a prawach rękopisu Istytut Iżyierii Lądowej Politechiki Wrocławskiej Aaliza drgań wybraych dźwigarów powierzchiowych metodą elemetów brzegowych Raport serii PRE r 5/ Praca doktorska autor mgr iż. Jacek Oleńkiewicz łowa kluczowe: metoda elemetów brzegowych, dyamika, membraa, płyta cieka, płyta gruba Promotor: dr hab. iż. Kazimierz Myślecki, prof. PWr Wrocław, wrzesień
pis treści. Wybrae symbole i ozaczeia...5. Wstęp...6.. Cel i zakres pracy...6 3. Wprowadzeie...8 3.. Podstawy metody elemetów brzegowych...8 3.. Rozwiązaie podstawowe... 3.3. Rozwiązaie podstawowe -tej potęgi laplasjau...3 3.4. Metoda Kupradzego...3 3.5. Elemety brzegowe...6 4. Przegląd metod elemetów brzegowych stosowaych w aalizie dyamiczej...9 4.. Metoda kroków czasowych...9 4.. Metoda alteratywa... 5. Aaliza drgań membray...4 5.. formułowaie problemu...4 5.. Rozwiązaie podstawowe rówaia drgań własych membray...5 5.3. Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych membray...6 5.4. Wyzaczeie częstości drgań własych...7 5.5. Wyzaczeie form własych...8 5.6. Drgaia wymuszoe bez tłumieia...9 5.7. Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia...3 5.8. Przykład umeryczy membray...34 6. Aaliza drgań płyty ciekiej...46 6.. formułowaie problemu...46 6.. Rozwiązaie podstawowe rówaia drgań własych płyty...46 6.3. Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych płyty...47 6.4. Wyzaczeie częstości drgań własych...49 6.5. Wyzaczeie form własych...5 6.6. Drgaia wymuszoe bez tłumieia...5 6.7. Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia...54 6.8. Przykład umeryczy płyty ciekiej...57 7. Aaliza drgań płyty grubej...68 7.. formułowaie problemu...68 7.. Rozwiązaie podstawowe...7 3
7.3. Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych płyty grubej... 75 7.4. Wyzaczeie częstości drgań własych... 77 7.5. Wyzaczeie form własych... 79 7.6. Drgaia wymuszoe bez tłumieia... 79 7.7. Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia... 8 7.8. Przykład umeryczy płyty grubej... 86 8. Podsumowaie... 9 pis literatury... 94 treszczeie... 97 ummary... 98 Załącziki... 99 A. Trasformacja Fouriera... 99 B. Trasformacja Laplace a... C. Metoda małego parametru... D. Dwumia ewtoa... E. Metoda Hörmadera... F. Promień zbieżości rozwiązań podstawowych... 3 G. Architektura kodu programów liczących przykłady umerycze... 5 4
. Wybrae symbole i ozaczeia δ - delta Diraca (dystrybucja), i - jedostka urojoa i =, ω - częstość kołowa ω π f, f [ Hz] E - moduł Youga, G - moduł Kirchhoffa, ν - współczyik Poissoa, h - grubość płyty, T - siła aciągu membray =, m, kg γ - gęstość płyty grubej 3 m, kg m - gęstość powierzchiowa płyty ciekiej (membray) m, H - sztywość postaciowa płyty grubej D - sztywość płyty a zgiaie Eh D = - obszar dźwigara powierzchiowego, 5 H = Gh, 6 3 ( ν ) C - brzeg obszaru dźwigara powierzchiowego, i, j, k, - wskaźiki zakresu {,, 3 }, α, β, - wskaźiki zakresu {, }, =, x ()., α - pochoda cząstkowa (., ) (). - operator Laplace a (). (). α α =, x x α α, 5
. Wstęp Jedą z metod umeryczych, pozwalających wszechstroie rozwiązywać zagadieia mechaiki, jest metoda elemetów brzegowych ([,9,]). Pozwala oa, podobie jak ie tego typu metody (p. metoda różic lub elemetów skończoych), budować uiwersale modele umerycze ciał o dowolej geometrii, warukach brzegowych i schematach obciążeń działających a ie. Zaletą metody elemetów brzegowych jest to, że dyskretyzacji a elemety podlega tylko brzeg obszaru, co powoduje zmiejszeie o jede rząd wymiaru rozważaego zagadieia. W te sposób liczba daych, jakie ależy przygotować do obliczeń i przetworzyć jest zaczie miejsza iż w iych metodach. W iiejszej pracy przedstawioe zostaą modele matematycze dźwigarów powierzchiowych (membraa, płyta cieka i płyta gruba Reissera-Midlia). Do dyskretyzacji brzegu dźwigarów powierzchiowych stosowae będą elemety izoparametrycze z fukcjami kształtu w postaci wielomiau iterpolacyjego Lagrage a... Cel i zakres pracy Celem pracy jest wykoaie aalizy dyamiczej membray oraz płyty ciekiej i grubej tz.: wyzaczeie częstotliwości drgań i postaci form własych oraz