ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA

Sudia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH A STATYSTYCZNY POMIAR RYZYKA Redakor naukowy Grażyna Trzpio Kaowice 0

Komie Redakcyjny Krysyna Lisiecka (przewodnicząca), Anna Lebda-Wyborna (sekrearz), Halina Henzel, Anna Kosur, Maria Michałowska, Grażyna Musiał, Irena Pyka, Sanisław Sanek, Sanisław Swadźba, Janusz Wywiał, Teresa Żabińska Komie Redakcyjny Informayki i Komunikacji Tadeusz Trzaskalik (redakor naczelny), Mariusz Żyniewski (sekrearz), Andrzej Bajdak, Sanisław Sanek, Grażyna Trzpio Rada Programowa Lorenzo Faorini, Mario Glowik, Miloš Král, Bronisław Micherda, Zdeněk Mikoláš, Marian Noga, Gwo-Hsiu Tzeng Redakor Karolina Koluch Skład Urszula Grendys Copyrigh by Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach 0 ISBN 978-83-7875-036-9 ISSN 083-86 Wersją pierwoną Sudiów Ekonomicznych jes wersja papierowa Wszelkie prawa zasrzeżone. Każda reprodukcja lub adapacja całości bądź części niniejszej publikacji, niezależnie od zasosowanej echniki reprodukcji, wymaga pisemnej zgody Wydawcy WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ul. Maja 50, 40-87 Kaowice, el. 3 57-76-30, fax 3 57-76-43 www.wydawnicwo.ue.kaowice.pl, e-mail: wydawnicwo@ue.kaowice.pl

SPIS TREŚCI WPROWADZENIE.......................................... 7 Grażyna Trzpio: EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA..... Summary................................................... 0 Grażyna Trzpio: O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA.............................................. Summary................................................... 36 Alicja Ganczarek-Gamro: MODELE O-GARCH W OCENIE RYZYKA PORTFELA INWESTYCJI NA RYNKU DNIA NASTĘPNEGO.. 37 Summary................................................... 48 Agnieszka Orwa-Acedańska: OCENA RYZYKA PORTFELA W ALOKACJI ODPORNEJ PRZY RÓŻNYCH TYPACH ROZKŁADÓW PODEJŚCIE SYMULACYJNE.............. 49 Summary................................................... 66 Grażyna Trzpio, Agnieszka Orwa-Acedańska: KWANTYLOWA ANALIZA STYLU NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH FUNDUSZY INWESTYCYJNYCH AKCJI................... 67 Summary................................................... 83 Grażyna Trzpio, Przemysław Jeziorski: ZASTOSOWANIE SKOINTEGROWANYCH MODELI VAR NA MIĘDZYNARODOWYCH RYNKACH FINANSOWYCH... 85 Summary................................................... 98 Grażyna Trzpio, Dominik Krężołek: JEDNOCZYNNIKOWY MODEL SHARPE A ANALIZA EMPIRYCZNA NA PRZYKŁADZIE WYBRANYCH WALORÓW RYNKU METALI NIEŻELAZNYCH....................................... 99 Summary................................................... 09

Grażyna Trzpio, Jusyna Majewska: METODY IDENTYFIKACJI OBSERWACJI JEDNORAZOWYCH I DŁUGOTRWAŁYCH ANALIZA PORÓWNAWCZA NA ŚWIATOWYCH RYNKACH KAPITAŁOWYCH...................................... Summary................................................... Alicja Ganczarek-Gamro, Jusyna Majewska: ODPORNA ESTYMACJA ZMIENNOŚCI NA RYNKU ENERGII ELEKTRYCZNEJ....... 3 Summary................................................... 37 Agnieszka Orwa-Acedańska, Anna Ojrzyńska: STATYSTYCZNA ANALIZA STRUKTURY DEMOGRAFICZNEJ CZŁONKÓW 39 OFE.................................................. Summary................................................... 54 Grażyna Trzpio, Joanna Tomanek: SZACOWANIE STRUKTURY TERMINOWEJ STÓP PROCENTOWYCH................... 55 Summary................................................... 64

