego z C. z sinh = 1 ( ) sinh z x + i sinh y = 1 (cosh x cos y + i sinh x sin y + i( sinhx sin y + i cosh x cos y)) = 1 (cosh x cos y cosh x cos y + i(sinh x sin y sinh x sin y)) = + i. 5. Wyprowadzić wzór na pochodne funkcji sinz, cosz, tgz, ctgz, shz, chz, thz, cthz. 6. Wykazać, że funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych i hiperbolicznych wyrażaja sie nastepuj acymi wzorami: (a) arcsinz = iln(iz + 1 z ), (b) arccosz = iln(z + z 1), (c) arctgz = 1 i ln ( 1+iz 1 iz ), (d) arcctgz = 1 i ln ( iz+1 iz 1), (e) arcshz = ln(z + z + 1), (f) arcchz = ln(z + z 1), (g) arcthz = 1 ln ( 1+z 1 z ), (h) arccthz = 1 ln ( z+1 z 1). Odpowiedz: a) Niech w = sin z = eiz e iz. Podstawiamy t = e iz, wtedy i w = t 1 t t wti 1 = t = wi + w + 1 z = i ln(wi + 1 w ). 14
b) w = cos z = eiz +e iz. Podstawiamy t = e iz, wtedy i w = t + 1 t t wti + 1 = t = wi + w 1 z = i ln(w + w 1). c) w = sin z = cos z eiz e iz i(e iz +e iz ). Podstawiamy t = eiz, wtedy w = t 1 it + 1 t = 1 + wi 1 wi z = 1 ( ) 1 + wi i ln. 1 wi d) Analogicznie w pozosta lych przypadkach. 7. Jakimi wzorami wyrażaja sie: (a) pochodne funkcji zdefiniowanych w poprzednim zadaniu? (b) pochodna funkcji pot egowej f(z) = z μ? : a) Wiemy, że arcsinz = i ln(iz + 1 z ). Zatem b) (arccosz) = 1 1 z, c) (arctanz) = 1 1+z, d) (arccotanz) = 1 1+z, e) (arcsinhz) = 1 1+z, f) (arccoshz) = 1 z 1, g) (arctanhz) = 1 1 z. h) (z μ ) = μz μ 1. (arcsinz) = 1 1 z, 8. Obliczyć wartość wyrażeń: (a) e i π 4, cosi, sin(1 + i), tg( i), (b) ln1, ln( 1), ln(1 + i), znaleźć wartośc g lówna ln(1 + i 3), (c) i i, 1 α+iβ. 15
Odpowiedzi: a) e i π 4 = + i, cos i = cosh 1, sin(1 + i) = sin 1 cosh 1 + i sin 1 cosh 1. b) ln 1 = kπi, k Z, ln( 1) = (k+1)πi, k Z, ln(1+i) = 1 +(kπ+ π 4 ) i, k Z, wartość g lówna ln(1 + i 3) = ln + i π 3. c) i i = e π +kπ, k Z, 1 α+iβ = e βkπ, k Z. 9. Rozwiazać równania: (a) cosz = 4, (b) sinz = i, (c) (z 4 1) sin πz =, (d) (z 6 + 1)chz =, (e) Wykazać, że tan(z) = ±i dla każdego z C. Odpowiedzi: a) z n = nπ + i ln( 3) z n = nπ + i ln( + 3), n Z. b) z n = (n + 1)π + i ln( + 5) z n = nπ + i ln( + 5), n Z. c) z = 1, z 1 = i, z = 1, z 3 = i oraz w m = m, m Z. d) z = 3 + i 1, z 1 = i, z = 3 + i 1, z 3 = z = 3 i 1 z 4 = i, z 5 = 3 i 1, w m = (k + 1 )π, k Z. 3. Znaleźć funkcje holomorficzna f(z) = u(x, y)+iv(x, y) (a nastepnie zapisać ja w postaci zespolonej) wiedzac, że (a) v(x, y) = arctg( y ), x >, x (b) u(x, y) = ln(x + y ), (c) u(x, y) = e x (x cos y y sin x), (d) v(x, y) = e x (y cos y + x sin y) + x + y, (e) u(x, y) = e x (x cos y + y sin y), (f) v(x, y) = e x (y cos y x sin y), (g) u(x, y) = x sin xchy cos xychy, 16
(h) v(x, y) = sin xychy + x cos xshy, (i) u(x, y) = x cos xchy + sin xyshy, (j) v(x, y) = cos xychy x sin xshy, (k) u(x, y) = xshx cos y chxy sin y, (l) v(x, y) = shxy cos y + xchx sin y, (m) u(x, y) = xchx cos y y x sin y, (n) v(x, y) = ychx cos y + xshx sin y. Odpowiedzi: a) u(x, y) = Re(ln z), b) v(x, y) = Im(ln z), c) u(x, y) = Re(ze z ) d) v(x, y) = Im(ze z ), e) u(x, y) = Re(ze z ), f) v(x, y) = Im(ze z ), g) u(x, y) = Re(z sin z), h) v(x, y) = Im(z sin z), i) u(x, y) = Re(z cos z), j) v(x, y) = Im(z cos z), k) u(x, y) = Re(z sinh z), l) v(x, y) = Im(z sinh z), m) u(x, y) = Im(z cosh z), n) v(x, y) = Im(z cosh z). 31. Wykazać, że gdy w pewnym obszarze istnieje jedna ga l aź jednoznaczna pierwiastka n z, to istnieje dok ladnie n takich ga l ezi, czym one sie różnia? 3. Znaleźć obrazy prostych x = const oraz y = const: (a) przy odwzorowaniu f(z) = sinz, (b) przy odwzorowaniu f(z) = tgz. 17
Odpowiedzi: a) Obrazami prostych x = const = sa ga l ezie hiperboli o równaniu ( ) u sin x v = 1, cos x zaś obrazami prostych y = const = sa pó lelipsy o równaniu u 1 4 (ey + e y ) + v 1 4 (ey + e y ) = 1. Hiperbole sa ortogalne do elips. b) Obrazami prostych x = const = jest pek hiperboliczny okregów ( u + cos x sin x ) + v = 1 sin x przechodzacych przez w = ±i, zaś obrazami prostych y = const = jest pek eliptyczny okregów u + ( v ) cosh y = sinh y 1 sinh y, wzgledem których punkty w = ±i sa symetryczne. 18
