ELEMENTY TEORII LICZB. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2004/05
|
|
- Lech Marcinkowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ELEMENTY TEORII LICZB Grzegorz Szkibiel Jesie«2004/05
2 Spis tre±ci 1 Liczby i wielomiany Wielomiany Podzielno± liczb Podzielno± wielomianów Liczby w ró»nych systemach pozycyjnych Zmiana podstawy w systemach pozycyjnych Niektóre cechy podzielno±ci Uwagi ko«cowe Liczby pierwsze Rozkªad na czynniki Ilo± i rozmieszczenie liczb pierwszych Podstawowe twierdzenie arytmetyki Jednoznaczno± rozkªadu na liczby pierwsze Konsekwencje Najwi kszy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotno± Najwi kszy wspólny dzielnik Najmniejsza wspólna wielokrotno± Algorytm Euklidesa Algorytm Euklidesa dla liczb i wielomianów Rozwi zywanie równa«
3 Elementy teorii liczb wykªad Diofantyczne równania liniowe z dwiema niewiadomymi Arytmetyka modulo m Poj cie kongruencji Wªasno±ci arytmetyczne kongruencji Cechy podzielno±ci Dalsze wªasno±ci kongruencji Liczby odwrotne modulo m i kongruencje liniowe Ukªady kongruencji z jedn niewiadom Chi«skie twierdzenie o resztach Pewne uogólnienie Kongruencje wy»szych stopni Zastosowania Gªówne twierdzenie Kwadraty magiczne Metoda De La Loubere'a Uogólnienie Dalsze twierdzenia arytmetyki modulo n Maªe twierdzenie Fermata Funkcja Eulera Twierdzenie Eulera Twierdzenie Lagrange'a Liczby pseudopierwsze Poj cie liczba pseudopierwsza Liczby Carmichaela Liczby silnie pseudopierwsze Pierwiastki pierwotne Rz d elementu modulo n Pierwiastki pierwotne modulo n Wykªadnik uniwersalny modulo n Istnienie pierwiastków pierwotnych
4 4 Elementy teorii liczb wykªad 13.5 Pewne zastosowania pierwiastków pierwotnych
5 Rozdziaª 1 Liczby i wielomiany Zakres teorii liczb to zbiór liczb caªkowitych. Tak wi c w ramach tego przedmiotu nie b dziemy wychodzi poza ten zbiór, a je±li si pojawi poj cie,,liczba, oznacza to b dzie,,liczba caªkowita. Czasami ograniczymy nasz zakres jeszcze bardziej, tj. do zbioru liczb naturalnych. Od czasu do czasu jednak trzeba b dzie wyj± poza liczby caªkowite. Wówczas do sªowa,,liczba dodawa b dziemy odpowiednie przymiotniki, np.,,liczba wymierna lub,,liczba rzeczywista. Przy badaniu pewnych cech liczb wykorzystywane s wielomiany. Zbiór wielomianów ma wiele wªasno±ci analogicznych do zbioru liczb caªkowitych. Zatem obydwa te zbiory b dziemy poznawa w miar równolegle. 1.1 Wielomiany Z pojeciem wielomian wi»e si pewien zbiór. Dobrze jest je»eli zbiór ten ma pewn struktur, tj. mo»na jego elementy poddawa okre±lonym dziaªaniom. Podamy tu dwie denicje. Ciaªem nazywamy zbiór K, w którym okre±lone s dwa dziaªania + oraz speªniaj ce nast puj ce warunki: 1. a,b K a + b = b + a, 2. (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c K 3. 0 K a K a + 0 = 0 + a = a, 5
6 6 Elementy teorii liczb wykªad 4. a K a K 5. a,b K a b = b a, a + ( a) = ( a) + a = 0, 6. (a b) c = a (b c), a,b,c K 7. a 1 = 1 a = a, 1 K a K\{0} 8. a a K\{0} a 1 K a 1 = a 1 a = 1, 9. (a + b) c = a c + b c. a,b,c K Powy»sze warunki nazywamy aksjomatami ciaªa. Dziaªanie + nazywamy dodawaniem a mno»eniem. Zwykle pomija si kropk przy zapisie dziaªania mno»enia. Aksjomaty 2 i 6 nosz nazwy praw ª czno±ci, a aksjomaty 1 i 5 praw przemienno±ci, odpowiednio, dodawania oraz mno»enia. Warunek 7 to prawo rozdzielno±ci mno»enia wzgl dem dodawania. Element 0 nazywamy elementem neutralnym dodawania, a 1 elementem neutralnym mno»enia. Zbiór K bez elementu neutralnego dodawania oznaczamy K. Element a nazywamy elementem przeciwnym do a, natomiast a 1 elementem odwrotnym do a. Maj c zarówno elementy odwrotne jak i przeciwne, mo»emy mówi o dzieleniu oraz odejmowaniu i pisa a oraz a b zamiast b ab 1 i a + ( b). Zbiór P z okre±lonymi dziaªaniami dodawania i mno»enia, który speªnia wszystkie aksjomaty ciaªa z wyj tkiem ósmego nazywamy pier±cieniem przemiennym z jedynk. Poniewa» nie b dziemy mówi o innych pier±cieniach ni» przemienne z jedynk, wi c b dziemy pomija okre±lenie,,przemienny z jedynk. Przykªadem pier±cienia jest zbiór liczb caªkowitych Z. Niech dany b dzie zbiór A. Wielomianem o wspóªczynnikach w A nazywamy dowoln sum a(x) = a n x n, (1.1) n=0 dla której a n A (dla n N 0 ) oraz prawie wszystkie elementy a n s równe 0. x nazywamy zmienn, a elementy a n wspóªczynnikami. Najwy»szy wska¹nik n, dla którego a n 0 nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy deg a(x). Je»eli wszystkie wspóªczynniki s równe zeru, to stopie«
7 Elementy teorii liczb wykªad 7 wielomianu okre±lamy jako. Poniewa» suma 1.1 jest zawsze sko«czona, u»ywamy raczej zapisu a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, gdzie n jest stopniem wielomianu, lub 0, je±li ten stopie«jest równy. Zbiór wszystkich wielomianów o wspóªczynnikach w zbiorze A oznaczamy A[x], a sam zbiór A nazywamy zbiorem wspóªczynników. B dziemy dalej zakªada,»e A jest ciaªem lub pier±cieniem. W szczególno±ci, w zbiorze A zdeniowane s dziaªania dodawania i mno»enia. Okre±limy teraz dodawanie oraz mno»enie wielomianów. Przyjmijmy Wówczas oraz a(x) = a n x n, b(x) = b n x n. n=0 n=0 a(x) + b(x) = a(x)b(x) = (a n + b n )x n, n=0 ( n ) a j b n j x n. n=0 j=0 Elementy A stanowi wielomiany stopnia zero. Mo»na wi c mówi o mno-»eniu wielomianów przez elementy ze zbioru A. Zauwa»my,»e A[x] jest pier±cieniem oraz»e deg(a(x) + b(x)) max (deg a(x), deg b(x)) (1.2) przy czym równo± zachodzi je±li deg a(x) deg b(x) oraz deg(a(x)b(x)) deg a(x) + deg b(x). (1.3) W 1.3 równo± zachodzi, je»eli A jest ciaªem. Na zako«czenie ogólnych rozwa»a«o wielomianach podamy jeszcze jedn denicj. Wielomian o wspóªczynnikach w ciele K nazywamy unormowanym, je»eli niezerowy wspóªczynnik o najwy»szym wska¹niku jest równy 1.