WPROWADZENIE Saysyczne miary opisowe warości badanych zmiennych dały począek rozwojowi meodologii pomiaru ryzyka związanej z miarami ryzyka. Począkowo ryzyko było posrzegane jedynie w odniesieniu do rynków kapiałowych i koncenrowano się na pomiarze ryzyka z wykorzysaniem miar zmienności. Kolejnym krokiem modelowania jes ilościowa reprezenacja ryzyka w usalonym horyzoncie czasowym, a nasępnie reprezenacja ryzyka poprzez wyznaczenie prawdopodobieńswa dla zadanych scenariuszy. Tego rodzaju podejście zapocząkowało rozwój konsrukcji miar ryzyka zwanych miarami zagrożenia. Nasępnie pojawiła się grupa prac badawczych podejmująca zagadnienie własności ych miar, a co za ym idzie użyeczności w badaniach i zasosowaniach prakycznych. Meodologia w ym obszarze badań wykorzysuje meody symulacyjne Mone Carlo, analizy danych hisorycznych, jak również nieklasyczny opis saysyczny, np. regresję kwanylową. Kwanylowe miary ryzyka mają zasosowanie jako miary eksremalne dla pesymisycznych scenariuszy. Opierając się na akim podejściu, wykorzysuje się miary warości zagrożonej oraz warunkowe miary warości zagrożonej z ograniczeniami na warości lub yp rozkładu. Opisywane miary są wyznaczane dla empirycznych szeregów czasowych będących punkem wyjścia do analiz z wykorzysaniem meodologii sochasycznych opisów szeregów czasowych. Przedmioem badań było zasosowanie meodologii saysycznej analizy szeregów czasowych do opisu ryzyka z wykorzysaniem miar zmienności oraz miar zagrożenia na rynku kapiałowym i erminowym oraz na rynkach owarowych: w obrocie mealami oraz na rynku energii. Arykuł Grażyny Trzpio owierający niniejszy Zeszy Naukowy ma charaker eoreycznego wprowadzenia w meodologię eorii regresji kwanylowej w ogonach rozkładów. Omówiono w nim w szczególności eksremalne własności regresji kwanylowej dla dużej próby. To szczególne badanie ma znaczenie aplikacyjne w konekście szeregów czasowych o wysokiej częsoliwości. Drugi arykuł ej Auorki o uporządkowanie własności ransformujących miar ryzyka. Omówione własności wychodzą naprzeciw nasępującym problemom: zapewniają, że ransformująca miara ryzyka wykorzysa wszyskie informacje z rozkładu prawdopodobieńswa sra oraz że użyje odpowiednio ych informacji.

8 WPROWADZENIE Tema wielowymiarowego modelowania na rynku energii porusza arykuł Alicji Ganczarek-Gamro. Omówiono w nim klasyczne wielowymiarowe modele GARCH: modele VECH oraz BEKK, kóre w ogólnej swojej posaci wymagają esymacji wielu paramerów. W części badawczej wykorzysano wielowymiarowy model czynnikowy O-GARCH do esymacji ryzyka zmiany warości porfela złożonego z konraków na energię elekryczną. Meodologiczne podejście do sosowanych w prakyce modeli przyjmuje w swoim arykule Agnieszka Orwa-Acedańska. Rozważa ważny problem ryzyka esymacji, rozumiany w konekście ryzyka inwesycji jako możliwość poniesienia sray w wyniku błędów esymacji paramerów modeli. Auorka podejmuje ocenę przydaności meody alokacji odpornej, przeprowadzając badanie, w jakim sopniu warość rzeczywisego ryzyka porfela przekracza usaloną warość dopuszczalnego ryzyka. Porównaniu warości rzeczywisego ryzyka porfeli i dopuszczalnego ryzyka służy zasosowanie meod symulacji rozkładu populacji. Grażyna Trzpio i Agnieszka Orwa-Acedańska połączyły meodologię klasycznego modelu analizy sylu Sharpe a z pewną szczególną wersją regresji kwanylowej w badaniach rynku funduszy inwesycyjnych akcji. Zbadały wpływ pewnych czynników na cały rozkład warunkowy sóp zwrou funduszu poprzez modelowanie warunkowych kwanyli sóp zwrou wybranych funduszy inwesycyjnych zrównoważonych. Przedsawiły uogólnienie modelu analizy sylu Sharpe a do modelu wielorakiej regresji kwanylowej z ograniczeniami na paramery (kwanylowa analiza sylu). W arykule Grażyny Trzpio i Przemysława Jeziorskiego podjęo meodologię wekorowych modeli auoregresyjnych (VAR), kóre pozwalają na modelowanie wielowymiarowych szeregów czasowych. Modele VAR zakładają, że modelowane szeregi czasowe posiadają własność sacjonarności. Isnienie niesacjonarności szeregów czasowych uniemożliwia bezpośrednią implemenację modeli VAR. Podjęa analiza obejmuje wykorzysanie własności ych modeli oraz szacowanie modeli VAR w odniesieniu do wybranych szeregów czasowych z rynku kapiałowego. Model czynnikowy opisuje poziom sopy zwrou poprzez dekompozycję czynników na właściwe wszyskim akywom i specyficzne dla konkrenie analizowanego waloru. To podejście przyjęli Grażyna Trzpio i Dominik Krężołek w swoim arykule, przedsawiając rzy podsawowe grupy modeli czynnikowych: makroekonomiczne, fundamenalne oraz saysyczne. Badania empiryczne skoncenrowano na rynku meali. Problem wysępowania obserwacji odsających w szeregach czasowych jes przedmioem rozważań zarówno na płaszczyźnie prakycznej, jak i eoreycznej. W arykule Grażyny Trzpio i Jusyny Majewskiej przedsawiono

