Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0, 1 + z [1, 3, 5. Ale x [1, 1, 1 + [1, 0, 1 + z [1, 3, 5 [x + + z, x + 3z, x + 5z, iec z arunku róności ektoró otrzmujem, że szukane liczb x,, z spe lniaja uk lad rónań: x + + z 3 x + 3z 4. x + 5z 4 Stosujem metode eliminacji Gaussa: x z 1 0 3 4 x 0 1 3 4 3+1 0 1 3 4 3 22 0 1 3 4. Zatem 1 1 5 4 1 1 5 4 0 2 6 7 0 0 0 1 nasz uk lad jest sprzeczn i obec tego ektor [3, 4, 4 nie jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5. Zadanie 2. W przestrzeni R 4 zbadać prost z definicji linioa [1, 2, 1, 2, [2, 3, 1, 0, [1, 2, 2, 3. Roziazanie. Weźm doolne liczb rzecziste a, b, c takie, że a [1, 2, 1, 2 + b [2, 3, 1, 0 + c [1, 2, 2, 3 [0, 0, 0, 0. (1) Wted [a + 2b + c, 2a + 3b + 2c, a + b + 2c, 2a 3c [0, 0, 0, 0, i ec otrzmujem uk lad rónań: któr roziażem metoda eliminacji Gaussa: 2 0 2 2 1, 3 1, 4+2 1 0 2 0 3 0 ( 1) 2, 4+ 3 a + 2b + c 0 2a + 3b + 2c 0 a + b + 2c 0 2a 3c 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 4 1 0 1 3, (2) 3 2, 4+4 2 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 22 1 0 0 0 Zatem uk lad (2) ma dok ladnie jedno roziazanie: a 0, b 0, c 0. Stad jeśli liczb rzecziste a, b, c spe lniaja róność (1), to a b c 0. Zatem ektor [1, 2, 1, 2, [2, 3, 1, 0, [1, 2, 2, 3 sa linioo niezależne. Zadanie 3. W przestrzeni R 3 zbadać linioa [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3. Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A 1 3 0.. 1
I Sposób. Ponieaż det(a) 1 3 0 [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3 sa linioo zależne. II Sposób. Obliczam rzad macierz A: [ r(a) 2 31 r 4 0 6 4 6 1 + r r(a) < 3, iec ektor [1, 1, 2, [ 1, 3, 0, [2, 0, 3 s 1 1 1 3 2 0 9 + 0 + 0 (12 + 0 3) 0, i ec ektor 1+2 2 1 + r [ 0 0 a linioo zależne. Zadanie 4. W przestrzeni R 5 zbadać linioa [5, 3, 2, 1, 10, [ 1, 8, 1, 4, 7, [2, 1, 9, 3, 6, [1, 3, 5, 9, 11. Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A rzad macierz A: r(a) r 1 54, 2+4, 3 24 0 18 27 44 45 0 11 4 5 18 0 5 19 21 16 1 3 5 9 11 1 + r 1 + 1 2. Ponieaż 5 3 2 1 10 1 8 1 4 7 2 1 9 3 6 1 3 5 9 11 18 27 44 45 11 4 5 18 5 19 21 16. Obliczam k3+k2 18 27 17 45 169 74 0 261 [ 1+172, 3+22 1+r 11 4 1 18 1+r 11 4 1 18 169 74 261 2+r 17 11 20 5 19 2 16 17 11 0 20 [ 169 74 261 2 + 2 4, bo macierz ma rzad 17 11 20 2, gdż posiada niezero minor 169 74 17 11 169 11 + 17 74 > 0 stopnia 2. Zatem rzad macierz uk ladu czterech ektoró [5, 3, 2, 1, 10, [ 1, 8, 1, 4, 7, [2, 1, 9, 3, 6, [1, 3, 5, 9, 11 jest rón 4, czli te ektor sa linioo niezależne. Zadanie 5. W przestrzeni R 4 zbadać linioa [1, 4, 7, 10, [2, 5, 8, 11, [2, 6, 9, 12. 