4. Odworowania konforemne 33. Znaleźć obraz obszaru D = {z C : z < 1} przy homografii f(z) = z i z+i. Szukamy odwzorowania odwrotnego do w(z) = z i. Homografia odwrotna ma postać z+i iw + i z(w) = w 1. Aby znaleźć obraz obszaru D należy w równaniu opisujacym D w miejsce z wstawić równanie homografii odwrotnej. f(d) = D ={w C : iw + i w 1 < 1} Jest to lewa pó lp laszczyzna. ={w C : w ( 1) < w 1 } ={w C : Rew < }. 34. Znaleźć obraz obszaru D = {z C : z i < z + i < } przy homografii f(z) = z 1 z+1. Obszar D jest cześci a wpólna dwóch kó l. Szukamy odwzorowania odwrotnego do w(z) =. Homografia odwrotna ma postać z 1 z+1 z(w) = w 1 w 1. Aby znaleźć obraz obszaru D 1 = {z C : z i < należy w równaniu opisujacym D 1 w miejsce z wstawić równanie homografii odwrotnej. f(d 1 ) = D 1 ={w C : w 1 w 1 i < } ={w C : w i < w 1 } ={w C : Imw > Rew}. Postepujemy analogicznie dla D = {z C : z + i < } f(d ) = D ={w C : w 1 w 1 + i < } ={w C : w ( i) < w 1 } ={w C : Imw < Rew}. 19
Zatem f(d) = f(d 1 ) f(d ) = {w C : Imw > Rew Imw < Rew}. 35. Udowodnić, że homografia zachowuje dwustosunek punktów w w 1 w w : w 3 w 1 w 3 w = z z 1 z z : z 3 z 1 z 3 z. 36. Udowodnić, że dla dowolnych trzech różnych punktów z 1, z, z 3 C i trzech różnych wartości w 1, w, w 3 C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka, że f(z i ) = w i, i = 1,, 3. 37. Znaleźć homografie, która przekszta lca zbiór D = {z C : z = 1} na D 1 = {z C : Imz = } i taka, że punktom 1, + i, i odpowiadaja punkty 1,, 1. Korzystamy z faktu, że homografia zachowuje dwustosunek punktów, czyli w w 1 w w : w 3 w 1 w 3 w = z z 1 z z : z 3 z 1 z 3 z. w + 1 w : 1 + 1 1 = z 1 z ( + i) : i 1 i ( + i). Skad po przekszta lceniach otrzymamy postać szukanej homografii w = (1 + i)z + (1 + 3i) ( 3 + i)z + (3 3i). 38. Znaleźć ogólna postać homografii przekszta lcajacej górna pó lp laszczyzne na ko lo jednostkowe. Wybierzmy punkt a taki, że Ima >. Punktem symetrycznym do niego wzgledem brzegu, czyli osi OX jest punkt a. Szukana homografia musi przekszta lcić punkt a na punkt należacy do D(, 1). Możemy przyjać, że f(a) =. Wtedy homografia f punkt a musi przekszta lcić na punkt symetryczny wzgledem czyli na. Zatem f(a) =, f( a) =. Stad możemy napisać f(z) = k z a Pokażemy, że k = z a eiφ. Ponieważ f przekszta lca oś OX na okrag jednostkowy, to f(1) = 1. Korzystajac
z tego dostaniemy 1 = f(1) = k 1 a. Należy zauważyć, że z a = z a, wiec 1 a 1 a = 1 a. Stad 1 a 1 a = 1 i w konsekwencji k = 1, czyli k = e iφ. Szukane homografie maja nastepuj ac a postać iφ z a f(z) = e, Ima >, φ [, π). z a 39. Znaleźć ogólna postać homografii przekszta lcajacej ko lo jednostkowe na siebie. Szukane homografie maja nastepuj ac a postać iφ z a f(z) = e, a D(, 1), φ [, π). z a 4. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca ko lo jednostkowe na siebie i takie, że: (a) f( 1 4 ) = i Argf ( 1 4 ) = π, (b) f( 1 ) = i Argf ( 1 ) = π. Odpowiedzi: iφ/ 4z 1 a) f(z) = e, 4 z iφ/ z 1 b) f(z) = e. z 41. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca obszar D = {z C : z > 1} na obszar D 1 = {z C : Imz < Rez}. Najpierw zastosujemy f 1 (z) = 1. Ta homografia przekszta lci D = {z C : z > 1} z na D = {z C : z < 1}. Nastepnie zastosujemy homografie f (z), odwrotna do tej, która przekszta lca górna pó lp laszczyzne na ko lo jednostkowe. Ma ona postać f (z) = aw eiφ a, φ [, π). w e iφ ( Możemy podstawić np. a = i. Wtedy f (z) = i w +e ). iφ Szukane odwzorowanie w e iφ ma postać f f 1. 1
4. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca obszar D = C {z C : Rez Imz = } na obszar D 1 = {z C : z > 1}. Obszar D można zapisać jako D = {z C : π < Argz < π}. Wtedy pierwsza ga l az pierwiastka f 1 (z) = z przekszta lca obszar D na Funkcja f (z) = iz odwozoruje D na D = {z C : π/ < Argz < π/}. D = {z C : < Argz < π}. Zauważmy, że D jest górna pó lp laszczyzna. Niech iπ/ z i f 3 (z) = e z + i. Jest to homografia znana z poprzednich zadań, gdzie przyj eto a = i i φ = π/. Homografia f 4 (z) = 1 : D(, 1) {z C : z > 1}. z Szukane odzworowanie jest nastepuj ac a superpozycja f(z) = f 4 f 3 f f 1. 43. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca p laszczyzne rozciet a wzd luż prostych (, 1] [1, ) na obszar D 1 = {z C : Imz > }. Niech g(z) = 1 z 1+z. Wtedy g(d) = D = {z C : π < Argz < π}. Dalej korzystajac z porzedniego zadania wiemy, że f f 1 g przekszta lci obszar D na górna póp laszczyzne. Szukane odwzorowanie ma postać ( ) 1/ 1 z f(z) = i, 1 + z gdzie bierzemy pierwsza ga laź pierwiastka.
44. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca obszar D = C {z C : 3 Rez 1 Imz = } na obszar D 1 = {z C : Imz > }. Niech f 1 (z) = z +. Wtedy Z kolei f (z) = 1 z przekszta lci f 1 (D) = C {z C : 1 Rez 1 Imz = }. C {z C : 1 Rez 1 Imz = } na p laszczyzne rozciet a wzd luż prostych (, 1] [1, ). Dalej korzystamy z poprzedniego zadania i rozpatrujemy f 3 (z) = 1 z, f 1+z 4(z) = z 1/, f 5 (z) = iz. Szykane odwzorowanie ma postać f = f 5 f 4 f 3 f f 1. 45. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca obszar D = {z C : Imz > } {z C : Rez = < Imz 1} na obszar D 1 = {z : z < 1}. Odpowiedzi Niech f 1 (z) = z. Wtedy f 1 (D) jest p laszczyzna rozciet a wzdluż pó lprostej [ 1, + ). Funkcja f (z) = z + 1 przesunie rozciecie na pó lprosta [, + ). Funkcja f 3 (z) przekszta lci otrzymany zbiór na górna iφ z a pó lp laszczyzne. Wtedy f 4 (z) = e, Ima >, z a odwzoruje ja na D(, 1). Zatem f = f 4 f 3 f f 1. 46. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca ko lo D = {z C : z < 1} na obszar D 1 = {z C : < Imz < π}. Jeśli f 1 (z) = i ( e iφ +z z e iφ ), to f 1 (D) = {z C : < Imz < π}. Stad f f 1 jest szukanym przekszta lceniem. 3
47. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca ko lo D = {z C : z < 1} rozci ete wzd luż promienia na obszar D 1 = {z C : < Imz < π }. Niech f 1 (z) = z 1/, Wtedy D = f 1 (D) = {z C : z < 1 Rez > }. Natomiast f (z) = z+i z i przeksztalci f 1(D) na D = {z C : Imz > Rez < }. Kolejno Lnz πi odwzoruje D na pasek D 1. 48. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca pas D = {z C : < Imz < π } na pólkole D = {z C : Imz > z < 1}. Fukcja f 1 (z) = e z przekszta lca pasek D na D = {z C : Rez > Imz > }. Zaś homografia f (z) = z 1 przekszta lci z+1 D na D 1. Stad f f 1 jest szukanyn przekszta lceniem. 49. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca wycinek ko lowy D = {z C : < Argz < π 3 } na obszar D 1 = {z C : z < 1}. Wskazówka. Znaleźć przekszta lcenie konforemne pó lkola D = {z C : Imz > z < 1} na pólp laszczyzn e D 1 = {z C : Imz > }. Szukane odwzorowanie ma postać f(z) = ( z+1 z 1). 4
5. Ca lki zespolone, wzory ca lkowe Cauchy ego 5. Obliczyć ca lk e Γ zdz, gdzie Γ jest lukiem paraboli y = x od punktu O(, ) do punktu A(1, ). Krzywa Γ zapiszemy w postaci zespolonej tzn. Wtedy dz = (1 + it)dt oraz 1 zdz = (t it )(1 + it)dt = Γ Γ = {z = t + it : t [, 1]}. 1 (t + t 3 )dt + i 51. Obliczyć ca lk e Γ zdz, gdzie Γ jest górnym lukiem elipsy x + y 4 = 1. Krzywa Γ zapiszemy w postaci zespolonej tzn. Γ = {z = cos t + i sin t : t [, π/]}. Wtedy dz = ( sin t + i cos t)dt oraz π/ zdz = (cos t i sin t)( sin t + i cos t)dt Γ = π/ = 3 + iπ. 3 cos t sin tdt + i π/ 1 (sin t + cos t)dt t dt = 1 + i 3. 5. Obliczyć ca lk e Γ z z 1 dz, gdzie Γ jest górnym lukiem okr egu {z : z = }. Krzywa Γ zapiszemy w postaci zespolonej tzn. Wtedy dz = ie it dt oraz z z 1 dz = Γ Γ = {z = e it : t [, π]}. π e it π e it ieit dt = ie 3it dt = 4 3. 5
53. Obliczyć ca lke z zdz, gdzie Γ jest górnym lukiem okr egu Γ {z : z = 1}. Krzywa Γ zapiszemy w postaci zespolonej tzn. Γ = {z = cos t + i sin t : t [, π]}. Wtedy dz = ( sin t + cos t)dt oraz π z zdz = (cos t i sin t)( sin t + i cos t)dt = i Γ π dt = iπ. 54. Obliczyć ca lke e z dz, gdzie Γ + Γ (z 4) 1 = {z : z = 1} jest krzyw a zorientowana dodatnio. Funkcja podca lkowa ma dwa bieguny z 1 = i z =, oba dwukrotne. Do zbioru D 1 = {z : z < 1} należy tylko biegun z 1. Zatem korzystajac ze wzoru ca lkowego Cauchy ego mamy gdzie f 1 (z) = Γ + 1 e z (z 4) dz = Γ + 1 ez H(D (z+) 1 ). = Γ + 1 e z (z ) (z + ) dz e z (z+) (z ) dz = πif 1() = e π 3, 55. Obliczyć ca lke e z dz, gdzie Γ + Γ (z 4) = {z : z + = 1} jest krzyw a zorientowana dodatnio. Funkcja podca lkowa ma dwa bieguny z 1 = i z =, oba dwukrotne. Do zbioru D = {z : z + < 1} należy tylko biegun z. Zatem korzystajac ze wzoru ca lkowego Cauchy ego mamy Γ + e z (z 4) dz = Γ + = Γ + e z (z ) (z + ) dz e z (z ) (z + ) dz = πif () = e π 3, 6
gdzie f (z) = ez H(D (z ) ). 56. Obliczyć ca lk e Γ e z (z 4) dz, gdzie Γ + 3 = {z : z = 4} jest krzywa zorientowana dodatnio. Funkcja podca lkowa ma dwa bieguny z 1 = i z =, oba dwukrotne. Do zbioru D 3 = {z : z < 4} należa oba bieguny z 1 i z. Zatem korzystajac z twierdzenia Cauchy ego dla obszarów wielospójnych mamy Γ + 3 e z (z 4) dz = Γ + 1 e z (z+) (z ) dz + Γ + = e π 3 e π 3 =, e z (z+) (z ) dz 57. Obliczyć ca lk e Γ e z (z 4) dz, gdzie Γ + 4 = {z : z = 1} jest krzywa zorientowana dodatnio. Do zbioru D 4 = {z : z < 1} nie należy żaden z biegunów z 1 i z. Zatem korzystajac z podstawowego twierdzenia Cauchy ego dla obszarów jednospójnych mamy e z dz =, (z 4) Γ + 4 ponieważ f H(D 4 ). 58. Obliczyć ca lke ( ) e z sin z + + z cos z dz, gdzie Γ jest krzywa Γ z + 1 (z i) 3 zorientowana dodatnio o równaniu {z C : z i = 4 }. Zauważmy, że funkcja podca lkowa ma bieguny w puktach z 1 = i, z = i, z 3 = i, przy czym bieguny z 1 i z sa jednokrotne a biegun z 3 jest trzykrotny. Korzystamy z twierdzenia ca lkowego Cauchy ego dla obszarów wielospójnych. Zatem ( e z Γ z + 1 + 4 ( e z =πi res i z + 1 4 sin z + z cos z (z i) 3 + res i 7 e z z + 1 4 ) dz ) sin z + res i. (z i) 3