WPROWADZENIE 9 klasyczną procedurę idenyfikacji obserwacji nieypowych wykorzysującą esymację paramerów klasyczną meodą największej wiarygodności oraz zmodyfikowaną procedurę wykorzysującą odporną meodę esymacji paramerów (τ-esymację). Zweryfikowano porównywane meody na danych empirycznych pochodzących z parkieów świaowych. Zasosowanie podejścia odpornego w modelowaniu na rynku energii można znaleźć w arykule Alicji Ganczarek-Gamro i Jusyny Majewskiej. Na podsawie noowań z polskiej Towarowej Giełdy Energii dokonano analizy zidenyfikowanych gwałownych skoków zmienności cen energii elekrycznej oraz zasosowano odporne meody esymacji paramerów modeli GARCH. Celem arykułu Agnieszki Orwa-Acedańskiej i Anny Ojrzyńskiej jes saysyczny opis srukury demograficznej członków Owarych Funduszy Emeryalnych oraz zmian ej srukury w okresie badawczym 999-009. Do analizy zmian srukury demograficznej członków OFE ogółem oraz według płci i wieku zasosowano wybrane saysyczne wskaźniki demograficzne. Uzupełnienie opisu srukury demograficznej sanowi klasyfikacja funduszy pod względem srukury członków według różnych grup wiekowych. Grażyna Trzpio i Joanna Tomanek podejmują zagadnienie szacowania paramerów modeli przybliżających srukurę erminową sóp procenowych w aspekcie aproksymacji krzywej dochodowości. Najszerszym podejściem modelowania sóp procenowych jes aproksymacja całej krzywej dochodowości poprzez esymację pewnej funkcji opisującej wszyskie sopy procenowe, przy czym paramery ej funkcji mają prakyczną inerpreację. Zasosowano dwa modele: Nelsona-Siegela oraz Svenssona. Model Svenssona jes rozwinięciem modelu Nelsona-Siegela. Model en pozwala na większą elasyczność w modelowaniu krzywej dzięki dwóm dodakowym paramerom. Przedsawiono również oszacowanie modelu Svenssona. Przedsawione arykuły są wynikiem badań sauowych prowadzonych w zespole badawczym składającym się z młodych naukowców, adiunków oraz dokoranów, worzących dynamiczną grupę poszukującą nowego ujęcia znanych podejść do opisu ryzyka w szeregach czasowych. Wykorzysanie znanych meodologii, ale zasosowanych w badaniach w odmiennych konfiguracjach, pozwala na wskazanie obszarów badań wcześniej niezauważalnych bądź nie dość osro widzianych. Auorzy mają nadzieję, że przedsawione Czyelnikowi wyniki badań pobudzą do refleksji i pyań, co zawsze jes począkiem nowych badań. Grażyna Trzpio

Grażyna Trzpio EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA Wprowadzenie Omawiana meoda regresji regresja kwanylowa wyznacza esymaory warunkowych kwanyli (Koenker, Basse, 978) objaśnianej zmiennej Y na podsawie warości zmiennych objaśniających X. Auorzy rozwinęli regresję medianową Laplace a (88) (bezwzględny minimalny esymaor) oraz uogólnili zwykłe kwanyle wyznaczane dla próby w zbiór regresji kwanylowych. Regresja kwanylowa jes ważnym narzędziem w esymacji warunkowych kwanyli wyjaśnianej zmiennej Y, w przypadku gdy dysponuje się macierzą kowariancji X. Może być wykorzysywana nie ylko do mierzenia efeków zmian warości w cenrum rozkładu, ale również w prawym lub lewym ogonie rozkładu. Poniżej przedsawiono eorię regresji kwanylowej w ogonach rozkładów. W arykule w szczególności zosaną omówione eksremalne własności dla dużej próby (eksremalny porządek oraz cenralny porządek) esymaorów regresji kwanylowej dla modelu liniowego regresji kwanylowej z obcięym ogonem rozkładu do isonego minimum rozważanej dziedziny oraz domknięe pod warunkiem ekwiwalenności ogona względem warości regresorów. Takie założenia w modelowaniu łączą ograniczenia eorii warości eksremalnych z homoscedasycznością i heeroscedasycznością liniowej specyfikacji analizy regresji. W dużych próbach eksremalny porządek regresji kwanylowej jes słabo zbieżny do funkcjonałów całek sochasycznych procesu Poissona zależnego od regresorów, podczas gdy cenralna kwanylowa regresja oraz jej funkcjonały są zbieżne do wekora o rozkładzie normalnym macierzy kowariancji zależnym od paramerów w ogonie oraz rozkładu paramerów. Regresja kwanylowa ma wiele zasosowań w badaniach empirycznych oraz wiele opracowań eoreycznych. W wielu ważnych zasosowaniach regresji kwanylowej wysępują sudia łączne z obserwacją wysępujących warości eksremalnych. W ekonomerycznych zasosowaniach można wskazać badania wykorzysujące analizę czynnikową, kóra uwzględnia eksremalne warości (przykładowo: dolna warość wagi noworodków, Abrevaya, 00) czy analizę wysokich noowań na aukcjach (zob. Donald, Paarsch, 993) oraz esymację czynników wysokiego ryzyka finansowego (zob. Tsay, 00; Chernozhukov, Umansev, 00).