1 4 7 10 Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A 2 5 8 11. 3 6 9 12 Ale r(a) 1 3 3 r [ 0 0 0 r 1 1 4 7 10 2 5 8 11 1 4 1 3, 2 23 r 0 2 4 6 0 1 1 4 1 + r [ 2 4 6 1 1 2 2 1 + 1 + 1 2 < 3, iec ektor [1, 4, 7, 10, [2, 5, 8, 11, [2, 6, 9, 12 sa linioo zależne. Zadanie 6. Dla jakich a R ektor [1, 1, 1, [1, a, 2, [2, 3, 4 torza baze przestrzeni R 3? 1 1 1 Roziazanie. Macierza tego uk ladu ektoró jest A 1 a 2. Zatem 4 det(a) 1 1 1 1 a 2 4 1 1 1 a 4a + 4 + 3 2a 6 4 2a 3. Stad det(a) 0 a 3 2 i ektor [1, 1, 1, [1, a, 2, [2, 3, 4 torza baze przestrzeni R 3 ted i tlko ted, gd a 3 2. Zadanie 7. Pokazać, że V {[x,, z R 3 : x + + z 0} jest podprzestrzenia przestrzeni R 3. Wznaczć baze i miar V. 2
Roziazanie. Zauażm, że V {[x,, x : x, R} {[x, 0, x + [0,, : x, R} {x [1, 0, 1 + [0, 1, 1 : x, R} L([1, 0, 1, [01, 1), iec V jest podprzestrzenia przestrzeni [ 1 0 1 R 3. Ponadto ektor [1, 0, 1, [0, 1, 1 generuja V oraz sa linioo niezależne, bo r 2, 0 1 1 iec ektor [1, 0, 1, [0, 1, 1 torza baze podprzestrzeni V i miar V jest rón 2. Zadanie 8. Wektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9 uzupe lnić do baz przestrzeni R 4. Roziazanie. Oznaczm przez V podprzestrzeń generoana przez ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9. Stosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz tego uk ladu ektoró znajdziem taka baze [ podprzestrzeni V, która [ lato bedzie uzupe lnić [ do baz ca lej przestrzeni [ R 4. 4 5 2 1 4 5 1 2 1 1 4 4 2 2 1 1 1 4 4. Stad 3 4 8 9 1 1 4 4 4 5 0 1 4 3 baza V jest {[1, 1, 4, 4, [0, 1, 4, 3}. Zatem dim(v ) 2 i obec tego ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9 sa linioo niezależne. Ponadto ektor [1, 1, 4, 4, [0, 1, 4, 3, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1 torza baze przestrzeni R 4, 1 1 4 4 bo r 0 1 4 3 4. Zatem ektor [2, 3, 4, 5, [3, 4, 8, 9, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1 torz a szukana 0 0 0 1 baze przestrzeni R 4. Zadanie 9. Znaleźć baze i miar podprzestrzeni V przestrzeni R 4 generoanej przez ektor: [ 1, 4, 3, 2, [3, 7, 5, 3, [3, 2, 1, 0, [ 4, 1, 0, 1. Roziazanie. Baze podprzestrzeni V znajdziem tosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz A danego uk ladu ektoró. Rónoażności dotcza teraz zachoania podprzestrzeni generoanch. 