ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIE 04 Seria: TRANSPORT z. 83 Nr kol. 904 Krzyszof TWARDOCH DYSKRETNY MODEL DYNAMICZNY PRZEKŁADNI ZĘBATE STOŻKOWE WERYFIKACA KODU ŹRÓDŁOWEGO PROGRAMU DO SYMULACI NUMERYCZNE Sreszczenie. W arykule przedsawiono nowe odele fizyczny i aeayczny przekładni zębaej sożkowej do badania wpływu paraerów konsrukcyjnych oraz eksploaacyjnych na san dynaiczny przekładni. Oówiono przebieg procesu weryfikacji poprawności działania auorskiego prograu obliczeniowego służącego do wyznaczania rozwiązań odelu dynaicznego przekładni zębaej sożkowej. Zaprezenowano schea blokowy algoryu obliczeniowego, kóry posłużył do sworzenia prograu na porzeby syulacji nuerycznej. Kod źródłowy prograu zosał napisany w języku inerakywnego środowiska do wykonywania obliczeń naukowych i inżynierskich MATLAB. Słowa kluczowe: przekładnia zębaa sożkowa, odel dynaiczny, weryfikacja, walidacja, eoda syulacji nuerycznej, syulacja kopuerowa, MATLAB DISCRETE DYNAMIC MODEL OF BEVEL GEAR VERIFICATION THE PROGRAM SOURCE CODE FOR NUMERICAL SIMULATION Suary. In he aricle presened a new odel of physical and aheaical bevel gear o sudy he influence of design paraeers and operaing facors on he dynaic sae of he gear ransission. Discusses he process of verifying proper operaion of copyrigh calculaion progra used o deerine he soluions of he dynaic odel of bevel gear. Presens he block diagra of a copuing algorih ha was used o creae a progra for he nuerical siulaion. The progra source code is wrien in an ineracive environen o perfor scienific and engineering calculaions, MATLAB. Keywords: bevel gear, dynaic odel, verificaion, validaion, nuerical siulaion ehod, copuer siulaion, MATLAB. WPROWADZENIE W procesie projekowania i kszałowania konsrukcyjnego przekładni zębaych, zwłaszcza przekładni sożkowych, isona jes dokładność obliczeń wyrzyałościowych. W y aspekcie jedny z najisoniejszych zadań jes prawidłowe określenie zarówno geoerii współpracujących eleenów ego echanizu, jak i obciążenia obliczeniowego Faculy of Mining and Geology, The Silesian Universiy of Technology, Gliwice, Poland, e-ail: krzyszof.wardoch@polsl.pl
88 K. Twardoch wynikającego z obciążenia zewnęrznego oraz wzbudzeń będących skukie czynników wewnęrznych. Ponado, jak wynika z przeprowadzonych badań i konkluzji [, 6], ważne jes rozpoznanie isoy zjawisk dynaicznych, kóre są odpowiedzialne za synergię obciążeń zewnęrznych i wzbudzeń wewnęrznych przekładni na generowane w zazębieniu siły dynaiczne. Wysępowanie efeku synergii wzbudzeń a bezpośredni wpływ na rwałość oraz niezawodność projekowanego echanizu, jaki jes przekładnia zębaa sożkowa. Przeglądając lieraurę, [, 7, 8, 9] ożna swierdzić, iż akualny san wiedzy nie ujuje wyczerpująco probleayki wpływu poszczególnych paraerów przekładni (np. szywności zazębienia, łuienia w zazębieniu) na jej