Grażyna Trzpio. Regresja kwanylowa Zmienna Y jes zmienną objaśnianą o warościach w R, naomias X = (, X ) jes wekorem zmiennych objaśniających o wymiarach d (zazwyczaj ransformowane zmienne wejściowe) *. Warunkową dysrybuanę zmiennej Y przy usalonej warości X = x zapiszemy jako F Y ( x). Zadaniem jes wyznaczenie FY ( τ x) = inf{ y : FY ( y x) >τ }, gdzie τ jes bliskie zeru. Rozparujemy próbę {Y, X, =,,T}, gdzie X X, kóra generuje model probabilisyczny z warunkową funkcją kwanylową: F Y ( τ x) = x' β ( τ ) dla τ, x X (.) Funkcja β( ) jes nieparameryczną funkcją τ, kóre jeżeli = (0, ) również odpowiada modelowi sochasycznemu z losowymi paramerami: Y = X β(ε) oraz ε = U(0, ), X X. (.) Ważne jes, aby było spełnione równanie. przy dodakowych ograniczeniach: = [0, η] dla pewnego 0 < η < oraz x X, kóry jes zwarym podzbiorem R d (.3). Różne modele liniowe (.) mogą być sosowane dla różnych podzbiorów danych generujących różne macierze kowariancji X (przykładowo mogą być rozparywane w lokalnym sąsiedzwie danego x o, wówczas model liniowy (.) może być rakowany jako rozwinięcie Taylora). Model (.) ma fundamenalne znaczenie w eoreycznej i empirycznej lieraurze o regresji kwanylowej. Jego przyszłe zasosowania o możliwość wyznaczania kwanylowej specyfikacji efeku kowariancji w znanym modelowaniu liniowym. Wykorzysamy nasępujące podejście meodologiczne: połączymy liniowy model z ograniczeniami na ogonie rozkładu, zaczerpnięymi z eorii warości eksremalnych, aby uzasadnić własności asympoyczne. Wnioskowanie o warościach β(τ) wykorzysuje w regresji kwanylowej saysyki ˆ β ( τ ) zdefiniowane jako rozwiązanie problemu wyznaczenia minimum absolunych asymerycznych odchyleń: gdzie ˆ β ( τ ) = arg min ρ τ ( u ) = ( τ I ( u 0)) u **. T d β R = ' ρ ( Y X β ) τ (.4) * Zapis x oznacza wekor x z pominięciem pierwszej składowej x. ** I[A] = if A is rue, I[A] = 0 oherwise.

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 3 Regresja Laplace a (88) medianowa regresja jes szczególnym przypadkiem ego zadania, wówczas ρ / ( u ) = u /. Saysyki ˆ β ( τ ) są nauralnym uogólnieniem kwanyli z próby do przypadku ciągłego. W przypadku zadania jednowymiarowego kwanyl rzędu τ może być wyznaczony jako rozwiązanie powyższego problemu (bez kowariancji), wówczas X =. Aby wprowadzić własności β(τ) dla dużych prób w ogonach rozkładów, wyróżnimy rzy ypy regresji kwanylowej w próbie zgodnie z eorią warości eksremalnych * : a) eksremalny porządek ciągu: τ T 0, τ T T k > 0, b) wewnęrzny porządek ciągu: τ T 0, τ T T, c) cenralny porządek ciągu: τ (0,), jes usalone, T. Będziemy rozparywać saysyki ˆ β ( τ ) dla eksremalnych i wewnęrznych porządków ciągów, a nasępnie zapiszemy saysyki spełniające równocześnie założenia jako eksremalne regresje kwanylowe, przyjmując oznaczenie ˆ( β τ T ). Oznacza o, że pominiemy zapis T w przyjęym oznaczeniu τ T (jeżeli nie spowoduje o niezrozumienia).. Teoria warości eksremalnych a model liniowy regresji kwanylowej Mamy zmienną losową U z dysrybuaną F u oraz najmniejszą warością (ang. lower end-poin) s u = 0 lub s u = oraz nasępujące możliwe ogony rozkładów (Resnik, 987): ypu jeżeli z s u = 0 lub s u = v F u ( z + va( z)) ~ F ( z) e, v R, ξ 0, u ypu jeżeli z s u = ξ u F u (vz) ~ v F ( z), v > 0, ξ > 0, ypu 3 jeżeli z s u = 0 ξ u F u (vz) ~ v F ( z), v > 0, ξ < 0 z gdzie a( z) = F ( v) dv / F ( z), dla z > s u. su u u * Osanie sformułowanie odpowiada klasycznej eorii.