8 8 Elementy teorii liczb wykªad 1.2 Podzielno± liczb Zauwa»my,»e jedynym aksjomatem ciaªa, którego nie speªnia zbiór liczb caªkowitych jest aksjomat 6. W zwi zku z tym, nie mo»emy okre±li w Z dzielenia tak, jak to jest zrobione na przykªad w zbiorze liczb wymiernych. Fakt ten le»y u podstaw teorii liczb i dlatego zaczynamy nasze rozwa»ania od pewnych poj zwi zanych z podzielno±ci. Przypu± my,»e mamy dane dwie liczby caªkowite a i b. Mówimy,»e a dzieli b lub b jest wielokrotno±ci a (i piszemy a b) je±li istnieje taka liczba c,»e ac = b. Je»eli nie ma takiej liczby caªkowitej c, to mówimy,»e a nie dzieli b lub b nie jest wielokrotno±ci a (co zapisujemy a b). Je±li a dzieli b, to mówimy te»,»e a jest dzielnikiem b lub»e b jest podzielna przez a. Przykªady 1.1. Poniewa» 24 = 2 12 = 3 8 = 4 6, wi c 2 24, 8 24 oraz Tak»e 2 24 i poniewa» ( 2)( 12) = Je±li a b, to a b. Istotnie, je±li istnieje c takie,»e ac = b, to mamy te» ( a)( c) = b, czyli a b adna liczba ró»na od zera nie jest podzielna przez 0. Istotnie, gdyby zero byªo dzielnikiem liczby a, to istniaªaby liczba c taka,»e 0 c = a. Ale to oznaczaªoby,»e a = 0. Z kolei wyra»enie 0 0 ma sens poniewa» dla dowolnej liczby caªkowitej a mamy a 0 = 0. Z ostatniej równo±ci wynika te»,»e ka»da liczba caªkowita jest dzielnikiem Pewne liczby maj du»o dzielników, jak na przykªad 12, czy 24, a inne mniej. Na przykªad liczba 29 ma tylko dwa dzielniki dodatnie: 1 i 29 oraz dwa ujemne: 1 i 29. Poka»emy teraz cztery podstawowe wªasno±ci podzielno±ci liczb. 1.5 Lemat. Dla dowolnych liczb a, b, c, x, y Z zachodz nast puj ce wªasno±ci: (a) Je±li a b oraz x y, to ax by, (b) Je±li a b oraz b c, to a c, (c) Je±li a b oraz b 0, to a b, (d) Je±li a b oraz a c, to a bx + cy.
9 Elementy teorii liczb wykªad 9 Dowód. (a) Z denicji podzielno±ci wynika natychmiast istnienie takich liczb s oraz t,»e b = as i y = xt. St d by = (as)(xt) = (ax)(st), czyli ax by. (b) Skoro istniej liczby s oraz t, takie»e b = as i c = bt, wi c c = b(as) = a(bs). (c) Istnieje s, takie»e b = as. St d b = as = a s. Poniewa» b 0, wi c s 0, czyli s 1. Oznacza to,»e a a s = b. (d) Podobnie jak w poprzednich cz ±ciach dowodu, istniej liczby s oraz t, takie»e b = as i c = at. Zatem, co ko«czy dowód. bx + cy = asx + aty = a(sx + ty) Z punktu (d) lematu wynika fakt, który b dziemy cz sto stosowa. Mianowicie, je±li a b oraz a b + c, to a c. Istotnie, skoro a b oraz a b + c, wi c a ( 1)b + 1 (b + c), czyli a c. Nie ka»da liczba jest dzielnikiem a 0. Je»eli jednak mamy b 0, to zawsze mo»emy dokona dzielenia z reszt. W dalszej cz ±ci wykªadu b dziemy cz sto korzysta z nast puj cego twierdzenia. 1.6 Twierdzenie (o podzielno±ci). Przypu± my,»e a, b Z przy czym b 0. Istniej wówczas jednoznacznie okre±lone liczby q Z oraz 0 r < b, takie»e a = bq + r (1.4) Liczby q oraz r, które pojawiªy si w tre±ci poprzedniego twierdzenia nazywamy, odpowiednio, dzielnikiem cz ±ciowym i reszt z dzielenia a przez b. Dowód. Rozwa»my zbiór S = {a mb : m Z}. Zauwa»my najpierw,»e w zbiorze S jest przynajmniej jedna liczba nieujemna. Istotnie, je±li a > b, to a 1 b > 0 i jest to liczba ze zbioru S. W przeciwnym wypadku przynajmniej jedna z liczb a ( a 1)b, a ( a +1)b jest wi ksza od zera (w zale»no±ci, czy b 0, czy b < 0), a obie te liczby s elementami S. Skoro w S s liczby nieujemne, to we¹my najmniejsz z nich i nazwijmy j r. Skoro r S, to istnieje q Z, taka»e r = a qb. Wiadomo,»e r 0. Przypu± my,»e r > b. Wówczas r 1 = r b jest liczb dodatni
10 10 Elementy teorii liczb wykªad oraz r 1 = a (q + 1)b lub r 1 = a (q 1)b jest dodatnim elementem zbioru S mniejszym od r. St d sprzeczno± z wyborem r. Tak»e r b, bo w przeciwnym wypadku b byªoby dzielnikiem a, czyli 0 < r byªoby elementem zbioru S, a to daªoby nam ponownie sprzeczno± z wyborem r. Wykazali±my wi c istnienie liczb q i r, które speªniaj 1.4. Pozostaje jeszcze udowodni jednoznaczno± liczb q i r. Przypu± my,»e istniej q 1 oraz r 1, takie»e a = q 1 b + r 1 przy czym 0 r 1 < b. Zatem (q q 1 )b = r 1 r. (1.5) Ale r 1 r < b, poniewa» 0 r < b oraz 0 r 1 < b. Z drugiej strony 1.5 oraz lemat 1.5(c) implikuj b r 1 r lub r 1 r = 0. Zatem musi zachodzi druga równo±, czyli r 1 = r. Ale to oznacza,»e (q q 1 )b = 0, a poniewa» b 0, wi c q q 1 = Podzielno± wielomianów Podamy teraz twierdzenia, które s analogiczne do udowodnionego lematu 1.5 oraz twierdzenia 1.6. Najpierw jednak zdeniujemy potrzebne poj cia. Przypu± my wi c,»e mamy dane dwa wielomiany a(x) i b(x). Mówimy,»e a(x) dzieli b(x) lub b(x) jest wielokrotno±ci a(x) (i piszemy a(x) b(x)) je±li istnieje taki wielomian c(x),»e a(x)c(x) = b(x). Je»eli nie ma takiego wielomianu c(x), to mówimy,»e a(x) nie dzieli b(x) (co zapisujemy a(x) b(x)). Je±li a(x) dzieli b(x), to mówimy te»,»e a(x) jest dzielnikiem b(x) lub»e b(x) jest podzielny przez a(x). W dalszym ci gu deg a(x) oznacza stopie«wielomianu a(x). 1.7 Lemat. Dla dowolnych wielomianów a(x), b(x), c(x), v(x), w(x) o wspóªczynnikach w pewnym ciele K zachodz nast puj ce wªasno±ci: (a) Je±li a(x) b(x) oraz v(x) w(x), to a(x)v(x) b(x)w(x); (b) Je±li a(x) b(x) oraz b(x) c(x), to a(x) c(x); (c) Je±li a(x) b(x) oraz b(x) 0, to deg a(x) deg b(x); (d) Je±li a(x) b(x) oraz a(x) c(x), to a(x) b(x)v(x)x + c(x)w(x); (e) je±li a(x) b(x) oraz s K, to sa(x) b(x).
