RACHUNEK BŁĘDÓW. WSTĘ Fizyk d oiektywe włściwości otczjącego s świt mterilego. Uogóliie dych doświdczlych pozwl ormułowie prw izyczych, które wyrżją oiektywy związek między zjwiskmi, orz określją rzeczywiście istiejące zleżości między wielkościmi izyczymi. Treść prw izyczych wyrż się ogół w ormie mtemtyczej jko ukcję określoą wrtościch liczowych,,... dych wielkości izyczych X, X,....Widć stąd jso, że rdzo wżą sprwą dl ustlei prw izyczych jest pomir tych wielkości. Mierząc jkąś wielkość izyczą porówujemy ją w określoy sposó z ią wielkością tego smego rodzju przyjętą z jedostkę. N przykłd pomir długości jkiegoś cił przeprowdzmy przykłdjąc doń kolejo ie ciło, którego długość orliśmy z jedostkę. Z wykoywiem pomirów spotykmy się rdzo często w życiu codzieym; p. kupując jkiś towr wymgjący wżei, mierząc temperturę ludzkiego cił lu odczytując czs trczy zegrk. omiry te igdy ie są dokłde. Spowodowe jest to iedoskołością szych zmysłów lu iedoskołością użytych przyrządów pomirowych. W przykłdch podych powyżej łtwo domyślimy się, że wystrczjącą dokłdością ędzie g przy wżeiu, 0, C przy pomirze tempertury czy s w przypdku odczytu czsu zegrku. rzy pomirze wielkości izyczych w lortorium ie wystrcz m ituicyj oce iedokłdości. Wrtość tych łędów może mieć zsdicze zczeie dl ocey prwdziwości jkiegoś prw izyczego. Wyikiem jkiegokolwiek pomiru ie ędzie więc sm wrtość mierzoej wielkości le rówież wrtość łędu popełiego podczs pomirów. ozie wrtości wielkości izyczej może odywć się drodze pomiru ezpośrediego lu pośrediego. W pomirch ezpośredich dyspoujemy przyrządem mierzącym iteresującą s wielkość. W pomirch pośredich d wielkość jest ukcją wielu zmieych mierzoych ezpośredio: F,, K, (. ( Jeżeli zmy tę ukcję, wówczs mierząc ezpośredio,,...,, możemy po wykoiu odpowiedich dziłń mtemtyczych wyliczyć F. W tym przypdku jedk o ile sm pomir i oliczeie tej wielkości ie sprwi m specjlych kłopotów, to oce
łędu popełioego przy tkim pomirze wymg zstosowi odpowiedich metod oliczeiowych.. ANALIZA BŁĘDÓW.. Błąd ezwzględy Jk wspomieliśmy we wstępie wykoywe przez s pomiry są orczoe łędmi wyikjącymi z iedoskołości przyrządów pomirowych i szych zmysłów, czyli kżdy pomir może yć wykoy tylko z pewą dokłdością. Otrzyme przez s wyiki pomirów ie dją m prwdziwych wrtości mierzoej wielkości lecz tylko przyliżoą. Te przyliżoe wrtości różią się od rzeczywistych o pewą wielkość, którą zywmy łędem ezwzględym i ozczmy literą ; X A (. X - rzeczywist wrtość mierzoej wielkości A - wrtość przyliżo otrzym z pomiru Tk więc łędem ezwzględym jkiegoś pomiru zywmy różicę między rzeczywistą wrtością mierzoej wielkości, wrtością przyliżoą otrzymą drodze pomirowej. Rówie (. pozwl m zdeiiowie łędu ezwzględego ie jest jedk przydte w prktyce. Celem zdi pomirowego jest jk jdokłdiejsze pozie wrtości rzeczywistej X. Rówie po przeksztłceiu m postć: X A (. oiewż wyik pomiru skutek wystąpiei iedokłdości pomirowych może yć zwyżoy lo ziżoy, wprowdzmy symol ±. Rówie (.3 zpisujemy: X A ± (.3 Wrtość łędu ezwzględego ędziemy określć różymi metodmi. W pomirch ezpośredich przyjmujemy z oowiązujące de pode przez producet przyrządu pomirowego. Kiedy ie mmy do ich dostępu musimy przyjąć jedostkę jmiejszego rzędu wskzywego przez przyrząd, w wypdku przyrządów ze wskźikmi wychyłowymi, dwukrotą wrtość podziłki. Oprócz przyrządu, wrtość łędu ezwzględego wielkości mierzoej ezpośredio wpływ też metod pomiru. Njprostszym przykłdem tkiego wpływu jest pomir liijką. Odczyty z liijki możemy wykoywć z dokłdością do mm. Mogliyśmy więc przyjąć wrtość łędu mierzoej wielkości l jko l mm. Jedk gdy przelizujemy metodę pomiru liijką, możemy dostrzec, że z kżdym rzem odczytujemy
