Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych oznacza b dziemy symbolem N. Zasada minimum. Je±li zbiór X jest niepustym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, to w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Denicja. Liczba caªkowita b jest podzielna przez liczb caªkowit a (a 0), je±li istnieje taka liczba caªkowita k,»e b = k a. Piszemy wtedy a b i czytamy: (i) a dzieli b, (ii) a jest podzielnikiem b, (iii) b jest podzielna przez a. Je±li liczba caªkowita b nie jest podzielna przez liczb caªkowit a, to piszemy a b. Twierdzenie. Niech a, b, c, m Z, przy czym a, m 0. (1) Je±li a b, to a b c. (2) Je±li a b i b c, to a c, (b 0). (3) Je±li a b i a c, to a (bx + cy) dla dowolnych x, y Z. (4) Je±li a b i b a, to a = b (b 0). (5) Je±li a b i a > 0, b > 0, to a b. (6) a b wtedy i tylko wtedy gdy m a m b. Twierdzenie. Dla dowolnej liczby caªkowitej b i dowolnej liczby caªkowitej a 0, istniej liczby caªkowite k i r, takie,»e Je±li a b, to zachodzi nierówno± ostra. b = k a + r, 0 r < a. Liczb r nazywamy reszt z dzielenia liczby b przez liczb a. Denicja najwi kszego wspólnego dzielnika. Liczb a Z\ {0} nazywamy wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, je±li a b i a c. Je±li przynajmniej jedna sposród liczb b i c jest ró»na od zera, to w±ród wspólnych dzielników liczb b, c (których jest sko«czenie wiele) istnieje najwi kszy. Ten najwi kszy spo±ród wspólnych dzielników liczb b,c nazywamy najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c oznaczamy symbolem (b, c) lub Nwd(b, c). 1

W podobny sposób deniujemy najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b 1, b 2,...b n z których przynajmniej jedna jest ró»na od zera. Dzielnik ten oznaczamy symbolem (b 1, b 2,...b n ). Twierdzenie. Je±li g = (b, c) jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb caªkowitych b i c, to istniej liczby caªkowite x 0, y 0 takie,»e g = b x 0 + c y 0. Innymi sªowy: najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynikach caªkowitych. Twierdzenie. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb caªkowitych b i c mo»e by scharakteryzowany w nast puj cy sposob: (1) Jako najmniejsza liczba naturalna nale» ca do zbioru A = {bx + cy : x, y Z}. (2) Jako wspólny naturalny dzielnik liczb b i c podzielny przez ka»dy inny wspólny dzielnik tych liczb. Twierdzenie (Algorytm Euklidesa). Niech b i c b d dwiema liczbami caªkowitymi, przy czym c > 0. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb b i c mo»e by obliczony przy pomocy serii równo±ci: b = k 1 c + r 1, 0 < r 1 < c, c = k 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = k 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2, r 2 = k 4 r 3 + r 4, 0 < r 4 < r 3,. r j 2 = k j r j 1 + r j, r j 1 = k j+1 r j.. 0 < r j < r j 1, Ostatnia reszta r j jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb b i c. Przykªad. Niech b = 3102, c = 1044. Algorytm Euklidesa daje nam równo±ci 3102 = 2 1044 + 1014, 1044 = 1 1014 + 30, 1014 = 33 30 + 24, 30 = 1 24 + 6, 24 = 4 6. Ostatnia reszta jest równa 6. Zatem (3102, 1044) = 6. Z poprzednich równo±ci otrzymujemy kolejno 6 = 30 1 24 = 30 (1014 33 30) = 34 30 1014 = = 34 (1044 1014) 1014 = 34 1044 35 1014 = = 34 1044 35 (3102 2 1044) = ( 35) 3102 + 104 1044. 2