11 Elementy teorii liczb wykªad 11 Dowody wªasno±ci (a)., (b) i (d) s analogiczne do dowodów odpowiednich wªasno±ci lematu 1.5. Ograniczymy si tu wi c do pokazania wªasno±ci (c) oraz (e). Aby pokaza (c) zauwa»my,»e z denicji podzielno±ci wielomianów, istnieje u(x), takie»e b(x) = a(x)u(x). St d, wobec 1.3, mamy deg b(x) = deg a(x)+deg u(x) gdy» zbiorem wspóªczynników jest ciaªo. Poniewa» b(x) 0, wi c wielomian u(x) te» nie mo»e by zerowy. Zatem jego stopie«jest liczb nieujemn i deg b(x) deg a(x). Aby pokaza (e), zapiszmy b(x) = a(x)u(x). Poniewa» s 0, wi c istnieje s 1 oraz b(x) = (sa(x))(s 1 u(x)). 1.8 Twierdzenie (o podzielno±ci wielomianów). Przypu± my,»e a(x) oraz b(x) s wielomianami o wspóªczynnikach w pewnym ciele K oraz b(x) nie jest wielomianem zerowym. Istniej wówczas jednoznacznie okre±lone wielomiany q(x) oraz r(x), takie»e przy czym deg r(x) < deg b(x). a(x) = b(x)q(x) + r(x) (1.6) Wielomiany q(x) oraz r(x), które pojawiªy si w tre±ci poprzedniego twierdzenia nazywamy, odpowiednio, dzielnikiem cz ±ciowym i reszt z dzielenia a(x) przez b(x). Dowód. Rozwa»my zbiór S = {a(x) m(x)b(x) : m(x) K[x]}. Niech r(x) S b dzie wielomianem o najni»szym stopniu. Istnieje wielomian q(x), taki»e r(x) = a(x) q(x)b(x). Poka»emy,»e deg r(x) < deg b(x). W tym celu b dziemy post powa nie wprost. Zaªó»my wi c,»e zachodzi nierówno± deg r(x) deg b(x) i zapiszmy r(x) = r n x n + r n 1 x n r 0 b(x) = b m x m + b m 1 x m b 0, gdzie r n 0 b m. Mamy r(x) = r n b 1 m x n m b(x) + r(x), gdzie r(x) = (r n 1 r n b 1 m b m 1 )x n 1 +(r n 2 r n b 1 m b m 2 )x n 2 + +(r n m r n b 1 m b 0 )x n m + r n m 1 x n m r 0. Zatem deg r(x) n 1 < deg r(x)
12 12 Elementy teorii liczb wykªad oraz r(x) = a(x) b(x) (q(x) + r n b 1 m x n m ) i mamy sprzeczno± z wyborem wielomianu r(x). Pozostaªo jeszcze pokaza jednoznaczno± wielomianów q(x) i r(x). Przypu± my, nie wprost,»e a(x) = b(x)q(x) + r(x) = b(x) q(x) + r(x). St d b(x) (q(x) q(x)) = r(x) r(x). Ale z lematu 1.7(c) oraz z 1.2 mamy deg b(x) deg ( r(x) r(x)) max {deg r(x), deg r(x)} (1.7) lub r(x) r(x) = 0. Ale z 1.7 wynika,»e deg b(x) deg r(x) lub deg b(x) deg r(x), a»aden z tych warunków nie mo»e zachodzi. Zatem r(x) = r(x), a skoro b(x) 0, wi c q(x) = q(x).
13 Rozdziaª 2 Liczby w ró»nych systemach pozycyjnych Istotnym zastosowaniem twierdzenia o podzielno±ci (1.6) jest reprezentacja liczb caªkowitych w systemach pozycyjnych. Przypomnijmy,»e stosowany powszechnie system zapisu liczb nazywamy systemem pozycyjnym, poniewa» znaczenie cyfry zale»y od pozycji, na której si owa cyfra znajduje. Poza tym nasz system liczenia nazywamy dziesi tnym, poniewa» mamy dokªadnie 10 cyfr. Liczba cyfr w systemie pozycyjnym zale»y od podstawy. Dokªadnie, dowoln liczb caªkowit nieujemn n zapisujemy przy podstawie b 2 w postaci (d k 1 d k 2... d 1 d 0 ) b, (2.1) gdzie d k 1, d k 2,..., d 1, d 0 s liczbami caªkowitymi (dziesi tnymi) nieujemnymi oraz niewi kszymi od b 1. Liczby te nazywamy cyframi. Zapis 2.1 oznacza,»e n = d k 1 b k d 1 b + d 0. (2.2) Je»eli n jest liczb ujemn to wyra»enie po prawej stronie równo±ci 2.2 zacz liby±my od znaku. Je»eli d k 1 nie jest zerem, to mówimy,»e n jest liczb k-cyfrow w systemie pozycyjnym o podstawie b. Je»eli b = 10 to nawiasy w 2.1 opuszczamy, gdy» wtedy mamy do czynienia ze zwykªym dziesi tnym systemem pozycyjnym. Podobnie opu±cimy nawiasy gdy wybór podstawy jasno wynika z kontekstu. Zapis 2.2 nazywamy rozwini ciem liczby n przy podstawie b. Je»eli b > 10, to pisownia niektórych cyfr jest uci»liwa (wymaga dodatkowych nawiasów) lub niejasna ((101) b mo»na rozumie na dwa sposoby). 13
14 14 Elementy teorii liczb wykªad Dlatego dla oznaczenia cyfr 10, 11, 12,... u»ywamy liter: A, B, C,... Oczywi±cie, mo»na u»ywa liter lub innych znaków dla oznaczenia wszystkich cyfr. Na przykªad, podstawa 26 (liczba liter w alfabecie ªaci«skim) jest u»ywana w kryptograi i cyframi s po prostu litery alfabetu. Wykorzystuj c twierdzenie o podzielno±ci, poka»emy»e istnieje dokªadnie jedno rozwini cie liczby nieujemnej w systemie pozycyjnym o podstawie b 2. Istotnie, je±li dana jest liczba n 0, to istnieje dokªadnie jedna reszta d 0 z dzielenia n przez b, wi c n = bq 0 + d 0, gdzie 0 d 0 b 1. Dalej mamy istnienie dokªadnie jednej liczby 0 d 1 b 1, takiej»e q 0 = bq 1 +d 1, lub»e n = b 2 q 1 + bd 1 + d 0. Post puj c tak dalej otrzymamy jednoznacznie okre±lone liczby d 0, d 1,..., d k 1, dla których zachodzi równo± 2.2. Oczywi- ±cie, rozwini cie liczby ujemnej te» jest jednoznaczne. 2.1 Zmiana podstawy w systemach pozycyjnych Cz sto zdarza si,»e trzeba przej± od jednej podstawy systemu pozycyjnego do drugiej. Zwykle jest to przej±cie do podstawy 10 lub od podstawy 10. Przechodzenie do podstawy 10 polega na obliczeniu wyra»enia po prawej stronie 2.2. Gorzej jest przej± od podstawy 10 do innej podstawy. Najbardziej naturalnym sposobem jest sekwencyjne dzielenie z reszt, które opisali±my powy»ej, a teraz zademonstrujemy na przykªadzie. 2.1 Przykªad. Zapiszemy liczb 346 w systemie trójkowym, czyli przy podstawie 3. Dzielimy 346 na 3 otrzymuj c 115, reszta 1. Zatem 346 = Teraz dzielimy 115 na 3 otrzymuj c 38, reszta 1. St d 346 = Kontynuuj c ten proces otrzymamy czyli 346 = (110211) = , Je»eli przechodzimy od podstawy b 1 10 do podstawy b 2 10, to mo»na tu przechodzi po±rednio przez podstaw 10. Czasem jednak bardziej efektywne jest zapisanie b 1 i cyfr w systemie o podstawie b 2 oraz odpowiednie pogrupowanie. Je»eli dodatkowo b 1 jest pot g b 2, to sposób ten jest bardzo szybki.