podziłkę dwukrotie: ustwijąc liijkę tk, y zerow podziłk pokrywł się z początkiem mierzoego odcik orz odczytując wrtość długości odcik. Dltego, więc przyjmujemy l mm. rolem te ie występuje przy pomirch suwmirką pozycj zerow ustwio jest ryczie i pomir p. średicy wymg pojedyczego odczytu z oiusz. Błąd ezwzględy jest wielkością miową. Musimy pmiętć zwsze o tym, y ył o podwy w jedostkch tkich smych jk wielkość mierzo. Jeżeli p. długość podjemy w metrch to wrtość łędu podjemy rówież w metrch ie w milimetrch. odczs oliczeń stosujemy rówież ie iż wielkości przyliżoe. Nleżą do ich: - stłe mtemtycze : π, e, wrtości logrytmów, ukcje trygoometrycze - stłe izycze : stł lck, prędkość świtł w próżi itp., których łąd ezwzględy możemy przyjąć dowolie młym i dltego te wielkości uwżmy z ie orczoe łędmi. Metody pozwljące oliczeie łędu ezwzględego wielkości mierzoych pośredio omówioo w dlszej części tekstu... Błąd względy W prktyce doświdczlej chodzi m często o to, w jkim stopiu łąd popełiy przy pomirze może wpłyąć wyik pomiru. Błąd ezwzględy ie dje m odpowiedzi to pytie. Np. jeżeli łąd ezwzględy przy pomirze jkiejś odległości jest rówy 0,0 m, odległość jest rzędu kilkuset metrów to wrtość tego łędu odgryw rdzo młą rolę, le jeżeli tki sm łąd popełimy przy pomirze wymirów pudełk zpłek to rol tego łędu jest rdzo istot w tych pomirch. Ay moż yło określić wpływ wielkości łędu ezwzględego wykoy pomir stosujemy tk zwy łąd względy, który ozczmy literą δ i deiiujemy stępująco: Błąd względy dej wielkości jest to stosuek łędu ezwzględego do rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości, czyli: δ (.4 oiewż zrówo jk i są wielkościmi tk smo miowymi, łąd względy jest wielkością iemiową. Brdzo często łąd względy podjemy jedk ie w postci ułmk, lecz wyrżmy w procetch czyli zpisujemy stępująco: δ 00% (.5
W zleżości od typu pomirów, metody pomirowej, klsy lortorium, wrtości łędu względego mogą przyjmowć róże wrtości. Metody pomirowe stosowe w rcowi Fizyki doiere są ze względu ich dydktyczy chrkter. riorytetem ie jest dokłdość uzyskych wyików. Dltego też wrtości łędów względych uzyskych w trkcie ćwiczeń ędą stosukowo duże. Nie powiy jedk przekrczć poziomu 0%..3. rzyczyy powstwi łędów pomirowych Ze względu przyczyy powstwi łędów pomirowych dzielimy je trzy grupy:. Błędy systemtycze. Błędy grue 3. Błędy losowe Do łędów systemtyczych zliczmy łędy, które są wyikiem iedokłdości przyrządów, złej metody pomirowej, wpływu czyików zewętrzych itp. p. źle wyko mirk w której odległości między dziłkmi są z duże lu z młe w stosuku do wzorc; ustwieie wgi w poliżu źródł ciepł co może powodowć iejedkową rozszerzlość rmio wgi czy tk zwy łąd prlksy. Chrkterystycze dl łędów systemtyczych jest to, że wprowdzjąc tzw. poprwkę możemy