4 Grażyna Trzpio Liczba ξ jes nazywana indeksem ogona (ang. exreme value index), naomias F u z ogonem ypu -3 należy do rodziny minimum przyciągania w dziedzinie (a(z) ~ b(z), co zapisujemy nasępująco: a(z)/b(z) granica wyznaczana jes po z). Warunek. Dla modelu zapisanego jako. isnieje odwzorowanie, linia pomocnicza (auxiliary line) x a x β r aka, że: U = Y X β r wraz z s U = 0 lub s U = (.) dla pewnych F u ypu, lub 3 w ogonach: F U ( z x) ~ K(x) F u (z) (.) K( ) > 0 jes ciągłą ograniczoną funkcją na X. Bez sray ogólności można przyjąć, że K(x) =, x = μ X oraz F ( z) F ( z x). u = Warunek. Dysrybuana rozkładu X = (, X ) jes wekorem zmiennych objaśniających o wymiarach d, F X ma zwarą dziedzinę X oraz EXX określone dodanio. Bez sray ogólności można przyjąć, że μ X = EX = = (,0,,0). Jeżeli Y ma skończoną dolną warość, czyli Xβ(0) >, wówczas, co wynika z warunku, β r β(0), zaem U = Y X β(0) 0 ma najmniejszą warość wynoszącą 0, co wynika z przyjęej konsrukcji. W przypadku nieograniczonym Xβ(0) = nie wskażemy rozwiązania i nie dopasujemy pomocniczej linii. Zapisany warunek jes założeniem podsawowym. Po pierwsze, warunek wymaga od ogonów zmiennej U = Y X β r, dla pewnych β r, aby były w minimum przyciągania w dziedzinie, kóra jes nieparameryczną klasą rozkładów (Resnick, 987; Embrechs, Kliippelberg, Mikosch, 997). W ym sensie specyfikacja warunku jes semiparameryczna. Przykłady. oraz. prezenują pewne modele regresji spełniające warunek. Po drugie, warunek wymaga, aby dla dowolnych x', x" X, z FU ( z x ) oraz z FU ( z x ) miały ogony równoważne co do sałej. Ten warunek jes uzasadniony poprzez domknięcie dziedziny do minimum ważności z minimum przyciągania w dziedzinie przy równoważności ogonów własność.9 w Resnick (987). Własność zawarości zbioru X w warunku jes konieczna, co wynika z eorii granic dla regresji kwanylowej; granica (w szczególnych przypadkach) może ogólnie się zmienić. W zasosowaniach zwarość może być narzucona przez obcięe explicie obserwacje zależne od ego, czy X X. W ym przy- U

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 5 padku liniowy model (.) z założenia może być zasosowany ylko do warości X w X. Zasadniczo, im mniejszy zbiór X, ym mniej resrykcyjny jes linowy model (Chaudhuri, 99). Również obcięcie X do X eliminuje wpływ odsających warości na graniczną dysrybuanę, a wnioskowanie przebiega jak w przypadku cenralnej regresji kwanylowej. Poniższe wierdzenie wskazuje (Chernozhukov, 005), jaką reprezenację może mieć K(x) określone w warunku. Twierdzenie. Przy spełnieniu warunku i dla pewnego c R d : x c e, dla FU, ypu, ξ = 0 / ξ K ( x) = ( x c), dla FU, ypu, ξ > 0 (.3) / ξ ( x c), dla FU, ypu 3, ξ < 0 gdzie μ X c = dla ogonów ypu i 3, μ X c = 0 dla ypu oraz x c > 0 dla wszyskich x X dla ogonów ypu i 3. Przykład. Rozważmy model regresji ze zmienną przesunięcia: Y= X β + U (.4) gdzie U jes niezależne od X, oraz rozparzmy przypadek aki, że U jes w minimum przyciągania w dziedzinie. Jeżeli dolna warość dziedziny U jes skończona, o jes unormowana do zera. Jes o szczególny przypadek z warunku, gdzie X β r X β Y X β, K(X) = p.w. Przedsawiony proces generujący dane (.4) był wielokronie wykorzysywany w pracach związanych z regresją (Huber, 973; Rao, 965). Różne sandardowe modele przeżycia czy dożycia również wykorzysują model.4 po ransformacji danych, przykładowo model Coxa z rozkładem hazardu Weibulla. Również wiele eoreycznych prac wykorzysuje równanie.4. Ważne jes, że model en jes zgodny z warunkiem. Przykład. Rozważmy model regresji ze zmienną skali i przesunięcia: Y = X β + X σ V, V jes niezależne od X (.5) gdzie X σ > 0 (p.w.) jes funkcją skali, naomias V jes w minimum przyciągania w dziedzinie z ξ 0. Wówczas równanie.5 implikuje nasępującą liniową funkcję warunkowych kwanyli: F ( τ x) X ' β + X ' σ F ( τ ) (.6) Y = V