St d (3102, 1044) = ( 35) 3102 + 104 1044. Zatem najwi kszy wspólny dzielnik liczb 3102 i 1044 jest kombinacj liniow tych liczb o wspóªczynnikach odpowiednio x 0 = 35 i y 0 = 104. Denicja najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci. Niech a 1, a 2,..., a n b d liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera. Powiemy,»e liczba caªkowita b jest wspóln wielokrotno±ci liczb a 1, a 2,..., a n, je±li a i b dla ka»dego i {1, 2,..., n}. Najmniejsza ze wspólnych wielokrotno±ci dodatnich liczb a 1, a 2,..., a n nazywa si najmniejsz wspóln wielokrotno±ci tych liczb. Najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb a 1, a 2,..., a n oznaczamy symbolem [a 1, a 2,..., a n ] lub Nww(a 1, a 2,..., a n ). Twierdzenie. Ka»da wspólna wielokrotno± liczb caªkowitych ró»nych od zera a 1, a 2,..., a n jest podzielna przez ich najmniejsz wspóln wielokrotno± [a 1, a 2,..., a n ]. Twierdzenie. Iloczyn najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych i ich najmniejszej wspólnej wielokrotno±ci jest równy iloczynowi tych liczb. Czyli (a, b) [a, b] = a b, a, b N. Przykªad. Obliczy najmniejsz wspóln wielokrotno± liczb 3102 i 1044. Rozwi zanie (3102, 1044) = 6. Zatem na mocy powy»szego twierdzenia [3102, 1044] = 3102 1044 6 = 539748. 2. Równania nieoznaczone Twierdzenie. Niech a 1, a 2,..., a n, b b d liczbami caªkowitymi z których przynajmniej jedna liczba a i jest ró»na od zera (i {1, 2,..., n}). Na to by równanie postaci a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by najwi kszy wspólny dzielnik liczb a 1, a 2,..., a n dzieliª liczb b. Denicja liczb wzgl dnie pierwszych. Liczby caªkowite a, b nazywamy liczbami wzgl dnie pierwszymi, je±li (a, b) = 1. Twierdzenie. Na to by równanie postaci ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, 3

miaªo rozwi zanie w liczbach caªkowitych potrzeba i wystarcza, by (a, b) c. Spostrze»enie. Niech b dzie dane równanie postaci ( ) ax + by = 1, a, b Z, a 2 + b 2 > 0. Je±li liczby caªkowite a, b s wzgl dnie pierwsze, to równanie ( ) posiada rozwi zanie w liczbach caªkowitych. Twierdzenie. Je±li para liczb caªkowitych (x 0, y 0 ) jest pewnym rozwi zaniem równania ax + by = c, a, b, c Z, a 2 + b 2 > 0, to wszystkie rozwi zania tego równania w liczbach caªkowitych otrzymujemy ze wzoru x = x 0 + b (a, b) t, y = y 0 a t, t Z. (a, b) Przykªad. Równanie ( ) 435x + 2012y = 6 rozwi za w liczbach caªkowitych. Rozwi zanie Najwi kszy wspólny dzielnik liczb 435 i 2112 jest równy 3. Równanie( ) ma rozwi zanie, gdy» 3 12. Ponadto ªatwo obliczy,»e ( ) 435 ( 335) + 2112 69 = (435, 2012) = 3. Mno» c obie strony równo±ci ( ) przez 2 otrzymujemy Czyli 435 ( 335 2) + 2112 (69 2) = 3 2 = 6. 435 ( 670) + 2112 138 = 6. Znale¹li±my zatem rozwi zanie szczególne równania ( ) x 0 = 670, y 0 = 138. Zgodnie z powy»szym twierdzeniem rozwi zanie, równania ( ) ma posta x = 670 + 704 t, y = 138 + 145 t, t Z. 3. Liczby pierwsze Denicja liczb pierwszych. Je±li poza dzielnikami trywialnymi liczba naturalna n, wi ksza od jedno±ci, nie posiada innych dzielników naturalnych, to nazywamy j liczb pierwsz. Dokªadniej: liczba n N\ {1} jest liczb pierwsz, je±li jedynymi jej dzielnikami naturalnymi s liczba 1 oraz liczba n. 4

