ELEKTRODYNAMIKA TECHNICZNA

PAWEŁ ZIMNY ELEKTRODYNAMIKA TECHNICZNA WYKŁADY DLA SPECJALNOŚCI ZAMAWIANEJ TECHNOLOGIE INFORMATYCZNE W ELEKTROTECHNICE WYDAWNICTWO POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

Mateiał ostał pgotowane w wiąku ealiacją pojektu pt. Zamawianie kstałcenia na kieunkach technicnch, matematcnch i podnicch - pilotaż współfinansowanego e śodków Unii Euopejskiej w amach Euopejskiego Fundusu Społecnego n umow: 46/DSW/4../8 adanie 84 w okesie od.8.8-5.3.

PAWEŁ ZIMNY ELEKTRODYNAMIKA TECHNICZNA WYKŁADY DLA SPECJALNOŚCI ZAMAWIANEJ TECHNOLOGIE INFORMATYCZNE W ELEKTROTECHNICE Studia piewsego stopnia GDAŃSK

PRZEWODNICZĄCY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Romuald Smkiewic RECENZENT Kaimie Jakubiuk PROJEKT OKŁADKI Katana Olsonowic Wdano a godą Rektoa Politechniki Gdańskiej Copight b Wdawnictwo Politechniki Gdańskiej Gdańsk Publikacja dostępna tlko w wesji elektonicnej Utwó nie może bć powielan i opowsechnian, w jakiejkolwiek fomie i w jakikolwiek sposób, be pisemnej god wdawc ISBN 97883734833 WYDAWNICTWO POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Wdanie I. Ak. wd.,6, ak. duku,, 984/66

Rodiał 8 SPIS TREŚCI. WSTĘP... 5. POJĘCIA PODSTAWOWE: JEDNOSTKI, ŁADUNEK, ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU... 6.. Jednostki... 6.. Ładunek elektcn... 8.3. Zasada achowania ładunku elektcnego... 3. PRAWO COULOMBA, POLE ELEKTRYCZNE... 5 3.. Pawo Coulomba... 5 3.. Pole elektcne... 6 3.3. Pawo Gaussa... 4. POLE CENTRALNE, PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM, POTENCJAŁ... 6 4.. Pole elektostatcne jako pole centalne... 6 4.. Potencjał elektcn... 8 5. PRZEWODNIKI I IZOLATORY. POLE ELEKTROSTATYCZNE PRZEWODNIKÓW. POJEMNOŚĆ... 39 5.. Pole elektostatcne pewodników... 39 5.. Waunki begowe na ganic pewodnik iolato... 4 5.3. Pojemność. Pkład obliceń pola elektcnego pewodników... 44 6. POLE ELEKTRYCZNE W DIELEKTRYKACH... 55 6.. Polaacja dielektków... 55 6.. Pkład obliceń pola elektostatcnego w dielektkach... 64 7. ENERGIA I SIŁY W POLU ELEKTROSTATYCZNYM... 69 8. POLE PRZEPŁYWOWE. REZYSTANCJA. MOC W POLU PRZEPŁYWOWYM... 74 8.. Pole pepłwowe... 74 8.. Restancja... 76 8.3. Moc w polu pepłwowm... 8 9. STACJONARNE POLE MAGNETYCZNE... 83 9.. Siła diałająca na ładunek w polu elektomagnetcnm... 83 9.. Pawo Ampèe a... 87 9.3. Pkład obliceń pola magnetcnego... 88 9.4. Równania Mawella dla magnetostatki... 97 9.5. Wó Biota-Savata i pkład jego astosowań... 99 9.6. Stumień magnetcn. Indukcjność wajemna i własna... 6 9.7. Sił elektodnamicne... 9. POLE MAGNETYCZNE W OŚRODKACH MATERIALNYCH... 4.. Ośodki niefeomagnetcne... 4.. Mateiał feomagnetcne... 8.3. Obwod magnetcne... 6.4. Pkład obliceń obwodów magnetcnch... 3

6. POLE ELEKTROMAGNETYCZNE... 45. Pawo Faadaa... 45.. Równania Mawella dla pola elektomagnetcnego... 5.3 Równania Mawella dla pola elektomagnetcnego w mateii... 54.4. Pole elektomagnetcne sinusoidalnie mienne... 57.5. Pole elektomagnetcne quasi-stacjonane w pewodniku... 59. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE... 69

Rodiał WSTĘP Od ponad wieku kostam dobodiejstw, jakie niesie opanowanie enegii elektcnej. Z enegią elektcną jest wiąane pole elektomagnetcne. Ponanie własności tego pola, umiejętność obliceń coa badiej łożonch uądeń elektcnch, powstanie teoii obwodowch, wsstko to łożło się na owój elektotechniki. Pole elektomagnetcne, ważone ównaniami Mawella, obejmuje seokie widmo cęstotliwości od eowej odpowiadającej pądowi stałemu aż do cęstotliwości ędu H odpowiadającej pomieniowaniu γ. Tak seokie widmo pokwa cęstotliwości pemsłowe, stosowane w telekomunikacji, światło widialne, pomieniowanie entgenowskie i wescie pomieniowanie γ. W akesie każdej tch cęstotliwości buduje się uądenia wkostujące pole elektomagnetcne. Zadaniem inżniea jest umiejętność pojektowania i eksploatacji takich uądeń. Be elementanej najomości asad fiki pola elektomagnetcnego jest bado tudno wnieść postęp, eksploatować c konstuować nowe uądenia wkostujące pole elektomagnetcne. Obecne tend owojowe w kieunku miniatuacji wielu uądeń wmagają bado dobej najomości fiki, a od konstuktoa uądeń elektcnch scególnie dobej najomości fiki pola elektomagnetcnego. Cęsto wkostuje się spężenie pola elektomagnetcnego innmi polami ficnmi, scególnie jest to powsechne w uądeniach akesu sbko owijającej się nanotechnologii i tutaj ównież jawiska ficne są opiswane ównaniami Mawella. Na podstawie badań ekspementalnch i obsewacji kosmologicnch wkaano, że ównania te opisują jawiska ficne od skali wmiaów jąda atomowego do wmiaów galaktcnch. Liteatua dotcąca pola elektomagnetcnego jest bado obsena, co ocwiście powoduje tudności wboem. Dobm wstępem do ponania pola elektomagnetcnego jest aponanie się podęcnikami fiki dotcącmi pola elektomagnetcnego. W piewsm ctaniu lepiej wbieać podęcniki napisane astosowaniem międnaodowego układu jednostek. Bado dobm podęcnikiem, wnowionm w ostatnich latach, jest Fenmana wkład fiki, auto: Fenman R. P., Leighton R. B., Sands M., któego tom II dotc pola elektomagnetcnego. Podęcniki napisane specjalnie dla inżnieów, gdie wkład pola elektomagnetcnego cęsto nawa się wkładem elektodnamiki bądź elektodnamiki technicnej, odpowiednie dla wstępnego kusu to: Elektcność i magnetm w technice pofesoa H. Raw, Elektotechnika teoetcna, tom II, Pole elektomagnetcne pofesoa M. Kakowskiego. Badiej aawansowane podęcniki, acej tudne w piewsm ctaniu, to: Sikoa R. Teoia pola elektomagnetcnego, Zahn M. Pole elektomagnetcne, Giffiths D. J Podstaw elektodnamiki. Teba ównież wócić uwagę, że teoia pola elektomagnetcnego wmaga najomości apaatu matematcnego dotcącego: algeb i anali wektoowej, oblicania całek po kwej, powiechniowch i objętościowch, elementów geometii óżnickowej. Wskaanm jest ppomnienie odpowiednich wiadomości kusu matematki. Na akońcenie kótkiego wstępu diękuję Panu Pofesoowi Kaimieowi Jakubiukowi, któ podjął się niewdięcnego tudu ecenji skptu. Bado diękuję a żcliwe wskaanie usteek, co powoliło nacnie popawić jakość skptu.