Policzymy residua wymienionych funkcji res i res i e z z + 1 4 ( (z i ) = lim )ez z i (z i )(z + i ) = e i i ( e z (z + i ) z + 1 = lim )ez 4 z i (z i )(z + i ) = e i i Zatem Γ ( e z z + 1 4 sin z res i (z i) = 1 ( (z i) 3 sin z 3! (z i) 3 ) = 1 ( cos i). ) ( ) sin z e i + + z cos z dz = πi( (z i) 3 i + e i i + 1 ( cos i). 8
6. Szeregi Taylora 59. Znaleźć szereg Taylora funkcji f(z) o środku w punkcie z : (a) f(z) = e z, f(z) = cos z, f(z) = sin z, z =, (b) f(z) = chz, f(z) = shz, z =, (c) Ile wynosi promień zbieżności otrzymanego szeregu? Odpowiedzi: - e z = 1 + z + z + + z3 +... = z k 1!! 3! k=. k! - sinz = z z3 + z5 z7 +... = zk+1 3! 5! 7! k= ( 1)k. (k+1)! - cosz = 1 z + z4 z6 +... = zk! 4! 6! k= ( 1)k. (k)! - chz = k= z k (k)!. - shz = z k+1 k=. W każdym z powyższych przypadków promień r =. (k+1)! 6. Znaleźć szereg Taylora funkcji f(z) = Ln(1 + z) o środku w punkcie z =. Ile wynosi promień zbieżności szeregu? Wiadomo, że w obszarze jednospójnym, nie zawierajacym i, istnieje ga l aź logarytmu. Zatem promień r ko la o środku w punkcie z w którym szereg bedzie zbieżny musi spe lniać r < z. Policzymy pochodne f(z) = Lnz. Stad f (z) = z 1, f (z) = z,... f (n) (z) = ( 1) n 1 (n 1)!z n. Lnz = Ln(z ) + z z z 1 ( ) ( ) n z z +... + ( 1)n 1 z z +...... n z Przyjmujac z = 1 i zastepuj ac z przez 1+z otrzymamy dla wartości g lównej logarytmu rozwiniecie w kole z < 1. Ln(1 + z) = z z + z3 zn +... + ( 1)n 1 3 n +...... z 9
61. Znaleźć rozwini ecie w szereg Taylora o środku w punkcie z = ga l ezi g lównej funkcji f(z) = (1 + z) μ dla z < 1, μ R. Funkcja y(z) = z μ ma jednoznacza ga l aź w obszarze nie zawierajacym i. Policzymy jej pochodne y (z) =μz μ 1, Jeśli μ N, to y (z) =μ(μ 1)z μ,. y (n) (z) =μ(μ 1)... (μ n + 1)z μ n. (z m ) (μ) = μ! Dla μ N i n > μ mamy ( ( μ n) =. Gdy μ C, to symbol Newtona μ n) wyraża si e wzorem ( ) μ μ(μ 1)... (μ n + 1) =, n n! gdzie ( ) μ := 1. Rozwiniemy funkcje z μ w szereg Taylora w kole K(z, r) dla r < z, ( ) ( ) ( ) n μ z z μ z μ z z = z [1 + +... +...]. 1 z n Wstawiajac za z = 1 i zastepuj ac z przez 1 + z dostaniemy szereg dwumienny ( ) ( ) μ μ ( ) μ (1 + z) μ = 1 + z +... z n +... = z n 1 n n dla z < 1. z n= 6. Znaleźć rozwini ecie w szereg Taylora o środku w punkcie z = ga l ezi g lównej funkcji f(z) = 1 + z dla z < 1. Korzystamy z poprzedniego zadania podstawiajac za μ = 1. St ad 1 1 + z = 1 + z 1 8 z + 1 16 z3 n 1 (n 3)!! +... + ( 1) z n +... (n)!! 3
dla z < 1. 63. Znaleźć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie z = ga l ezi g lównej funkcji f(z) = 1 1+z dla z < 1. Korzystamy z zadania przedostaniego podstawiajac za μ = 1. St ad 1 = 1 + ( 1) z + ( 1)( 3) z +... + ( 1)( 3 n+1 )... ( 1 + z 1!! n! = 1 + ale n! n = (n)!! Zatem otrzymamy n=1 1 1 + z = 1 + ( 1) n (n 1)!! z n n n! n=1 ( 1) n (n 1)!! z n. (n)!! ) z n +... 64. Znaleźć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie z = ga l ezi g lównej funkcji f(z) = 1 1 z dla z < 1. Podstawiajac z w miejsce z w poprzednim zadaniu otrzymamy 1 = 1 + 1 z n=1 ( 1) n (n 1)!! ( z ) n = 1 + (n)!! n=1 (n 1)!! z n. (n)!! 65. Policzyć szereg Taylora ga l ezi g lównej funkcji f(z) w punkcie z =. Znaleźć promień ko la zbieżności. (a) f(z) = arcsinz, (b) f(z) = arccoz, (c) f(z) = arctgz, (d) f(z) = arcctgz, (e) f(z) = arcshz, 31
(f) f(z) = arcthz, (g) f(z) = arccthz dla z > 1. Odpowiedzi: a) Wykażemy, że f(z) = arcsinz = z + n=1 r = 1). Ponieważ dla z = ±1, to jej pochodna wynosi (n 1)!! z n+1 (n)!! n+1 arcsin z = i ln(iz + 1 z ) (arcsin z) = 1 1 z dla z D(, 1) (tzn. dla z = ±1. Rozwiniemy ga l az g lówna 1 z w szereg Taylora. W tym celu skorzystamy ze wzoru Dla μ = 1 otrzymamy (1 + z) μ = n= ( ) μ z μ, dla z < 1. n 1 = 1 + ( 1) z + ( 1)( 3) z +... + ( 1)( 3 n+1 )... ( 1 + z 1!! n! = 1 + n=1 ( 1) n (n 1)!! n n! ale n! n = (n)!! i podstawiajac z w miejsce z otrzymamy Stad 1 = 1 + 1 z arcsin z = z ( 1 + n=1 ( 1) n (n 1)!! ( z ) n = 1 + (n)!! n=1 Policzymy promień zbieżności szeregu r = lim sup n ) (n 1)!! s n ds = z + (n)!! n=1 n=1 ) z n +... (n 1)!! z n. (n)!! (n 1)!! (n)!! (n)!!(n + 1)(n)!! (n + )!!(n + )(n 1)!! = 1. z n+1 (n + 1). 3
b) f(z) = arccoz = π ( z + n=1 c) f(z) = arctgz = n= d) f(z) = arcctgz = π n= e) f(z) = arcshz = f) f(z) = arcthz = n= g) f(z) = arccthz = n= zn+1 ( 1)n, r = 1. n+1 zn+1 ( 1)n n+1 n=1 ( 1)n (n 1)!! (n)!! z n+1 n+1, r = 1. (n 1)!! ) z n+1 (n)!! n+1, r = 1. z n+1 n+1, r = 1., r = 1. 1 dla z > 1. (n+1)z n+1 66. Znaleźć szereg Taylora funkcji f(z) = sin z w dysku D(, r). Ile wynosi r? uzasadnić. Czy g(z) = sin ( z) jest funkcja ca lkowita? uzasadnić. Niech f(z) = sin z, wtedy g(z) = f (z) = sin z. Stad g (n) (z) = n sin(z + n π) oraz g (n) (z) = i g (n+1) () = ( 1) n n+1. Zatem f (n+) () = ( 1) n n+1 i f(z) = sin z = Podstawiajac z w miejsce z otrzymamy oraz f(z) = sin ( z) = r = lim sup n czyli f(z) jest funkcja ca lkowita. a n a n+1 k= n= = lim sup n f (n+) () (n + )! zn+. n+1 ( 1) n z n+1 (n + )! (n + 4)! n+1 =, (n + )!n+3 67. Znaleźć szereg Taylora funkcji f(z) = cos z o środku w punkcie z =. Korzystajac z niego wykazać, że funkcja g(z) = z 3 cos ( z) jest ca lkowita. Wykazać, że z = jest trzykrotnym zerem funkcji g(z). Niech f(z) = cos z, wtedy g(z) = f (z) = sin z. Wykorzystujac poprzednie zadanie otrzymamy f(z) = cos z = f() + n= f (n+) () (n + )! zn+ = 1 + 33 n= n+1 ( 1) n+1 z n+. (n + )!