ziwelowć ich wpływ wyiki pomirów. Wrukiem jest zjomość wrtości orz zku łędu systemtyczego. Jeżeli p. po wykoiu pomirów zuwżymy, że wychyłowy wskźik woltomierz przy pięciu 0 V pokzuje 0, V, możemy wprowdzić poprwkę. Skoro wszystkie wyiki pomirów yły zwyżoe o 0, V leży od ich odjąć tę wrtość. Musimy yć oczywiście pewi, że łąd te dotyczył prwdę wszystkich pomirów które ędziemy korygowli poprwką. Błędy grue są to łędy, których wystąpieie powoduje, że wrtość odczyt jest rdzo róż od rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości. Spowodowe są uszkodzeiem sprzętu, łędmi ludzkimi lu iespodziewymi, silymi wpływmi środowisk zewętrzego. Ay ustrzec się łędów gruych, leży posługiwć się sprwdzoymi urządzeimi. omiry leży powtrzć kilkukrotie jeśli to możliwe, odczyty powiy yć weryikowe przez drugą osoę. Wyik orczoy łędem gruym ie dje się do dlszej lizy. omiry leży powtórzyć po wyelimiowiu przyczyy łędu. Błędy losowe, spowodowe są wielom różymi przyczymi, ogół iezymi i iemożliwymi do uikięci. Nieokreśloe wpływy otoczei, zkłócei prcy ukłdów elektroiczych urządzeń pomirowych itp. powodują, że wielokroty pomir tej smej
wielkości w tych smych wrukch dje róże wyiki iezczie różiące się od sieie. Sttystyczy chrkter rozkłdu tych wrtości, pozwl stosowie metod mtemtyczych pozwljących zmiimlizowie wpływu tego łędu wyik pomiru. 3. ROZKŁAD NORMALNY BŁĘDÓW LOSOWYCH Z lizy łędów losowych wyik, że ich występowie ie jest zjwiskiem chotyczym lecz podleg określoym prwidłowościom. Wykoując kilkkrotie pomir tej smej wielkości izyczej X otrzymujemy z kżdym rzem róże wrtości A, A,.. itd. Różice między rzeczywistą wrtością mierzoej wielkości X otrzymymi przez s wrtościmi drodze pomirowej zywmy według podej wcześiej deiicji łędmi ezwzględymi i ozczmy je,,... itd. rzedstwijąc te łędy wykresie w ukłdzie współrzędych, w którym osi odciętych odłożymy wrtości łędów, osi rzędych częstości ich występowi, otrzymmy krzywą zywą krzywą łędów lu krzywą Guss przedstwijącą tzw. rozkłd ormly ostć litycz ukcji opisującej te rozkłd przedstwi się stępująco y( k e π k ( (3. gdzie k jest współczyikiem określjącym dokłdość pomirów. rwdopodoieństwo, że podczs pomirów występują łędy z przedziłu (, jest rówe : [ (, ] y( d( (3. Tk zdeiiowe wrtości łędów są wielkościmi dokłdymi le iezymi, poiewż ie zmy rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości X. Aliz krzywej Guss
pozwl sormułowie tezy, któr w teorii łędów osi zwę postultu o średiej rytmetyczej i rzmi stępująco : Njrdziej zliżoą do rzeczywistej wrtości wielkości X jest średi rytmetycz wszystkich pomirów, czyli X śr A A K A (3.3 Ozczjąc różicę między średią rytmetyczą pomirów X śr, poszczególymi pomirmi A i przez i otrzymujemy przyliżoe wrtości łędów ezwzględych, których rozkłd opisuje t sm ukcj, le o iym współczyiku określjącym dokłdość K K y( e (3.4 π Związek między K i k jest stępujący: K k (3.5 Z osttiej rówości wyik, że K jest większe od k, czyli przyjmując średią rytmetyczą jko dokłdą wrtość mierzoej wielkości przeceimy dokłdość pomiru w stosuku do rzeczywistości. Ay zmiimlizowć wpływ średiej rytmetyczej dokłdość powiiśmy wykoć co jmiej 0 pomirów. Wtedy różic między k i K jest rów około 5%. Dl 00 pomirów ędziemy