6 Grażyna Trzpio Wówczas dla X β r X β, U Y X β r = X σ V, gdzie P(X σ V z X) ~ ξ ( X σ ) F ( z), jeżeli z 0 lub, zaem warunek jes spełniony dla V ξ F U F V oraz K(X) = ( X σ ). Proces generujący dane.5 wykorzysano w pracach Koneker, Basse (98), Guenbrunner, Jureckowa (99), He (997). Przykład.3 Rozważmy model regresji kwanylowej ze zmienną przesunięcia: Zauważyliśmy, że warunek spełniają ogólne modele sochasyczne zapisane równaniami.4 i.5 Dodajmy, że z warunku wynika, iż F U (u X) = F V (u X) są niezależne jedynie w ogonach. W obydwu przypadkach a słaba niezależność określa wymagania co do X, przykładowo negaywny wpływ na najwyższe i najniższe kwanyle, ale dodani wpływ na kwanyle blisko mediany. I odwronie, zauważmy, że z równania.6 oraz.4 i.5 wynika en specyficzny wniosek w odniesieniu do kwanyli. Zaem warunek uzasadnia własność heerogeniczności modelu., pozwalając na wnioskowanie o wekorze kowariancji eksremalnych kwanyli, kóry jes odmienny od wekora kowariancji środkowych kwanyli. 3. Asympoyczność porządku eksremalnego kwanylowej regresji Rozparzymy ciąg τ i, i =,..., l, aki, że τ i T k i > 0, jeżeli T, oraz odpowiednią znormalizowaną saysykę regresji kwanylowej Z ˆ ( ) jako: Zˆ ( k) a T T T k i ( ˆ( β τ ) β b ) (3.) gdzie ˆ β ( τ ) jes regresją kwanylową, βr współczynnikiem linii pomocniczej zdefiniowanej w (.), e l = (, 0,...)' R d, a (a T, b T ) są normalizowanymi kanonicznymi sałymi określonymi nasępująco dla ogona: r Te ypu ypu at = F, a u = bt Fu T T a, T T = / Fu T = 0 b (3.)

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 7 ypu 3 a = / Fu, T T b T = 0 gdzie F u jes zdefiniowane w warunku. Dodakowo rozważmy scenrowaną saysykę: ˆ c Z T ( k) a T ( ˆ( β τ ) β ( τ )) (3.3) oraz proces punkowy dla U = Y X β r jako proces Poissona. Twierdzenie (eksremalny porządek kwanylowej regresji * ) Zakładamy spełnienie warunku W i W, dodakowo {Y,, X } są niezależne i o akim samym rozkładzie. Wówczas, jeżeli τt k > 0 oraz T : Zˆ ' + [ k X z + ( x' z u) dn( u, x ] d T ( k) Z ( k) arg min μ Ζ ) (3.4) z gdzie Z (k) jes wyznaczone jednoznacznie dla wekorów należących do Ζ, + gdzie ( x ' z u) = ( u x' z) ( x' z u), Ζ = R d dla ogonów ypu oraz 3, naomias Ζ = {z R d : max x X z x 0} dla ogonów ypu. Dodakowo: d ˆ c c ZT ( k) Z ( k) Z ( k) η( k) (3.5) gdzie c + ln ke, ξ η ( k) = k c, ξ k c, ypu ypu ypu 3 W przypadku τt 0 esymaor orzymywany poprzez rozwiązanie zadania programowania liniowego był w przypadku modelu regresji ze zmienną przesunięcia (przykład.) rozwiązaniem zadania: max X ' β d β R akie, że Y X ' β, dla wszyskich T, gdzie X = T T = X. * Chernozhukov (005).