wyzaczeie drgań wymuszoych przy pomocy metody elemetów brzegowych. Aby moża było sformułować tożsamość całkową omigliay, staowiącą istotę metody ([,9,]), ależy wyzaczyć rozwiązaia podstawowe wyjściowego układu rówań różiczkowych, które są jądrem rówań całkowych. Orygialym elemetem pracy jest podaie sposobu wyzaczaia rozwiązań podstawowych w dyamice. W przypadku zagadień dyamiczych w wyjściowych rówaiach opisujących day dźwigar pojawia się dodatkowy wymiar, jakim jest czas. Do separowaia w owych rówaiach zmieych geometryczych od zmieej czasowej będzie wykorzystywaa metoda rozdzieleia zmieych Fouriera. MEB będzie służyła do całkowaia rówań opisujących day dźwigar powierzchiowy po zmieych geometryczych, atomiast całkowaie po czasie będzie wykoywae w sposób aalityczy. Zakłada się rozwiązaia wyżej wymieioych rówań w postaci iloczyu dwóch fukcji o zmieych iezależych, odpowiedio zmieych geometryczych oraz zmieej czasowej. Przy formułowaiu rozwiązań podstawowych MEB pojawiają się jedyie zmiee geometrycze, atomiast czas jest zastąpioy parametrem, poieważ zmieość względem czasu zakłada się w postaci harmoiczej. Takie podejście stosowae będzie w rozwiązaiach podstawowych pokazaych w iiejszej pracy. 6
Istieją też ie sposoby rozwiązywaia zagadień dyamiczych metodą elemetów brzegowych. Zarys tych metod zostaie pokazay w początkowych rozdziałach. 7
3. Wprowadzeie 3.. Podstawy metody elemetów brzegowych Podstawową zasadą pozwalającą a wyprowadzeie rówań brzegowych w metodzie elemetów brzegowych jest zasada wzajemości prac Bettiego. Mówi oa, że jeżeli a liiowy ustrój sprężysty działają kolejo dwa dowole układy obciążeń, to praca pierwszego obciążeia a przemieszczeiach wywołaych przez drugie obciążeie jest rówa pracy drugiego obciążeia a przemieszczeiach wywołaych przez pierwsze obciążeie. Dotyczy oa obciążeń uogólioych, którymi mogą być siły i momety oraz odpowiadających im przemieszczeń uogólioych. Zasadę tę odkrył włoski matematyk Erico Betti (87). ajłatwiej wyprowadzić metodę elemetów brzegowych a przykładzie ajprostszego z dźwigarów powierzchiowych, jakim jest membraa. tatykę takiej membray opisuje rówaie Poissoa T w= q (3.) gdzie w jest fukcją ugięcia membray a obszarze. T jest siłą apiającą, atomiast q fukcją obciążeia zewętrzego o tym samym kieruku działaia co ugięcie w. Fukcje q i w są fukcjami dwóch zmieych geometryczych x = (x, x ) wzajemie prostopadłych, ależących do obszaru. Opisywaa powyższym rówaiem membraa posiada brzeg C, gdzie C jest brzegiem o zadaym przemieszczeiu w= w, w C atomiast C brzegiem o zadaej sile poprzeczej V = V, w C. a brzegu C, zakładamy występowaie reakcji poprzeczej V opisywaej zależością w T = V (3.) gdzie pochoda występująca po prawej stroie rówaia jest liczoa w kieruku ormalego wektora jedostkowego prostopadłego do brzegu C. W otacji wskaźikowej powyższe rówaia przyjmą astępującą postać 8
Tw, = q αα Tw, = V α α α {, } (3.3) formułujmy brzegowe rówaie całkowe. Wykorzystae zostaie do tego twierdzeie Bettiego. Rozpatrując rówaie membray poddae dwóm obciążeiom q i q *, które spowodują ugięcia membray w i w * moża rówaie (3.) pomożyć obustroie przez fukcję ugięcia w *, a astępie scałkować po obszarze. Rówaie (3.) po przemożeiu ma astępującą postać * * Tw, αα w = q w (3.4) Prawą stroę rówaia moża astępie rozwiąć wykorzystując tożsamość różiczkową (pochoda iloczyu) ( ) Tw w = T w w + Tw w (3.5) * * *, αα, α, α, α, α Tę samą operację moża wykoać poowie a składiku występującym po lewej stroie rówaia (3.5) ( ) ( ) Tw w = T w w + T ww Tww (3.6) * * * *, αα, α, α, α, α, αα Po obustroym scałkowaiu rówaia (3.6) po obszarze otrzymuje się twierdzeie Bettiego w postaci wzoru * * * *, αα d (, α ), α d (, α ), α d, αα d (3.7) T w w = T w w + T ww T ww W rówaiu (3.7) moża zastosować twierdzeie Ostrogradskiego-Gaussa, które dla zagadień dwuwymiarowych ma astępującą postać ( ) = ( )., α d. αdc (3.8) C 9