3 7 5 3 3 2 1 0 4 1 0 1 2+3 1, 3+3 1, 4 4 1 0 5 4 3 0 10 8 6 0 15 12 9 3 2 2, 4+3 2 0 5 4 3 [. Stad 0 5 4 3 ektor [ 1, 4, 3, 2, [0, 5, 4, 3 generuja podprzestrzeń V i sa linioo niezależne (bo macierz z nich utorzona ma rzad 2). Zatem baza V jest {[ 1, 4, 3, 2, [0, 5, 4, 3} oraz dim(v ) 2. Zadanie 10. Znajdź baze i miar podprzestrzeni V przestrzeni R 5 generoanej przez ektor: [ 3, 1, 5, 3, 2, [2, 3, 0, 1, 0, [1, 2, 3, 2, 1, [3, 5, 1, 3, 1, [3, 0, 1, 0, 0. Uzupe lnij znaleziona baze podprzestrzeni V do baz ca lej przestrzeni R 5. Roziazanie. Baze podprzestrzeni V znajdziem tosujac metode eliminacji Gaussa na ierszach macierz A danego uk ladu ektoró. Rónoażności dotcza teraz zachoania podprzestrzeni generoanch. 3 1 5 3 2 5 3 1 1 0 3 0 1 0 0 1, 4+ 3 1+ 2, 3 2 2, 4+ 2 1 2 1 1 2 1 3 4 3 0 1 3 5 1 3 1 4 3 2 1 0 6 0 2 0 0 1+ 5, 4 2 5, 3+ 5 0 0 1 3 3+31 3
0 9 0 0 0 12 9 3+22 [0, 0,, 12, 9, skad dim(v ) 3. 2 3 3+42. Zatem baze podprzestrzeni V torza ektor [ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, Ponieaż r 0 0 12 9 0 1 4, iec szukana baza przestrzeni R 5 jest {[ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, [0, 0,, 12, 9, [0, 0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 0, 1}. Zadanie 11. Znajdź uk lad jednorodn rónań linioch, którego zbiorem roziazań jest podprzestrzeń V przestrzeni R 5 generoana przez ektor: [ 3, 1, 5, 3, 2, [2, 3, 0, 1, 0, [1, 2, 3, 2, 1, [3, 5, 1, 3, 1, [3, 0, 1, 0, 0. Roziazanie. Z roziazania zadania 10 mam, że ektor [ 1, 3, 1, 1, 0, [0, 1, 6, 3, 2, [0, 0,, 12, 9 torza beze V oraz ektor [ 1, 3, 1, 1, 0,[0, 1, 6, 3, 2,[0, 0,, 12, 9,[0, 0, 0, 1, 0,[0, 0, 0, 0, 1 torza baze przestrzeni R 5. Istnieje zatem przekszta lcenie linioe f : R 5 R 2 takie, że f([ 1, 3, 1, 1, 0) [0, 0, (3) f([0, 1, 6, 3, 2) [0, 0, (4) f([0, 0,, 12, 9) [0, 0, (5) f([0, 0, 0, 1, 0) [1, 0, (6) f([0, 0, 0, 0, 1) [0, 1. (7) Wted f(r 5 ) L([1, 0, [0, 1) R 2, iec dim f(r 5 ) 2. Ale dim Ker(f) + dim f(r 5 ) dim R 5, iec dim Ker(f) 5 2 3. Ponadto V Ker(f) i dim V 3, iec V Ker(f). Pozostaje zatem znaleźć zór analitczn na przekszta lcenie f. W tm celu zaś starcz znaczć f(ɛ k ) dla k 1, 2, 3, 4, 5, gdzie ɛ 1 [1, 0, 0, 0, 0, ɛ 2 [0, 1, 0, 0, 0, ɛ 3 [0, 0, 1, 0, 0, ɛ 4 [0, 0, 0, 1, 0, ɛ 5 [0, 0, 0, 0, 1. Ze zoró (6) i (7) mam od razu, że f(ɛ 4 [1, 0 oraz f(ɛ 5 [0, 1. Z linioości przekszta lcenia f oraz ze zoru (5) otrzmujem, że f(ɛ 3 ) + 12 f(ɛ 4 ) + 9 f(ɛ 5 ) [0, 0, czli f(ɛ 3 ) + 12 [1, 0 + 9 [0, 1 [0, 0, skad f(ɛ 3 ) [ 12, 9, iec f(ɛ 3 ) [ 12, 9. Z linioości f i ze zoru (4) mam, że f(ɛ 2 )+6 f(ɛ 3 )+3 f(ɛ 4 )+2 f(ɛ 5 ) [0, 