Rodiał POJĘCIA PODSTAWOWE: JEDNOSTKI, ŁADUNEK, ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU.. Jednostki Ped pstąpieniem do asadnicej tematki nasego wkładu pjmiem umowę, że będiem stosowali międnaodow układ jednostek SI (Sstème Intenational), któego wielkości podstawowe podano w tab... Wielkość Nawa Onacenie długość met m masa kilogam kg cas sekunda s natężenie pądu elektcnego ampe A tempeatua kelwin K światłość źódła światła kandela cd Tabela. W elektodnamice będiem paktcnie stosowali cte piewse jednostki podstawowe i stąd cęsto spotkam się okeśleniem układ jednostek MKSA. Znajomość jednostek odgwa bado ważną olę w pac inżniea, co wnika podstawowego pawa stwiedającego, że wsstkie pawa ficne apisane w postaci fomuł matematcnch musą mieć taką postać, ab wstępowała godność jednostek po obu stonach ównania. Jako pkład opatm agadnienie wnacania okesu dgań wahadła matematcnego. Na nieważkiej nici o długości L [m] wisi masa o wielkości M [kg] i pepowadam ekspement w polu o pśpieseniu gawitacjnm g [ms ]. Nasm celem jest okeślenie, jak ależ okes dgań wahadła T [s] od tch wielkości, któe decdują o uchu wahadła. Spóbujem apisać wiąek międ okesem wahadła a pewidwanmi wielkościami ficnmi L, M, g, któe decdują o tm okesie w postaci ależności: α β γ T am L g (.) gdie a jest bewmiaową stałą podlegającą okeśleniu na dode ekspementalnej; α, β, γ to bewmiaowe wkładniki potęgowe, któe należ dobać tak, ab ównanie (.) miało identcne jednostki po obu stonach ównania. Do ównania (.) w miejsce wielkości T, L, M, g podstawiam jednostki podstawowego układu jednostek, a więc mam ównanie:

7 α [s] [kg] α [s] [kg] [m] [m] β β γ m s Zgodnie podanm powżej pawem, że ównanie (.) musi bć jednoodne e wględu na jednostki podstawowe, możem apisać układ ównań dla wnacenia licb α, β, γ: α β γ γ. Po owiąaniu powżsego układu ównań najdujem: α, γ /, β / i otmujem wó ważając okes wahadła matematcnego: L T a. g Wato wócić uwagę na fakt, że na podstawie anali wmiaowej weliminowaliśm ależność okesu wahadła matematcnego od jego mas i wstac pepowadić post ekspement ficn, ab wnacć bewmiaow współcnnik a. Można stwiedić, że na baie anali wmiaowej uskaliśm bado cenną wskaówkę na podstawie, któej możem apojektować ekspement powalając okeślić okes wahadła matematcnego. Cęsto jednostki podstawowe są bt wielkie lub bt małe dla okeślenia danej wielkości ficnej i wted stosujem odpowiednie pedostki onacające, że jednostka danej wielkości ficnej ostała pomnożona pe p, gdie wkładnik p okeśla nawa pedostka (tab..). Pedostek Skót [s] γ γ Licba pe któą mnożm jednostkę. Pkład użcia atto a 8 as attosekunda femto f 5 fs femtosekunda piko p ps pikosekunda nano n 9 ns nanosekunda miko μ 6 μs mikosekunda mili m 3 ms milisekunda kilo k 3 kh kilohet mega M 6 MH megahet giga G 9 GH gigahet tea T TH teahet peta P 5 PH petahet ea E 8 EH eahet Tabela.

8.. Ładunek elektcn W podie obsewujem wstępowanie wielkości wanch ładunkami elektcnmi. Chaaktestcną cechą ładunków jest wstępowanie dwóch odajów ładunków elektcnch. Jeden odaj okeślam jako ładunki dodatnie, a dugi jako ujemne. Fakt, że ładunki posiadają óżne naki stwiedam na dode ekspementalnej, mieąc sił wstępujące międ ładunkami. Stwiedono, że ładunki tego samego naku się odpchają a ładunki naków peciwnch się pciągają. Bado cęsto wpowadam pojęcie tw. ładunku póbnego, któ definiujem jako bado mał ładunek dodatni i mieąc siłę diałającą na ten ładunek, okeślam wielkość ładunku badanego. Ocwiście okeślenie bado mał nie jest pecjne i dlatego w dalsch oważaniach będiem staali się uwolnić od pecowania tego pojęcia. Powstaje jednak ptanie, jaki może bć najmniejs ładunek? Odpowiadając na to ptanie, można stwiedić, że każd ładunek ma stuktuę ianistą, w któej podstawowm iaenkiem jest ładunek pojedncego elektonu, niepodieln i wnosąc około,6 9 C,6 ac. Pjmuje się, że jest to ładunek ujemn. Jednostka ładunku jest nawana kulombem i jest wiąana jednostkami podstawowmi ależnością: C As (.) Identcn ładunek dodatni posiada poton i można powiedieć, że cał ładunek makoskopow stanowi miesaninę olbmiej licb tch elementanch ładunków. W nasch oważaniach będiem ajmowali się efektami wwołanmi pe ładunki łożone wielkiej licb ładunków elementanch i dlatego będiem taktować ładunek najdując się w pewnm obsae pesteni V (s..) jako wielkość ficnie ciągłą, co onaca, że w oważanm obsae V najduje się tak duża licba ładunków, że dokonując pomiaów, nie obsewujem wspomnianej wżej ianistości ładunku. Wpowadim pojęcie ładunku punktowego, któ najcęściej będiem onacali liteą Q. Pojęcie ładunku punktowego jest wgodne w obliceniach w stuacjach, kied nie jesteśm ainteesowani wielkościami ficnmi w obsae, gdie najduje się ładunek c wkonujem pomia w odległościach na tle dużch w stosunku do obsau ajmowanego pe ładunek, że możem paktcnie nie bać pod uwagę jego okładu pestennego. W stuacji, kied okład pestenn ładunku odgwa istotną olę, wpowadam pojęcie objętościowej gęstości ładunku ρ, któą definiujem: ΔQ ρ lim (.3) ΔV ΔV gdie ΔQ to ładunek awat w obsae ΔV (s..). Pjmujem, że obsa ΔV jest na tle duż, że wstępując w nim ładunek ΔQ nie wkauje ianistości cli jest opiswan funkcją ciągłą. Wmiaem ładunku objętościowego godnie e woem (.3) jest [Cm 3 ]. Ładunek objętościow może bć ależn od położenia w pesteni jak ównież od casu. Genealnie, dla opisania ładunku pestennego należ pjąć odpowiedni układ współędnch pestennch, np. układ współędnch postokątnch,,, w któm okład gęstości objętościowej opisuje funkcja ρ(,,, t). Jeżeli gęstość ładunku jest nieależna od casu, to będiem mówili o statcnm okładie ładunku i opiswali funkcją ρ(,, ).

9 Rs... Obsa o objętości V awieając ładunek Q Jeżeli nan jest okład ładunku objętościowego ρ(,,, t), to ładunek Q(t) awat w obsae V oblicam ależności: Pkład. V (,, t) Q ( t) ρ, dv. (.4) Wewnąt kuli o pomieniu R najduje się ładunek objętościow okeślon ależnością: ρ(, t) ρ m sin(ωt)[ (/R) ], gdie ρ m to amplituda ładunku objętościowego, jest odległością od śodka kuli, ω πf to pulsacja gęstości ładunku, a f to cęstotliwość. Dla oblicenia ładunku kuli kostam ależności (.4): Q( t) ρ m sin( ωt) V R R dv gdie V R jest objętością kuli. Ze wględu na kstałt obsau w postaci kuli pjmujem układ współędnch sfecnch ρ, θ, φ (s..) i włącając ped nak całki składniki nieależne od miennch całkowania mam: Q ( t) ρ sin( ωt) m ππ R R sinθdϕdθd gdie cnnik sinθ jest jakobianem wnikającm pjęcia układu współędnch sfecnch. Rs... Układ współędnch sfecnch, θ, φ