Po wprowadzeiu twierdzeia (3.8) rówaie (3.7) ma postać (3.9) = + * * * * T w, αα w d T w, α w α d C T ww, α α d C T ww, αα d C C Do rówaia (3.9) moża wprowadzić zależość (3.) i (3.) zapisaą zarówo dla fukcji w jak i w *. Ostateczie rówaie (3.9) przyjmie astępującą postać * * * * qwd = VwdC wv dc+ wq d (3.) C C Jeżeli obciążeie q * zostaie zastąpioe obciążeiem skupioym (siłą jedostkową), zaś w * fukcją ugięcia membray poddaej takiemu obciążeiu, wówczas odpowiedie wyrażeia mają postać q * ( xy, ), ( xy) = δ x * w w,, T w = = δ w,,, y ( xy) * V = V V = T C ( ) y (3.) Zaś tożsamość całkowa (3.) przyjmie postać qwd = VwdC wvdc + w δ d (3.) C C Korzystając z własości dystrybucji δ-diraca moża policzyć ostatią całkę w rówaiu (3.), y \ C w( x) δ ( x, y) d = αw( y), α =, y C (3.3) Fukcja δ-diraca jest fukcją dwóch puktów: x będzie azyway puktem bieżącym, zaś y jest to miejsce przyłożeia siły jedostkowej, w którym wartość dystrybucji jest ieskończoa. Po wstawieiu zależości (3.3) do tożsamości (3.) otrzymuje się astępującą tożsamość ogmiliay
( y) ( z) ( z y) ( z) ( z y) ( x) ( x y) αw w V, d C + V w, d C = q w, d z C C C (3.4) gdzie z jest puktem brzegowym. Dokoując przejścia graiczego z puktem y a brzeg C, współczyik α przyjmuje wartości z przedziału <,> i będzie wprost proporcjoaly do kąta rozwarcia aroża w pukcie y. Poieważ przejście z puktem y a C wiąże się z pojawieiem a brzegu puktów osobliwych, całki brzegowe w rówaiu (3.4) muszą być rozumiae, jako wartości główe Cauchy ego. W iiejszej pracy do wyzaczeia wielkości fizyczych a brzegu stosoway będzie wariat Kupradzego, który zakłada umiejscowieie puktów kolokacji a zewętrzym koturze brzegu C. W każdym pukcie z występuje jeda iezaa brzegowa wielkość fizycza. a części brzegu C będzie to reakcja pioowa V, a a C iezae ugięcie w. Rówaie (3.4) rozwiązywae jest zwykle umeryczie. Brzeg dzieloy jest a skończoą liczbę elemetów (im więcej, tym dokładiejsza aproksymacja fukcji wielkości brzegowych). Poszczególy elemet brzegowy zawiera określoą liczbę puktów brzegowych (w przypadku aproksymacji krzywej brzegowej i wielkości brzegowych wielomiaami Lagrage a będzie oa o jede większa od stopia wielomiau). Korzystając z twierdzeń całkowych o jedorodości i addytywości uzyskuje się z rówaia (3.4) układ rówań algebraiczych, w którym wektor iewiadomych tworzą szukae wielkości brzegowe w puktach z. 3.. Rozwiązaie podstawowe Rozwiązaiem podstawowym rówaia różiczkowego azywa się rozwiązaie szczególe, w którym prawa stroa jest dystrybucją δ-diraca ([3,38]). a przykład, w przypadku membray rozwiązaie podstawowe otrzymujemy z rówaia (, ) δ (, ) T w xy = xy (3.5) Rozwiązaie podstawowe membray moża uzyskać używając trasformacji Fouriera (załączik A). Ma oo astępującą postać ([39])
r w( xy, ) = l (3.6) πt r gdzie ( ) ( ) r = x y = x y + x y (3.7) zaś r jest dowolą stałą o wymiarze długości. Poieważ rozwiązaia podstawowe są fukcjami ieograiczoymi brzegiem, a laplasja i jego potęgi moża przedstawić w postaci osiowo symetryczej, podobie jak dystrybucję delta Diraca względem puktu y, rówaie różiczkowe cząstkowe (3.5) moża sprowadzić do rówaia osiowo symetryczego. Wtedy rówaie to staje się rówaiem różiczkowym zwyczajym jedej zmieej, którą jest promień r. Po przemożeiu fukcji (3.6) przez -T otrzymuje się rozwiązaie podstawowe rówaia harmoiczego, które jest rówaiem Poissoa dla fukcji Greea ([6,]) d d w ( r) δ ( r), r π r r dr dr r w ( r) = l π r = = (3.8) Chcąc adać rozwiązaiu podstawowemu ses fizyczy ależałoby ajpierw ziterpretować dystrybucję δ-diraca. W przypadku rozwiązaia podstawowego membray jest to fukcja obciążeia poprzeczego zadaa a całym (ieskończoym) obszarze membray w postaci siły skupioej o wartości. Poieważ siła o skończoej wartości obciąża membraę a ieskończeie małej powierzchi, będzie oa wywierać w miejscu przyłożeia ieskończeie duże ciśieie, co spowoduje powstaie ieskończeie dużego ugięcia membray. Z tego właśie powodu, chcąc uikąć całkowaia przez pukt osobliwy, pukt źródłowy rozwiązaia podstawowego umieszcza się poza obszarem całkowaia (wariat Kupradzego). Poieważ rozwiązaie podstawowe ie uwzględia waruków brzegowych, ie jest jedozaczie określoe (dwa rozwiązaia podstawowe mogą się różić o rozwiązaie ogóle rówaia jedorodego).