mieli różicę wyoszącą 0,5%. Tk więc widć, że przy dużej liczie pomirów średi rytmetycz jest rdzo lisk rzeczywistej wrtości mierzoej wielkości. Ay powiązć współczyik dokłdości k z wrtością łędów i wprowdzmy tk zwe wskźiki dokłdości : 3.. Błąd średi kwdrtowy ( i ( ( K ( i σ (3.6 k k Wskźik te zywmy rówież odchyleiem stdrdowym lu dyspersją, jest o mirą rozieżości łędu, wokół jego wrtości oczekiwej µ, którą oliczmy ze wzoru ierówość µ y( d (3.7 rzedził o szerokości 0, dl którego z prwdopodoieństwem p jest spełio
µ (3.8 i 0 i 0 zywmy przedziłem uości, zde prwdopodoieństwo p poziomem uości. Ozcz to, że jeżeli wykomy pomirów z jedkową dokłdością to możemy uwżć, że p przedziłów o szerokości 0 ędzie zwierć wrtość oczekiwą µ. Jeżeli weźmiemy zmist i odchyleie od średiej rytmetyczej i, to i σ i (3.9 K 3.. Błąd prwdopodoy Błąd prwdopodoy r jest określoy stępująco: rwdopodoieństwo wystąpiei łędów miejszych od r jest rówe prwdopodoieństwu pojwiei się łędów większych od r, czyli Z tej deiicji wyik, że r y( d( y( d( (3.0 0 r ( i r 0,674 σ 0,674 i (3. lu w przypdku zstąpiei i przez i otrzymmy r 0,674 i i (3. 3.3. Błąd przecięty K 0 (3.3 Z lizy krzywej Guss wyik, że ( i i 0 0,8 σ 0,8 (3.4 lu dl odchylei od średiej rytmetyczej i otrzymmy
0 0,8 i i (3.5 Jeżeli przedstwimy wrtości tych łędów wykresie krzywej Guss to ędą oe przedstwiły się stępująco: σ - wrtość rów odciętej puktu przegięci krzywej Guss r - wrtość odciętej puktu dzielącego krzywą dwie części pod którymi pol są soie rówe o - wrtość odciętej środk ciężkości igury ogriczoej osią y, osią orz krzywej Guss po prwej stroie osi y. Tk zdeiiowe odchyleie stdrdowe i wyikjące stąd określei łędów prwdopodoych i przeciętych chrkteryzują średią iepewość kżdego z wyików,,.... Jeżeli postrmy się wyliczyć odchyleie stdrdowe dl średiej wrtości oliczoej z pomirów, to okże się, że jest oo rówe odchyleiu stdrdowemu pojedyczego pomiru, czyli σ podzieloemu przez. Ozczjąc je σ śr możemy pisć σ σ śr (3.6 Dowód tej osttiej rówości przeprowdzimy w stępej części szych rozwżń. Dl tk określoego odchylei stdrdowego czyli iczej mówiąc średiego łędu kwdrtowego średiej możemy pisć zleżości dl łędów określoych powyżej
r śr - łąd prwdopodoy średiej 0 - łąd przecięty średiej śr i σ i σ śr (3.7 ( i r i rśr 0,674 (3.8 ( i 0 i 0śr 0,8 (3.9 ( Rozwżi powyższe dotyczyły serii pomirowych złożoych z dużej ilości pomirów, do których moż stosowć rozkłd ormly, le rdzo często w prktyce mmy do czyiei z iewielką ilością wyików pomirowych i w tym przypdku zlec się stosowć tk zwy rozkłd t-studet t dl określoego poziomu uości odczytujemy z tlic, k zywmy liczą stopi swoody t k S( t, k Ck ( (3.0 k C k zleży wyłączie od k i jest wyrżoe przez ilorz ukcji Γ Euler. 4. WYZNACZANIE WIELKOŚCI BŁĘDÓW WYNIKÓW ZŁOŻONYCH Wszystkie dotychczsowe rozwżi dotyczą pomirów ezpośredich, czyli pomirów pojedyczych wielkości jk: długość, tempertur, ms itp. odczs wykoywi dń mmy jedk do czyiei z przypdkmi rdziej złożoymi, to zczy wyzczoe przez s wielkości są ukcjmi jedej lu wielu zmieych. W tkim przypdku musimy umieć odpowiedzieć pytie, jkim łędem jest orczo wyzcz przez s wielkość izycz, jeżeli wykorzystywe do jej wyliczei pomiry są wykoe z odpowiedio zymi łędmi.