Dięki pjęciu układu współędnch sfecnch mam do oblicenia t nieależne całki i po wkonaniu całkowania i podstawieniu ganic mam: Q( t),4qm sin( ωt) gdie Q m 4/3(πR 3 ρ m ). Wato wócić uwagę na fakt, że ładunek Q m epeentuje maksmaln ładunek awat w kuli o pomieniu R naładowanej ównomienie ładunkiem o gęstości ρ m. Ze wględu na nieównomien okład maksmaln ładunek najdując się w kuli jest.5 a mniejs jak to pokauje współcnnik,4 we woe okeślającm całkowit ładunek kuli..3. Zasada achowania ładunku elektcnego Istotną własnością ładunku elektcnego jest fakt, że w podie wstępuje idealna ównowaga ładunków elektcnch dodatnich i ujemnch. Innmi słow, jeżeli wtwom ładunek ujemn, to jednoceśnie powstanie dokładnie taka sama ilość ładunku dodatniego. Waem tej własności pod jest asada achowania ładunku, któą można waić następująco: Całkowit ładunek elektcn układu odosobnionego, tn. algebaicna suma dodatnich i ujemnch ładunków wstępującch w dowolnej chwili, nie może ulec mianie. Pe układ odosobnion oumiem układ, któego ganic nie penika mateia w żadnej postaci. Onacając objętość układu odosobnionego pe V(t), a jego ładunek pe Q(t), możem asadę achowania ładunku apisać w postaci: dq( t). dt (.5) lub bioąc pod uwagę (.4) mam: dq( t) d dt dt Rs..3. Obsa odosobnion V(t) V (,,, t) ρ dv. () t W ppadku ogólnm, kied objętość V(t) mienia się casem, nie można mienić kolejności całkowania i óżnickowania, co onaca, że nie możem pejść óżnickowaniem pod nak całki, nie bioąc pod uwagę mienności w casie ganic jej obsau V(t).

W celu oblicenia pochodnej w tm ppadku skostam definicji pochodnej, pjmując, że obsa całkowania w chwili t wnosi V, a w chwili t t wnosi V V (s..3): ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ V V V t V t V t t t t Q d,,, d,,, lim d d ρ ρ. Zapisując piewsą całek w powżsej ależności w postaci sum dwóch całek, mam: ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ Δ V V V V V t t V t t V t t d,,, d,,, d,,, ρ ρ ρ i bieając aem całki po obsae V(t), mam: ( ) ( ) [ ] ( ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ V V t V t t t V t t t t t Q d,,, d,,,,,, lim d d ρ ρ ρ (.6) Piewsa całka jest całką oblicaną po ustalonm w chwili t obsae V(t) i możem pejść do ganic wględem t, otmując: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) () Δ Δ Δ Δ Δ Δ t V V t V t V t t V t t t t V t t t t d,,, d,,,,,, lim d,,,,,, lim ρ ρ ρ ρ ρ Element objętości dv w dugiej całek we woe (.6) możem apisać w postaci dv dl ds, ale bioąc pod uwagę, że dl v n t dla małch casów t mam: ( ) ( ) ( ) () Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ t S n S n t V t S v t S t v t t t V t t t d,,, d,,, lim d,,, lim ρ ρ ρ Zbieając aem wniki pepowadonch obliceń, mam asadę achowania ładunku w postaci ależności: d d d d S V S V t t Q n ρv ρ, (.7) gdie składową nomalną pędkości v apisano w postaci ilocnu skalanego wektoa nomalnej n i pędkości v, a mianowicie v n v n. Zapisana w postaci całkowej (.7) asada achowania ładunku jest wiąaną całkowaniem po całm obsae V(t), któ może bć nieskońcon, co powoduje najcęściej

poważne kłopot obliceniowe. Badiej odpowiednią postacią jest podanie asad achowania w postaci ównania óżnickowego, jak mówim w postaci lokalnej. Dla dokonania tego pejścia, kostając twiedenia Gaussa, apisem dugą całek w ównaniu (.7) w postaci: gdie ( ρv) ( ρv ) ( ρv ) ( ρv ) ρ v S V ( ρ ) nds div v dv div jest opeacją dwegencji na polu wektoowm ρv w układie współędnch postokątnch. W liteatue bado cęsto wpowada się tw. smbol nabla, któ w układie współędnch postokątnch można apisać smbolicnie: e e e (.8) gdie wekto e, e, e są wektoami jednostkowmi układu współędnch postokątnch dla osi,, odpowiednio. Wekto jednostkowe układu osi współędnch nawa się cęsto wesoami odpowiednich osi współędnch. Kostając opeatoa nabla, opeację dwegencji można smbolicnie apisać w postaci: div ( ρv) ( ρv). Pekstałcając na moc twiedenia Gaussa całkę objętościową na całkę powiechniową, apisujem ównanie (.7) w postaci: V ρ t d ( ρv) V Powżsa ależność jest spełniona dla dowolnego obsau V, a więc waunkiem, że będie spełniona jest eowanie się ważenia wstępującego w nawiasie postokątnm pod całką, skąd wnika asada achowania ładunku w postaci ównania óżnickowego: ρ t ( ρv) (.9) Lub, jak cęsto mówim, w postaci lokalnej. Intepetacja ficna ównania (.9) wnika apisu (.7). Jeżeli wobaim sobie obsa V jako postopadłościan o wmiaach V, to stwiedam, że mian gęstości ładunku w tm obsae wwołują pepłw stumienia ładunku ρv n pe ścian tego postopadłościanu. Jeżeli ρ t >, to stumień ładunku musi bć skieowan do wnęta postopadłościanu, cli v n <, gdie n to wekto nomalnej ewnętnej dla postopadłościanu V. Tak więc wost ładunku wewnąt obsau jest wtwaan na skutek istnienia źódeł ewnętnch, a nie na skutek jego geneacji wewnąt obsau. Zapis pawa achowania ładunku w postaci (.9) ma jesce jedną dobną niedogodność, a mianowicie w ównaniu wstępuje wekto pędkości v, można powiedieć opisując mechanicne własności chmu ładunku o gęstości ρ. Jest to adowalające ujęcie p opisie dnamiki gaów, ale niebt wgodne p opisie tanspotu ładunków w ciecach i ciałach stałch, a nawet w gaach, jeżeli opisujem ga jako ośodek ciągł. Celowm jest

odsepaowanie się od mechaniki i dlatego wpowada się pojęcie stumienia ładunków, któ nawam wektoem gęstości pądu i definiuje go ależność: 3 j ρv (.) Jeżeli wstępuje K-tpów ładunków o gęstościach ρ k, któe pousają się pędkościami v k (k,,..., K), to: k K k j ρ (.) gdie suma jest sumą wektoową. Jest ocwistm, że ównież gęstość ρ w ównaniu (.9) k jest w tm ppadku oblicana ależności K ρ ρ. Jak wnika definicji (.), k k (.) gęstość pądu jest wektoem i ma wmia Am. Po wpowadeniu wektoa gęstości pądu asada achowania ładunku (.9) pjmuje postać: ρ j (.) t Zasada achowania ładunku (.) jest jednm fundamentalnch ównań pola elektomagnetcnego i cęsto będiem się do niej odwołwać. W paktce cęsto mam do cnienia obiektami, w któch dominującmi są dwa wmia, jak w ppadku cienkich płt bądź powłok, dla któch ich gubość jest paktcnie do pominięcia. Jeżeli oblicam efekt wwołane obecnością ładunku na płcie, to można paktcnie aniedbać okład ładunku wdłuż gubości płt bądź powłoki. Podobna stuacja wstępuje w ppadku obiektów wkonanch mateiałów pewodącch, gdie ładunek gomadi się w wastwie powiechniowej o gubości kilku wastw atomowch. W takiej stuacji oblicenia uwględnieniem objętościowego okładu ładunku błb bado tudne, a cęsto węc niemożliwe, gdż nie potafim tego okładu objętościowego oblicć. Dla uniknięcia tch tudności wpowadam pojęcie powiechniowej gęstości ładunku σ(,,, t), któą definiujem: k v k (,,, t) ΔQ σ (,,, t) lim (.3) ΔS ΔS gdie S jest elementaną powiechnią, a Q(,,, t) to ładunek najdując się na powiechni S w chwili t (s..4). Jednostką ładunku powiechniowego jest Cm. Całkowit ładunek najdując się na powiechni S oblicam ależności: () t (,,, t) ds. S Q σ (.3) Podobna stuacja wstępuje dla obiektów, któch jeden wmia jest nacnie więks od dwóch poostałch. Jako dob pkład mogą tutaj służć pewod napowietnej linii enegetcnej.