akywność dynaiczną. Wobec powyższego pożądane jes przeprowadzenie badań, kóre pozwolą określić przedziały warości paraerów, dla kórych san obciążenia przekładni sożkowej będzie opyalny względe warunków pracy. Należy w y iejscu zwrócić uwagę na o, że duża liczba kobinacji paraerów konsrukcyjno-eksploaacyjnych powoduje rudności w prowadzeniu badań złożonych inerakcji dynaicznych zachodzących w przekładni wyłącznie na obiekcie rzeczywisy [8, 9,,, 3]. Dlaego eksperyen na obiekcie rzeczywisy jes wspoagany badaniai eoreycznyi na odelach dynaicznych przekładni zębaych [, 3, 4, 5, 6, 8, 9]. Taka eoda badań niekiedy jes jedyną eodą, kóra pozwala zidenyfikować wpływ paraerów konsrukcyjnych i echnologicznych oraz czynników eksploaacyjnych na przebieg zjawisk dynaicznych zachodzących w przekładni i uożliwia ocenę wpływu jakościowego i ilościowego generowanych przez źródła zewnęrzne i wewnęrzne drgań eleenów przekładni na obciążenie iędzyzębne. Ipso faco zdecydowano się właśnie na przeprowadzenie badań z wykorzysanie wspoagania kopuerowego, sosując eodę syulacji nuerycznej, kóra wydaje się najbardziej adekwana do przeprowadzenia wsponianych analiz. Uzyskana wiedza pozwoli konsrukoro na projekowanie przekładni sożkowych opyalnych ze względu na ich san dynaiczny, co z kolei będzie iało bezpośredni wpływ na zwiększenie ich ogólnie pojęej dobroci.. DYSKRETNY MODEL DYNAMICZNY PRZEKŁADNI ZĘBATE STOŻKOWE W celu usalenia związków przyczynowo-skukowych paraerów konsrukcyjnych przekładni z jej sane dynaiczny dokonano synezy odelu dynaicznego przekładni zębaej sożkowej. Powsał dyskreny odel fizyczny przekładni (rys. ), na podsawie kórego wyprowadzono układ nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu, składających się na odel aeayczny przekładni w nasępującej posaci: z y3 z k ) c ( ) T ( ) () z θz ( z z θz z z k ) c ( ) r F ( ) () z θz ( z z θz z z o n k ) c ( ) r F ( ) (3) y3 y4 θy3 4 ( y3 y4 θy3 4 y3 y4 o n k ) c ( ) T ( ) (4) x y4 θy3 4 ( y4 y3 θy3 4 y4 y3 4 k c r F ( ) (5) x3 x θx x θx x a n k c r F ( ) (6) x3 θx3 x3 θx3 x3 r n
Dyskreny odel dynaiczny przekładni zębaej sożkowej 89 q k q c q F ( ) (7) - x qx x qx x o n q k q c q F ( ) (8) 3-4 x3 qx3 4 x3 qx3 4 x3 o n q k q c q F ( ) (9) - y qy y qy y r n q k q c q F ( ) (0) 3-4 y3 qy3 4 y3 qy3 4 y3 r n q k q c q F ( ) () - z qz z qz z a n q k q c q F ( ) () 3-4 z3 qz3 4 z3 qz3 4 z3 a n Rys.. Model fizyczny przekładni zębaej sożkowej Fig.. Physical odel of bevel gear Dokładny opis zaprezenowanego odelu dynaicznego wraz z objaśnienie syboliki znajduje się w publikacji [6]. Przekładnia zosała porakowana jako obiek odizolowany od wpływu aszyny roboczej, w kóry dokładnie zosały odwzorowane własności zazębienia przez założenie nieliniowości charakerysyk szywności oraz łuienia, a akże wpływ luzu iędzyzębnego na generowane obciążenie dynaiczne w zazębieniu przekładni.
