STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 213, vol. 1, no. 1 (259) Michał Konopczyński Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej, michal.konopczynski@ue.poznan.pl SUBOPTYMALNA RÓWNOWAGA RYNKOWA W MAŁEJ GOSPODARCE OTWARTEJ W WARUNKACH DOSKONAŁEJ MOBILNOŚCI KAPITAŁU Sreszczenie: Przedsawiamy model wzrosu AK opisujący gospodarkę prywaną (bez wyróżnionego sekora publicznego) w warunkach doskonałej mobilności kapiału. Badamy własności gospodarki zdecenralizowanej (wolnorynkowej), w kórej wszyskie podmioy (konsumenci, producenci) działają wyłącznie w swoim indywidualnym ineresie podejmują akie decyzje, aby maksymalizować własny dobroby. Rozwiązujemy w ym celu odpowiednie zadanie serowania opymalnego, a nasępnie wyznaczamy równowagę rynkową. Ze względu na pozyywne efeky zewnęrzne akumulacji kapiału, kórych pojedyncze podmioy nie uwzględniają, równowaga w gospodarce zdecenralizowanej jes subopymalna. Dowodzimy ego, rozwiązując analogiczne zadanie opymalizacyjne uwzględniające całą wiedzę o gospodarce w ym efeky zewnęrzne (zadanie zw. cenralnego planisy) i porównując poziom dobrobyu w obu syuacjach. Słowa kluczowe: model AK, wzros gospodarczy, doskonała mobilność kapiału, efeky zewnęrzne, równowaga subopymalna. Klasyfikacja JEL: D62, D9, F43, O4. SUBOPTIMAL MARKET EQUILIBRIUM IN A SMALL OPEN ECONOMY IN CONDITIONS OF PERFECT CAPITAL MOBILITY Absrac: We presen he AK open-economy growh model describing a privae secor economy (wihou an explici public secor) in condiions of perfec capial mobiliy where agens may inves abroad or borrow any amoun of capial a a fixed ineres rae. We invesigae he properies of a decenralized (free marke) economy, where all he sakeholders (consumers and producers) pursue heir individual ineress; hey ake decisions o maximize heir own benefis. For his purpose he opimal conrol is esablished, and hen he marke equilibrium
62 Michał Konopczyński deermined. Due o he posiive exernal effecs of capial accumulaion, which does no ake ino accoun he individual acors, a decenralized, free-marke equilibrium is subopimal. This proposiion is mahemaically proved by solving he analogous opimizaion problem which incorporaes all he knowledge abou an economy, including exernaliies (he so-called cenral planner approach), and comparing he level of prosperiy in boh siuaions. Keywords: AK model, economic growh, perfec capial mobiliy, exernal effecs, subopimal equilibrium. Wsęp Teoria endogenicznego wzrosu gospodarczego, zainicjowana arykułem Romera [1986], rozwinęła się w jeden z obszerniejszych nurów eorii ekonomii. W jej ramach są konsruowane różnorodne eoreyczne modele równowagi i wzrosu, kórych wspólną cechą są fundameny mikroekonomiczne (microfoundaions). Gospodarka jes w nich zbiorem opymalnie posępujących podmioów na ogół producenów maksymalizujących zyski oraz konsumenów, kórzy dążą do osiągnięcia maksymalnej użyeczności. Przy odpowiednich założeniach doyczących echnologii oraz preferencji konsumenów w modelach ych isnieje równowaga rynkowa, charakeryzująca się pewną sopą wzrosu. Nasępnie bada się zależność owego empa od przyjęych założeń na przykład od paramerów modelu. Bardzo obszerny i naszym zdaniem reprezenaywny przegląd współczesnej eorii endogenicznego wzrosu przedsawia Acemoglu [28] w liczącej aż 12 sron monografii. Sympomayczne jes, że aż 2 z 24 rozdziałów doyczy w całości gospodarki zamknięej, a w zaledwie 4 rozdziałach są poruszane jakiekolwiek zagadnienia związane z owarością gospodarki. Jes o ypowe dla eorii wzrosu zdecydowana większość prac eoreycznych ogranicza się do gospodarki zamknięej, a więc całkowicie pomijane są akie zagadnienia, jak zadłużenie zagraniczne, międzynarodowe ransfery kapiału, inwesycje zagraniczne, handel międzynarodowy, (nie)równowaga bilansu płaniczego ip. W XXI wieku, szczególnie z punku widzenia zjednoczonej Europy, akie podejście jes nie do przyjęcia, co zauważa coraz liczniejsza grupa badaczy. Wśród nich wyróżnia się Turnovsky, kóry wiele publikacji poświęcił gospodarce owarej. W niedawno wydanej monografii Turnovsky [29] przedsawia kilka wersji modelu małej gospodarki owarej, z konsumenami maksymalizującymi użyeczność srumienia konsumpcji w sposób Ramseyowski, przy czym zarówno sekor publiczny, jak i prywany mogą się zadłużać i inwesować za granicą. Modele wzrosu gospodarki owarej