8 Grażyna Trzpio 4. Asympoyczność porządku cenralnego kwanylowej regresji Aby zapisać asympoyczny wynik dla środkowych regresji kwanylowych, zapiszemy dodakowy warunek. Po pierwsze jes wymagane isnienie kwanylowej funkcji gęsości F U ( τ x) / τ x' β ( τ ) / τ oraz jej regularność. Po drugie równoważność warunkowego rozkładu, zakładanego w warunku, musi być wzmocniona równoważnością w ogonie warunkowego rozkładu kwanylowej funkcji gęsości. Warunek 3. Dodakowo do założeń W i W, dla ξ zdefiniowanego jako indeks ogona *, zachodzi: a) b) F U ( τ x) F τ ~ U ( K( x)) w x X, τ τ F u ( τ ) jes regularna w 0 z wykładnikiem ξ. τ Nasępujące wierdzenie określa słabą zbieżność ẐT oraz wszyskich Zˆ T ( l). Ponieważ τ 0, granica zależy jedynie od ξ oraz c, ak jak w wierdzeniu poprzednim, ale ponieważ τt, granica ma rozkład normalny. Twierdzenie 3 (eksremalny porządek kwanylowej regresji ** ) Zakładamy spełnienie warunków -3 oraz {Y,, X }są niezależne i o akim samym rozkładzie. Wówczas, jeżeli τt 0 oraz τ 0: T d Z ˆ Z = N(0, ), = Q Ω 0 ξ Ω 0 H QXQH ξ ( m ) gdzie dla ξ = 0 inerpreujemy wielkość ξ /( m ) jako (ln m) oraz: Q H E[ H ( X )] XX, Q X EXX H(x) x c, dla ogonów ypu i 3 H(x), dla ogonów ypu. ξ * Por. punk 3. ** Chernozhukov (005).

EKSTREMALNA REGRESJA KWANTYLOWA 9 Osaecznie a T (l) może być zasąpione przez: zaem: a T τlt / X '( ˆ( β mlτ ) ˆ( β mτ )) τlt ( l) / X '( ˆ( β mlτ ) ˆ( β mτ )) p, gdzie X = T T = X. Podsumowanie W pracy omówiono eorię regresji kwanylowej w ogonach rozkładów. W szczególności przedsawiono eksremalne własności dla dużej próby (eksremalny porządek oraz cenralny porządek) esymaorów regresji kwanylowej dla modelu liniowego regresji kwanylowej z obcięym ogonem rozkładu do isonego minimum rozważanej dziedziny i domknięe pod warunkiem ekwiwalenności ogona względem warości regresorów. Lieraura Abrevaya J. (00): The Effecs of Demographics and Maernal Behavior on he Disribuion of Birh Oucomes. Empirical Economics, 6, s. 47-57. Chamberlaing G. (994): Quanile Regression, Censoring, and he Srucure of Wages. W: Advances in Economerics: Sixh World Congress Red. C. Sims. Cambridge Universiy Press. Chaudhuri P. (99): Nonparameric Esimaes of Regression Quaniles and Their Local Bahadur Represenaion. Ann. Sais., 9, s. 760-777. Chernozhukov V. (998): Nonparameric Exreme Regression Quaniles. Working Paper. Presened a Princeon Economerics Seminar, Sanford Universiy, December 998. Chernozhukov V. (005): Exremal Quanile Regression. The Annals Of Saisics, Vol. 33, No., s. 806-839. Chernozhukov V., (999): Condiional Exremes and Near-Exremes: Esimaion, Inference, and Economic Applicaions. Ph.D. Disseraion, Dep. Economics, Sanford Universiy, available a: www.mi.edu/tvchern. Chernozhukov V., Umansev L. (00): Condiional Value-A-Risk: Aspecs of Modeling and Esimaion. Empirical Economics, 6, s. 7-9. Donald S.G., Paarsch H.J. (993): Piecewise Pseudo-maximum Likelihood Esimaion in Empirical Models of Aucions. Inerna. Econom. Rev., 34, s. -48.

0 Grażyna Trzpio Embrechs P., Kluppelberg C., Mikosch T. (997): Modelling Exremal Evens. Springer, Berlin. Guenbrunner C., Jureckova J. (99): Regression Rank Scores and Regression Quaniles. Ann. Sais., 0, s. 305-330. He X. (997): Quanile Curves wihou Crossing. Amer Sais., 5, s. 86-9. Huber P.J. (973): Robus Regression: Asympoics, Conjecures and Mone Carlo. Ann. Sais.,, s. 799-8. Koenker R., Basse, G.S. (978): Regression Quaniles. Economerica, 46, s. 33-50. Koenker R., Basse G.S. (98): Robus Tess for Heeroscedasiciy Based on Regression Quaniles. Economerica, 50, s. 43-6. Laplace P.-S. (88): Theorie Analyique Des Probabiliis. Ediions Jacquesgabay (995), Paris. Rao C.R. (965): Linear Saisical Inference and Is Applicaions. Wiley, New York. Resnick S.I. (987): Exreme Values, Regular Variaion, and Poin Processes. Springer, New York. Tsay R.S. (00): Analysis of Financial Time Series. Wiley, New York. EXTREMAL QUANTILE REGRESSION' Summary Quanile regression is an imporan ool for esimaion of condiional quaniles of a response Y given a vecor of covariaes X. I can be used o measure he effec of covariaes no only in he cener of a disribuion, bu also in he upper and lower ails. This paper describe a heory of quanile regression in he ails. Specifically, i obains he large sample properies of exremal (exreme order and inermediae order) quanile regression esimaors for he linear quanile regression model wih he ails resriced o he domain of minimum aracion and closed under ail equivalence across regressor values.