15 Elementy teorii liczb wykªad 15 Przykªady 2.2. Zapiszemy (548) 16 w systemie dwójkowym. Poniewa» 16 = 2 4, 5 = , 4 = oraz 8 = 1 2 3, mamy (548) 16 = = = ( ) Zapiszemy n = (212021) 3 w systemie o podstawie 9. Grupujemy cyfry po 2 (bo 9 = 3 2 ) zaczynaj c od prawej strony: 21, 20, 21. (Je±li,,nie starcza cyfr na ostatni grup, dodajemy z przodu odpowiedni liczb zer. Poniewa» (21) 3 = = 7, a (20) 3 = 2 3 = 6, wi c n = (767) Niektóre cechy podzielno±ci Zajmiemy si teraz uogólnieniem pewnych cech podzielno±ci jakie maj liczby w systemie o podstawie 10. Zauwa»my,»e liczba n (w systemie dziesi tnym) dzieli si przez 2, je»eli jej ostatnia cyfra dzieli si przez 2, dzieli si przez 4, je»eli liczba zªo»ona z dwóch ostatnich cyfr n dzieli si przez 4, ogólnie, liczba n dzieli si przez 2 s, je»eli liczba zªo»ona z s ostatnich cyfr liczby n dzieli si przez n. Podobne reguªy obowi zuj przy dzieleniu przez pot gi liczby 5, a zachodz one dlatego,»e zarówno 2 oraz 5 s dzielnikami podstawy systemu, czyli 10. Udowodnimy twierdzenie, które uogólnia powy»sze fakty. 2.4 Twierdzenie. Przypu± my,»e d b. Wówczas liczba n zapisana w systemie pozycyjnym o podstawie b dzieli si przez d s (s 1) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba zªo»ona z s ostatnich cyfr liczby n dzieli si przez d s. Dowód. Przypu± my,»e n jest zapisana w systemie o podstawie b oraz d s n. Zapiszmy 2.2 w troch inny sposób, mianowicie n = n s b s + d s 1 b s d 1 b + d }{{} 0, n 0 gdzie n 0 jest liczb zªo»on z s ostatnich cyfr n a n s liczb zªo»on z pozostaªych cyfr n (je±li k s, to n s = 0). Korzystaj c z lematu 1.5 mamy d s n n s b s sk d d s n 0.
16 16 Elementy teorii liczb wykªad. Korzystaj c z oznacze«wprowadzonych w pierwszej cz ±ci dowodu za- ªó»my»e d s n 0. Poniewa» d s b s, wi c d s n. Rozwa»ymy jeszcze cech podzielno±ci przez odpowiedniki liczb 3 i 9 w systemie o podstawie b. 2.5 Twierdzenie. Zaªó»my,»e d b 1. Liczba d dzieli n zapisan w systemie o podstawie b wtedy i tylko wtedy, gdy d dzieli sum cyfr liczby n. Dowód. Zaªó»my,»e d n. Podobnie jak w poprzednim dowodzie, zapiszmy 2.2 w inny sposób. n = d k (b k 1) + d k 1 (b k 1 1) + + d 1 (b 1) + }{{} n 1 d k + d k d 1 + d }{{} 0. n 0 Zauwa»my,»e je±li s 1, to b 1 b s 1. Zatem z lematu 1.5 mamy d n 1 oraz d n n 1, czyli d n 0.. Korzystaj c z oznacze«z pierwszej cz ±ci dowodu mamy d n 0, a st d d n 0 + n 1, czyli d n. Inne dowody twierdze«z tego podrozdziaªu otrzymamy w dalszej cz ±ci wykªadu jako zastosowanie kongruencji. 2.3 Uwagi ko«cowe Dziaªania arytmetyczne na liczbach w systemie o podstawie b wykonujemy bez anga»owania w to podstawy 10. Dodawanie, odejmowanie i mno»enie pisemne przeprowadzamy tak jak dotychczas, przy czym przy,,po»yczaniu bierzemy nie 10 lecz b. Tak»e uªamki mo»na rozwija przy dowolnej podstawie. Maj one (sko«- czon lub niesko«czon posta (d k 1 d k 2... d 1 d 0, d 1 d 2... ) b. Warto tu zauwa»y,»e przy zmianie podstawy, mog te» zmieni si uªamki okresowe. Na przykªad 0, = (0, 1) 3, a 0, 5 = (0, ) 3.
17 Rozdziaª 3 Liczby pierwsze Dodatni liczb caªkowit p nazywamy pierwsz, je»eli posiada ona dokªadnie dwa dzielniki naturalne: p oraz 1. Liczby, które nie s pierwsze, nazywamy zªo»onymi. Od tej chwili, liter p (tak»e z dodatkowymi znaczkami, np. p 1, p n, p s ) rezerwujemy do oznaczenia liczb pierwszych. 3.1 Rozkªad na czynniki Liczby pierwsze stanowi najmniejsze,,cegieªki, z których zbudowane s liczby naturalne. Wi kszo± pyta«zwi zanych z podzielno±ci liczb sprowadza si do znalezienia dzielników pierwszych. Poka»emy,»e ka»d liczb naturaln n mo»na rozªo»y na czynniki pierwsze, czyli zapisa w postaci iloczynu liczb pierwszych. Je±li n jest liczb pierwsz, to iloczyn ten ma tylko jeden czynnik. 3.1 Twierdzenie. Ka»da liczba naturalna wi ksza od 1 jest iloczynem liczb pierwszych. Dowód (nie wprost). Przypu± my,»e istniej liczby naturalne, które nie s iloczynami liczb pierwszych. Niech n b dzie najmniejsz z tych liczb. Nie mo»e to by liczba pierwsza (zob. uwaga przed twierdzeniem), wi c musi to by liczba zªo»ona. Istniej wi c liczby naturalne a oraz b, dla których zachodzi n = abi które s ostro mniejsze od n. Poniewa» n jest najmniejsz liczb nie daj c si rozªo»y na czynniki pierwsze, wi c a oraz b s iloczynami liczb pierwszych. Zatem n te» musi by iloczynem liczb pierwszych i mamy sprzeczno±. 17