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 63 są przedsawiane również w wielu innych publikacjach, z najwcześniejszych waro wymienić prace Nielsena i Sorensena [1991], Rebelo [1992], Razina i Yuena [1994], a z późniejszych Heijdra i Rompa [29] oraz Fishera [21]. W ej pracy przedsawiamy model prywanej gospodarki owarej (bez wyróżnionego sekora publicznego) będący pewną modyfikacją jednego z modeli Turnovsky ego [29]. Preferencje konsumenów definiujemy w nieco odmienny sposób, kóry przybliża model, w gruncie rzeczy Ramseyowski, do modeli zw. nakładających się pokoleń. Przyjmujemy eż nieco odmienny opis echnologii zagregowaną funkcję produkcji ypu AK. Modyfikacje e wpływają na wnioski jakościowe i ilościowe z modelu. 1. Podsawowe założenia Liczba ludności kraju rośnie wykładniczo, ze sałą (egzogeniczną) sopą wzrosu n: L = L e n, (1) Realną produkcję per capia opisuje funkcja produkcji Cobba-Douglasa z zw. zerowymi korzyściami skali: α β y ak ( el ), α + β =1, α, β >, a >, (2) gdzie k oznacza zasób kapiału na osobę, a l [,1] jes wskaźnikiem podaży pracy. Współczynnik e > odzwierciedla indywidualną (przecięną) wydajność pracy. Zakładamy, że jes ona proporcjonalna do ilości kapiału per capia: K e x xk, x = cons >. (3) L Mimo zaskakującej prosoy, założenie o ma solidne uzasadnienie w pracach empirycznych (zob. [Barro i Sala-i-Marin 1995]). Mnożąc (2) obusronnie przez L, dosajemy realną produkcję całej gospodarki: α β α β Y Ly a( Lk) ( ell) ak ( ell), (4) gdzie K oraz L oznaczają zagregowane zasoby kapiału produkcyjnego i pracy w kraju. Z maemaycznego punku widzenia funkcje produkcji (2) i (4) są idenyczne, zaem gospodarkę jako całość można analizować w aki sposób,
64 Michał Konopczyński jakby o była pojedyncza firma, kórej produkcja jes opisana funkcją (2). Uwzględniając (3) i (4), funkcję produkcji (2) można zapisać w posaci: β α β α β y ak ( el ) ak ( xkl ) Ak, (5) gdzie A axl ( ) cons. Popy na kapiał i pracę wynika z racjonalnych decyzji podejmowanych przez firmy sarające się maksymalizować zyski. Zakładamy, że na rynkach czynników produkcji panuje konkurencja doskonała, a zaem pojedyncza firma rakuje ceny jako wielkości narzucone przez rynek. Niech w K oznacza realną cenę wynajmu jednoski kapiału, a w realną sawkę płacy. W akim razie każda firma (oraz cała gospodarka) zarudnia pracowników i wynajmuje kapiał w aki sposób, że sawki płac są równe krańcowym produkywnościom ych czynników, czyli: y α 1 β αy MPK αak ( el ) αa wk, (6) k k y α β1 βy MPL βak ( el ) w. (7) l l Ludność czerpie zadowolenie z życia z dwóch źródeł: konsumpcji oraz czasu wolnego (czasu niepoświęconego na pracę), kóry uożsamiamy z liczbą 1 l. Poziom szczęścia reprezenaywnego gospodarswa domowego w danym momencie opisuje zw. funkcja chwilowej użyeczności (insananeous uiliy funcion): 1 θ u () c (1 l), <, θ >, (8) gdzie c oznacza konsumpcję per capia, a θ wyraża elasyczność subsyucji czasu wolnego przez konsumpcję. Ułamek /(1 ) jes równy międzyokresowej elasyczności subsyucji. Przyjęe założenia gwaranują wklęsłość funkcji u() względem c i 1 l. Poziom szczęścia wynikającego z obecnej i przyszłej konsumpcji oraz czasu wolnego opisuje nasępujący funkcjonał (zw. międzyokresowa funkcja użyeczności): ( ) 1 ρn θ () (1 ) ( ρn ) U u e d c l e d, ρ > n; (9)