90 K. Twardoch 3. ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA MODELU MATEMATYCZNEGO PRZEKŁADNI ZĘBATE STOŻKOWE W celu uzyskania rozwiązania odelu aeaycznego zosał przygoowany progra kopuerowy, kórego algory przedsawiono na rys.. Składa się on z kilku głównych odułów, kóre służą do wprowadzania danych, nuerycznego całkowania oraz zapisu danych wynikowych. Rys.. Algory wyznaczania rozwiązań odelu aeaycznego przekładni zębaej Fig.. Algorih for soluion of a aheaical odel of bevel gear
Dyskreny odel dynaiczny przekładni zębaej sożkowej 9 Rozwiązanie odelu aeaycznego jes zbiór funkcji opisujących przebiegi czasowe: przeieszczeń, prędkości, przyspieszeń będących niewiadoyi w równaniach różniczkowych, sił iędzyzębnych wysępujących w przyporach prawidłowych i nieprawidłowych. Moduł do wprowadzania danych wejściowych zosał podzielony na dwie grupy obejujące: paraery geoeryczno-konsrukcyjne odelu przekładni wraz ze sałą warością wskaźnika obciążenia jednoskowego zębów: - wskaźnik noinalnego obciążenia jednoskowego zębów, - współczynniki łuienia eleenów dyssypacyjnych odelu, - paraery geoeryczne zazębienia, - przebieg suarycznej odchyłki kineaycznej współpracy koła i zębnika, wielkości począkowe paraerów całkowania nuerycznego: - acierz począkowych przeieszczeń w ruchu drgający, - acierz począkowych prędkości w ruchu drgający, - acierz począkowych przyspieszeń w ruchu drgający, - począkowy krok całkowania. Po wprowadzeniu danych do prograu z pierwszego odułu nasępuje przejście do drugiego odułu, w kóry nasępuje rozpoczęcie całkowania nuerycznego. W pierwszej kolejności wyznaczane są przybliżone warości acierzy w chwili j z zachowanie zadanej wsępnie długości kroku całkowania Δ j oraz acierzy warunków począkowych. W chwili gdy dla każdego i ego równania zosaje spełniony założony warunek dokładności Δ dop > Δ ji, nasępuje przejście do kolejnego kroku całkowania z równoczesny zaakcepowanie aproksyacji dla chwili j i zapisanie do pliku danych wynikowych. eżeli naoias warunek dokładności nie zosanie spełniony, całkowanie w chwili j jes powarzane z odpowiednio skrócony krokie całkowania. Operacja całkowania nuerycznego ulega przerwaniu w oencie przekroczenia przez wielkość j zadanej warości ax. Wyniki z przeprowadzonego całkowania nuerycznego ogą być przedsawione w posaci graficznej oraz posłużyć do dalszych obliczeń w celu wyznaczenia.in. warości suarycznej siły iędzyzębnej wysępującej w przekładni sożkowej. 4. WERYFIKACA KODU ŹRÓDŁOWEGO PROGRAMU DO SYMULACI NUMERYCZNE W budowie aszyn do badań zjawisk dynaicznych szczególnie predysponowana jes eoda syulacyjna, polegająca na rozwiązywaniu odeli aeaycznych z zasosowanie wspoagania kopuerowego [0]. Porzeba wykonania syulacji nuerycznej wyaga opracowania prograu obliczeniowego, kóry będzie w sposób wiarygodny generował reakcje dynaiczne odelu. Kod źródłowy prograu uożliwiającego wyznaczenie rozwiązań odelu aeaycznego przekładni zębaej sożkowej zosał napisany w języku inerakywnego środowiska do wykonywania obliczeń naukowych i inżynierskich MATLAB. W celu sprawdzenia poprawności wykonywanych obliczeń i generowanych wyników przez progra kopuerowy zosał przeprowadzony proces weryfikacji jego kodu źródłowego. Proces en jes w rezulacie również pierwszy eape działań zierzających do rozsrzygnięcia adekwaności odelu przekładni zębaej sożkowej.
9 K. Twardoch Weryfikację prograu w aspekcie jego złożoności (również obliczeniowej) prowadzono równolegle z podjęyi nad ni pracai. Wpłynęło o isonie na efekywność ego procesu i pozwoliło w znaczny sposób zaoszczędzić nakłady czasu wyaganego do jego przeprowadzenia oraz wyeliinowania ewenualnych błędów. Przeprowadzenie weryfikacji dopiero po sfinalizowaniu prac nad przygoowanie prograu powoduje, że wykrycie błędów saje się bardzo kłopoliwe i czasochłonne. Konfiracji zosały poddane procedury składające się na oduły, kóre służą do wprowadzenia danych, całkowania nuerycznego oraz zapisu danych wynikowych. Ze szczególną uwagą i rzeelnością sprawdzono zgodność równań różniczkowych zapisanych w odpowiedni M pliku prograu MATLAB (odule całkowania nuerycznego) z równaniai odelu aeaycznego przekładni zębaej. Poprawność wyników generowanych przez poszczególne części odułu zosała zweryfikowana przez przeprowadzenie kalkulacji sprawdzających. Swierdzono zgodność wyników. Dokonano idenyfikacji i eliinacji błędów synakycznych (polegających na naruszeniu reguł opisujących składnię języka) oraz błędów wykonania za poocą debuggera środowiska prograisycznego MATLAB. W końcowy eapie prac sprawdzono również logiczną spójność