18 18 Elementy teorii liczb wykªad 3.2 Wniosek. Ka»da liczba caªkowita ró»na od zera, 1 i 1 jest iloczynem 1 oraz liczb pierwszych. Okazuje si,»e wspomniany rozkªad liczby naturalnej na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, o czym mówi podstawowe twierdzenie arytmetyki, które dokªadnie sformuªujemy i udowodnimy w dalszej cz ±ci wykªadu. Jak stwierdzi, czy liczba n jest pierwsza? Nie jest to ªatwe zadanie, zwªaszcza gdy mamy do czynienia z du»ymi liczbami. Metod, która tu si nasuwa jest dzielenie n przez kolejne liczby pierwsze w poszukiwaniu zerowej reszty. W tym celu musimy,,przesia liczby w poszukiwaniu kolejnych liczb pierwszych. Robimy to w nast puj cy sposób: Krok I. Tworzymy list pierwszych M liczb naturalnych pocz wszy od 2. Krok II. Pozostawiamy pierwsz niewykre±lon liczb k na li±cie i wykre±lamy z listy wszystkie wielokrotno±ci k. Krok III. Powtarzamy Krok II a» wszystkie liczby wi ksze od k b d wykre±lone. Opisany wy»ej algorytm nosi nazw Sita Eratostenesa. W wyniku dziaªania tego algorytmu otrzymujemy list kolejnych liczb pierwszych mniejszych od M. Wró my teraz do naszego pytaniazadania oraz do metody rozwi zania go. Jak du»e musi by M? Na pewno wystarczy M = n. Wówczas po zastosowaniu Sita Eratostenesa stwierdzimy, czy n jest liczb pierwsz, czy zªo»on, a dzielenie przez wyszukane liczby pierwsze mniejsze od n nie b dzie konieczne. Mo»na jednak szybciej stwierdzi, czy n jest pierwsza, bior c za M cz ± caªkowit (podªog ) z n. 3.3 Twierdzenie. Liczba n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest podzielna przez»adn liczb pierwsz p n. Dowód. oczywiste.. Je±li n = ab, gdzie a oraz b s liczbami dodatnimi mniejszymi od n i wi kszymi od 1, to jedna z nich musi by mniejsza lub równa n. Istotnie, gdyby a > n, b > n, to ab > n n = n, sk d sprzeczno±. Dla przykªadu sprawd¹my, czy 127 jest liczb pierwsz. Poniewa» mamy 127 = 11, wi c stosuj c Sito Eratostenesa wypisujemy liczby pierwsze
19 Elementy teorii liczb wykªad 19 mniejsze lub równe 11 (2, 3, 5, 7, 11) i dzielimy 127 przez ka»d z nich. 127 = = = = Poniewa» za ka»dym razem otrzymujemy niezerow reszt wi c 127 jest liczb pierwsz. 3.2 Ilo± i rozmieszczenie liczb pierwszych Wydaje si,»e inaczej by nie mo»e: liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele. Formalny dowód tego faktu poznamy za chwil. 3.4 Twierdzenie (Euklidesa). Istnieje niesko«czenie wiele liczb pierwszych. Dowód (nie wprost). Przypu± my,»e na poni»szej li±cie znajduj si wszystkie liczby pierwsze p 1, p 2,..., p n (3.1) i rozwa»my liczb N = p 1 p 2... p n + 1. Zauwa»my,»e N nie jest podzielne przez»adn z liczb z listy 3.1. Poniewa» jednak na tej li±cie znajduj si wszystkie liczby pierwsze, wi c N nie jest iloczynem liczb pierwszych co jest sprzeczne z twierdzeniem 3.1. Problem rozmieszczenia liczb pierwszych nie zostaª jeszcze do ko«ca zbadany. Nie wiadomo na przykªad, czy par liczb pierwszych bli¹niaczych (tj. takich, które ró»ni si od siebie o 2) jest niesko«czenie wiele. Najwi ksze odkryte liczby pierwsze bli¹niacze, to ±1 Wiadomo,»e istniej przerwy dowolnej dªugo±ci w rozmieszczeniu liczb pierwszych. Istotnie, maj c dan liczb naturaln k zauwa»amy,»e kolejne liczby (k + 1)! + 2, (k + 1)! + 3,... (k + 1)! + (k + 1) s zªo»one. Zdeniujemy funkcj π : N N nadaj c jej w punkcie x warto±, która jest równa ilo±ci liczb pierwszych mniejszych lub równych x. Šatwo zauwa»y,»e jest to funkcja niemalej ca. Kilka pierwszych jej warto±ci zawartych jest w poni»szej tabeli.
20 20 Elementy teorii liczb wykªad x π(x) x π(x) Tak wi c od czasów staro»ytnych wiadomo,»e nie ma najwi kszej liczby pierwszej. Zrozumiaªe jest zatem wspóªzawodnictwo o to kto znajdzie liczb pierwsz wi ksz od dotychczas odkrytych. We wrze±niu 1985 roku rekord nale»aª do D. Slowinskiego, a jego liczba to Ma ona cyfr. Ostatni rekord to ustanowiony w listopadzie Liczba ta ma ponad 4 miliony cyfr. Aby przechytrzy innych we wspóªzawodnictwie znajdywania najwi kszej liczby pierwszej, niektórzy podejmowali próby stworzenia formuªy, która,,produkowaªaby nowe liczby pierwsze ze znanych ju» liczb pierwszych. I tak, w 1640 roku Fermat zauwa»yª,»e liczby postaci 2 2n + 1 s pierwsze dla n {1, 2, 3, 4} i wyraziª przypuszczenie»e jest tak te» i dla n > 4. Obecnie liczby te nazywaj si liczbami Fermata i oznaczamy je przez F n. Ju» Euler pokazaª,»e F 5 = = Obecnie wiadomo,»e dla 5 n 20 liczby Fermata F n s zªo»one. Jak jest dalej nie wiadomo. Liczby postaci 2 p 1, gdzie p jest liczb pierwsz nazywaj si liczbami Mersenne'a i oznaczamy je przez M p. W 1644 roku Mersenne pisaª,»e dla p {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257} liczby M p s pierwsze, a dla pozostaªych p < 257 zªo»one. Okazaªo si,»e nie jest to w peªni prawdziwe, poniewa» M 67 oraz M 257 s zªo»one, natomiast M 61, M 89 i M 107 s pierwsze. Dzisiaj znamy ju» 34 liczby pierwsze Mersenne'a. Zostaªa postawiona hipoteza,»e liczb tych jest niesko«czenie wiele. Siedemnastego stycznia 1968 roku liczba ukazaªa si na stemplu pocztowym w mie±cie Urbana (USA). Dziesi lat pó¹niej kolejna liczba pierwsza zostaªa odkryta przez dwoje uczniów z jednego z kalifornijskich liceów. Odpowiedni program potrzebowaª 440 godzin na realizacj.