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 65 ρ > oznacza subiekywną sopę dyskona (przyszłej konsumpcji). Wyjaśnienia wymaga nieypowa, rzadko spoykana w lieraurze, sopa efekywnego dyskona równa ρ n, kórą przyjęliśmy wzorem Acemoglu [28, s. 31]. Gospodarswa domowe czerpią użyeczność zarówno z własnej konsumpcji i czasu wolnego, jak i z konsumpcji i czasu wolnego swoich przyszłych członków (dzieci, wnuków id.), kórych liczba rośnie ze sopą n. Zaem im wyższą sopą wzrosu populacji n charakeryzuje się dany kraj, ym mniejsza jes efekywna sopa dyskona, bo liczebność dzieci, wnuków id., kóre będą konsumowały, jes większa. Mówiąc nieco bardziej inuicyjnie im więcej dzieci, ym bardziej cenimy sobie przyszłą konsumpcję. Założenie o przybliża nieco Ramseyowską eorię wzrosu do eorii oparej na modelu zw. nakładających się pokoleń. Zakładamy, że ρ > n. W przeciwnym razie całka wysępująca w (9) nie byłaby zbieżna i niemożliwe byłoby rozwiązanie jakiegokolwiek zadania maksymalizacji U. Proces akumulacji kapiału (per capia) jes opisany w sandardowy sposób: k i( nδ) k, (1) gdzie δ > oznacza empo deprecjacji kapiału. Inwesycje obarczone są zw. koszami dososowania (adjusmen cos) [Hayashi 1982]. Aby (w ujęciu per capia) zrealizować inwesycje neo równe i, rzeba ponieść odpowiednio większe nakłady równe i ϕ(, ik) i1 2 k, >. (11) Zakładamy doskonałą mobilność kapiału, co oznacza, że sekor prywany ma możliwość pożyczania oraz lokowania dowolnych kwo za granicą na sałą (a przynajmniej egzogenicznie daną) sopę procenową r. Sekor prywany czerpie dochody w formie wynagrodzenia pracy i kapiału oraz odseek od posiadanych akywów zagranicznych B (umownie zwanych obligacjami): czyli w przeliczeniu na osobę Y wllw K rb, (12) d d K y wl w k rb. (13) Dochody e służą konsumpcji i inwesycjom, a ewenualna nadwyżka jes lokowana w obligacjach zagranicznych. Nauralnie nadwyżka a również może K
66 Michał Konopczyński być ujemna, co oznacza konieczność redukcji salda obligacji zagranicznych (lub nawe zadłużenia się). Równanie budżeowe ma więc posać: B wllw K CΦ( I, K) rb, (14) K czyli w ujęciu per capia: i b wl wkkci1 ( rn) b 2 k. (15) Ze względu na (6) i (7) dochody z pracy i kapiału są łącznie równe produkcji. Zaem (15) można zapisać w posaci: i b yci1 ( rn) b 2 k. (16) Waro podkreślić, że równanie budżeowe (16) w pełni uświadamia sobie cenralny planisa, ale nie przecięny Kowalski. Dlaego podejmując decyzje, kóre za chwilę opiszemy za pomocą zadań serowania opymalnego, Kowalski posługuje się formułą (15), rakując przy ym sawki płac w i w K jako wielkości dane (egzogeniczne). Naomias cenralny planisa wie o gospodarce wszysko, dlaego posługuje się równaniem budżeowym (16). 2. Gospodarka zdecenralizowana (Kowalscy) Sekor prywany usala wielkość konsumpcji i inwesycji ak, aby osiągnąć jak najwyższy poziom użyeczności opisanej przez U. Ów problem decyzyjny wygodnie zapisać za pomocą zadania serowania opymalnego: 1 θ ( ρn) max c (1 l ) e d, i b (17) wl wkk c i1 ( r n) b, 2 k k i( nδ) k. Zmienne serujące: c, i. Zmienne sanu: b, k (i pośrednio y ). Wielkości rakowane jako egzogeniczne: w, w K. Dane są począkowe warości zmiennych sanu: b( = ) = b, k( = ) = k >. Zapiszmy hamilonian warości bieżącej:
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 1 (1 ) θ Hc c l i λ1wl wkkci1 ( rn) b λ2i( nδ) k. 2 k 67 (18) Jak widać, zmienna λ 1 jes ceną dualną bogacwa ulokowanego w obligacje zagraniczne b. Analogicznie, λ 2 jes ceną dualną kapiału k. Dla wygody będziemy używać również ilorazu ych cen: q = λ 2 /λ 1, kóry można inerpreować jako rynkową cenę kapiału w sosunku do rynkowej ceny obligacji zagranicznych. Rozwiązanie opymalne zadania (17) musi spełniać nasępujące warunki: c H c i H c. (19a). (19b) H λ c 1 λ1 ( ρn b ). (19c) H λ c 2 λ2 ( ρn k ). (19d) ( ρn) e 1 lim λ ( ) b( ). ( ρn) 2 lim e λ ( ) k( ). (19e) (19f) Warunek (19a) ma posać: 1 λ1 (1 l ) θ c, (2) co oznacza, że cena dualna bogacwa (w formie obligacji) musi być dla każdego równa marginalnej użyeczności konsumpcji. Różniczkując o równanie względem, po przekszałceniach orzymujemy: λ 1 c ( 1). (21) λ c 1