prograu oraz skonfronowano wynik prac nad przygoowanie prograu z nadrzędną koncepcją jego zasosowania. Przeanalizowano sabilność działania syseu. Osaeczny krokie prowadzący przez proces weryfikacji było sprawdzenie poprawności obliczeń wykonywanych przez progra z punku widzenia eorii zazębienia ewolwenowego. Z eorii ej wiadoo, że suaryczna siła iędzyzębna jes równa: F T r gdzie: T sały oen obroowy działający na wał koła sożkowego (zębnika), r proień zasadniczy średni koła sożkowego (zębnika). r Po przekszałceniu powyższego równania do posaci F jes ono równe jedności. T Przy uwzględnieniu ej zależności zosała przeprowadzona syulacja pracy przekładni na odelu dynaiczny, przy założeniu że szywność zazębienia jes funkcją sałą, a acierz począkowych przeieszczeń jes acierzą zerową. Wynik ej syulacji zosał przedsawiony dla dwóch przypadków. W pierwszy uwzględniono ylko drgania skręne zazębienia przy duży łuieniu drgań poprzecznych wału (rys. 3). ak ożna zauważyć, w dziedzinie czasu obciążenie zazębienia ulega wahanio o alejącej apliudzie aż do usalenia się warości na pozioie jedności. Z kolei w drugi przypadku uwzględniono zarówno drgania skręne zazębienia, jak i drgania poprzeczne wału, co ilusruje rys. 4. Podobnie i y raze również ożna zauważyć, że obciążenie zazębienia ulega wahanio o alejącej apliudzie, z y że pojawia się dodakowa apliuda drgań poprzecznych wału, co skukuje pewną inercją w usaleniu warości obciążenia na pozioie jedności. Wynik syulacji dla ziennej w funkcji czasu asyerycznej szywności zazębienia przedsawiono na rys. 5. W y przypadku wahania wielkości nie ulegają wyłuieniu, jednak ożna zaobserwować, że w dziedzinie czasu drgania ają charaker okresowy, będący skukie zieniającej się periodycznie szywności zazębienia. Średnia warość ych drgań jes akże równa jedności, co jes zgodne z własnością reprezenowaną przez równanie (3). Debugger progra kopuerowy będący inegralną częścią środowiska prograisycznego, służący do dynaicznej analizy innych prograów w celu odnalezienia i idenyfikacji zawarych w nich błędów, zwanych z angielskiego bugai. Podsawowy zadanie debuggera jes sprawowanie konroli nad wykonanie kodu, co uożliwia zlokalizowanie insrukcji odpowiedzialnych za wadliwe działanie prograu i wsrzyywanie jego działania w określonych iejscach. (3)
Dyskreny odel dynaiczny przekładni zębaej sożkowej 93 F r T,5 0,5 0 0 0,0 0,0 Rys. 3. Przebieg czasowy suarycznej siły iędzyzębnej F odniesionej do noinalnej siły saycznej T / r przy sałej szywności zazębienia (ylko drgania skręne) Fig. 3. The ie course of he oal inerdenal force F referred o he noinal saic force T / r a consan esh siffness (only orsional vibraions), s F r T,5 0,5 0 0 0,0 0,0 Rys. 4. Przebieg czasowy suarycznej siły iędzyzębnej F odniesionej do noinalnej siły saycznej T / r przy sałej szywności zazębienia (drgania skręne i poprzeczne) Fig. 4. The ie course of he oal inerdenal force F referred o he noinal saic force T / r a consan esh siffness (orsional and ransverse vibraions), s
94 K. Twardoch,5 F r T,5 0,5 0 0 0,005 0,0 Rys. 5. Przebieg czasowy suarycznej siły iędzyzębnej F odniesionej do noinalnej siły saycznej T / r przy ziennej w funkcji czasu szywności zazębienia Fig. 5. The ie course of he oal inerdenal force F referred o he noinal saic force T / r a ie-varying esh siffness Przeprowadzenie oówionych powyżej czynności konrolnych powierdziło prawidłowe działanie prograu kopuerowego, zae kod źródłowy prograu nie jes obciążony błędai i oże być zakwalifikowany do przeprowadzenia procesu walidacji., s 5. PODSUMOWANIE Proces weryfikacji ukierunkowany na konfirację jes z reguły przeprowadzany przez auorów prograu, gdyż oni najlepiej znają jego specyfikę. Weryfikacja powinna być przeprowadzona skrupulanie i kryycznie. Tylko rzeelne i kopleksowe podejście do ego zagadnienia gwaranuje poencjalnie największą wiarygodność przeprowadzanych syulacji na odelu dynaiczny przekładni. W celu sprawdzenia poprawności obliczeń wykonywanych przez progra kopuerowy zosał przeprowadzony dwueapowy proces jego weryfikacji. Szczegółowej konroli poddano zapisy procedur składających się na poszczególne oduły prograu, przeprowadzając ponado kalkulacje sprawdzające generowanych wyników. Nasępnie, w drugi eapie, była przeprowadzona konrola poprawności obliczeń wykonywanych przez progra z punku widzenia eorii zazębienia ewolwenowego. Prawidłowe działanie prograu w y aspekcie ilusrują rys. 3 i 4. Proces weryfikacji powierdził poprawność działania prograu obliczeniowego służącego do wyznaczania rozwiązań odelu dynaicznego przekładni zębaej sożkowej.