0. Zatem f(ɛ 2 )+6 [ 12, 9 +3 [1, 0+2 [0, 1 [0, 0, czli f(ɛ 2 )+[ 72, 54 +[84 56, 0+[0, [0, 0, iec f(ɛ 2) [ 12, 2. Z linioości f i ze zoru (3) mam, że f(ɛ 1 ) + 3 f(ɛ 2 ) f(ɛ 3 ) + f(ɛ 4 ) [0, 0. Zatem f(ɛ 1 ) + 3 [ 12, 2 12 [, 9 + [1, 0 [0, 0, czli f(ɛ 1 ) [ 36, 6 + [ 12, 9 + [, 0, sk ad f(ɛ 1 ) [ 4, 3. Ale f([x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) f(x 1 ɛ 1 + x 2 ɛ 2 + x 3 ɛ 3 + x 4 ɛ 4 + x 5 ɛ 5 ) x 1 f(ɛ 1 ) + x 2 f(ɛ 2 ) + x 3 f(ɛ 3 ) + x 4 f(ɛ 4 ) + x 5 f(ɛ 5 ) x 1 [ 4, 3 + x 2 [ 12, 2 + x 3 [ 12, 9 + x 4 [, 0 + x 5 [0, [ 1 7 x 1 3 7 x 2 3 7 x 3 + x 4, 3 x 1 2 x 2 9 x 3 + x 5. Zatem V Ker(f) jest zbiorem roziazań uk ladu rónań: { 1 7 x 1 3 7 x 2 3 7 x 3 + x 4 0 3 x 1 2 x 2 9 x 3 + + x 5 0, 4
któr możem też zapisać postaci: { x1 3x 2 3x 3 + 7x 4 0 3x 1 2x 2 9x 3 + + x 5 0. Zadanie 12. Niech przestrzeni linioej R 4 : V L([1, 1, 1, 1, [1, 1, 1, 1, [1, 1, 1, 1) oraz W L([1, 1, 1, 1, [2, 2, 0, 0, [3, 1, 1, 1). Wznaczć baze i miar podprzestrzeni: V, W, V +W, V W. Roziazanie. Znajdujem baze podprzestrzeni V : 2 1, 3 1 1 1 1 1 0 0 2 2 ( 1 2 )2, ( 1 2 )3 2 3 1 1 1 1 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 0 1 dim V 3. 1 3 1 1 0 0 0 1 0 1 Znajdujem baze podprzestrzeni W : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 3 1 1 1. Zatem baza V jest {[1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1}, skad 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1, 3 31 0 2 1 1 1 0 0 0. 2 3 0 2 1 1 2+3 0 2 0 0 1 2 2, ( 1)3 1+2 Zatem baza W jest {[1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1}, skad dim W 3. Ponadto V + W L([1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1, [1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1) L([1, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1, [1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0) L([1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 1, 0, 1, [0, 0, 1, 1) L([1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1) R 4, iec baza V +W jest {[1, 0, 0, 0, [0, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 0, [0, 0, 0, 1} oraz dim(v + W ) 4. Ze zoru dim(v + W ) dim V + dim W dim(v W ) liczam dim(v W ) 3 + 3 4 2, czli dim(v W ) 2. Ponadto [0, 0, 1, 1 V W, [1, 1, 0, 0 [1, 0, 0, 0+[0, 1, 0, 0 W i [1, 1, 0, 0 V, iec [1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1 V W. Ale ektor [1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1 sa linioo niezależne i dim(v W ) 2, iec baza V W jest {[1, 1, 0, 0, [0, 0, 1, 1}. 5