Podstawiajac z w miejsce z otrzymamy oraz f(z) = cos ( z) = 1 + r = lim sup n a n a n+1 n= = lim sup n czyli z 3 cos ( z) jest funkcja ca lkowita. Ponieważ z 3 cos ( z) = z 3 [1 + k= n+1 ( 1) n+1 z n+1 (n + )! (n + 4)! n+1 =, (n + )!n+3 ] n+1 ( 1) n+1 z n+1 (n + )! [ = z 3 1 + ( 1) ] z + 3 )( 1) z +...! 4! = z 3 Φ(z), gdzie Φ(z) jest funkcja holomorficzna w C i Φ() =. Zatem z = jest trzykrotnym zerem f(z) = z 3 cos ( z). 68. Znaleźć szereg Taylora funkcji f(z) = shz o środku w punkcie z =. Korzystajac z niego wykazać, że funkcja g(z) = 1 z sh( z) jest ca lkowita. Wiemy już, że sinhz = z k+1 k= dla z C. Zatem (k+1)! Stad g(z) = 1 z sinh( z) = 1 z r = lim sup k a k a k+1 co dowodzi, że f jest funkcja ca lkowita. k= = lim sup k z k+ 1 (k + 1)! = k= (k + )! (k + 1)! =, z k (k + 1)! 69. Znaleźć szereg Taylora funkcji f(z) = sh z o środku w punkcie z =. Korzystajac z niego wykazać, że funkcja g(z) = sh ( z) jest ca lkowita. Czy punkt z = jest zerem funkcji? uzasadnić. 34
Dla f(z) = sh z pochodne f (k+1) (z) = k sinh z i f (k) (z) = k 1 cosh z. f (k+1) () = i f (k) () = k 1. Podstawiajac do wzoru Taylora otrzymamy Stad sinh z = k=1 k z k (k)! Zatem r = lim sup k a k a k+1 sinh ( z) = z ( = lim sup k 1 + k= (k + )! k 1 (n)! k+1 =. ) k z k 1 = zφ(z), (k)! gdzie Φ(z) jest holomorficzna w D(, 1) i Φ() =, co dowodzi, że z = jest zerem jednokrotnym funkcji. ( ) 1+z 7. Ga l aź g lówna funkcji f(z) = Ln rozwinać 1 z w szereg Taylora funkcji o środku w ( ) punkcie z =. Korzystajac z niego wykazać, że galaź g lówna funkcji g(z) = 1Ln 1+z z 1 z jest holomorficzna w dysku D(, 1).. Skorzystamy z faktu, że dla z D(, 1). Stad oraz ln(1 z ) = ln(1 + z) = ln(1 + z ) = ( 1) n=1 ( 1) n=1 ( 1) n 1 ( 1) n=1 1 ln z z n zn ( ) 1 + z = z 1 z n 1 zn n n 1 zn n, n = n= n=1 z 4n n + 1. n 1 zn ( 1) a Policzmy r = lim sup n = lim sup n a n+1 n n+3 = 1. Ponadto n+1 ( ) ) 1 1 + z ln z = z (1 + z4 z 1 z 3 + z8 5 + z1 7 +... = zφ(z), 35 n,
gdzie Φ(z) jest holomorficzna w D(, 1) oraz Φ() =. 71. Ga l aź g lówna funkcji f(z) = arcsh(z) rozwinać w szereg Taylora funkcji o środku w punkcie z =. Korzystajac z niego wykazać, że ga l aź g lówna funkcji g(z) = 1 z arcsh( z) jest holomorficzna w dysku D(, 1).. Wiemy już, że arcsh(z) = k=1 ( 1)k (k 1)!! (k)!!(k+1) zk+1 dla z D(, 1). Zatem oraz r = lim sup k g(z) = 1 z arcsh( z) = k=1 ( 1) k (k 1)!! (k)!!(k + 1) zk+1 a k = lim sup (k+)(k+1)!!(k 1)!! a k+1 k = 1. (k)!!(k)!!(n+1) 7. Ga l aź g lówna funkcji f(z) = arcth(z) rozwinać w szereg Taylora funkcji o środku w punkcie z =. Korzystajac z niego wykazać, że ga l aź g lówna funkcji g(z) = zarcth( z) jest holomorficzna w dysku D(, 1). Czy z = jest zerem funkcji g(z)? Jeśli tak, to podać jego krotność. Wiemy już, że arcth(z) = k= z k+1 (k+1) g(z) = zarcth( z) = z r = lim sup k a k a k+1 dla z D(, 1). Zatem k= = lim sup k Stad g(z) jes holomorficzna w D(, 1) i g(z) = zarcth( z) = z [1 + z k+ 1 (k + 1) = z k+1 (k + 1), k= (k + ) (k + 1) = 1. ] z3 z + 5 +... = zφ(z), gdzie Φ(z) jest holomorficzna w D(, 1) i Φ() =. To dowodzi, że z = jest zerem jednokrotnym funkcji g(z). 36
7. Szeregi Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych 73. Znaleźć cześć g lówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu P (,, ) (z = ) funkcji f(z) = z 4 cos(z). Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z. Korzystajac z powyższych rowinieć oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepuj ac a ca lke z 4 cos(z)dz, < r < 1. {z: z =r} Wiemy, że funkcja cos z ma nastepuj ace rozwiniecie ] cos z = ( 1) [1 k zk (k)! = z! + z4 4! z6 6! +... k= dla z C. Stad dla z P (,, ). z 4 cos z = ( 1) k= k zk 4 (k)! + 1 z 1 4!z = 1 z 4 1!z + 1 4! z 6! + z4 8! +... Punkt z = jest biegunem czterokrotny i res z f(z) =. Cz eść g lówna wynosi Cz eść regularna wynosi {z: z =r} 1 z 1 4!z. ( 1) k= k zk 4 (k)!. z 4 cos(z)dz = πi =, < r < 1. 37
74. Znaleźć cześć g lówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu P (,, 1) (z = ) ga l ezi g lównej funkcji f(z) = z 1 arcsin(z). Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z. Korzystajac z powyższych rowinieć oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepuj ac a ca lke z 1 arcsin(z)dz, < r < 1. {z: z =r} Wiemy, że ga l aź g lówna funkcji arcsin z ma nastepuj ace rozwiniecie w szereg Taylora (n 1)!!z n+1 arcsin z = z + (n)!!n + 1 dla z D(, 1). Stad ( z 1 arcsin z =z 1 z + 1!! z 3!! 3 + 3!! z 5 4!! 5 + 5!! z 7 6!! 7 + 7!! z 9 8!! 9 + 9!! ) z 11 1!! 11 +... = 1 z + +1!! 1 9!! 3z + 3!! 1 7 4!! 5z + 5!! 1 5 6!! 7z + 7!! 1 3 8!! 9z + 9!! z 1!! 11 +... w pierscieniu P (,, 1). n=1 Cz eść regularna ma postać n=5 (n 1)!!z n 9 (n)!!n + 1 = n= (n + 9)!!z n+1 (n + 1)!!n + 111. Cz eśc g lówna ma postać z jest biegunem dziewi eciokrotnym oraz 1 z + +1!! 1 9!! 3z + 3!! 1 7 4!! 5z + 5!! 1 5 6!! 7z + 7!! 1 3 8!! 9z. res z f(z) = 7!! 8!!9. Stad {z: z =r} z 1 arcsin(z)dz = 7!! πi < r < 1. 8!!9 38