68 Michał Konopczyński Naomias (19c) można zapisać w posaci: λ 1 ρ r λ. (22) 1 Podsawiając (22) do (21), wyznaczamy sopę wzrosu konsumpcji, kórą dla wygody będziemy oznaczać symbolem ψ: c r ρ ψ. (23) c 1 Zauważmy, że rozwiązanie opymalne charakeryzuje się sałą sopą wzrosu konsumpcji, kóra zależy wyłącznie od paramerów opisujących preferencje konsumenów oraz od sopy procenowej r. Dokładniej mówiąc, sopa wzrosu konsumpcji jes proporcjonalna do różnicy między sopą oprocenowania obligacji zagranicznych oraz sopą dyskona ρ. Opymalna rajekoria konsumpcji ma posać: ψ c () c() e, (24) czyli konsumpcja całkowia w kraju kszałuje się zgodnie z równaniem Warunek (19b) można zapisać w posaci ( ψ n) C () C() e. (25) λ2 i q 1 λ k. (26) 1 Dzieląc (11) obusronnie przez k i uwzględniając (26), dosajemy sopę wzrosu kapiału, kórą dla wygody oznaczać będziemy symbolem ϕ: ˆ q 1 ϕ k ( n δ). (27) Waro podkreślić, że w odróżnieniu od empa wzrosu konsumpcji, sopa wzrosu kapiału nie jes wielkością sałą, gdyż jes powiązana z rajekorią q(). Zaem rajekorię kapiału można zapisać jedynie w bardzo ogólnej (całkowej) posaci: k () ke ϕ () s ds. (28)
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 69 Z ego wynika, że zasób kapiału w kraju kszałuje się zgodnie z równaniem: K () k () L () Ke ϕ () s ds n. (29) Aby wyznaczyć ścieżkę q(), od kórej zależy rajekoria kapiału, przyjrzyjmy się osaniemu z warunków koniecznych opymalności (19d). Uwzględniając (22) i (26), można go zapisać w posaci równania: 2 ( q 1) q ( rδ) qαa. (3) 2 Jes o nieliniowe (kwadraowe) równanie różniczkowe ze sałymi współczynnikami (auonomiczne). Rysunek 1 przedsawia diagram fazowy ego równania. q q 1 q 2 q Rysunek 1. Diagram fazowy równania (3) Zauważmy, że przedsawiona na wykresie parabola musi mieć co najmniej jedno (rzeczywise) miejsce zerowe w przeciwnym razie mielibyśmy qq, a więc q (), co ze względu na sens ekonomiczny zmiennej q jes niedopuszczalne. Zaem równanie 2 ( q 1) ( r δq ) αa (31) 2
7 Michał Konopczyński musi mieć przynajmniej jeden pierwiasek rzeczywisy, co zachodzi wedy i ylko wedy, gdy αa ( r δ) 1 ( r δ) 2. (32) Pierwiaski równania q, są dane wzorami: 2 2 q1 1 ( rδ) 2 ( rδαa) ( r δ), (33) 2 2 q2 1 ( rδ) 2 ( rδαa) ( r δ). (34) Ławo zauważyć, że: (a) Jeżeli r + δ = αa, o q 1 = 1, a q 2 = 1 + 2(r + δ). (b) Jeżeli r + δ > αa, o < q 1 < 1 < q 2. (c) Jeżeli r + δ < αa, o 1 < q 1 < q 2. Generalnie, w każdym przypadku q 2 > q 1 > oraz q 2 > 1. Oba punky sanowią sany sacjonarne, z ym że w punkcie q 1 san en jes niesabilny, a w punkcie q 2 jes lokalnie sabilny. W Aneksie pokazujemy, że warunek ranswersalności (19f) jes spełniony jedynie w punkcie q 1. Możemy zaem sformułować: Wniosek 1 Jedynym rozwiązaniem równania (3) spełniającym warunek ranswersalności (19f) jes q 1. Zaem rynkowa cena kapiału musi w każdej chwili znajdować się w niesabilnym punkcie q 1. W reakcji na jakikolwiek szok (zmianę warości egzogenicznych powodującą zmianę warości q 1 ) rynkowa cena kapiału musi naychmias skokowo się dososować proces dochodzenia do nowego sanu równowagi jes naychmiasowy. Zaem W konsekwencji kapiał per capia rośnie w empie q = q 1. (35) q 1 1 ϕ ( n δ ). (36) Dla danego zesawu paramerów i wielkości egzogenicznych, ϕ = cons. Trajekorię kapiału (28) można zaem zapisać prościej: k() = k e ϕ. (37)
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 71 Na koniec przyjrzyjmy się jeszcze drugiemu warunkowi ranswersalności (19e), kóry (jak ławo się domyślić) deerminuje począkową wielkość konsumpcji. Najpierw należy wyznaczyć rajekorię b(), rozwiązując równanie (16). Korzysając z (24), (26) i (37) można je zapisać w posaci: ϕ ψ b υk e c() e ( rn) b, (38) gdzie 2 q1 1 υ A. (39) 2 Rozwiązanie ogólne ego równania ma posać: ( rn) υk ϕ c() b () Se e e rnϕ rnψ ψ. (4) Znając począkowy zasób obligacji b( = ) = b, możemy wyznaczyć sałą S: υk c() S b rnϕ rnψ. (41) Wyznaczywszy rajekorię b(), możemy już przyjrzeć się dokładniej warunkowi ranswersalności (19e). Z (22) wynika, że ( ρ r) λ () λ () e. (42) 1 1 Uwzględniając en fak oraz (4) wraz z (41), warunek (19e) można zapisać w posaci: () lim υk ( n r ϕ) c() ( n r ψ) λ1 S e e, (43) rnϕ rnψ co zachodzi wedy i ylko wedy, gdy spełnione są rzy warunki: υk c() S b rnϕ rnψ, (44a) r n ϕ >, r n ψ >. (44b) (44c)