3.3. Rozwiązaie podstawowe -tej potęgi laplasjau. Rówaie -tej potęgi laplasjau moża wyprowadzić używając zależości ( ) w = w = w w = w (3.9) Wzór a rozwiązaie podstawowe -tej potęgi laplasjau zakładamy w postaci ( ) r r w( r) = Cl D π r (3.) astępie moża zadziałać operatorem Laplace a a wzór (3.) [ ] ( ) r r w( r) = 4( ) C l 4( ) D 4( ) C π r (3.) Przyrówując do siebie odpowiedie składiki rozwiązań (3.) (dla w ) i (3.) moża uzyskać wzory rekurecyje a C i D. a podstawie wzoru (3.8) da się zauważyć że C = a D = + ( ) C = 4 C, C C = 4 C, C = 4 +, ( ) ( ) D = 4 D 4 C D D C = 4 D+ C = + D 4 + (3.) 3.4. Metoda Kupradzego Metoda Kupradzego zostaie wyjaśioa a przykładzie membray. Jeżeli pukty kolokacji umiejscowioe zostaą poza obszarem membray to rówaie (3.4) przyjmie astępującą postać 3
( z) ( z y) + ( z) ( z y) = ( x) ( x y) w V, d C V w, d C q w, d C C y C (3.3) Po dyskretyzacji brzegu a elemety ustala się pukty kolokacji a zewętrzym koturze brzegu w sąsiedztwie iezaych wartości węzłowych zajdujących się a brzegu C ([5]). Odległość koturu od brzegu określa parametr ε (rysuek 3.). W przypadku membray występuje tylko jeda iezaa wartość węzłowa, jest to przemieszczeie lub reakcja pioowa, dlatego wystarczy przyjąć jede kotur z jedakową liczbą puktów kolokacji, co puktów węzłowych. Jeżeli rozwiązywae jest zagadieie z większą liczbą iezaych wielkości w węźle p. płyta cieka (dwie iezae wielkości w węźle), lub płyta gruba (trzy iezae wielkości w węźle), moża rozmieścić tyle zewętrzych koturów ile iezaych wielkości fizyczych w węźle. Wzajemą odległość koturów określa rówież parametr ε. pukty węzłowe ε ε C pukty kolokacji kotury zewętrze Rys. 3.. Rozmieszczeie puktów kolokacji 4
Podstawowym problemem metody Kupradzego jest właściwy dobór ε. Zbyt mały parametr powoduje zbliżaie się osobliwości, występujących w puktach kolokacji, do brzegu. W wyiku tego procedury umerycze odpowiedziale za całkowaie po brzegu mogą w pobliżu owych osobliwości ie osiągać wystarczającej dokładości. Zbyt duża wartość parametru powoduje, że macierz układu rówań liiowych jest źle uwarukowaa. Za optymalą wartość ε uzyskaą z porówaia zbieżości MEB z rozwiązaiami dokładymi traktuje się około / długości elemetu brzegowego. Wpływ parametru ε a zbieżość rozwiązaia MEB z rozwiązaiem dokładym został uwidoczioy a przykładzie membray stalowej (rysuek 3.) o grubości h = 5 mm i wewętrzej sile aciągu T =.5 5 /m. Membraa jest kwadratowa o długości boku l = 5 m, podparta a wszystkich krawędziach brzegu, obciążoa ciśieiem rówomierie rozłożoym o wartości q = 9 Pa. x l ε q x l Rys. 3.. Membraa stalowa Rozwiązaie aalitycze membray metodą aviera przedstawia się w postaci podwójych szeregów Fouriera 5
, = si si 4 i=,3,5, j=,3,5, Tπ ij i j l l ( ) w x x x, l, x, l 6ql ( ) πix π jx + (3.4) Reakcję pioową a jedej z krawędzi membray moża policzyć ze wzoru (3.) 6ql πix V ( x ) = si 3 i=,3,5, j=,3,5, π i( i + j ) l i l 6ql V ( ) = 3 i=,3,5, j=,3,5, π i i ( + j ) (3.5) Zależość przyrostu błędu reakcji pioowej a środku krawędzi membray od wymiaru ε ukazuje rysuek 3.3. a podstawie tego rysuku moża zauważyć, że dla dość dużego zakresu ε (od ok.. do ok..) błąd jest mały. D @%D.4.3...5.5 e @md Rys. 3.3. Błąd reakcji pioowej a środku krawędzi membray 3.5. Elemety brzegowe Poieważ opisaie dowolego kształtu liii brzegowej przy pomocy jedej fukcji jest trude a przy bardzo skomplikowaym kształcie brzegu (występowaie aroży) iemal iemożliwe, zdecydowao się dyskretyzować brzeg elemetami brzegowymi. W wyiku takiego podejścia całki po brzegu zajdujące się w tożsamości całkowej metody elemetów brzegowych moża rozbijać a sumy całek po elemetach rozmieszczoych wzdłuż brzegu. 6