4 Rs..4. Ładunek powiechniow σ(,,, t) i liniow τ(,,, t) Dla pądu pomiaowego najdującego się na powiechni iemi pod linią, cli kilka, a cęsto kilkanaście metów od osi pewodów twoącch linię ich śednica jest paktcnie be nacenia. W takiej stuacji wgodnm modelem matematcnm jest pjęcie okładu ładunku w postaci tw. ładunku liniowego τ(,,, t), któ definiujem: (,, t) ΔQ, τ (,,, t) lim (.5) Δ L ΔL gdie Q(,,, t) ładunek najdując się na elemencie liniowm o długości L w chwili t. Cęsto mówiąc o ładunku liniowm, będiem bali pod uwagę tlko oś obiektu (s..4) i będiem mówili, że ładunek najduje się na kwej (nici), któej położenie w pesteni opisują ównania opisujące oś nasego obiektu. Dla oblicenia całkowitego ładunku wiąanego obiektem o długości L należ oblicć całkę kwoliniową: Q( t) τ (,,, t) dl. (.6) L

Rodiał 3 PRAWO COULOMBA, POLE ELEKTRYCZNE 3.. Pawo Coulomba Umiescając dwa punktowe ładunki elektcne Q, Q odpowiednio w punktach P (,, ), P (,, ) stwiedim, że na każd ładunków diała siła. Kieunek tej sił wnaca posta pechodąca pe punkt P i P, a jej wot ależ od naków obu ładunków. Jeżeli ładunki są tego samego naku, jak mówim jednoimienne, to wstąpi odpchanie się ładunków (s. 3.a), a jeżeli będą miał óżne naki (óżnoimienne), to wstąpi pciąganie międ ładunkami (s. 3.b). a) b) Rs. 3.. Sił diałające międ dwoma jednoimiennmi (a) i óżnoimiennmi ładunkami (b) Watość sił diałającej na ładunki ostała wnacona ekspementalnie pe Coulomba i w sstemie jednostek SI okeśla ją ależność: Q Q F F (3.) 4π ε gdie: Q, Q watości bewględne ładunków, odległość międ punktami P (,, ), P (,, ) i w układie współędnch postokątnch (,, ) odległość oblicam ależności: ε ( ) ( ) ( ), penikalność elektcna póżni jest definiowane jako: ε 7 4πc F/m gdie c pędkość światła, któą paktcnie można pjąć c 3 8 m/s. Podstawiając pędkość światła, otmujem dla penikalności elektcnej póżni watość ε 9 36π F/m. Penikalność elektcna póżni jest wielkością mianowaną, a jej jednostką jest faad/met. W sstemie SI na moc ależności (3.) mam: kulomb C A s [ ε ]. 3 niuton met N m kg m 4

6 Wó (3.) wnaca tlko watość sił diałającej na ładunki. Chcąc apisać tę siłę w postaci wektoowej wpowadam do ównania (3.) dodatkowo bewmiaow wekto jednostkow e leżąc na postej łącącej ładunki o wocie od ładunku Q do Q i wó (3.) wnacając wekto sił ma postać: Q Q F 4π ε e F (3.) Należ pamiętać, że do ależności (3.) podstawiam wględne watości ładunków, tn. ładunki wa e nakami. Spotkam się ównież w liteatue apisem, w któm amiast wektoa jednostkowego e wpowada się wekto. Wekto jest wektoem leżącm na postej łącącej ładunki o wocie od ładunku Q do Q i watości ównej odległości międ ładunkami, a więc wielkością mianowaną o wmiae odległości. P takim apisie wó (3.) pjmuje postać: Q Q F 4π 3 ε F. (3.3) 3.. Pole elektcne Wato auważć, że siła oddiałwania międ ładunkami elektcnmi nie jest wwołana faktem bepośedniego dotkania się ładunków, ale powstaje, mimo że międ ładunkami wstępuje pewna odległość. Uważam, że wokół każdego ładunku, w pesteni go otacającej, istnieje pole elektcne E, któe penosi infomację o ładunku do każdego punktu w pesteni otacającej ładunek źódłow. Pole elektcne jest najcęściej niewcuwalne pe nase msł i dopieo umiescając inn ładunek, tw. ładunek póbn i mieąc siłę na niego diałającą możem wkć obecność pola elektcnego w punkcie, gdie najduje się ładunek póbn. Ocwiście takie ładunki póbne mogą się najdować ównież na nasm ciele i wted wcuwam obecność pola elektcnego, donając niekied bolesnego poażenia wiąanego pepłwem ładunków elektcnch. Dla ilościowego okeślenia pola elektcnego wwołanego w punkcie P obecnością ładunku Q w punkcie P podielim obie ston wou (3.) pe ładunek Q i definiujem wnik dielenia sił F pe ładunek Q jako natężenie pola elektcnego E(,, ) E() ależnością: F Q E( ) e. Q 4πε Jednostką natężenia pola elektcnego jest V/m. Genealnie pomijając indeks p ładunku źódłowm, a więc kładąc Q Q, pole elektcne w punkcie P (,, ), wwołane obecnością ładunku Q w punkcie P (,, ),waża się ależnością: Q E( ) e (3.4) 4πε Jak powiediano powżej obecność pola elektcnego w punkcie P możem stwiedić, umiescając w tm punkcie ładunek i mieąc diałającą na niego siłę. Ten tw. ładunek póbn powinien bć mał w stosunku do ładunku źódłowego, ab nie akłócał jego pola i pjmujem umowę, że jest to ładunek dodatni. Pjęcie ładunku dodatniego

7 jest wgodne, gdż powala nam bepośednio pomiau sił diałającej na ładunek póbn wnacć natężenie pola elektcnego w punkcie, gdie najduje się ładunek. Wato wócić uwagę na fakt, że wó (3.4) jest apisem wektoowm, a więc, oblicając natężenie pola elektcnego w układie współędnch postokątnch, musim wnacć genealnie t składowe tego pola E (), E () i E (), któe opisują ależności: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 3 3 3 ) ( ) ( ) ( 4π ),, ( ) ( ) ( 4π ) ( ),, ( ) ( ) ( ) ( 4π ) ( ),, ( Q E Q E Q E ε ε ε (3.5) Fakt, że wokół ładunku punktowego Q istnieje pole elektcne możem pedstawić obaowo a pomocą stałek, któch kieunek pokwa się kieunkiem pola w punkcie, gdie najduje się śodek stałki (punkt obsewacji). Długość stałki jest popocjonalna do watości pola elektcnego w punkcie obsewacji, a jej wot pokauje wot wektoa pola elektcnego w tm punkcie. Jest to obecnie cęsto stosowan sposób p powadeniu obliceń okładu pola elektcnego a pomocą masn cfowch i jego wiualnej peentacji. Rsunki 3. i 3.3 pedstawiają smbolicnie oba okładu pola wokół ładunku punktowego dodatniego i ujemnego odpowiednio w płascźnie. Rsunki tego tpu służą jako pomocnice naędie dla łatwiejsego wobażenia sobie okładu pola elektcnego. Na podstawie wielkości i agęscenia stałek można okeślić miejsca, gdie natężenie pola elektcnego osiąga najwiękse watości. Nie są one w żadnm ppadku mateiałem, na podstawie któego, mieąc długość stałek, odctujem watości pola. Na takie ptania odpowiada pogam obliceniow, podając wniki w postaci licbowej. Rs. 3.. Oba pola elektcnego wokół dodatniego ładunku punktowego

8 Rs. 3.3. Oba pola elektcnego wokół ujemnego ładunku punktowego Z definicji natężenia pola elektcnego ładunku punktowego (3.4) wnika, że pole jest liniową funkcją ładunku, a więc w jego obliceniach dla biou K ładunków punktowch Q k (k,,..., K) można astosować asadę supepocji, oblicając natężenie pola E k od poscególnch ładunków, a następnie sumując pola poscególnch składowch, oblicam pole wpadkowe E(P ) w punkcie P (,, ): E k K Q, e 4πε ( ), k k k k (3.6) gdie k ( k ) ( k ) ( k ) to odległość międ punktem obsewacji P a punktem P k ( k, k, k ), w któm najduje się ładunek Q k, natomiast e k jest wektoem jednostkowm skieowanm od punktu P k do punktu P (s. 3.4). Rs. 3.4. Zasada supepocji dla wektoa natężenia pola elektcnego K ładunków punktowch Kostając asad supepocji, możem oblicć okład natężenia pola elektcnego wwołan dowolnm nanm okładem gęstości objętościowej ładunku ρ bądź gęstości powiechniowej σ bądź liniowej τ. Ropatm objętość V wpełnioną nanm ładunkiem o gęstości objętościowej ρ(,, ) (s. 3.5).