72 Michał Konopczyński Równość (44a) deerminuje począkową wielkość konsumpcji: () υk c b ( rnψ ). (45) r n ϕ Uwzględniając (33) i (36), można ławo wykazać, że warunek (44b) jes spełniony. Naomias (44c) można przekszałcić do równoważnej posaci: ρ > (r n) + n, (46) co oznacza, że aby orzymane rozwiązanie było opymalne (spełniało warunki ranswersalności) sopa dyskona musi być po prosu dosaecznie wysoka. W szczególnym przypadku, gdy n =, warunek en redukuje się do posaci: ρ > r. Korzysając z wyznaczonej począkowej wielkości konsumpcji (45), rajekorię b() można osaecznie zapisać w posaci: υk ψ υk b () b e e rnϕ rnϕ ϕ. (47) Z oczywisych względów konsumpcja w całym horyzoncie musi być dodania. Ponieważ sopa wzrosu konsumpcji jes przy przyjęych założeniach dodania, więc warunek en jes spełniony, jeżeli konsumpcja począkowa jes dodania. Zaem zachodzić musi warunek: υk b, (48) rnϕ co oznacza, że gospodarka nie może być nadmiernie zadłużona na począku horyzonu planowania. Równowaga w gospodarce zdecenralizowanej k () ke, ϕ q 1 i () k (), q 1 ϕ ( nδ ), 2 2 q1 ( rδ) 2 ( rδαa) ( rδ),
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 73 y () Ak (), Aa( xl ) cons, c () c e, ψ υk ψ υk ϕ b () b e e, rnϕ rnϕ β υk c b ( r n ψ), r n ϕ rρ q 1 ψ, υ A. 1 2 2 San począkowy: k, b. Zmienne decyzyjne (serowania): c(), i(). Zmienne sanu: k(), y(), b(). W sandardowych modelach gospodarki zamknięej produkcja ożsama z dochodem narodowym musi zawsze rosnąć w idenycznym empie jak konsumpcja. Tuaj naomias niekoniecznie. Są rzy możliwości. Do ich opisu przyda się sopa wzrosu salda obligacji zagranicznych, kórą ławo wyznaczyć z (47): υk b ψ ψϕ e rnϕ b ˆ( ) υk b 1e rnϕ ( ϕψ) ( ϕψ). (49) Zaem sopa wzrosu b() nie musi być sała w czasie. Wykorzysując regułę de l Hospiala, ławo wykazać, że: jeżeli ψ = ϕ, o b ˆ( ) = ψ, jeżeli ψ > ϕ, o b ˆ( ) ψ, jeżeli ψ < ϕ, o b ˆ( ) ϕ. W modelu mamy zaem rzy możliwości: 1. Jeśli ψ = ϕ, o konsumpcja i produkcja (dochód narodowy) rosną w idenycznym empie. Również zasób obligacji zagranicznych rośnie z ą samą sopą ψ = ϕ. 2. Jeśli ψ > ϕ, o konsumpcja rośnie szybciej niż zasób kapiału i produkcja. Urzymanie wysokiego empa wzrosu konsumpcji jes możliwe dzięki dochodom z obligacji zagranicznych, kórych saldo musi (w granicy) rosnąć w empie równym sopie wzrosu konsumpcji. Oczywiście biorąc pod uwagę relaywnie niskie empo akumulacji kapiału, zbilansowanie srumienia dochodów ze srumieniem wydaków wymaga relaywnie niskiej konsumpcji w począkowej fazie (c() musi być sosunkowo niska). I rzeczywiście ławo wykazać, że
74 Michał Konopczyński 1 2 2 ψ > ϕ ρ r (1 ) δ 2 ( r δ αa) ( r δ). (5) Zaem en przypadek wysępuje wedy, gdy konsumenci są wysarczająco cierpliwi (współczynnik dyskona jes dosaecznie niski). Konsumenci akcepują wówczas niską konsumpcję w począkowej fazie, rok po roku nadwyżki dochodu nad wydakami inwesują w obligacje zagraniczne, i dzięki emu mogą sobie pozwolić na empo wzrosu konsumpcji wyższe niż empo wzrosu gospodarczego. W granicy (dla ) dochód z produkcji krajowej raci właściwie znaczenie konsumpcja jes finansowana z odseek od obligacji zagranicznych, kórych zasób rośnie w nieskończoność. 3. Jeśli ψ < ϕ, o konsumpcja rośnie wolniej niż zasób kapiału i produkcja. Wówczas (w granicy) saldo obligacji zagranicznych rośnie w empie odpowiadającym sopie wzrosu produkcji. Zbilansowanie srumienia dochodów ze srumieniem wydaków pozwala na relaywnie wysoką konsumpcję w począkowej fazie (c() musi być sosunkowo wysoka). I rzeczywiście 1 2 2 ψ < ϕ ρ r (1 ) δ 2 ( r δ αa) ( r δ). (51) Zaem en przypadek wysępuje wedy, gdy konsumenci są niecierpliwi (współczynnik dyskona jes relaywnie wysoki). Konsumpcja jes wysoka w począkowej fazie, co wymaga ujemnych inwesycji w obligacje zagraniczne (czyli zadłużania się). Rok po roku nadwyżki wydaków konsumpcyjnych nad dochodami są pokrywane pożyczkami zagranicznymi i w rezulacie saldo obligacji b(), co widać wpros ze wzoru (47). Nie oznacza o jednak, że zadłużenie w sosunku do PKB rośnie w nieskończoność (byłoby o sprzeczne z warunkami ranswersalności). Konsumpcja rośnie bowiem w empie wolniejszym niż produkcja, a w granicy (dla ) ujemne saldo obligacji (czyli zadłużenie) rośnie w ym samym empie co produkcja. Zaem sosunek zadłużenia do produkcji sabilizuje się na pewnym skończonym poziomie. Korzysając z (27) i (47), orzymujemy: b () b ( ψϕ) υ ( ψϕ) e e 1, (52) y () y Ar ( nϕ)