Twierdzenie. (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Niech a, b, c b d dowolnymi liczbami naturalnymi. Je±li (a, b) = 1 i a b c, to a c. Twierdzenie. (Podstawowe twierdzenie arytmetyki) Ka»da liczba naturalna n wi ksza od jedno±ci daje si przedstawi jednoznacznie, z dokªadno±ci do kolejno±ci czynników, w postaci iloczynu liczb pierwszych. To znaczy,»e gdy dane s dwa rozkªady n = p 1 p 2... p k, oraz n = q 1 q 2... q l tej samej liczby naturalnej n na czynniki pierwsze, to k = l i mo»na liczby p j i q s (j {1, 2,..., k}, s {1, 2,..., l}), tak uporz dkowa, by odpowiadaj ce sobie czynniki byªy równe. Twierdzenie. Ka»da liczba zªo»ona n ma dzielnik pierwszy mniejszy lub równy n. Powy»sze twierdzenie jest równowa»ne twierdzeniu Twierdzenie. Je±li liczba naturalna n > 1 nie jest podzielna przez»adn liczb pierwsz mniejsz lub równ n, to jest liczb pierwsz. Sito Eratostenesa (276-194). We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( 1 ) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,... Usu«my z naszego ci gu ( 1 ) wszystkie liczby wi ksze od pierwszej liczby pierwszej p 1 = 2 i podzielne przez 2. Otrzymujemy ci g ( 2 ) 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb wi ksz od 2 jest liczba pierwsza p 2 = 3. Usuwamy teraz z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od 3 b d ce wielokrotno±ciami liczby 3. Otrzymujemy ci g ( 3 ) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Pierwsz nieusuni t liczb niepodzieln przez 2 i 3 jest liczba pierwsza p 3 = 5. Post powanie kontynuujemy i za n-tym razem otrzymujemy n-t liczb pierwsz p n. Nast pnie usuwamy z naszego ci gu wszystkie liczby wi ksze od p n b d ce wielokrotno- ±ciami liczby p n. Pierwsz nieusuni t liczb jest liczba pierwsza p n+1. Je±li ci g jest sko«czony postaci ( ) 2, 3, 4, 5..., N, to post powanie mo»emy zako«czy po otrzymaniu najwi kszej liczby pierwszej p k N. Wszystkie liczby pozostaªe w ci gu ( ) wi ksze od liczby p k s liczbami pierwszymi. Przykªad. We¹my pod uwag ci g liczb naturalnych ( ) (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,..., 83, 84, 85). 5

Wykre±lmy z naszego ci gu wszystkie liczby parzyste wi ksze od p 1 = 2. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 1 = 2, niepodzieln przez 2, jest liczba 3. Wykre±lamy wszystkie wielokrotno±ci liczby 3 wi ksze od p 2 = 3. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83, 85). Pierwsz nieskre±lon liczb wyst puj c po liczbie p 2 = 3, niepodzieln przez 2 i 3, jest liczba 5. Skre±lamy teraz wszystkie liczby b d ce wielokrotno±ciami liczby 5, wi ksze od p 3 = 5. Otrzymujemy ci g (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,,..., 83). Nasze post powanie sko«czy dla p 4 = 7 (gdy» 7 jest najwi ksz liczb pierwsz mniejsz od 85), po skre±leniu wszystkich wielokrotno±ci 7 wi kszych od 7. Liczby pozostaªe w ci gu ( ) po skre±leniu wielokrotno±ci liczb 2, 3, 5, 7 (oprócz liczb 2, 3, 5, 7) s pierwsze. W rezultacie otrzymujemy wszystkie liczby pierwsze zawarte w zbiorze {2, 3, 4, 5, 6,..., 85}. S to liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83. 4. Funkcja Eulera Wielki matematyk niemiecki Carl Freidrich Gauss (1777-1855) zdeniowaª funkcj ϕ : N N okre±lon nast puj co: ϕ (n), gdzie n N, jest ilo±ci liczb naturalnych niewi kszych od n i wzgl dnie pierwszych z n. Obecnie t funkcje nazywa si funkcj Eulera od nazwiska wybitnego matematyka szwajcarskiego Leonarda Eulera (1707-1783). Denicj funkcji Eulera ϕ mo»emy zapisa równie» w postaci ϕ (n) = card {k N : k n (k, n) = 1}, n N, gdzie symbol carda oznacza moc zbioru A (A = {k N :k n (k, n) = 1}). Przyklad. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ϕ (n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 Funkcja Eulera ma zastosowanie w kryptograi. 6