9 Rs. 3.5. Ładunek objętościow ρ(,, ) w objętości V Twoąc postopadłościan o elementanej objętości dv, godnie definicją ładunku objętościowego awat w niej ładunek jest dq ρdv. Jeżeli jest to ładunek punktow, wekto natężenia pola elektcnego de w punkcie P wnosi: de() [(ρdv ) (4πε )]e. Sumując wsstkie ładunki elementane dq w objętości V, natężenie pola elektcnego w punkcie P (,, ) możem apisać w postaci całki objętościowej: ρ(,, ) e E(,, ) dv (3.7) 4πε V gdie ( ) ( ) ( ) odległość międ punktem P (,, ) wewnąt obsau V, w któm oblicam gęstość ρ(,, ) a punktem obsewacji P (,, ), wekto jednostkow e w układie współędnch postokątnch ma składowe:,,. W ważeniu podcałkowm we woe (3.7) wstępują funkcje wektoowe e i mimo eleganckiego kótkiego apisu niestet, oblicając tę całkę, musim oblicć genealnie t całki dla składowch wektoa jednostkowego. Pcna tego postępowania jest banalna i wnika konstukcji matematcnej całki jako sum wielkości skalanch. Chcąc oblicć taką smbolicną całkę jak (3.7), musim wbać układ współędnch, najwgodniej układ współędnch postokątnch, i opisać t składowe wektoa jednostkowego e (e, e, e ). Tm tem składowm wektoa jednostkowego odpowiadają t składowe natężenia pola elektcnego E(E, E, E ) w punkcie obsewacji. Stosując podobne oumowanie, jak powżej, możem wnacć okład pola elektcnego wwołanego pe ładunek powiechniow σ umiescon na powiechni S: σ (,, ) e E(,, ) ds 4πε bądź ładunek liniow τ umiescon na kwej L: τ (,, ) e E(,, ) dl. 4πε S L

Podobnie, jak w ppadku ładunku objętościowego, oblicenie okładu natężenia pola elektcnego a pomocą powżsch całek genealnie wmaga oblicenia tech nieależnch całek dla poscególnch składowch wektoa natężenia pola elektcnego. Wdaje się, że mając możliwość oblicenia pola elektcnego a pomocą powżsch woów całkowch, akońcliśm poblem elektostatki pnajmniej dla póżni. Nawet najbadiej łożone całki potafim oblicć numecnie. Nic więc nie stoi na peskodie, ab napisać pogam oblicania całek wielowmiaowch, kostając e nanch metod numecnch i licć okład pola elektcnego. Niestet, jak to się cęsto mówi, nas poblem jest ukt w scegółach. Tm scegółem jest fakt, że paktcnie, opóc kilku mało istotnch ppadków, nie nam okładu ładunku c to objętościowego, c powiechniowego, c liniowego. Jeżeli mam w pesteni pewien okład pestenn ładunku elektcnego, to pole elektcne wwołane pe ładunki twoące ten okład wstępuje ównież w obsae, gdie najdują się ładunki. Wiem definicji pola, że jeżeli ładunek Q najdie się w polu elektcnm E, to diała na niego siła QE, któa powoduje, że ładunki się pemiescają. Nie potafim be wkonania obliceń uwględniającch wię nałożone na okład ładunku pewidieć jego okładu. Wkostam ależność (3.7) dla uskania eultatów, któe powolą nam lepiej oumieć natuę pola elektostatcnego i ułatwią nam oblicenia jego okładu mimo nienajomości okładu ładunków, któe to pole geneują. 3.3. Pawo Gaussa Na pocątek wkostam konsekwencje faktu, że w pawie Coulomba siła międ ładunkami jest odwotnie popocjonalna do kwadatu odległości międ nimi. Z tego i asad supepocji wnika, że pole elektcne, wwołane pe objętościow okład ładunku ρ w objętości V, jest opisane woem (3.7). Roważm amkniętą powiechnię S najdującą się wewnąt obsau V (s. 3.6). Rs. 3.6. Wpowadenie pawa Gaussa Obsa najdując się wewnąt powiechni S onacm pe V wew, a obsa V ew V V wew. Na podstawie wou (3.7) oblicm pole elektcne E w punkcie P() najdującm się na powiechni S i oblicm stumień pola pe powiechnię S i mam: S S ρ() n e n E()d dvds 4πε S V

gdie n jest wektoem nomalnej ewnętnej do powiechni S w punkcie P (s. 3.6). Pstąpim do oblicenia całki najdującej się po pawej stonie powżsej ówności. Zmieniając kolejność całkowania i bioąc pod uwagę, że V V V mam: S 4πε V ρ ( ) n e ρ( ) n e ρ( ) n e dvds dsdv 4πε 4πε V wew S V ew S ds dv Bioąc pod uwagę, że punkt P() leż w obsae V wew do całki powiechniowej w dugim składniku, możem astosować nane matematki twiedenie Gaussa: S n e V ew div e ds dv gdie onacenie div onaca, że oblicam dwegencję wględem współędnch punktu P(). Znak minus w ówności wnika faktu, że n jest nomalną wewnętną dla obsau V ew. Zapisując w układie współędnch postokątnch wekto e, mam: e e e 3 3 e 3 gdie ( ) ( ) ( ), a e, e, e wekto jednostkowe układu współędnch postokątnch odpowiednio osi, i. Oblicając dwegencję wektoa e wględem miennch,,, otmujem div (e ), a więc oblicana całka jest ówna eu i poostaje do oblicenia całka ρ ( ) n e dsdv. Niestet obliceniem tej całki mam dobn kłopot wiąan faktem, że punkt P leż wewnąt ob- 4πε V wew S sau V wew, co powoduje, że funkcja podcałkowa posiada w tm punkcie osobliwość wiąaną eowaniem się odległości. Dla uniknięcia tej tudności w matematce stosuje się abieg polegając na otoceniu punktu P kulą o małm, a w ganic mieającm do ea, pomieniem (s. 3.6). Po wpowadeniu tej małej kuli o powiechni S apisem całkę powiechniową w postaci: S n e n e n e n e ds ds ds S S S Suma dwóch piewsch całek po lewej stonie powżsej ówności oganica objętość oganiconą powiechniami S i S i ówną V V wew V. Wewnąt tej objętości funkcja podcałkowa nie jest osobliwa, a więc możem astosować twiedenie Gaussa, pekstałcając całkę powiechniową na całkę po objętości: S n e n e n e e ds ds ds div S S S V ds dv.

Dwegencję wektoa e oblicliśm dla V ew i możem skostać tego wniku, cli div (e n ), a tm samm mam: e n e ds ds. Oblicenie ostatnie S S całki po powiechni małej kuli o pomieniu mieającm do ea jest nietudne. Wekto jednostkow e jest skieowan godnie umową na ewnąt kuli i pokwa się kieunkiem jej pomienia. Jednostkow wekto nomalnej n jest skieowan do wnęta kuli i pokwa się kieunkiem pomienia, a więc ilocn skalan n e, gdż kąt międ obu wektoami wnosi 8. Odległość międ powiechnią kuli a jej śodkiem wnosi i jest stała. Oblicając całkę powiechniową, mam: n e n e 4π ds d 4π S. Reasumując S S pepowadone oblicenia, otmujem pawo Gaussa dla pola elektcnego w póżni: EdS S ρ(,, ) n dv (3.8) V V S Otman pe nas wnik stwieda, że stumień wektoa natężenia pola elektcnego pe powiechnię amkniętą S jest ówn całkowitemu ładunkowi awatemu w objętości V oganiconej pe powiechnię S podielonemu pe ε, a więc jesce a mam potwiedenie, że pole elektcne jest polem źódłowm. Źódłem stumienia pola elektcnego pe powiechnię oganicającą pewien obsa pesteni jest ładunek istniejąc w tm obsae. Jeżeli ładunek awat w obsae oganiconm powiechnią S będie ówn eu, to stumień pepłwając pe tę powiechnię musi bć ówn eu. Nie onaca to, że pole elektcne na powiechni S jest ówne eu, a jednie stwieda, że okład pola w pesteni musi bć w tm wpadku taki, ab całka e składowej nomalnej pola elektcnego po powiechni S bła ówna eu. Należ pamiętać, że pawo Gaussa odnosi się tlko do stumienia pola elektcnego pe powiechnię amkniętą. Podobnie jak pekstałciliśm asadę achowania ładunku postaci całkowej na lokalną postać óżnickową ównież możem pekstałcić pawo Gaussa (3.8), kostając twiedenia Gaussa: diva dv n AdS słusnego dla dowolnego ciągłego pola wektoowego A. Kostając tego twiedenia możem ównanie (3.8) apisać w postaci: ρ(,, ) dive dv ε V i stosując klascne postępowanie, że waunkiem spełnienia powżsej ówności dla dowolnej objętości V jest eowanie się funkcji podcałkowej otmujem jedno cteech ównań Mawella: ρ dive (3.9) ε Otmane ównanie jest słusne aówno dla pola statcnego, jak ównież dla pola elektcnego i ładunku będącch funkcją casu, cli dla pól dnamicnch lub, jak mówim, dla pola elektomagnetcnego. Wkostanie pawa Gaussa w postaci (3.8) do wnacenia okładu pola elektcnego paktcnie jest możliwe tlko w kilku ppadkach. Główna pcna jest ε