21 Rozdziaª 4 Podstawowe twierdzenie arytmetyki Jak ju» pokazali±my (por. twierdzenie 3.1), ka»da liczba naturalna mo»e by przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych. Na przykªad, 21 = = = Wydaje si,»e powy»sze rozkªady s jednoznaczne, tj. s to jedyne sposoby zapisu liczb 21, 60 i 144 w postaci iloczynu liczb pierwszych (zmianie mo»e ulec tylko porz dek tych liczb pierwszych). Je»eli kto± ma w tpliwo±ci co do tego, to zostan one szybko rozwiane po przeanalizowaniu dzielników powy»szych liczb. Czy jest tak dla ka»dej liczby naturalnej? Odpowied¹ na to pytanie stanowi podstaw arytmetyki i teorii liczb. 4.1 Jednoznaczno± rozkªadu na liczby pierwsze 4.1 Twierdzenie (Podstawowe twierdzenie arytmetyki). Ka»da liczba naturalna wi ksza od 1 mo»e by zapisana jednoznacznie w postaci iloczynu liczb pierwszych. Dowód (nie wprost). Wobec twierdzenia 3.1, wystarczy pokaza jednoznaczno±. Przypu± my wi c,»e istniej liczby naturalne, które mo»na zapisa na 21
22 22 Elementy teorii liczb wykªad dwa sposoby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Niech n b dzie najmniejsz z tych liczb. Mamy n = p 1 p 2... p r = q 1 q 2... q s, gdzie p i oraz q j dla 1 i r, 1 j s s (niekoniecznie ró»nymi) liczbami pierwszymi. Zauwa»my,»e»adna z liczb p i nie mo»e si pojawi w±ród liczb q j i odwrotnie, bo w przeciwnym razie mogliby±my skróci oba iloczyny otrzymuj c niejednoznacznie rozªo»on liczb mniejsz od n. Zauwa»my te»,»e n nie mo»e by liczb pierwsz, gdy» liczby pierwsze nie maj dzielników pierwszych ró»nych od siebie samych. Mo»emy te» zaªo»y,»e liczby p i oraz q j dla 1 i r, 1 j s s zapisane w porz dku wzrastaj cym. Zauwa»my,»e n p 1 q 1 > 0. Istotnie, poniewa» p 1 oraz q 1 s najmniejsze, wi c p 1 n, q 1 n oraz przynajmniej jedna z tych nierówno±ci musi by ostra, bo p 1 q 1. Dalej, widzimy»e p 1 n p 1 q 1 oraz q 1 n p 1 q 1. Zapiszmy wi c n p 1 q 1 = p 1 m 1 dla pewnej liczby naturalnej m 1. Poniewa» q 1 p 1 m 1 oraz p 1 m 1 rozkªada si jednoznacznie (jest to liczba mniejsza od n), wi c q 1 m 1. Zatem istnieje m takie,»e p 1 q 1 m = n p 1 q 1 = p 1 (p 2 p 3... p r q 1 ). Ostatnia równo± implikuje p 2 p 3... p r = (1 + m)q 1, czyli q 1 p 2 p 3... p r. Ale q 1 nie znajduje si w iloczynie który dzieli. Z drugiej strony p 2 p 3... p r < n, wi c iloczyn ten ma jednoznaczny rozkªad i q 1 musi w nim by. Mamy wi c sprzeczno±. Grupuj c liczby pierwsze z rozkªadu n w pot gi otrzymujemy nast puj cy 4.2 Wniosek. Ka»da liczba caªkowita ró»na od zera daje si zapisa w postaci pot g 1 i ró»nych liczb pierwszych. 4.2 Konsekwencje Zasadnicze twierdzenie arytmetyki ma wiele konsekwencji, które dostrze»emy w dalszej cz ±ci wykªadu. Obecnie zajmiemy si podzielno±ci liczb. 4.3 Lemat. Przypu± my,»e a = ( 1) α 0 p α 1 1 p α p αr r. Liczba caªkowita b 0 dzieli liczb a wtedy i tylko wtedy, gdy b = ±p β 1 1 p β p βr r, gdzie 0 β i α i oraz 1 i r.
23 Elementy teorii liczb wykªad 23 Dowód. Dla uproszczenia zaªó»my,»e a > 0 oraz b > 0.. Niech p b dzie dowoln liczb pierwsz z rozkªadu liczby b. Skoro b a, wi c p a i liczba p musi wyst powa w rozkªadzie a. Zatem w rozkªadzie liczby b wyst puj tylko te liczby, które wyst puj w rozkªadzie liczby a. Poza tym β i α i (1 i r), bo w przeciwnym wypadku p β i i za tym idzie p β i i a i b a.. Zauwa»my,»e przy danych zaªo»eniach mamy p β i i 1 i r, wi c b a. p α i i p α i i, a co dla ka»dego Powy»szy lemat daje nam mo»liwo± do± szybkiego wypisania wszystkich dzielników liczby, której rozkªad znamy. Na przykªad, skoro 144 = , wi c (dodatnimi) dzielnikami 144 s , , , , , , , , , , , , , , Okre±lmy przez ν(n) liczb dodatnich dzielników liczby n. Je»eli to n = ( 1) α 0 p α 1 1 p α p αr r, ν(n) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α r + 1). (4.1) Wzoru 4.1 mo»emy te» u»y,,w drug stron, tj. odpowiedzie na pytania typu dla jakiej liczby n, ν(n) = 6? Poniewa» dodatnimi dzielnikami liczby 6 s 2 i 3, wi c r = 1 lub r = 2. W pierwszym przypadku α 1 = 5, wi c n = p 5. W drugim przypadku α 1 = 1, α 2 = 2. Zatem n = p 1 p Twierdzenie. Niech a, b Z. Wówczas je»eli p ab, to p a lub p b. Dowód. Z podstawowego twierdzenia arytmetyki wynika,»e liczba p wyst puje w rozkªadzie ab, zatem musi ona wyst pi w rozkªadzie liczby a lub w rozkªadzie liczby b. Podstawowego twierdzenia arytmetyki u»ywa si te» (cz sto nie±wiadomie) przy dowodzie niewymierno±ci liczby 2. przyjrzyjmy si temu dowodowi. Dowód. Przypu± my,»e 2 jest liczb wymiern. Istniej wi c liczby n oraz m takie,»e 2 = n m i uªamek ten jest nieskracalny. Ale wówczas 2m2 = n 2,
24 24 Elementy teorii liczb wykªad wi c 2 n 2. Z 4.4 wynika,»e 2 n, wi c 4 n 2. Ale to oznacza,»e w rozkªadzie m 2, a wi c i w rozkªadzie m wyst puje 2. Zatem uªamek n mo»na m skróci przez 2, sprzeczno±.
25 Rozdziaª 5 Najwi kszy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotno± Powy»sze terminy maj kluczowe znaczenie w dalszej cz ±ci wykªadu. Bezpo±rednio zwi zany jest z nimi algorytm Euklidesa, który b dziemy stosowa w arytmetyce modulo n, a tak»e przy rozwi zywaniu równa«w zbiorze liczb caªkowitych i w zbiorze wielomianów. 5.1 Najwi kszy wspólny dzielnik Najwi kszym wspólnym dzielnikiem (NWD) liczb a oraz b, które nie s jednocze±nie równe 0 nazywamy liczb d speªniaj c warunki NWD1 d a oraz d b; NWD2 je»eli c a oraz c b, to c d. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb a oraz b zapisujemy NWD(a, b). Zauwa»my,»e poniewa» ka»da liczba caªkowita ró»na od 0 dzieli 0, wi c warto± NWD(0, 0) nie jest zdeniowana. Natomiast, je±li a 0, to NWD(a, 0) = a. Dla liczb 6 i 35 mamy NWD(6, 35) = 1. Liczby 6 oraz 35 s wzgl dnie pierwsze. Dokªadnie, dwie liczby caªkowite nazywamy wzgl dnie pierwszymi lub kopierwszymi, je»eli ich najwi kszy wspólny dzielnik jest równy 1. Zauwa»my te»,»e poniewa» je±li d a, to d a, wi c najwi kszy wspólny dzielnik jest liczb dodatni. 25
26 26 Elementy teorii liczb wykªad 5.1 Lemat. Przypu± my,»e a, b Z nie s jednocze±nie równe 0. Zachodz nast puj ce wªasno±ci. (a) NWD(a, b) = NWD(b, a); (b) NWD(a, b) = NWD( a, b); (c) NWD(a, b) = NWD(a b, b); (d) je»eli NWD(a, b) = d, to NWD( a d, b d) = 1. Dowód. Wªasno±ci (a) oraz (b) wynikaj natychmiast z denicji. Aby udowodni wªasno± (c), zauwa»my»e je±li d = NWD(a, b), to d a b oraz d b, wi c na podstawie warunku NWD2, mamy d NWD(a b, b). Podobnie, je±li d = NWD(a b, b), to poniewa» a = a b + b, wi c d a oraz d b. Zatem d NWD(a, b). Ostatecznie mamy d NWD(a, b) = d NWD(a b, b) = d, czyli d = d. Aby pokaza wªasno± (d) b dziemy post powa nie wprost. Zaªó»my,»e NWD( a, b d d) = d > 1. Zatem d a i d d b. St d wynika istnienie takich liczb d k oraz l,»e d dk = a i d dl = b, czyli d d dzieli zarówno a jak i b. Tak wi c d d d, a co za tym idzie, d 1 sk d sprzeczno±. Wªasno± (c) powy»szego lematu stanowi podstaw algorytmu znajdywania NWD, który przedstawimy pó¹niej. Zauwa»my,»e wraz z wªasno±ciami (a), (b) wªasno± (c) daje nast puj cy wniosek. 5.2 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, x, y takich,»e ax+by 0 a 2 + b 2 mamy NWD(a, b) = NWD(a + by, b) = NWD(a, ax + b). Najwi kszy wspólny dzielnik dwóch liczb dzieli ka»d kombinacj liniow tych dwóch liczb. W szczególno±ci, je±li dla liczb a oraz b znajdziemy takie liczby caªkowite x i y,»e ax + by = 1, to NWD(a, b) = 1. Powy»szy wniosek zapiszmy w nieco innej formie, która b dzie nam potrzebna pó¹niej. 5.3 Wniosek. Dla dowolnych liczb caªkowitych a, b, x, y, dla których speªnione jest a 2 + b 2 0, zachodzi relacja NWD(a, b) ax + by. 5.4 Przykªad. Dla dowolnej liczby naturalnej k, liczby 6k + 1 oraz 5k + 4 s wzgl dnie pierwsze. Istotnie, 5(6k + 5) 6(5k + 4) = 1.