Twierdzenie. (Wªasno±ci funkcji Eulera) (1) Je±li p jest liczb pierwsz, to ϕ (p) = p 1. (2) Je±li α N i p jest liczb pierwsz, to ϕ (p α ) = p α 1 (p 1) lub równowa»nie ϕ (p α ) = p α p α 1. (3) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k pierwszymi, to ϕ (n) = n (1 1p1 ) (1 1p2 )..., gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami (1 1pk ). (4) Je±li n = p 1 p 2... p k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = (p 1 1) (p 2 1)... (p k 1). (5) Je±li α 1, α 2,..., α k N i n = p α 1 1 p α 2 2... p α k k, gdzie p 1, p 2,..., p k s ró»nymi liczbami pierwszymi, to ϕ (n) = ϕ (p α 1 1 ) ϕ (p α 2 2 )... ϕ (p α k k ). (7) Je±li m, n N i (m, n) = 1, to ϕ (m n) = ϕ (m) ϕ (n). (8) Je±li n 1, n 2,..., n k N i je±li (n i, n j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,...k}) (tzn. liczby n 1, n 2,..., n k s parami wzgl dnie pierwsze), to ϕ (n 1 n 2... n k ) = ϕ (n 1 ) ϕ (n 2 )... ϕ (n k ). 5. Kongruencje Denicja kongruencji. O dwóch liczbach caªkowitych a i b mówimy,»e przystaj do siebie modulo m (m N), je±li m (a b). Je±li liczby a i b przystaj do siebie modulo m, to piszemy a b (modm). Czyli a b (modm) k Z a b = k m. Relacja nazywa si kongruencj w zbiorze liczb caªkowitych. Twierdzenie. Niech a, b, c, d b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Niech m b dzie dowoln liczb naturaln. Wówczas (1) a a (modm) (zwrotno± relacji ). 7

(2) Je±li a b (modm), to b a (modm) (symetria relacji ). (3) Je±li a b (modm) i b c (modm), to a c (modm) (przechodnio± relacji ). (4) Je±li a b (modm), to (a b) 0 (modm). (5) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a + c (b + d) (modm). (6) Je±li a b (modm) i c d (modm), to a c (b d) (modm). (7) Je±li a i b i (modm), (a i, b i Z, i {1, 2,.., k}), to k a i k b i (modm). (8) Je±li a b (modm), to a k b k (modm), (k N). (9) Je±li a b (modm) i d > 0 i d m, to a b (modd). (10) Je±li a b (modm) i c > 0, to a c b c (modm c). (11) Je±li c a c b (modm) i (c, m) = 1, to a b (modm). Twierdzenie. Niech f oznacza wielomian o wspóªczynnikach caªkowitych. Wówczas, je±li a b (modm), to f (a) f (b) (modm). Przykªad. (Cecha podzielno±ci przez 11). Liczba naturalna a dzieli si przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy ró»nica pomi dzy sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach nieparzystych, a sum jej cyfr znajduj cych si na miejscach parzystych jest podzielna przez 11. Rozwi zanie Niech liczba a w rozwini ciu dziesi tnym ma posta a = a n (10) n + a n 1 (10) n 1 +... + a 1 10 + a 0. Zauwa»my dalej,»e 10 1 (mod11). Wobec powy»szego twierdzenia f (10) f ( 1) (mod11), gdzie f jest wielomianem postaci a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0. Zatem a = a n (10) n +a n 1 (10) n 1 +...+a 1 10+a 0 a n ( 1) n +a n 1 ( 1) n 1 +...+a 1 ( 1)+a 0 (mod11). i=1 i=1 Twierdzenie. (Chi«skie twierdzenie o resztach). Niech m 1, m 2,..., m n (n > 1), b d liczbami naturalnymi parami wzgl dnie pierwszymi, tzn (m i, m j ) = 1 dla i j (i, j {1, 2,..., n}) i niech r 1, r 2,..., r n b d dowolnymi liczbami caªkowitymi. Wówczas istnieje wspólne rozwi zanie ukªadu kongruencji ( ) x r 1 (modm 1 ), x r 2 (modm 2 ),. x r n (modm n ). Rozwi zanie, to jest jedyne modulo m = m 1 m 2... m n. Czyli, je±li x 0 jest pewnym rozwi zaniem ukªadu ( ), to liczba caªkowita x jest rozwi zaniem ukªadu ( ) wtedy i tylko wtedy gdy jest postaci x = x 0 + k m, gdzie m = m 1 m 2... m n, k Z. 8