Jedowymiarowe elemety brzegowe są zwykle opisywae przy pomocy izoparametryczych fukcji kształtu w postaci wielomiau iterpolacyjego Lagrage a iskiego rzędu L i ( ξ ) = ξ ξ j (3.6) j= j iξi ξ j gdzie ξ jest współrzędą lokalą; stopiem wielomiau posiadającego + węzłów. W MEB elemet brzegowy Lagrage a jest zazwyczaj zaday a przedziale <, > lub < -, >. Wzór k ξk =, ξk, k ξk =, ξk, (3.7), k, k ukazuje postać współrzędej lokalej w zależości od zadaego przedziału. - /- k/- (-)/- k - pukty węzłowe elemetu Lagrage a Rys. 3.4. Elemet brzegowy Lagrage a (układ lokaly) ξ x x f f f - x - x x f - - x x x x x Rys. 3.5. Elemet brzegowy Lagrage a (układ globaly) 7
Elemet brzegowy stopia ukazują rysuki 3.4 i 3.5, gdzie f jest fukcją brzegową iterpolowaą wielomiaem Lagrage a, zaś x α fukcją aproksymującą brzeg obszaru x f α i i ( ξ ) = x L ( ξ ) i= i i ( ξ ) = f L ( ξ ) i= α (3.8) W przykładach umeryczych zawartych w iiejszej pracy użyto elemetów brzegowych aproksymowaych wielomiaami do drugiego stopia włączie. Fukcje kształtu dla poszczególych stopi wielomiau mają postać: zerowego stopia ( ) L ξ = (3.9) pierwszego stopia L ξ + ξ = = (3.3) ( ξ), L ( ξ) drugiego stopia ξ ξ + L ( ), ( ) ( )( ), ξ = ξ L ξ = ξ + ξ L( ξ) = ξ (3.3) 8
4. Przegląd metod elemetów brzegowych stosowaych w aalizie dyamiczej 4.. Metoda kroków czasowych Rówaie αw ( y,t) + M ( z, y,t ) ϕ ( z,t)d C + V ( z, y,t) w ( z,t)dc + R () twt () M ( z,t ) ϕ ( z, y,t)d C V ( z,tw ) ( z, y,t)dc i i z z i= C C R() t w() t = q ( x,t) w ( x, y,t)d i= C z z C i i x, y z C, α =, y C (4.) przedstawia tożsamość całkową omigliay wyprowadzoą dla płyty ciekiej. Literami dużymi ozaczoe zostały siły poprzecze i momety zgiające, zaś małymi przemieszczeia i obroty. kładiki adkreśloe są wielkościami fizyczymi występującymi w rozwiązaiu podstawowym, pozostałe zaś (bez adkreśleia) dotyczą płyty rzeczywistej i są wielkościami szukaymi. a brzegu płyty C wyróżiamy skończoą liczbę puktów brzegowych z, zaś a obszarze płyty wyróżiamy współrzęde powierzchiowe x. Pukty kolokacji zostały ozaczoe przez y i w zależości od przyjętej metody całkowaia, rówaia (4.) zajdują się: a brzegu C wtedy całki brzegowe w rówaiu (4.) są liczoe w sesie wartości główej Cauchy ego, a zewętrzym koturze brzegu C wtedy stosuje się metodę kolokacji Kupradzego. Jedym ze sposobów rozwiązywaia rówaia całkowego (4.) w dziedziie czasu jest metoda kroków czasowych ([]). W ujęciu tym każdy krok czasowy t rozważay jest jako oddziele zadaie, w wyiku czego a końcu każdego kroku ależy obliczyć przemieszczeia i prędkości puktów wewątrz płyty i traktować je jako waruki początkowe dla astępego kroku. Dla uproszczeia rozważań przyjęto, że waruki początkowe i siły objętościowe są zerowe. Czas t [, t k ] jest dzieloy a M kroków czasowych t = t m - t m -, m =,,, M gdzie t m = m t. Wówczas formuła całkowa (4.) odiesioa do chwili t m może być zapisaa w postaci 9
tm αw ( y,t ) + M ( z, y,t τ) ϕ ( z, τ)dc t C m m z m- + V ( zy,,t τ) w ( z, τ)d C + R( t τ) w( τ) C C m z i m i i= M ( z, τϕ ) ( z, y,t τ)dc m z V ( z, t) w ( z, y,t τ)d C R( τ) w( t τ) C m z i i m i= m j q ( x, τ) w ( x, y,tm τ)dx d τ = M ( z, y,t j τ) ϕ( z, τ )dc j= t C + V ( zy,,t τ) w ( z, τ)d C + R( t τ) w( τ) C C j z i j i i= M ( z, τϕ ) ( z, y,t τ)dc j z V ( z, t) w ( z, y,t τ)d C R( τ) w( t τ) C j z i i j i= q ( x, τ) w ( x, y,tj τ)dx dτ t j- z (4.) Przyjmuje się, że pola przemieszczeń i sił brzegowych zmieiają się liiowo w każdym przedziale czasu t, otrzymuje się wówczas M m m m m m= w ( z, τ ) = T w ( z) + T w ( z) M m m m m, = T + T m= ϕ ( z τ) ϕ ( z) ϕ ( z) M m m m m i( τ ) = i + i m= w T w T w M m m m m τ = + m= V ( z, ) T V ( z) T V ( z) M m m m m τ = + m= M ( z, ) T M ( z) T M ( z) M m m m m i( τ ) = i + i m= R T R T R M m m m ( x τ ) = ( + m= m q, T q x) T q ( x) (4.3) gdzie fukcje iterpolacyje czasu mają postać