wiąana nasą bado oganiconą umiejętnością owiąwania ównań całkowch, a ównanie (3.8) p adanm okładie gęstości objętościowej stanowi ównanie całkowe, któego należałob wnacć wekto natężenia pola elektcnego E. Mam jednak takie ppadki, gdie na dode oważań ficnch wnikającch smetii obiektu, potafim pewidieć okład pola elektcnego w pesteni i poostaje nam tlko oblicć jego watość licbową. Wnacm okład pola elektcnego wwołanego pe ładunek objętościow ρ() najdując się wewnąt kuli o pomieniu R. Rokład ładunku objętościowego w kuli jest ależn tlko od odległości od śodka kuli. Roważm dwa ppadki, a mianowicie: ) okład ównomien ρ() ρ, ) okład opisan ależnością ρ() ρ ( R). Na podstawie smetii sfecnej obiektu (kula) wbieam układ współędnch sfecnch, θ, φ (s. 3.7). Gęstość objętościowa jest wielkością nieależną od współędnch kątowch θ i φ, a więc nie ma żadnej pcn, ab pole elektcne ależało od tch współędnch, cli możem pjąć, że pole ależ tlko od odległości od śodka kuli. Ze wględu na smetię sfecną okładu i jego nieależność od miennch θ, φ natężenie pola elektcnego powinno mieć tlko składową pomieniową, któą onacm jak E() (s. 3.7). Pjmujem powiechnię sfecną o pomieniu i śodku w pocątku układu współędnch i na moc pawa Gaussa mam: ρ(,, ) n dv. EdS S V ε 3 Rs. 3.7. Układ współędnch sfecnch, θ, φ; e, e θ, e φ wekto jednostkowe osi, θ, φ odpowiednio. Pole elektcne w punkcie P wwołane obecnością ładunku punktowego w pocątku układu współędnch Całka powiechniowa jest łatwa do oblicenia, gdż e wględu na fakt, że natężenie pola elektcnego E ma tlko składową pomieniową E(), a kieunek nomalnej pokwa się kieunkiem wektoa jednostkowego e, możem apisać n EdS E( ) ds. Watość S S składowej E() jest wielkością stałą na powiechni kuli o pomieniu, stąd mam n ds E( )ds E( ) ds 4π E( ), gdż całka powiechniowa po powiechni E S S S kuli jest ówna jej powiechni.

4 W ppadku całki objętościowej gęstości ładunku elektcnego musim nie tlko oważć, że mam dwa óżne okład, ale ównież uwględnić, c pomień powiechni obliceniowej jest mniejs, c więks od pomienia R kuli, we wnętu któej najduje się ładunek. Jak wspomniano p opisie pawa Gaussa, jednie ładunek wewnąt powiechni S wtwaa pole na tej powiechni. W ppadku R całka objętościowa w ppadku pjmuje postać:. 3 π 3 4 d d sin d d ),, ( ε ρ ε ρ θ θ ϕ ε ρ π π V V, a w ppadku gęstości będącej kwadatową funkcją pomienia mam:. 5 π 5 4 d d sin d d ),, ( ε ρ ε ρ θ θ ϕ ε ρ π π R R V V. Dla R w ppadku będie:. 3 π 3 4 d d sin d d ),, ( ε ρ ε ρ θ θ ϕ ε ρ π π R V R V, a w dugim:. 3 π 5 4 d d sin d d ),, ( ε ρ ε ρ θ θ ϕ ε ρ π π R R V R V. Na moc pawa Gaussa otmujem dla stałej gęstości:.. dla 3 dla 3 ) ( 3 R R R E ε ρ ε ρ Wato auważć, że pole wewnąt kuli awieającej ównomienie ołożon ładunek pestenn mienia się liniowo w funkcji odległości od śodka kuli. Natomiast dla R, cli na ewnąt kuli, mam E() Q 4πε, a więc pole ma okład identcn okładem ładunku punktowego Q (4πR 3 ρ ) 3, któ najduje się w śodku kuli. Równie ważnm wnikiem jest ciągłość pola dla R. C oblicam pole elektcne e ston < R, c e ston > R, to dla R wnik jest identcn. Jest to ważna cecha ciągłości składowej nomalnej wektoa natężenia pola elektcnego. Dla gęstości objętościowej ależnej od kwadatu odległości mam:.. dla 5 dla 5 ) ( 3 3 R R R R E ε ρ ε ρ Natężenie pola elektcnego wewnąt kuli mienia się tecią potęgą pomienia dla okładu gęstości ładunku objętościowego będącego kwadatową funkcją pomienia. Natomiast na ewnąt możem napisać E( R),6Q 4πε, a więc jeżeli ładunek obli-

cm tak jak p okładie ównomienm ależności Q (4πR 3 ρ ) 3, to pole na ewnąt jest mniejse i jego maksmalna watość osiągana na powiechni kuli wnosi tlko,6 watości pola dla ównomienego okładu ładunku. Z nasch obliceń wnika wniosek, że oblicając pole elektcne wwołane pe ładunek objętościow musim nać jego okład w pesteni, gdż sposób omiescenia ładunku wpłwa istotnie na watość pola. Powstaje ptanie, c mieąc okład pola na ewnąt obsau ajętego pe ładunek objętościow, jesteśm w stanie odtwoć okład pestenn tego ładunku? Postawione ptanie należ do bado tudnch poblemów, gdż jak widać poównania okładu pola elektcnego dla R, w obu ppadkach chaakte mienności pola jest identcn, cli pole maleje kwadatem odległości. Analiując pebieg mian pola w funkcji odległości, nie uskam żadnch użtecnch infomacji na podstawie najomości chaakteu jego mienności na ewnąt obsau, gdie najduje się ładunek. Ocwiście możem stwiedić, że maksmalna watość natężenia pola elektcnego jest mniejsa, ale ab to ocenić musim nać natężenie pola p okładie ównomienm i móc osądnie pjąć ρ w obu ppadkach. Dla postej geometii sfecnej już widać tudności, jakie mam identfikacją okładu ładunku, a dodatkowe komplikacje będą wiąane kstałtem obsau, w któm jest ołożon ładunek. Pedstawion poblem należ do gup tw. poblemów odwotnch i jest jednm najtudniejsch adań, jakie cęsto inżnie musi owiąać. 5