75. Znaleźć cześć g lówna szeregu Laurenta w pierscieniu P (,, 1/) (z = ) ga l ezi g lównej funkcji ( ) 1 + z f(z) = z 1 ln. 1 z Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z. Korzystajac z powyższego rowiniecia oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepuj ac a ca lke ( ) 1 + z z 1 ln dz, < r < 1/. 1 z {z: z =r} Wiemy, że ga l aź g lówna funkcji ln ( ) 1+z 1 z ma nast epuj ace rozwiniecie w szereg Taylora dla z D(, 1). Stad ( ) 1 + z z 1 ln 1 z w pierścieniu P (,, 1/). ln ( 1 + z ) z n+1 = z 1 z n + 1 n= = ( 1 z 1 + 1 3z 9 + 1 5z 7 + 1 7z 5 + 1 9z 3 + 1 11z +...) Cześc g lówna ma postać ( 1 z + 1 1 3z + 1 9 5z + 1 7 7z + 1 5 9z + 1 ). 3 11z z = jest biegunem dwunastokrotnym oraz res z f(z) = 11. Stad {z: z =r} z 1 ln ( ) 1 + z dz = πi < r < 1/. 1 z 11 76. Znaleźć cześć g lówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu P (, 1, ) (z = ) funkcji f(z) = z 4 sin(1/z). 39
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z. Korzystajac z powyższych rowinieć oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepuj ac a ca lke z 4 sin(1/z)dz, 1 < R <. {z: z =R} Odpwiedź Wiemy, że funkcja sin z ma nastepuj ace rozwiniecie ] sin z = ( 1) k z [z k+1 (k + 1)! = z3 3! + z5 5! z7 7! +... k= dla z C. Stad dla z P (, 1, ). z 4 sin(1/z) = k= ( 1) k z k 3 (k + 1)! + z3 z 3!. Punkt z = jest biegunem trzykrotnym i res z f(z) = 1 6. Cz eść g lówna wynosi z 3 z 3!. Cz eść regularna wynosi {z: z =r} ( 1) k= k zk 4 (k)!. z 4 cos(1/z)dz = πi 1, 1 < R <. 6 77. Znaleźć cześć g lówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu P (, 1, ) (z = ) ga l ezi g lównej funkcji f(z) = z 1 arcsin ( 1/z ). Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z. Korzystajac z powyższych rowinieć oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepuj ac a ca lke z 1 arcsin(1/z)dz, 1 < R <. {z: z =R} 4
Wiemy, że ga l aź g lówna funkcji f(z) = arcsin z ma nastepuj ace rozwiniecie w szereg Taylora (n 1)!!z n+1 arcsin z = z + (n)!!n + 1 dla z D(, 1). Stad dla z P (, 1, ) oraz ( ) 1 z 1 arcsin z w pierscieniu P (, 1, ). arcsin n=1 ( ) 1 = 1 z z + (n 1)!! (n)!!n + 1z n+1 n=1 =z 9 + + 1!! z 7!! 3 + 3!! 4!! z 5 5 + 5!! 6!! z 3 7 + 7!! z 8!! 9 + 9!! 1 1!! 11z +... Cz eść regularna ma postać n=5 Cz eśc g lówna wynosi (n 1)!! (n)!!(n + 1)z = (n + 9)!! n 9 (n + 1)!!(n + 11)z. n+1 z 9 + + 1!! z 7!! 3 + 3!! 4!! n= z = jest biegunem dziewi eciokrotnym oraz z 5 5 + 5!! 6!! z 3 res z f(z) = 7!! 8!!9. 7 + 7!! z 8!! 9. Stad {z: z =R} z 1 arcsin(1/z)dz = 7!! πi 1 < R <. 8!!9 78. Znaleźć cześć g lówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu P (, 1, ) (z = ) funkcji f(z) = z 8 arcth ( 1/z ). 41
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z. Korzystajac z powyższych rowinieć oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepuj ac a ca lke z 8 arcth(1/z)dz, 1 < R <. {z: z =R} Wiemy, że ga l aź g lówna funkcji f(z) = arcthz ma nastepuj ace rozwiniecie w szereg Taylora z n+1 arcthz = n + 1 dla z D(, 1). Stad dla z P (, 1, ) oraz w pierscieniu P (, 1, ). arcth ( ) 1 = z n= n= 1 (n + 1)z n+1 z 8 arcth( 1 z ) =z7 + + z5 3 + z3 5 + z 7 + 1 9z +... Cz eść regularna ma postać n=4 z n+1 n + 1. Cz eśc g lówna wynosi z 7 + + z5 3 + z3 5 + z 7. z = jest biegunem siedmiokrotnym oraz res z f(z) = 1 7. Stad {z: z =R} z 1 arcth(1/z)dz = 1 πi 1 < R <. 7 4
I rodzaj ca lek rzeczywistych: 8. Ca lki rzeczywiste Ca lki postaci π f(cosφ, sinφ)dφ. liczymy korzystajac z twierdzenia Cauchy ego o residuach. W tym celu wprowadzamy zmienna z = e iφ, φ [, π]. Wtedy cosφ = eiφ + e iφ z + z 1 =, sinφ = eiφ e iφ = i π z + z 1 f(cosφ, sinφ)dφ = f(, z =1 Zastosujemy to do obliczenia ca lki π dφ 5 + 4sin(φ) = dz = z =1 5iz + z(z z 1 ) = z =1 z =1 dz iz 5 + 4 z z 1 i z =1 z z 1, i z z 1 ) dz i iz. dz z + 5iz dz (z + i)(z + 1 i) = πires 1 i 1 z + 5iz dz = πi lim z 1 i (z + i)(z + 1i) = π 3. 79. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć π dθ = 4 3 π. (+cos θ) 9 π dθ ( + cos θ). 8. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć π dθ = π. 1+8 cos θ 3 π dθ 1 + 8 cos θ. 43
81. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć π π dθ 1 a cos θ + a a = 1. dθ = π a C, a = 1. 1 a cos θ+a a 1 8. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć π π cos 3θdθ 1 a cos θ+a cos 3θdθ 1 a cos θ + a a < 1. = π 1 a+a 1 a a < 1. 83. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć π π dθ (1 + ε cos θ) ε < 1. dθ = π ε < 1. (1+ε cos θ) (1 ε ) 3/ 84. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć π π sin θdθ a + b cos θ sin θdθ a+b cos θ = π b (a a b ) < b < a. < b < a. II rodzaj ca lek rzeczywistych: Aby obliczyć Γ coskx dx, k >, a >, x + a jako funkcje zespolona bierzemy f(z) = eikz, która ma bieguny w punktach ±ai. z +a Ponieważ do obszaru ograniczonego przez Γ należy tylko jeden biegun ai, to z twierdzenia Cauchy ego o liczeniu ca lek za pomoca residuów otrzymamy, ( ) e ikz e ikz z + a dz = πires ai. z + a 44
Policzymy residuum f w biegunie ai. res ai f(z) = lim (z ai) z ai czyli e ak f(z)dz = πi = π. Γ ai ae ak f(z)dz = e ikz (z ai)(z + ai) = lim z ai ΓR e ikz R e ikz (z + ai) = e ak ai, e ikx x + a dx. Γ z + a dz + R Dla R zachodzi, że eikz z +a (korzystamy z lematu Jordana) oraz R R e ikx x + a dx Tak wiec dostaniemy, że π ae = ak Γ e ikx x + a dx = f(z)dz = coskx dx + i x + a coskx sinkx dx + i x + a x + a dx. sinkx x + a dx. Zatem π ae = coskx ak x + a dx. 85. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć dx, (a, b >, a = b). (x + a ) (x + b ) dx = (x +a ) (x +b ) π, (a, b >, a = b). ab(a+b) 86. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć dx (x + x + 1). dx (x +x+1) = 4π 3 3. 45
87. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć dx = x 4 +x π +1 3. dx x 4 + x + 1. 88. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć x 3 sin xdx (x + 1). x 3 sin xdx (x +1) = π 4e. 89. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć xdx = π. x 4 +6x +13 8 xdx x 4 + 6x + 13. 9. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć x x + x 4 + 1x + 9 dx. x x+ 5π dx =. x 4 +1x +9 1 91. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć x (x +a ) 3 dx = x dx, a >. (x + a ) 3 π, a >. 16a 3 9. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć x 6 x 6 dx, a >. (x 4 + a 4 ) dx = 3 π, a >. (x 4 +a 4 ) 16a 46
93. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć x sin x dx, a >. (x + a ) x sin x dx = π (x +a ) 4a e a, a >. 94. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć cos x (1 + x ) 3 dx. cos x dx = 7 π. (1+x ) 3 16 e 95. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć dx = π. (x +1) (x +4) 18 dx (x + 1) (x + 4). 96. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć cos xdx x + x + 1. cos xdx = x π +x+1 3 (cos 1 )e 1 3. 97. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć e ax dx, 1 < a < 1. chx e ax dx = π chx cos( 1 πa). 47
III rodzaj ca lek rzeczywistych: Pokażemy, że sinx x = π. Niech r < R, γ r = {z : z = re it, t [, π]}, [ R, r], [r, R] odcinki zawarte w osi OX. Tworzymy zamkniet a krzywa Γ := Γ R [ R, r] γ r [r, R], która orientujemy dodatnio wzgledem obszaru D, który ona ogranicza. Niech f(z) = eiz, wtedy f H(D). z Zatem z podstawowego tw. Cauchy ego e = f(z)dz = ΓR iz r z dz + e ix R R x dx + e ix r x γr dx + e iz dz. (.1) z Γ Dla z Γ R mamy e iz z dla R, bo y >. Stad Dla z γ R mamy Stad e iz z = ei(x+iy) R = 1 + iz + (iz)! + (iz)3 3! =... z γ r e iz z dz = e iz Γ R z = 1 z = eix e y R dz. + i + z! γ r 1 z dz + = e y R + iz 3! Γ R g(z)dz. Policzymy kolejno ca lki. Dla z γ r, z = re it, t [, π] 1 π γ r z dz = 1 re it ireit dt = iπ. Na γ r g(z) M, zatem γ r g(z)dz Mπr dla r. Stad Dla R i r ( r R +... = 1 z + g(z) e lim r γr iz dz = iπ + = iπ. (.) z e ix R ) x dx + e ix r x dx e ix x dx + e ix x dx. 48
Jeśli w ca lce e ix dx dokonamy podstawienia x = t, to otrzymamy ca lke x Tak wiec z (.1) i (.) wynika, że dla R i r = + e ix x dx + e ix dx iπ. x e ix dx. x Zatem iπ = e ix e ix dx = x (e ix e ix )i dx = i xi sinx x dx = π. sinx x dx 98. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć x sin x dx. x 3 x sin x x 3 dx = π 4. 99. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć lnx 1 + x dx. lnx dx =. 1+x 49
9. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum 1. Korzystajac z twierdzenia Rouché wykazać, że funkcja + z e iz ma dok ladnie jedno zero w górnej pó lp laszczyznie H + = {z C : Imz > }. Niech f(z) = + z, g(z) = e iz. Pokażemy, że na Γ = [ R, R] Γ R, gdzie Γ R = {z C : z = Re it, t [, π]} zachodzi g(z) < f(z). Dla z [ R, R] mamy, że f(z) > 1 = g(z). Zaś dla z Γ R f(z) R > 1 > e R sin t = g(z) dla R > 3. Spe lnione sa za lożenia twierdzenia Rouché tzn. dla z Γ, stad f(z) > g(z) N f+g = N f we wnetrzu obszaru D ograniczonego przez Γ, czyli f(z) + g(z) = + z e iz ma tyle samo zer w D co f(z) = z +. Ponieważ, f(z) = z + = z = ±. Zatem f ma w górnej pó lp laszczyznie tylko jedno zero, czyli + z e iz ma też tylko jedno zero w górnej pó lp laszczyznie. 11. Udowodnić, że dla każdego λ > 1, równanie z + e z = λ ma dok ladnie jedno zero w prawej pó lp laszczyźnie H + := {z C : Rez > }. Pokazać, że to zero jest liczba rzeczywista. Niech f(z) = z λ, g(z) = e z. 5
Pokażemy, że na Γ = Γ R [ ir, ir], gdzie Γ R = {z C : z = Re it, t [ π/, π/]}, [ ir, ir] = {z = iy : R y R} zachodzi g(z) < f(z). Dla z [ ir, ir] mamy, że f(z) = z λ = λ + y λ > 1, natomiast g(z) = e Rez = 1 dla Rez =. Zaś dla z Γ R i Rez > λ + 1 mamy f(z) = z λ = (x λ ) + y > 1 + y 1 > e Rez = g(z). Spe lnione sa za lożenia twierdzenia Rouché tzn. dla z Γ, stad f(z) > g(z) N f+g = N f we wnetrzu obszaru D ograniczonego przez Γ, czyli f(z) + g(z) = z + e z + λ ma tyle samo zer w D co f(z) = z λ. Ponieważ, f(z) = z λ z = λ. Zatem f ma w prawej pó lp laszczyznie tylko jedno zero, czyli z + e z + λ ma też tylko jedno zero w górnej pó lp laszczyznie. 1. Określić liczbe pierwiastków wielomianu w(z) = z 5 4z 4 z 3 + 1 leżacych wewnatrz ko la jednostkowego D(, 1) = {z C : z < 1}. Niech f(z) = z 5 4z 4, zaś g(z) = z 3 + 1. Wtedy na brzegu dysku D(, 1) mamy f(z) z 5 4z 4 = z 4 (z 4) 4 1 = 3, g(z) = z 3 + 1. Zatem g(z) f(z) na S 1. Z Twierdzenia Rouché wynika, że N f+g = N f, 51
zaś f(z) = z 5 4z 4 = z 1 = z = 4, przy czym z 1 jest pierwiastkiem czerokrotnym. Zatem f m cztery zera w D(, 1). Ostatecznie w(z) = f(z) + g(z) ma cztery zera w D(, 1). 13. Określić liczbe pierwiastków wielomianu w(z) = z 5 z 3 +3z z +8 leżacych wewnatrz ko la jednostkowego D(, 1) = {z C : z < 1}. w nie pierwiastków w D(, 1). 14. Określić liczbe pierwiastków wielomianu w(z) = z 8 4z 5 + z 1 leżacych wewnatrz ko la jednostkowego D(, 1) = {z C : z < 1}. w ma pi eć pierwiastków w D(, 1). 15. Określić liczbe pierwiastków wielomianu w(z) = z 5 16z + 14 leżacych wewnatrz ko la jednostkowego D(, 1) = {z C : z < 1}. w ma tylko jeden pierwiastek w D(, 1). 16. Określić liczbe pierwiastków wielomianu w(z) = z 9 z 6 +z 8z leżacych wewnatrz ko la jednostkowego D(, 1) = {z C : z < 1}. w ma tylko jeden pierwiastek w D(, 1). 17. Niech f bedzie funkcja ca lkowita. Udowodnić: (a) Jeśli Ref M (gdzie M <, to f jest funkcja sta l a. 5
Z za lożenia wiemy, że f jest funkcja ca lkowita. Stad e f też jest funkcja ca lkowita. Wtedy e f e Ref. Poniewa ż dla każedego R > mamy, że e f e R e M, to oznacza, że funkcja ca lkowita e f jest ograniczona. Z twierdzenia Liouville a wynika, że musi być funkcja sta l a tzn. e f const. Ponieważ oraz e f =, wynika stad, że (e f ) = e f (f) f, czyli f(z) const... 18. Niech f bedzie funkcja holomorficzna w obszarze jednospójnym D C, ciag l a na domknieciu D i różna od sta lej. Udowodnić, że cześć rzeczywista funkcji f (tzn. Ref) nie może przyjmować wartości najwiekszej w obszarze D. Wprowadzimy funkcje pomocnicza g(z) = e f(z). Jeśli f jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D C, to e f też kest holomorficzna w tym obszarze. Ponadto g(z) = e Ref. Jeśli Ref przyjmuje wartość najwieksz a w punkcie z D, to max g by loby osiagane we wnetrzu D, co przeczy zasadzie maksimum dla g H(D) i g C( D). 19. Niech bedzie funkcja ca lkowita taka, że f(z + π) = f(z) oraz f(z + πi) = f(z) dla każdego z C. Udowodnić, że f jest funkcja sta l a. Niech D = {z C : 1 Rez 1, 1 Imz 1}. Ponieważ f jest funkcja calkowita, to min f(z) i max f(z) jest osiagane na brzegu D. Z za lożenia dla każdego z C istnieja n Z i z D takie, że f(z) = f(z + πn). 53
Stad i min f(z) = min f(z) C D max C f(z) = max f(z). Powyższe nierówności implikuja, że f jest ograniczona na C. Zatem z twierdzenia Liouville a f jest funkcja sta l a. D 11. (*) Korzystajac ze wzoru ca lkowego Cauchy ego wykazać, że jeśli f H(D(a, R)) oraz f(z) f(a) dla z D(a, R), to f jest funkcja sta l a. Ustalmy 1 < r < R. Ze wzoru Cauchy ego f(a) = 1 πi Stad i z za lożenia A to oznacza, że = 1 πi = 1 π D(a,r) π π f(z) z a dz f(a + re it )rie it dt re it f(a + re it )dt. f(a) 1 π f(a + re it ) dt f(a). π π [ f(a) f(a + re it ) ]dt =. Ponieważ wyrażenia pod ca lka sa nieujemne, a ca lla wynosi zero, to f(a) = f(a+re it ) dla dowolnego r < R. Czyli f(z) musi być sta ly. 54