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 75 skąd wynika, że: b () b jeżeli ψ = ϕ, o lim, (53a) y () y jeżeli ψ > ϕ, o jeżeli ψ < ϕ, o b () lim, y () (53b) lim b () υ y () Ar ( n ϕ, (53c) ) Dwa osanie przypadki pokazują, jak bardzo modele małej gospodarki owarej różnią się od sandardowych modeli gospodarki zamknięej, w kórych możliwości konsumpcji są zdeerminowane przez akumulację kapiału i produkcję krajową, a wszyskie zmienne realne w ym produkcja, kapiał, inwesycje, konsumpcja muszą (przynajmniej w granicy) rosnąć w idenycznym empie. W małej gospodarce owarej empo wzrosu konsumpcji może być permanennie (w nieskończoność) różne od empa wzrosu produkcji. Nauralnie jes o rezula założenia o możliwości inwesowania i pożyczania dowolnie dużych kwo na sały procen r. Dobroby (gospodarka zdecenralizowana) Uwzględniwszy wyznaczoną rajekorię konsumpcji, dobroby mierzony warością funkcjonału celu (9) można zapisać w posaci: 1 Ω (1 l) θ c ( rnψ) e d. (54) Ze względu na warunki ranswersalności, a w szczególności (44c), całka we wzorze (54) jes zbieżna. Zaem dobroby w gospodarce zdecenralizowanej wyraża się wzorem: θ (1 l ) c Ω. (55) r ( nψ) Wzór en wydaje się prosy, lecz jes o iluzja. Po podsawieniu wszyskich wyznaczonych zależności orzymujemy pełną posać parameryczną 1 : 1 Wzór jes w posaci paramerycznej, jeżeli wysępują w nim wyłącznie paramery modelu.
76 Michał Konopczyński 2 q 1 A k θ (1 l ) 2 rρ Ω b 1 rn q 1 rδ 2 2 1, (56) gdzie q 1 r ( δ) 2 r ( δαa) ( rδ ). Zaem poziom dobrobyu w równowadze zależy od wszyskich (bez wyjąku!) paramerów gospodarki, a akże od począkowych zasobów kapiału i obligacji zagranicznych. 3. Gospodarka cenralnie planowana Cenralny planisa różni się od Kowalskiego ym, że nie rakuje sawek płac jako wielkości narzucane przez rynek. On wie o ym, że czynniki produkcji są wynagradzane w aki sposób, że dochody z pracy i kapiału są łącznie równe produkcji. Dlaego w zadaniu serowania opymalnego posługuje się ograniczeniem budżeowym (16), a nie (15). Ponado cenralny planisa ma świadomość, że inwesycje w kapiał rzeczowy wywierają pozyywny wpływ na wydajność pracy (pozyywne efeky zewnęrzne), zgodnie z (4). Dlaego krańcowy produk kapiału jes z jego punku widzenia opisany wzorem (8) i równy A. Problem decyzyjny cenralnego planisy zapiszemy za pomocą zadania serowania opymalnego: 1 θ ( ρn) max c (1 l ) e d, i b Ak c i 1 ( r n) b, 2 k k i( nδ) k. (57) Zmienne serujące: c, i. Zmienne sanu: b, k (i pośrednio y ). Wielkości rakowane jako egzogeniczne: brak. Dane są począkowe warości zmiennych sanu: b( = ) = b, k( = ) = k >. Zapiszmy hamilonian warości bieżącej:
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 77 Hc 1 (1 ) θ i c l λ1akci 1 ( ) 2 ( ). 2 k r n b λ i n δ k (58) Rozwiązanie opymalne zadania (57) musi spełniać nasępujące warunki: H c. c (59a) H c. i (59b) H λ c 1 λ1 ( ρn b ). (59c) H λ c 2 λ2 ( ρn k ). (59d) ( ρ n) e 1 ( ρ n) e 2 lim λ ( ) b( ). (59e) lim λ ( ) k( ). (59f) Ławo sprawdzić, że rzy pierwsze warunki (59a-c) prowadzą do idenycznych wniosków jak w gospodarce zdecenralizowanej, dzięki czemu wzory (2) (29) mają zasosowanie również dla gospodarki cenralnie planowanej. Naomias równanie (3) przyjmie posać: 2 ( q 1) q ( rδ) qa, (6) 2 kóra różni się od (3) jedynie warością krańcowej produkywności kapiału. Analiza ego równania jes bardzo podobna do ej, kórą przedsawiliśmy w odniesieniu do gospodarki zdecenralizowanej. Wszyskie wzory i wnioski pozosają w mocy, z ym że we wzorach od (3) aż do (5) αa należy zasąpić przez A. Z ego względu warunek (32) przyjmie eraz silniejszą posać: A( rδ) 1 ( rδ ). (61) 2 Możemy zaem od razu przedsawić zwięzły opis sanu równowagi w gospodarce cenralnie planowanej.