4.. Metod różiczki zupełej Rozpocziemy lizę tego zgdiei od jprostszego przypdku, w którym wyik doświdczei zleży tylko od jedej zmieej zmierzoej z łędem ezwzględym. Niech szuk wielkość ędzie opis ukcją jedej zmieej (. Wówczs ( ( (4. ędzie łędem ezwzględym jki popełimy przy wyzczeiu (. Rozwińmy tę ukcję w szereg Tylor` 3 3 d ( d ( ( d ( ( ( ( K (4. d! 3 d d 3! rzyjmując, że << możemy wszystkie skłdiki sumy w której występują w wyższej potędze iż pierwsz odrzucić i wówczs otrzymmy, że : d ( ( ( (4.3 d stąd d ( ( ( (4.4 d czyli d ( ( (4.5 d rzykłdem wielkości, któr jest opis ukcją jedej zmieej może yć powierzchi kwdrtu: Jeżeli długość oku kwdrtu zostł zmierzo z łędem, to podstwie powyższych rozwżń łąd ezwzględy wyzczei powierzchi tego kwdrtu jest rówy d d Częściej mmy jedk do czyiei z przypdkmi, w których wyzcz wielkość zleży od wielu zmieych. Fukcj m postć: (,, K, Wówczs postępujemy logiczie jk w przypdku jedej zmieej, czyli rozwijmy ukcję wielu zmieych w szereg Tylor`
K K K K K!! (! (,,, (,,, ( (4.6 rzy złożeiu, że i << i dl i,,... możemy wszystkie człoy z wyższymi potęgmi i pomiąć i po odpowiedim przeksztłceiu otrzymmy stępujący wzór określeie łędu ezwzględego K,...,, ( (4.7 Rozptrzmy dl przykłdu ukcję dwóch zmieych wyrżjącą pole prostokąt Jeżeli i wyzczmy odpowiedio z łędmi i to łąd ezwzględy możemy wyliczyć podstwie wzoru czyli Możemy zuwżyć, że poszczególe skłdiki powyższej sumy to wielokrotości poszczególych łędów wielkości mierzoych ezpośredio. orówując wrtości przez które możymy poszczególe łędy ezwzględe (w szym przykłdie i możemy określić wgę łędów ezwzględych, czyli stwierdzić, które wielkości mierzoe ezpośredio mją jwiększy wpływ ostteczy wyik. Chcąc zwiększyć dokłdość wyzczi wielkości mierzoej pośredio, musimy skupić się zmiimlizowiu łędów pomirów ezpośredich o jwiększej wdze. 4.. Metod logrytmicz Wyzczjąc łąd pomiru pol powierzchi prostokąt, doszliśmy do zleżości: Błąd względy ędzie więc wyrżoy wzorem:
δ Możemy zuwżyć, że łąd względy wyzczej wielkości, jest rówy sumie łędów względych wielkości mierzoych ezpośredio. Okzuje się, że dl ukcji pewego typu, możemy w te sposó oliczć łąd względy, omijjąc żmude różiczkowie. Jeżeli wielkość, którą mmy wyzczyć jest opis ukcją iloczyową: α β γ K C K ( (4.8 (C to dowol stł, α, β i γ mogą yć ujeme, gdy dy czyik zjduje się w miowiku ułmk lu ułmkowe, gdy mmy do czyiei z pierwistkiem możemy łąd względy ukcji oliczyć wg wzoru: δ α β K γ (4.9 Z tk oliczoego łędu względego możemy uzyskć wrtość łędu ezwzględego stosując zleżość: δ (4.0 5. RZEDSTAWIANIE WYNIKÓW OMIARÓW NA WYKRESIE W wielu przypdkch celowe jest przedstwieie wyików pomirów wykresie. Metodę tę stosujemy jczęściej, y zleźć zleżość ukcyją jką spełiją mierzoe wielkości, lu gdy wykres dostrcz m dych do dlszych oliczeń. rzy sporządziu wykresów stosujemy ogół prostokąty ukłd współrzędych. Ay wykoć wykres z odpowiedio dużą dokłdością używmy ppieru milimetrowego. Nosimy ukłd współrzędych i doiermy odpowiedio sklę osich. Odpowiedio dor skl powi pozwlć łtwy odczyt współrzędych dowolego puktu. Niech zleżość między iezymi wielkościmi przedstwi ukcj y ( N poiższym rysuku przedstwimy przykłdowe rozmieszczeie puktów pomirowych o odpowidjących im współrzędym ( i, y i