Dyskreny odel dynaiczny przekładni zębaej sożkowej 95 Bibliografia. Grzesica P.: Idenyfikacja szywności zazębienia Meodą Eleenów Skończonych. Biblioeka TEMAG, Vol. XIX, Poliechnika Śląska, Insyu Mechanizacji Górnicwa, Gliwice Usroń, 9-.0.0, s. 03-08.. Grzesica P.: Wpływ obciążenia zewnęrznego na siły iędzyzębne w przekładniach zębaych aszyn górniczych. Wydawnicwo Poliechniki Śląskiej, Gliwice 0. 3. Grzesica P., Kuczaj M..: Dyskreny odel dynaiczny dwusopniowej przekładni walcowej o zębach śrubowych. Zeszyy Naukowe Poliechniki Śląskiej, nr 798, s. Górnicwo, z. 86, Wydawnicwo Poliechniki Śląskiej, Gliwice 008. 4. Grzesica P, Kuczaj M.: Model dynaiczny dwusopniowej przekładni walcowej o zębach śrubowych obciążonej zienny oene obroowy. Biblioeka TEMAG, Vol. XVI, Poliechnika Śląska, Insyu Mechanizacji Górnicwa, Gliwice-Usroń, -4.0.008, s. 35-44. 5. Grzesica P., Twardoch K.: Dyskrene odele dynaiczne w badaniach przekładni zębaych. Biblioeka TEMAG, Vol. XIV, Poliechnika Śląska, Insyu Mechanizacji Górnicwa, Gliwice Usroń, 5-7.0.006, s. 87-96. 6. Grzesica P., Twardoch K.: Dyskreny odel dynaiczny przekładni zębaej sożkowej. Biblioeka TEMAG, Vol. XVII, ISBN 978 83 644 08 0, Poliechnika Śląska, Insyu Mechanizacji Górnicwa, Gliwice-Usroń, 4-6.0.009, s. 7-36. 7. Müller L.: Przekładnie zębae dynaika. WNT, Warszawa 986. 8. Skoć A.: Dynaika przekładni zębaych sożkowych aszyn górniczych. Zeszyy Naukowe Poliechniki Śląskiej, nr 37, s. Górnicwo, z. 6, Wydawnicwo Poliechniki Śląskiej, Gliwice 996. 9. Skoć A.: Prognozowanie własności dynaicznych przekładni zębaych sożkowych. Wydawnicwo Poliechniki Śląskiej, Gliwice 007. 0. Skoć A., Spałek., Markusik S.: Podsawy Konsrukcji Maszyn. To. Wydawnicwa Naukowo Techniczne, Warszawa 008.. Skoć A. (red.): Idenyfikacja sanu dynaicznego i rwałości przekładni zębaych z kołai o uzębieniu wysoki. Wydawnicwo Poliechniki Śląskiej, Gliwice 008.. Zajler W.: Siły dynaiczne w przekładniach dwusopniowych. Praca dokorska, Poliechnika Śląska, Gliwice 974. 3. Ziroz R.: Meoda diagnosyki wielosopniowych przekładni zębaych w układach napędowych przenośników aśowych z zasosowanie odelowania. Praca dokorska, Poliechnika Wrocławska, Wrocław 00.