78 Michał Konopczyński Równowaga w gospodarce cenralnie planowanej (oznaczamy ją symbolem *) ϕ * q * 1 k() ke, ϕ * ( n δ), q * 1 q* 1 ( r δ) i () k (), 2 2 2 r ( δa) ( rδ), y () Ak (), Aaxl ( ) cons, ψ* υ* k c () c* e, c* b ( rnψ*), rnϕ* υ* k b () b rn ϕ* ψ* υ* k ϕ * e e, rnϕ* 2 r ρ q * 1 ψ*, υ* A. 1 2 San począkowy: k, b. Zmienne decyzyjne (serowania): c(), i(). Zmienne sanu: k(), y(), b(). Opisane na sr. 12 13 rzy przypadki wysępują również w gospodarce cenralnie planowanej i ich inerpreacja jes idenyczna. β Dobroby (gospodarka cenralnie planowana) Wzór (55) nie ulega żadnym zmianom, czyli dla gospodarki cenralnie planowanej: θ (1 l ) ( c*) Ω*, (62) r ( nψ*) Po podsawieniu wyznaczonych zależności orzymujemy pełną posać parameryczną: 2 q * 1 A k θ (1 l ) 2 rρ Ω* b rn q * 1 1 rδ 1, (63)
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 79 2 2 gdzie q* 1 ( rδ) 2 ( rδa) ( r δ). Poziom dobrobyu w równowadze zależy od wszyskich (bez wyjąku!) paramerów gospodarki, a akże od począkowych zasobów kapiału i obligacji zagranicznych. 4. Podsumowanie porównanie gospodarki cenralnie planowanej ze zdecenralizowaną Ławo wykazać, że q* > q >, z czego wynika, że υ* < υ oraz ϕ* > ϕ. Zaem cenralny planisa akumulowałby kapiał w szybszym empie niż gospodarka Kowalskich, dzięki czemu sopa wzrosu gospodarczego byłaby permanennie wyższa niż w gospodarce rynkowej. Wynika o z obecności pozyywnych efeków zewnęrznych związanych z inwesowaniem w kapiał, kórych nie uwzględniają (nie uświadamiają sobie) poszczególne podmioy w gospodarce zdecenralizowanej. Mianowicie pojedyncza firma, decydując o inwesycjach, rakuje wydajność pracy e jako wielkość daną (na kórą indywidualnie nie ma wpływu), a więc zw. prywany krańcowy produk kapiału jes, zgodnie ze wzorem (6), równy αa. Tymczasem inwesowanie w kapiał podnosi wydajność pracy e, zgodnie ze wzorem (3), skąd wynika, że rzeczywisy (zw. społeczny) krańcowy produk kapiału jes znacznie wyższy i wynosi A. Dlaego gospodarka zdecenralizowana inwesuje zby mało. Co ciekawe, w obu gospodarkach empo wzrosu konsumpcji jes akie samo (zależy wyłącznie od paramerów funkcji użyeczności oraz od sopy procenowej r): r ρ ψ* ψ, (64) 1 lecz począkowy poziom konsumpcji nie jes aki sam. W gospodarce cenralnie serowanej jes on niższy niż w rynkowej (c* < c ), gdyż począkowo większa część dochodu narodowego jes przeznaczana na inwesycje w kapiał. Ω* c* Z drugiej srony, ze wzorów opisujących dobroby wynika, że. Ω c Wiemy, że c* < c, a jednocześnie <. Zaem, jak można się było spodziewać, Ω* > Ω. (65) Uwzględnienie w zadaniu opymalizacyjnym całej wiedzy o funkcjonowaniu gospodarki pozwala osiągnąć wyższy poziom dobrobyu.