27 Elementy teorii liczb wykªad 27 Okazuje si,»e mo»na osi gn wi cej ni» napisali±my powy»ej. Mianowicie NWD dwóch liczb te» mo»na zapisa w postaci kombinacji liniowej tych liczb. Fakt ten b dziemy u»ywa wielokrotnie w dalszej cz ±ci wykªadu. 5.5 Twierdzenie. Dla dowolnych dwóch liczb caªkowitych a, b Z, które nie s jednocze±nie równe zeru, istniej takie liczby caªkowite x oraz y,»e NWD(a, b) = ax + by Dowód. Mo»emy zaªo»y,»e zarówno a jak i b s dodatnie, gdy» pozostaªe przypadki s albo trywialne, albo sprowadzaj si do rozwa»anego. Rozwa»- my zbiór S = {am + bn : m, n Z}. Wobec naszego zaªo»enia, w S istniej liczby dodatnie. Niech d b dzie najmniejsz z nich. Istniej zatem liczby caªkowite x oraz y, takie»e d = ax+by. Poniewa» a = a 1 + b 0 > 0 oraz b = a 0 + b 1 > 0, wi c a, b S i d a oraz d b. Poka»emy,»e d speªnia warunek NWD1. W tym celu zapiszmy a = qd + r, gdzie 0 r < d. Wówczas mamy r = a qd = (1 qx)a qyb. Poniewa» r S oraz r < d, wi c r musi by równe 0, czyli d a. Podobnie pokazujemy,»e d b. Przypu± my teraz,»e c a oraz c b. Zatem c ax + by, czyli c d, a z lematu 1.5 wynika,»e c d. Zatem NWD2 jest speªniony i d = NWD(a, b). 5.6 Wniosek. Je±li d = NWD(a, b) oraz c a i c b, to c d. Dowód. Z twierdzenia 5.5 mamy istnienie liczb caªkowitych x, y, takich»e d = ax + by. Skoro c a oraz c b wi c z lematu 1.5 mamy c d. Niniejszy podrozdziaª zako«czymy uwag,»e wszystkie powy»sze rozwa-»ania s prawdziwe tak»e dla wielomianów. Nale»y jednak zastosowa pewn modykacj denicji. I tak, najwi kszym wspólnym dzielnikiem (NWD) wielomianów a(x) oraz b(x), które nie s jednocze±nie równe 0 nazywamy wielomian unormowany d(x) speªniaj cy poni»sze warunki: NWD1 d(x) a(x) oraz d(x) b(x); NWD2 je»eli c(x) a(x) oraz c(x) b(x), to stopie«wielomianu c(x) jest niewi kszy od stopnia wielomianu d(x).
28 28 Elementy teorii liczb wykªad 5.2 Najmniejsza wspólna wielokrotno± Najmniejsz wspóln wielokrotno±ci (NWW) liczb a oraz b, które s ró»ne od zera nazywamy dodatni liczb w speªniaj c poni»sze warunki: NWW1 a w oraz b w; NWW2 je»eli a c oraz b c, to w c. Zauwa»my,»e zaªo»enie w > 0 jest tu kluczowe, poniewa» gdyby±my dopu±cili liczby ujemne, to w±ród wspólnych wielokrotno±ci liczb a i b nie znale¹liby±my liczby najmniejszej. Poniewa» nie wolno dzieli przez 0, wi c nie deniujemy NWW liczb, z których cho jedna jest równa 0. Podobnie deniujemy NWW dwóch wielomianów, a mianowicie, najmniejsz wspóln wielokrotno±ci (NWW) wielomianów a(x) oraz b(x), które s ró»ne od zera nazywamy wielomian unormowany w(x) speªniaj cy poni»sze warunki: NWW1 a(x) w(x) oraz b(x) w(x); NWW2 je»eli a(x) c(x) oraz b(x) c(x), to stopie«wielomianu c(x) jest niemniejszy od stopnia wielomianu w(x). Podstawowe wªasno±ci NWW s zawarte w poni»szym lemacie, który jest te» prawdziwy dla wielomianów. 5.7 Lemat. Przypu± my,»e a, b Z s ró»ne od 0. Zachodz nast puj ce wªasno±ci. (a) NWW(a, b) = NWW(b, a); (b) NWW(a, b) = NWW( a, b); (c) NWW(a, b) ab ; (d) je»eli a b, to NWW(a, b) = b. Najmniejsza wspólna wielokrotno± nie ma tak du»ego znaczenia jak najwi kszy wspólny dzielnik. Zwykle wprowadza si NWW jako uzupeªnienie do NWD. Przytoczymy teraz kilka twierdze«, które ª cz te dwa poj cia, lub wykorzystuj NWW w dowodach wªasno±ci NWD.
29 Elementy teorii liczb wykªad Twierdzenie. Przypu± my,»e a = p α 1 1 p α p α k k oraz b = p β 1 1 p β p β k k, gdzie a i 0, b i 0, 1 i k. Wówczas NWD(a, b) = p min(α 1,β 1 ) 1 p min(α 2,β 2 ) 2... p min(α k,β k ) k (5.1) NWW(a, b) = p max(α 1,β 1 ) 1 p max(α 2,β 2 ) 2... p max(α k,β k ) k (5.2) W powy»szym twierdzeniu,,wyrównali±my rozkªady liczb a i b, tj. liczby pierwsze, które wyst puj w rozkªadzie b, a nie wyst puj w rozkªadzie a zapisali±my w rozkªadzie a z wykªadnikami równymi 0 i vice versa. Dowód. Niech d b dzie liczb dan przez praw stron równania 5.1. Poniewa» min(α i, β i ) jest liczb mniejs» lub równ zarówno α i jak i β i (dla 1 i k), wi c d a i d b. Przypu± my wi c,»e c a oraz c b. Oznacza to,»e w rozkªadzie liczby c wyst puj liczby pierwsze p 1, p 2,..., p k z wykªadnikami mniejszymi lub równymi α i oraz β i. Zatem wykªadniki te s te» mniejsze lub równe min(α i, β i ), a to oznacza,»e c d, a w szczególno±ci c d. Wzór 5.2 dowodzimy podobnie Rysunek 5.1: Obliczenia dla NWD i NWW Twierdzenie to daje nam algorytm na obliczanie NWD i NWW dwóch liczb a i b. Aby zastosowa ten algorytm, piszemy nasze liczby obok siebie i dzielimy je (bez reszty je±li jest to niewykonalne, to nie dzielimy) przez kolejne liczby pierwsze. Je±li p a i p b, to liczby p nie bierzemy pod uwag.