m tm τ T = Φm ( τ ) t m tm τ T = Φm ( τ ) t Φ ( τ) = H[ τ ( m ) t] H( τ m t) m (4.4) przy czym w m = w(y, t m ), V m = V (y, t m ),, zaś H jest fukcją Heaviside a. 4.. Metoda alteratywa Wadą przedstawioej powyżej metody jest koieczość rozwiązywaia płyty za pomocą MEB dla każdego kroku czasowego. Wyika to z faktu, że staem wyjściowym dla astępego kroku czasowego jest rozwiązaie wzięte z kroku bieżącego, co czyi wyżej przedstawioą metodę czasochłoą pod względem obliczeń umeryczych. Zaprezetowae poiżej ujęcie alteratywe wykorzystuje rozwiązaie podstawowe statyczej teorii sprężystości. Wymaga tylko jedokrotego obliczeia macierzy współczyików. Tożsamość całkowa w ujęciu tej metody wygląda podobie jak w metodzie kroków czasowych (użyte symbole ozaczają te same wielkości fizycze). Pojawia się jedak dodatkowa całka a końcu wzoru (4.5) zawierająca iezae pole przyspieszeń wewątrz obszaru płyty ([]) αw ( y,t) + M ( z, y) ϕ ( z,t)d C + V ( z, y) w ( z,t)d C + Rw( t) C z z i i C i= M ( z,t ) ϕ ( z, y)d C V ( z,t) w ( z, y)d C R( t) w = C z z i i C i= = q ( x,t) w ( x, y)d m w ( x,t) w ( x, y)d, y z C, α =, y C x x (4.5) gdzie ϕ = w, α α (,, ) V = M + M t t M = M αβ β αβ γ β γ α αβ α β ( ν) M = D w, + νδ w, αβ αβ αβ γγ (4.6)
Zakłada się że pole w( x, t) moża wyrazić w postaci sumy iloczyów iezaych fukcji czasu ä(t) = ä i (t) i fukcji bazowych h(x) = h i (x), zatem ( x ) = ( ) ( x) w t a t h (4.7), i i Fukcje bazowe są to p. odległości od puktów węzłowych płyty ( x) x z ( ) ( ) h = = x z + x z (4.8) i i i i Wstawiając zależość (4.7) do rówań (4.5) otrzymujemy układ rówań, w którym jedyymi iewiadomymi są fukcje a(t). Ostateczie moża zapisać układ (4.5) w postaci macierzowej [ A] a() t + [ M] a( t) = q( t) (4.9) astępie moża ograiczyć układ rówań (4.9) do takiego, który pozwala a wyzaczeie drgań własych płyty [ ] ( t) + [ ] ( t) = A a M a (4.) Zakładając fukcje a(t) w postaci harmoiczej moża wyrazić ä(t) = f[a(t)], gdzie f jest fukcją liiową: iωt ( ) = ae iωt () = ω ae () = ω a() t a t a t a t (4.) Ostateczie rówaie (4.) przyjmie astępującą postać ( ω ) ( t ) = A a (4.)
Obliczając astępie miejsca zerowe wielomiau powstałego z wyzaczika macierzy A względem ω otrzymujemy częstości kołowe ω j odpowiadające częstotliwościom drgań własych płyty. Wstawiając poowie do macierzy A otrzymae w te sposób wartości ω moża obliczyć wektory włase odpowiadające wartościom ω j i t ( ω j ) j e ω A a = (4.3) 3
5. Aaliza drgań membray 5.. formułowaie problemu Drgaia wymuszoe membray opisywae są rówaiem różiczkowym ( x, ) ( x, ) ( x, ) ( x, ) T w t + cw t + mw t = q t (5.) w którym T ozacza siłę aciągu membray, m jej masową gęstość powierzchiową, c parametr tłumieia, jest operatorem Laplace a względem współrzędych przestrzeych (x, x ), a kropka ad literą, różiczkowaie względem czasu t. Reakcję brzegową V przedstawia zależość V T w = (5.) gdzie jest wektorem ormalym do brzegu membray. Rozwiązaie rówaia (5.) ma postać harmoiczej zależości od czasu, czyli * ( x, ) = ( x) si( ω ) * ( x, ) = ω ( x) si( ω ) w t w t w t w t (5.3) Problem drgań własych membray sprowadza się do rozwiązaia jedorodego rówaia różiczkowego jedyie względem współrzędych przestrzeych x = (x, x ) * * ( x) ω ( x) ( ω ) ( x) ω ( x) T w m w si t = T w m w * * = (5.4) W pracy w orygialy sposób wyprowadzoo rozwiązaie podstawowe rówaia (5.4), będące podstawą algorytmu metody elemetów brzegowych (MEB). Rozwiązaie podstawowe ma postać szeregu rozwiązań podstawowych kolejych potęg operatora Laplace a. Jest to formalie algebraiczy szereg potęgowy ze względu a częstość kołową ω. Z tego powodu algorytm MEB ie prowadzi do klasyczej, liiowej postaci zagadieia własego. Wyzaczeie wartości własych polega a zalezieiu pierwiastków wyzaczika 4