Rozwi zywanie kongruencji typu a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 0 (modm) Niech f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych i niech m N. Ka»d liczb caªkowit tak,»e f (c) 0 (modm) nazywamy pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Spostrze»enie 1. Niech c b dzie pierwiastkiem kongruencji f (x) 0 (modm). Je±li d c (modm), to d te» jest pierwiastkiem tej kongruencji. Spostrze»enie 2. Wszystkie pierwiastki kongruencji f (x) 0 (modm) mo»emy wyznaczy sprawdzaj c jej prawdziwo± dla liczb ze zbioru {0, 1, 2,..., m 1}, czyli reszt modulo m. Uwaga. Przyj to nie rozró»nia pierwiastków kongruencji f (x) 0 (modm), które przystaj do siebie modulo m. Traktujemy takie pierwiastki jako jeden pierwiastek tej kongruencji. Mówi c,»e kongruencja f (x) 0 (modm) posiada trzy pierwiastki mamy na my±li trzy ró»ne klasy liczb caªkowitych modulo m. Przykªad. Kongruencja x 100 1 0 (mod5) ma cztery pierwiastki s nimi liczby 1, 2, 3, 4. Natomiast wszystkie rozwi zania mo»na opisa wzorem x = k+5t, k {1, 2, 3, 4}. Kongruencje typu ax b (modm) Twierdzenie. Niech a, b Z, m N, g = (a, m). Kongruencja postaci ax b (modm) ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy g b. Je±li warunek jest speªniony, to rozwi zania tworz ci g arytmetyczny o ró¹nicy m, daj c g rozwi za«modulo m. g Spostrze»enie 3. Kongruencja postaci ax b (modp), gdzie p jest liczb pierwsz i p a, ma dokªadnie jeden pierwiastek. Przykªad. Ile rozwi za«posiada kongruencja ( ) 15x 25 (mod35)? Poda te rozwi zania. Rozwi zanie Kongruencja ( ) ma pi rozwi za«, gdy» g = (15, 35) = 5 i 5 25. Znajdziemy te rozwi zania. Z denicji kongruencji otrzymujemy Dziel c obie strony równania przez 5, mamy 15x 35y = 25, x, y Z. 3x 7y = 5. 9

Para liczb x 0 = 4, y 0 = 1 stanowi rozwi zanie szczególne naszego równania. Rozwi zanie modulo 5 ma posta x = 4 + 5s, s Z. Poniewa» 35 = 7, to rozwi zania modulo 35 tworz ci g arytmetyczny o pi ciu 5 wyrazach i o ró»nicy 7 x = 4 + 35t x = 11 + 35t x = 18 + 35t, t Z. x = 25 + 35t x = 32 + 35t Twierdzenie Lagrange'a. Niech f (x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 b dzie wielomianem o wspóªczynnikach caªkowitych. Je±li p jest liczba pierwsz i p a n, to kongruencja f (x) 0 (modp) ma co najwy»ej n pierwiastków. Twierdzenie Wilsona. Je±li p jest liczba pierwsz, to (p 1)! 1 (modp). Twierdzenie Eulera. Dla ka»dej liczby caªkowitej a wzgl dnie pierwszej z m N a ϕ(m) 1 (modm). Twierdzenia Fermata (maªe) (a). Dla ka»dej liczby caªkowitej a niepodzielnej przez liczb pierwsz p zachodzi kongruencja a p 1 1 (modp). Maªe twierdzenie Fermata jest cz sto formuªowane w postaci Twierdzenia Fermata (maªe) (b).dla ka»dej liczby caªkowitej a i dowolnej liczby pierwszej p a p a (modp). 10