8 Michał Konopczyński Oczywiście w rzeczywisości nie isnieje żaden podmio, kóry miałby nie ylko kompleną wiedzę o funkcjonowaniu gospodarki, ale jeszcze możliwość serowania posępowaniem wszyskich firm i konsumenów (narzucania im swej woli). W gospodarce rynkowej każdy podmio jak wiadomo od czasów Adama Smiha kieruje się swym własnym, indywidualnym ineresem. Niemniej jednak isnieje sposób, aby niczego nie narzucając poszczególnym podmioom, gospodarkę zdecenralizowaną doprowadzić do akiej równowagi, jak gdyby była ona cenralnie serowana. Wysarczy zasosować akie narzędzia, aby decyzje podejmowane przez firmy uwzględniały pozyywne efeky zewnęrzne akumulacji kapiału. W lieraurze określa się o mianem zw. inernalizacji (inernalizaion) efeków zewnęrznych. Na przykład do przedsawionego modelu można wprowadzić rząd, kóry w odpowiedniej wysokości subsydiuje kapiał. ANEKS Dowód, że warunek ranswersalności (19f) jes spełniony jedynie w punkcie q 1. Z (22) wynika, że ( ρn) e 2 lim λ ( ) k( ). (19f) Z (27) oraz (28) wynika, że k () ( ρ r) λ () q() λ () e. (a.1) 2 1 qs () 1 qs () 1 n δds ke ds ( ) ke e n δ. (a.2) Zaem warunek (19f) można zapisać w posaci: qs ()1 ds ( rδ) () lim ( ) λ1 k q e e, (a.3)
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 81 Punk sały q 1 jes niesabilny, dlaego jak zauważyliśmy we Wniosku 1 wykluczona jes u jakakolwiek dynamika przejścia. Jeśli gospodarka ma osiągnąć en punk, o musi w nim być od samego począku, czyli musi zachodzić: q () q cons, (a.4) 1 1 gdzie q 1 jes dane wzorem (33). Zaem w ym wypadku zachodzi: qs () 1 q 1 1 2( r δ αa) 2 ds r δ ( r δ) rδ.... Z ego wynika, że warunek (a.3) jes spełniony, zachodzi bowiem (a.5) q11 ds ( rδ ) λ1() klim q1e e ( r δ ) r δ... λ1() kq1lim e e... λ1() kq1lim e. (a.6) Teraz zajmijmy się punkem q 2. Jes o sabilny san równowagi, zaem do punku q 2 danego wzorem (34) dochodzimy po określonej ścieżce (rajekorii) posaci: 2 2 2 2 μ q () q q () q e, (a.7) gdzie sopa wzrosu μ < odpowiada ujemnej warości własnej odpowiedniej macierzy. Zaem q2() s 1 q21 q2() q2 μs ds e ds q21 q2() q2 μ e 1, μ co, wykorzysując wzór (34), można zapisać w posaci: (a.8) q2() s 1 1 q 2() q ( )... 2 μ ds r δ e 1. (a.9) μ
82 Michał Konopczyński Po lewej sronie (a.3) mamy zaem: q2 ()1 s ds ( rδ) λ1() k lim q2( ) e e 1 q 2() q ( ) ( )... 2 μ r δ r δ e 1 μ λ1() klim q2( ) e 1 q2() q... 2 μ e 1 μ μ λ1() klim q2 q2() q2e e 1 q2() q... 2 μ e 1 μ λ1() k lim q2e 1 q2() q... 2 μ μ e 1 μ lim q2() q2 e. (a.1) W powyższym wzorze wysępuje suma dwóch granic. Pierwsza z nich jes 1 1 równa +, a druga jes równa (gdy μ... ) lub + (gdy μ... ). Z ego wynika, że lewa srona równania (a.3) jes równa +, a więc w punkcie q 2 warunek ranswersalności (19f) nie jes spełniony. Bibliografia Acemoglu, D., 28, Inroducion o Modern Economic Growh, Princeon Universiy Press. Barro, R., Sala-i-Marin, X., 1995, Economic Growh, 2nd ed., MIT Press, Cambridge. Fisher, W.H., 21, Relaive Wealh, Growh, and Transiional Dynamics: The Small Open Economy Case, Macroeconomic Dynamics, vol. 14, s. 224 242. Hayashi, F., 1982, Tobin s Marginal q and Average q: A Neoclassical Inerpreaion, Economerica, vol. 5, no. 1, s. 213 224. Heijdra, B.J., Romp, W.E., 29, Human Capial Formaion and Macroeconomic Performance in an Ageing Small Open Economy, Journal of Economic Dynamics and Conrol, vol. 33(3), s. 725 744.
Subopymalna równowaga rynkowa w małej gospodarce owarej 83 Nielsen, S.B., Sorensen, P.B., 1991, Capial Income Taxaion in a Growing Open Economy, European Economic Review, vol. 35, iss. 1, s. 179 197. Rebelo, S., 1992, Growh in Open Economies, Carnegie-Rocheser Conference Series on Public Policy, Elsevier, vol. 36(1), s. 5 46. Romer, P.M., 1986, Increasing Reurns and Long-run Growh, Journal of Poliical Economy, vol. 94, s. 12 137. Turnovsky, S.J., 29, Capial Accumulaion and Economic Growh in a Small Open Economy, Cambridge Universiy Press.