Rodiał 4 POLE CENTRALNE, POTENCJAŁ, PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM 4.. Pole elektostatcne jako pole centalne Obecnie badam wnioski wnikające faktu, że pole elektcne geneowane pe wiele źódeł spełnia asadę supepocji. Na podstawie tej własności pola elektcnego wnacam pole elektcne dla poscególnch źódeł, a następnie wnacam wpadkowe pole, sumując pola składowe. Onaca to, że jeżeli udowodnim pewną ogólną własność pola elektcnego dla pojedncego ładunku elektcnego, to a pomocą asad supepocji będiem mogli penieść tę własność na układ ładunków (3.6) bądź ciągł okład ładunku (3.7). Pole elektcne w punkcie P wwołane pe ładunek punktow Q najdując się w punkcie P okeśla ależność (3.4). Pole okeślone taką ależnością nawam polem centalnm. Mówim, że statcne pole elektcne, podobnie jak pole gawitacjne, jest polem centalnm. Pole centalne ma fundamentalną własność, a mianowicie, paca wkonana w takim polu międ dwoma punktami A i B jest nieależna od dogi, po jakiej pejdiem punktu A do B. W celu wkaania, że paca W AB międ punktami A, B jest nieależna od sposobu pejścia punktu A do punktu B w polu elektostatcnm opocniem od anali stuacji dla ładunku punktowego, a następnie, kostając asad supepocji, uogólnim nas wnik na dowoln okład ładunków. Rs. 4.. Intepolacja kwej całkowania we woe (4.) W polu elektcnm wtwoonm pe ładunek punktow Q opatm pacę wkonaną p pemiescaniu ładunku póbnego q po kwej amkniętej L (s. 4.). Paca W wkonana pe siłę F po kwej L jest dana ależnością: W F dl L

gdie wekto dl pokwa się kieunkiem stcnej do kwej L, jego wot jest wban w ten sposób, że obchodim kwą tak, ab jej wnęte mieć po lewej stonie, a jego watość jest ówna elementanej długości łuku dl. Oblicam pacę wkonaną p pemiescaniu ładunku póbnego q. Zgodnie definicją natężenia pola elektcnego E, wwołanego pe ładunek Q, na ładunek póbn q diała siła F qe. Podstawiając do powżsej całki i włącając ped nak całki stał ładunek póbn q, mam: W q E dl (4.) L Dla oblicenia całki (4.) apoksmujem kwą L łukami okęgów o śodku w punkcie, gdie najduje się ładunek Q i końce łuków połącm odcinkami, któe pokwają się pomieniem łuku (s. 4.). Jeżeli będiem stosowali coa kótse łuki, to jest ocwiste, że w ganic otmam watość całki (4.). Taka apoksmacja całkowania ma tę aletę, że pole elektcne na łukach jest postopadłe do stcnej do tego łuku, co wnika konstukcji łuku. Pemiescając ładunek póbn po łuku, nie wkonujem żadnej pac, gdż ilocn skalan E dl jest ówn eu, ponieważ na łuku oba wekto są wajemnie postopadłe. Wnika to faktu, że pole elektcne E jest polem centalnm, a śodek łuku najduje się w centum pola. Poostaje nam do policenia całka po odcinkach łącącch kolejne łuki i pokwającch się pomieniem wodącm łuku. Na tch odcinkach kieunek pola elektcnego pokwa się kieunkiem odcinka stanowiącego dogę całkowania więc E dl E d, gdie E jest watością pola na odcinku, a d elementem długości. Bioąc pod uwagę definicję pola elektcnego dla ładunku punktowego (3.4) dla k-tego k odcinka o końcach w punktach k, k mam Q Q d 4πε 4π ε k k k Sumując udiał wsstkich odcinków od piewsego do ostatniego, mam: Q E dl K K 4πε 3 k k k k K K L Sumując wsstkie składniki, otmujem: Q E dl, ale K (s.4.), co 4πε L K onaca E dl. Ostatecnie po pejściu do ganic otmujem bado istotn wnik: L L 7. E dl (4.) Wnik powżs otmaliśm, co pawda, dla pola elektostatcnego ładunku punktowego, ale asada supepocji, któą pole elektcne spełnia, powala nam uogólnić ten wnik dla dowolnego okładu ładunków. Wato osiągnięt pe nas wnik podsumować w postaci stwiedenia: Pemiescając ładunek w polu elektostatcnm po dode amkniętej, nie wkonujem żadnej pac. Dowód, że paca p pemiescaniu ładunku punktu A do punktu B nie ależ od dogi po jakiej pejdiem punktu A do B jest postą konsekwencją powżsego stwiede-

8 nia. Weźm dowolną kwą amkniętą L pechodącą pe punkt A i B (s. 4.) i ołóżm ją na dwie kwe L AB i L BA. Zachodi ocwist wiąek wnikając własności całki kwoliniowej, a mianowicie: E dl E dl E dl. Bioąc pod uwagę, że miana kieunku całkowania na łuku L BA mienia nak całki mam: L LAB LBA E dl E dl, L BA L AB L AB L AB gdie dla podkeślenia, że łuk L AB jest óżn od łuku L AB wpowadono wskaźnik (s. 4.). Ostatecnie otmujem E dl E dl. Otman wnik potwieda, że nieależnie od dogi, jaką dojdiem punktu A do B, watość całki będie tlko funkcją położenia punktów końcowch dogi. Możem więc apisać całkę jako óżnicę jej watości w punktach końcowch A i B: B A ( B) ϕ( A) E dl ϕ (4.3) 4.. Potencjał elektcn Funkcję skalaną φ(a), φ(b) nawam potencjałem elektcnm w punkcie odpowiednio A, B i mówim o polu skalanm potencjału elektcnego φ(,, ). Jednostką potencjału elektcnego jest volt [V]. Potencjał elektcn definiowan woem (4.3) nie jest okeślon jednonacnie, gdż watość całki awse ależ od óżnic potencjału w punktach końcowch kwej całkowania. Jeżeli dodam do watości potencjału φ(,, ) dowolną stałą C i utwom now potencjał ψ(,, ) φ(,, ) C, to watość całki (4.3) nie ulegnie mianie, gdż B E dl ϕ A ( A) ϕ( B) ϕ( A) C [ ϕ( B) C] ψ ( A) ψ ( B) B. Dla jednonacnego okeślenia potencjału elektcnego teba wpowadić dodatkow waunek, pjmując tak wan potencjał odniesienia. Sposób pjęcia potencjału odniesienia nie jest spawą bado istotną gdż nasm asadnicm celem jest oblicenie okładu pola elektcnego, a to jest awse funkcją óżnic potencjałów. Wkażem obecnie, że jeżeli nam okład potencjału elektcnego w pewnm obsae pesteni V, cli nam wnik całkowania wektoa natężenia pola elektcnego E dl dla dwóch dowolnch punktów będącch końcami dowolnej dogi międ tmi A B punktami, to potafim wnacć pole elektcne E w obsae V. Innmi słow, owiążem ównanie całkowe (4.3) p danej watości pawej ston. Ropatm dwa punkt A(l) i B(l dl) (s. 4.) najdujące się w niewielkiej odległości dl od siebie. Oblicając całkę E dl po linii postej łącącej oba punkt i kostając A twiedenia o watości śedniej w achunku całkowm, możem napisać: B ( η) dl ϕ( l) ϕ( l dl) E dl E st, A

gdie punkt η leż na odcinku międ punktami A, B. Dieląc pe dl i pechodąc do ganic, otmujem: dϕ E st ( A ), dl gdie dϕ dl onaca pochodną kieunkową wdłuż postej l pechodącej pe punkt A. Znak minus w powżsm ównaniu wnika pjętej umow, że ładunkiem póbnm jest ładunek dodatni. 9 Rs. 4.. Oblicenie natężenia pola elektcnego Pjmując układ współędnch postokątnch,, i kieując postą l wdłuż odpowiednich osi mam: E E E ϕ ϕ ϕ (4.4) cli nając okład potencjału elektcnego φ(,, ) w objętości V, możem wnacć składowe wektoa natężenia pola elektcnego E, E, E w tm obsae, oblicając odpowiednie pochodne potencjału (4.4). Ze wględu na fakt, że pole elektcne jest wektoem, możem wnioskować, że ównież t pochodne cąstkowe potencjału twoą wekto. Wekto ten nawam gadientem i układ ównań (4.4) apisujem kótko: lub, kostając opeatoa nabla, mam: E gadϕ (4.5) E ϕ. Otman pe nas wnik jest bado ważn, gdż powala on w istotn sposób mniejsć wsiłek wiąan oblicaniem pola elektcnego. Jeżeli będiem potafili wnacć skalane pole potencjału elektcnego dla danego okładu ładunku, co onaca koniecność wnacenia tlko jednej funkcji skalanej, to oblicenie pola jest już bado poste. Na podstawie ależności (4.4) musim tlko genealnie oblicć t pochodne cąstkowe odpowiednio w kieunku osi, i, co jest nacnie postse niżeli oblicanie tech całek. Poostaje nam tlko budowanie odpowiednich woów i opocniem, jak