macierzy układu rówań MEB względem parametru ω. W dalszej części pracy, w celu uproszczeia ozaczeń, amplitudy ugięć w* będą ozaczae jedyie literą w. 5.. Rozwiązaie podstawowe rówaia drgań własych membray Rozwiązaie podstawowe w zagadieia drgań własych membray spełia rówaie (5.4) z prawą stroą w postaci δ-diraca ([3,38]) T w ω mw= δ (5.5) Po wykoaiu przekształceia Fouriera ([]) i rozwiięciu w szereg Maclauria względem ω ([3,3]) obraz rozwiązaia podstawowego moża przedstawić w postaci ( m) ω w = = T m (5.6) ( i+ T ) ρ ω ρ i+ i= i gdzie ρ jest promieiem w przestrzei obrazów trasformaty Fouriera. Obraz rozwiązaia podstawowego w postaci szeregu (5.6) moża odwrócić ([4]), uzyskując astępującą postać rozwiązaia podstawowego i + i ( ω ) i+ i= T (5.7) w= m w We wzorze (5.7) i ma postać (3.) w ozacza rozwiązaie fudametale -tej potęgi operatora Laplace a ( ) r w() r = r Cl D π r C C C+ =, D + = D + 4 4 C =, D = (5.8) W praktyczych obliczeiach zadowalającą zbieżość szeregu (5.7) osiąga się przy uwzględieiu od kilku do kilkudziesięciu wyrazów. 5
5.3. Całkowe rówaie brzegowe zagadieia drgań własych membray Rozpatruje się membraę zajmującą obszar ograiczoy krzywą brzegową C. a brzegu membray występują siły brzegowe V oraz przemieszczeia brzegowe w (rysuek 5.). T x C x x 3 V w Rys. 5.. Podstawowe ozaczeia Podstawą sformułowaia algorytmu MEB ([3]) jest tożsamość omigliay, która przy braku obciążeń powierzchiowych przyjmuje postać αw( y ) + V( z, y ) w( z ) dc V( z ) w( z, y ) dc = C, y z C, α =, y C z C z (5.9) W powyższym wyrażeiu wielkości brzegowe ozaczoe adkreśleiem są odpowiedimi operatorami pól brzegowych określoymi a rozwiązaiu podstawowym w ([6,]). Z postaci rówaia (5.7) wyika, że operatory rozwiązań podstawowych są ieliiowymi fukcjami (wielomiaami) względem częstości kołowej ω. Dyskrety układ rówań MEB uzyskuje się, stosując kolokacyje podejście Kupradzego, w którym pukty kolokacji - y we wzorze (5.9) - są położoe a zewętrzym koturze obszaru (zbliżoym w kształcie do koturu brzegowego C) ([5]) i ich liczba jest zgoda z liczbą iewiadomych brzegowych parametrów węzłowych. Układ te ma postać jedorodego algebraiczego układu rówań 6
ω ω w A = ( ) A ( ) w V V (5.) a podstawie waruków brzegowych z dwóch wielkości brzegowych jeda jest zawsze zaa. a brzegu zamocowaym ugięcia są zae: w =, a iewiadomymi są reakcje pioowe V. a brzegu swobodym reakcje pioowe V =, a iewiadomymi są ugięcia w. iech X będzie wektorem iezaych wielkości brzegowych, a Y wektorem zaych wielkości brzegowych w w =, = = V V [ X] [ Y] (5.) 5.4. Wyzaczeie częstości drgań własych Układ rówań (5.), iezależie od przyjętych waruków brzegowych, moża zapisać w zwartej postaci [ A][ X ] = (5.) Układ rówań (5.) posiada ietrywiale rozwiązaie pod warukiem zerowaia się wyzaczika macierzy A. Waruek te pozwala a sformułowaie algebraiczego rówaia, które powiy spełiać częstości ω ( ω) det A = ωi, i =,, (5.3) Rówaie (5.3) posiada rówież rozwiązaia, które ie są poprawymi częstościami ω i. W celu wyelimiowaia tych iewłaściwych pierwiastków ależy przeformułować zagadieie włase ([4]). Przyjmijmy, że dla pewej wartości własej wyzacza się wektor własy X. Wektor te moża uormować tak żeby jeda z jego współrzędych x k =. Formalie, a podstawie wzoru (5.), moża zapisać astępującą rówość ([7]) 7