oiewż kżdy pomir jest orczoy łędem, powiiśmy wykresie ieść ie jede pukt osi odciętych, le odpowiedi przedził (-,. Argumetom ukcji z tego przedziłu odpowid osi rzędych rówież pewie przedził wrtości ukcji (y- y, yy. rowdząc odpowiedie proste z gric tych przedziłów, prostopdłe do osi i y, otrzymmy w przecięciu prostokąt, którego wszystkie pukty wewętrze mogą leżeć do wykresu poiewż ich współrzęde różią się od (, y co jwyżej o lu y. Jeżeli tk postąpimy z wszystkimi puktmi pomirowymi, to w rezultcie ędziemy mieć do czyiei ie z pojedyczymi puktmi, mleńkimi prostokątmi. Wówczs powiiśmy krzywą poprowdzić tk y przechodził o przez kżdy z prostokątów. Wykreśleie krzywej wykoujemy posługując się krzywikiem. Krzyw powi yć wygłdzo poiewż zkłdmy, że de zjwisko m przeieg regulry. W teorii łędów są oprcowe metody wygłdzi krzywych. Niedopuszczle jest wykoie wykresu przez połączeie liią łmą poszczególych puktów pomirowych. Jeżeli pewe wrtości pomirowe ie zjdą się krzywej, w tym oszrze zjwisko ie wykzuje przeiegu omlego to wrtości te leży potrktowć jko łędy grue i odrzucić. Jeśli jedk podejrzewmy, że te pomiry mogą mieć związek ze zmimi w przeiegu zjwisk to w tych oszrch powiiśmy przeprowdzić dodtkowe pomiry zgęszczjąc pukty pomirowe. 6. ZAISYWANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ Oliczeie prowdzoe z pomocą klkultor, dją m wyiki 8 lu cyrowe. Ituicyjie wyczuwmy, że uzysk dokłdość wyik ie z dokłdości pomirów lecz jest eektem opercji mtemtyczych. Uzyske wyiki leży zokrąglić.
W trkcie oprcowywi pomirów w rcowi Fizyki ędziemy stosowli stępujące zsdy:. Błąd zokrąglmy do jedej cyry zczącej.. Błąd zokrąglmy do góry. 3. Wrtość wyzczej wielkości zokrąglmy do rzędu wielkości łędu. Zokrąglie rozpoczymy od zokrąglei wrtości łędu ezwzględego. Nleży pmiętć, że cyr zcząc łędu ie musi zjdowć się po przeciku. Jeżeli oliczo wrtość łędu jest rów p. 0,034 to po zokrągleiu ędzie to 0,03 ( zsd!. Jeżeli jedk wrtość t ędzie rów p. 3,764 to po zokrągleiu dostiemy 00. Wrtość wyzczoej wielkości zokrąglmy, ie tk jk w przypdku łędu do góry, wg ogólie przyjętych zsd. W pierwszym z powyższych przykłdów rząd wielkości łędu to części sete więc sz wyik zokrąglimy rówież do części setych. W drugim przykłdzie rząd wielkości łędu to pełe setki, wyik zokrąglmy więc do pełych setek. Np. jeżeli oliczo wielkość m wrtość : 537,34 łąd ezwzględy jest rówy 0,03 to wyik powiiśmy zpisć : 537,3± 0,03 gdyy zmierzo wielkość mił wrtość 7 543, 567 łąd ył rówy 00 to zpis mierzoej wielkości powiie wyglądć stępująco 7500 ± 00 ode przykłdy dotyczą wielkości iemiowych. W wypdku wielkości miowych leży pmiętć, y zwsze podwć jedostkę. rwidłowo zpisy wyik pomiru pięci może mieć postć: U 0 ± 0 V Jeżeli w podwym wyiku leży użyć zpisu wykłdiczego, to lepiej podć wyik i łąd stosując te sm wykłdik p. zmist C (,5 0,03 0 F 4 C (,50 30 F