3 wkle, od ładunku punktowego, a następnie, kostając asad supepocji, uogólnim dla dowolnego okładu. Rs. 4.3. Potencjał ładunku punktowego Dla ładunku punktowego Q (s. 4.3) jego pole elektcne E ma w układie współędnch sfecnch, θ, ψ tlko składową pomieniową E() Q (4πε ), gdie odległość od punktu, w któm najduje się ładunek. Wbieam dogę całkowania pokwającą się pomieniem i całkując od punktu A( ) do punktu B( ), otmujem: B ( ) E dl E () Q Q d 4πε 4πε A( ), gdie potencjał w punkcie A jest ϕ(a) Q (4πε ), a w punkcie B ϕ(b) Q (4πε ). Dla usunięcia niejednonacności w okeśleniu potencjału wstac nałożć logicn ficnie waunek, że potencjał w nieskońconej odległości od ładunku źódłowego jest ówn eu. Onaca to, że umiescając punkt B w nieskońconości, co jak widać ależności ϕ(b) Q (4πε ) powadi do eowania się potencjału, nie można do potencjału w punkcie A i B dopisać dowolnej stałej. Tak więc, pjmując umowę o eowaniu się potencjału w nieskońconej odległości od źódła dla ładunku punktowego, mam jednonacnie okeślon potencjał, któ w odległości od ładunku wnacon woem: Q ϕ ( ) (4.6) 4πε Powiechnię, na któej watość potencjału jest stała, nawam powiechnią ekwipotencjalną. Wnacam te powiechnie, owiąując ównanie: φ(,, ) Φ, (4.7) gdie Φ jest potencjałem danej powiechni ekwipotencjalnej. Pjmując óżne watości Φ, otmujem odinę powiechni ekwipotencjalnch dla pola skalanego potencjału elektcnego φ(,, ). W ppadku ładunku punktowego powiechnie ekwipotencjalne są współśodkowmi powłokami kulistmi o pomieniu R i Q (4πε Φ i ), i,,..., I. Rokład powiechni ekwipotencjalnch dla dodatniego ładunku punktowego o watości Q n C pedstawiono na s. 4.4, a dla ładunku ujemnego Q n C na s. 4.5. Jednoceśnie na sunkach nasowano wekto pola elektcnego E, któ jest stcn do linii wchodącch punktu, gdie najduje się ładunek i postopadł do powiechni ekwipotencjalnej. Cęsto pedstawia się pole elektcne, sując powiechnie ekwipotencjalne i linie sił, do któch jest stcn wekto natężenia pola elektcnego. Linie sił sujem awse postopadle do powiechni ekwipotencjalnch. Wnika to faktu, że wekto pola elek-

3 tcnego jest gadientem potencjału (4.5), a więc jego składowe są oblicane jako pochodne potencjału. Ponieważ powiechnia ekwipotencjalna chaakteuje się stałm potencjałem, więc pochodne potencjału w kieunku stcnch do powiechni są ówne eu e wględu właśnie na stałość potencjału. Jedną óżną od ea pochodną potencjału jest pochodna nomalna do powiechni, co onaca, że pole elektcne jest postopadłe do powiechni ekwipotencjalnej. Rs. 4.4. Powiechnie ekwipotencjalne ładunku punktowego Q nc Rs. 4.5. Powiechnie ekwipotencjalne ładunku punktowego Q nc Matematcnie możem potwiedić nase oumowanie, oblicając nomalną do powiechni (4.7). Składowe nomalnej n(n, n, n ) do powiechni ekwipotencjalnej w układie współędnch postokątnch ważają się woami: n ( ϕ, ) ϕ, ( ϕ, ) ( ϕ, ) n n ( ϕ, ( ϕ, ) ) ϕ, ( ϕ, ϕ, ( ϕ, ) ) ( ϕ, ( ϕ, ) ) gdie dla skócenia apisu pochodne cąstkowe onacono ϕ ϕ, ; ϕ ϕ, ; ϕ ϕ, Ale godnie (4.5) mam: E ϕ, ; E ϕ, ; E ϕ, ;

3 i E ( ϕ, ) ( ϕ, ) ( ϕ, ) jest modułem natężenia pola elektcnego, a więc kieunek wektoa nomalnej do powiechni ekwipotencjalnej pokwa się kieunkiem natężenia pola elektcnego na tej powiechni ponieważ składowe obu wektoów są jednakowe co do watości bewględnej. Powóćm do nasego poblemu pocątkowego, a mianowicie stwiediliśm, że jeżeli wnacm pole ładunku punktowego, to kostając asad supepocji, któą ównież spełnia potencjał elektcn, wnacm okład potencjału elektcnego dla dowolnego okładu ładunku o gęstości objętościowej ρ(,, ). Postępowanie nase nicm nie óżni się od postępowania p oblicaniu pola elektcnego dla nanego okładu ładunku objętościowego ρ w obsae V tm, że tea mam pole skalane, a więc oblicenia są nacnie postse (s. 4.6). Rs. 4.6. Ładunek objętościow ρ(,, ) w obsae V Podobnie jak p oblicaniu pola elektcnego, wcinam w obsae V niewielką kostkę o objętości dv i taktując ładunek dq ρ(,, )dv jako ładunek punktow, najdujem potencjał dφ(,, ) w punkcie P. Zgodnie ównaniem (4.6) mam: ρ dϕ (,, ) (,, ) 4πε i sumując godnie asadą supepocji udiał wsstkich ładunków najdującch się w objętości V, otmujem potencjał elektcn: V gdie jak wkle ( ) ( ) ( ) dv (,, ) ρ dv ϕ (,, ) (4.8) 4πε odległość międ punktami P i P. Stosując analogicne postępowanie dla ładunku powiechniowego σ najdującego się na powiechni S, mam potencjał elektcn: S i dla ładunku liniowego τ ołożonego na kwej L: (,, ) ρ ds ϕ (,, ) (4.9) 4πε

(,, ) ρ (,, ) dl 33 ϕ. (4.) 4πε L W ppadku ładunku liniowego wato osobno opatć ppadek ładunku umiesconego na długiej postoliniowej nici. W ten sposób najcęściej modelujem pewod enegetcnej linii napowietnej. Okeślenie, że linia jest długa onaca pominięcie wpłwu końców linii na okład pola elektcnego. Pomijając te, jak mówim, efekt kańcowe akładam, że linia jest nieskońcenie długa. Taki model daje adowalające wniki, jeżeli nie odsuwam się na od linii na odległość nie więksą niż długości linii, co w paktce cęsto jest spełnione. W ppadku linii napowietnej jako długość linii pjmujem odstęp międ dwoma kolejnmi słupami podpoowmi linii. Ropatujem nieskońcenie długą nić naładowaną stałm ładunkiem liniowm τ. Pjmujem układ współędnch clindcnch, θ, (s. 4.7), któego oś pokwa się nicią. Rokład ładunku liniowego τ jest nieależn od kąta θ e wględu na smetię clindcną nici oa współędnej e wględu na nieskońconą długość nici. Pole elektcne wwołane pe ten ładunek nie ależ ani od θ, ani od. Pole elektcne jest jednie funkcją współędnej będącej odległością od nici. Rs. 4.7. Ładunek liniow ołożon wdłuż postej Ze wględu na nieskońconą długość nici naładowanej stałm ładunkiem τ i jej smetię clindcną pole elektcne wokół nici jest skieowane wdłuż pomienia (s. 4.7), co onaca, że w układie współędnch clindcnch, w któm dowoln wekto A ma t składowe A, A θ i A, pole elektcne ma tlko składową pomieniową E onacaną dalej jako E. Jeżeli wiem, że pole elektcne nici ma tlko składową pomieniową i jest ona ależna tlko od, to do oblicenia pola elektcnego najwgodniej astosować pawo Gaussa. Budujem walec o osi pokwającej się nicią i długości twoącej L, pomieniu. Stosując pawo Gaussa, mam: i oblicając E(): E nds S L d π E() dθ πl E() L τ τl d ε ε E() τ πε (4.)