x k- [ A][ X] = [ B][ Y] [ A] = [ B] η xk+ (5.4) z zerowym wektorem Y, którego współrzędą y k ozaczmy przez η (oczywiście rówą zero). Macierz B zawiera podmacierze układu (5.) związae z zerowymi parametrami węzłowymi (waruki brzegowe) i ma postać [ B] A ( ω) A ( ω) = w V (5.5) Układ (5.4) moża przekształcić, zamieiając k-te kolumy w macierzach A i B, uzyskując x k- [ ] η = [ ] = [ ] ak- bk ak+ bk - ak bk+ a k (5.6) xk+ Po prostych przekształceiach, z powyższego układu rówań, moża wyzaczyć iewiadomą η, której zaa zerowa wartość staowi waruek do obliczeia poprawych częstości własych ( ) det[ A] [ a b a ] η ω = = ωi, i =,, det k- k k+ (5.7) Jedyymi rozwiązaiami rówaia (5.7) są poprawe wartości częstości ω i ([4]). 5.5. Wyzaczeie form własych Obliczoe częstości ω i moża wstawić poowie do układu (5.) i wyliczyć iezae parametry X odpowiadające daej formie własej. Takie postępowaie jest rówozacze z wyliczeiem wektorów własych macierzy A (5.), poieważ macierz A staje się osobliwa gdy podstawimy do iej częstości ω i odpowiadające częstotliwościom drgań własych 8
membray. Policzoe wielkości brzegowe astępie moża wstawić do rówaia (5.9) i wyliczyć ugięcia wewątrz membray (możik α = ) w puktach, których współrzęde wstawimy w miejsce współrzędych puktów kolokacji y. 5.6. Drgaia wymuszoe bez tłumieia Zakładamy rozwiązaie, zgodie z metodą rozdzieleia zmieych Fouriera, w astępującej postaci ( x, ) ( x) ( ) w t = w T t = s o () = () + () T t T t T t (5.8) gdzie to ilość form własych wziętych do dalszych obliczeń. Część przestrzea przedstawioa jest w postaci szeregu w bazie form własych. W części czasowej moża wyróżić rozwiązaie szczególe i ogóle (5.8) T s i T o. Fukcję obciążeia zewętrzego moża rozwiąć w bazie form własych = = w ( x, ) () ( x), () q t = q t w q t ( x ) ( x) q, t w d ( x) d (5.9) astępie, korzystając z metody Fouriera, moża wyzaczyć z rówaia form własych (5.4) składik zawierający ω i podstawić go do rówaia (5.) pomijając składik tłumieia w( x) mωt() t + mt () t = w( x) q() t (5.) = = Aby uwzględić wpływ sił wymuszających ależy wyzaczyć T s (t). T s (t) wyzaczamy przy pomocy trasformaty Laplace a. Upraszczając rówaie (5.) otrzymujemy s ( ) ω ( ) ( ) m T t + m T t = q t (5.) s Rozwiązaie podstawowe rówaia (5.) spełia rówaie 9
m T t + m T t = t (5.) s (, τ ) ω (, τ) δ ( τ) s gdzie τ jest czasem bieżącym. akładając a obie stroy rówaia trasformatę ([]) otrzymujemy sτ s s s s e ms T m T τ + ω = e T = m s + ω (5.3) Po zastosowaiu trasformacji odwrotej mamy ([4]) T s ( t τ ) siω = (5.4) m ω tosując twierdzeie Borela o splocie moża wyzaczyć rozwiązaie rówaia (5.) dla dowolej fukcji q (t) ( t τ) t s siω T () t = q( τ ) dτ m (5.5) ω Waruki początkowe rozwijamy w szereg fukcji własych w ( x, ) = w ( x) φ, w ( x, ) = w ( x) ψ (5.6) = = gdzie ( ) ( ), ψ ( ) d x ( ) ( ) w x, w x d w x, w x d φ = = w w d ( x) (5.7) astępie moża wyzaczyć rozwiązaie ogóle membray przy zadaych warukach początkowych upraszczając rówaie (5.) do rówaia różiczkowego jedorodego drugiego rzędu o stałych współczyikach 3
o ( ) ω ( ) o T t + T t = (5.8) Rozwiązaie rówaia (5.8) ma astępującą postać () si ( ω ) cos( ω ) T t = C t + D t (5.9) o tałe całkowaia C i D wyzaczamy z waruków początkowych (5.6) o s s ( x ) ( x) ( ) ( ) ( ) w, = w T + T, T = = (,) ( ) w x = w x D D = φ = (5.3) Aby wyzaczyć stałe C ależy policzyć pierwszą pochodą rówaia (5.9) () cos( ) si ( ) T t = C ω ω t D ω ω t (5.3) o i wyzaczyć stałe o s s ( x ) ( x) ( ) ( ) ( ) w, = w T + T, T = = w ( x,) = w( x) C ω C = ψ = ω (5.3) Poieważ dla rozpatrywaej klasy obciążeń waruki początkowe rozwiązaia szczególego są tożsamościowo rówe zero, (5.3), (5.3), wystarczy, żeby spełiało je rozwiązaie ogóle. 5.7. Drgaia wymuszoe z uwzględieiem tłumieia Zakładamy rozwiązaie w astępującej postaci ( x, ) ( x) ( ) w t = w T t = s o () = () + () T t T t T t (5.33) 3