Grażyna Trzpio O WŁASNOŚCIACH TRANSFORMUJĄCYCH MIAR RYZYKA Wprowadzenie W osanich laach miara Value a Risk (VaR α ) była wybierana w insyucjach do pomiaru ryzyka jako miara ryzyka rynkowego. Podsawową zaleą VaR α, w porównaniu z innymi miarami ryzyka jes fak, że kiedy zasosuje się ę miarę do dowolnego insrumenu finansowego, orzymuje się ocenę ryzyka wyrażoną jako sraa w jednoskach pieniężnych. Dodakowo VaR α jes sosunkowo prosa w zasosowaniu w ocenie różnych ryzyk na różnych rynkach. Pomimo ej uniwersalności wielu auorów wymienia słabości ej miary jako miary ryzyka, ponieważ nie posiada własności subaddyywności lub wypukłości, dodakowo jes rudna do wykorzysania w zadaniach opymalizacyjnych, ponieważ może mieć kilka lokalnych warości minimalnych (Basak, Shapiro, 00). Arzner, Delbaen i Eber (997) sformułowali pyanie: jakie własności powinna posiadać miara ryzyka dla różnych ryzyk w skończenie wymiarowej przesrzeni probabilisycznej? Auorzy zaproponowali zbiór własności dla miary ryzyka ak, aby była koherenną miarą ryzyka: subaddyywność, ranslację inwarianną, dodanią homogeniczność i monooniczność. Ich praca zosała rozszerzona do ogólnej przesrzeni probabilisycznej przez Delbaena (00). Wraz z koncepcją koherennych miar ryzyka oraz ich własności pojawiły się różne zbiory miar, każde z innymi własnościami: miar wypukłych (Föllmer, Shied, 00; Frielli, Rosazza, 00), miar spekralnych (Acerbi, 00) lub miar odchyleń (Rockafellar, Uryasev, Zabarankin, 006). Aksjomay charakeryzujące miary ryzyka podzielono na rzy grupy: racjonalne, addyywne oraz o charakerze ylko echnicznym. Auorzy zdeerminowali swoje miary ryzyka jako funkcjonał zależny od ekonomicznych własności modelu, akich jak oczekiwana użyeczność lub ransformowana użyeczność (Denui i in., 006). Goovaers i inni (003b) uzyskali wiele miar ryzyka poprzez wyznaczenie minimum ograniczenia Markowa przyjęego dla ogona rozkładu.

Grażyna Trzpio Poniżej omówiono miary ryzyka, kóre nie spełniają wszyskich własności wymaganych, aby uniknąć niewłaściwych decyzji. Zapisano, czym jes zupełność, kórą powinny mieć wszyskie miary ryzyka. Nasępnie w zależności od przyjęej miary ryzyka pokazano dodakowe zbiory własności definiujące miary wyczerpujące oraz adapacyjne.. Własności miar ryzyka Przesrzeń prób zapiszemy jako Ω, nasępnie jako X: Ω R zapiszemy zmienną losową opisującą sray lub zyski (ryzyko) powiązane z pewną inwesycją, w pewnym usalonym okresie inwesycji w czasie [0, T]. Rozważymy przesrzeń probabilisyczną (Ω, P) oraz zbiór wszyskich ryzyk zapiszemy jako X. Jes o zbiór wszyskich funkcji rzeczywisych na Ω. Miarę ryzyka definiujemy nasępująco: Definicja.. Miarą ryzyka jes funkcja ρ : X R. Jeżeli warość ρ(x) związana z miarą ρ do ryzyka X jes dodania, może być inerpreowana jako minimalna kwoa pieniężna, jaką agen musi dodać do pozycji X, poprzez inwesycje o sopie wolnej od ryzyka. Przeciwnie, jeżeli ρ(x) jes ujemne, wówczas wielkość ρ(x) może być usunięa, bez ryzyka, z bieżącej pozycji. VaR α może być zdefiniowane nasępująco (dla warości rynkowej inwesycji i może być zapisane w bardziej ogólnym konekście) (Duffie, Pan, 997): Dla usalonego horyzonu czasowego T oraz usalonego poziomu ufności α 00%, VaR α jes poziomem sra na rynku, kóre mogą być przekroczone z prawdopodobieńswem nie większym niż α. VaR α zazwyczaj odpowiada na pyanie: Jaka jes minimalna sraa pojawiająca się w ( α) 00% najgorszych przypadkach sopy zwrou w porfelu? Przy akiej inerpreacji ej miary widać, że VaR α jes α-kwanylem rozkładu sra. Definicja.. Dla ryzyka X w usalonym okresie [0, T] oraz przy usalonym 0 < α <, Value a Risk jes zdefiniowana jako: VaR α (X) = sup{x R P(X x) > α}.