30 30 Elementy teorii liczb wykªad Je±li p b lub p a, to p jest czynnikiem wspólnej wielokrotno±ci liczb a i b. Je»eli p a i p b, to p jest czynnikiem NWD(a, b). W praktyce wygl da to jak na rysunku 5.1 (czynniki, które licz si tylko do NWD umie±cili±my w kwadracie). Mamy NWD( , 15246) = = 2178 NWW( , 15246) = = Poniewa» min(α, β) + max(α, β) = α + β, wi c zachodzi nast puj cy 5.9 Wniosek. Dla dowolnych, ró»nych od zera liczb caªkowitych a, b zachodzi nast puj cy wzór NWD(a, b)nww(a, b) = ab. Nast pny wniosek jest uogólnieniem twierdzenia Wniosek. Je»eli a bc oraz NWD(a, c) = 1, to a b. Dowód. Poniewa» NWD(a, c) = 1, wi c istniej liczby caªkowite x, y, takie»e ax + cy = 1. St d mamy abx + bcy = b. Poniewa» a abx oraz a bcy (skoro a c), wi c a b.
31 Rozdziaª 6 Algorytm Euklidesa Przedstawiony w poprzednim rozdziale algorytm znajdywania NWD jest dosy kªopotliwy. W rezultacie sprowadza on si do znalezienia rozkªadu liczb na czynniki pierwsze, co przy du»ych liczbach staje si problemem bardzo trudnym. Okazuje si»e istnieje do± prosty algorytm, który dziaªa do± szybko oraz mo»na go zastosowa tak»e dla wielomianów. 6.1 Algorytm Euklidesa dla liczb i wielomianów W niniejszym podrozdziale nie b dziemy rozró»nia liczb caªkowitych i wielomianów o wspóªczynnikach w ciele K. Jedno i drugie b dziemy okre±la mianem element. Zdeniujemy te» wielko± N (a), która dla liczby oznacza a, a dla wielomianu stopie«a(x). Przypu± my,»e dany jest wielomian w(x) = w n x n + w n 1 x n w 0, gdzie w n 0. Wielomianem unormowanym stowarzyszonym z wielomianem w(x) nazywamy wielomian wn 1 w(x). Je±li wielomian w(x) speªnia warunki NWD1 oraz NWD2 denicji NWD dla wielomianów a(x) i b(x), to piszemy w(x) NWD(a(x), b(x)) oraz mamy wn 1 w(x) = NWD(a(x), b(x)). Maj c dane dwa elementy a oraz b, takie»e N (a) > N (b), przyjmujemy r 1 = a, r 0 = b a nast pnie deniujemy rekurencyjnie liczby r 1, r 2,... jako kolejne reszty z dzielenia r k 1 przez r k. Mamy zatem r k 1 = q k+1 r k + r k+1. (6.1) Zauwa»my,»e dla pewnego n mamy r n = 0 poniewa» N ( ) przyjmuje tylko 31
32 32 Elementy teorii liczb wykªad warto±ci nieujemne oraz N (r k ) > N (r k+1 ). Poka»emy,»e ostatni niezerowy element ci gu {r k } to NWD(a, b). 6.1 Twierdzenie. Je»eli ci g {r k } jest zdeniowany przez 6.1 oraz zachodzi nierówno± N (r 1 ) > N (r 0 ), to r n 1 NWD(a, b) = NWD(r 1, r 0 ), przy czym liczba n jest najwcze±niejszym indeksem, dla którego r n = 0. Dowód. Zauwa»my,»e poniewa» r n = 0, to r n 1 r n oraz r n 1 r n 1. Z 6.1 wynika zatem,»e r n 1 dzieli ka»d z liczb r n 2, r n 3,..., r 1. W szczególno±ci r n 1 NWD(a, b). Teraz mamy,»e NWD(a, b) r 1 oraz NWD(a, b) r 0. Ponownie stosuj c wzór 6.1 dochodzimy do relacji NWD(a, b) r n 1. Zatem, ostatecznie NWD(a, b) jest równy r n 1. Powy»sze twierdzenie stanowi podstaw Algorytmu Euklidesa. Algorytm ten polega na sekwencyjnym obliczaniu reszt z dzielenia a» otrzymamy reszt zerow. Ostatnia niezerowa reszta to NWD w przypadku liczb. Kiedy mamy do czynienia z wielomianami, to ostatni niezerow reszt musimy jeszcze unormowa. 6.2 Przykªad. Obliczymy NWD(54, 21). W tym celu wykonujemy kolejne dzielenia z reszt : 54 = = = = (6.2) Ostatni niezerow reszt jest 3. Zatem NWD(54, 21) = 3. Dziaªanie algorytmu mo»na czasami przy±pieszy dopuszczaj c ujemne reszty, a mianowicie, 54 = = = (6.3) Zauwa»my,»e w 6.3 wykonali±my trzy dzielenia, czyli o jedno dzielenie mniej ni» w 6.2.
33 Elementy teorii liczb wykªad 33 Problem czy stosowa ujemne reszty, czy nie znika w przypadku wielomianów (bo nie ma ujemnych wielomianów). Rozwa»ymy dwa przykªady NWD wielomianów jeden nad ciaªem R, a drugi nad Z Przykªad. Obliczymy NWD(3x 3 + 2x + 7, 4x 2 + 3x) (wielomiany rozwa-»amy nad R). Wykonujemy kolejne dzielenia z reszt : ( 3 3x 3 + 2x + 7 = 4 x 9 ) (4x 2 + 3x) x + 7 ( 64 4x 2 + 3x = 59 x 4336 ) ( ) x ( x + 7 = x ) Po unormowaniu ostatniej niezerowej reszty otrzymujemy NWD( 3x 3 + 2x + 7, 4x 2 + 3x ) = Przykªad. Rozwa»my wielomiany o wspóªczynnikach w Z 7 i obliczmy NWD(2x 3 + 5x 2 + 4x + 1, 4x 2 + 6). Obliczamy kolejno: 2x 3 + 5x 2 + 4x + 1 = (4x + 3)(4x 2 + 6) + (x + 4) 4x = (4x + 5)(x + 4) + 0. Mamy NWD(2x 3 + 5x 2 + 4x + 1, 4x 2 + 6) = x + 4. Jak wiadomo z twierdzenia 5.5, dla dowolnych dwóch elementów a, b istniej elementy X, Y, takie»e ax + by = NWD(a, b). Twierdzenie 5.5 nie daje jednak algorytmu na znalezienie elementów X oraz Y. Z drugiej strony, elementy te s bardzo przydatne, o czym przekonamy si pó¹niej. Na szcz ±cie, mo»na je znale¹ analizuj c dzielenia z algorytmu Euklidesa. Na przykªad, wracaj c do przykªadu 6.4, mamy x + 4 = (4x + 3)(4x 2 + 6) + 1 2x 3 + 5x 2 + 4x + 1 i naszymi elementami X oraz Y s, odpowiednio, (4x+3) oraz 1. Rozwa»my teraz przykªad 6.2. Mamy 9 = ( 1) 54 3 = ( 2) 9.
34 34 Elementy teorii liczb wykªad St d NWD(54, 21) = 3 = ( 2) 9 = ( 2) ( ( 1) 54) = ( 5) i szukanymi elementami X, Y s 5 i Rozwi zywanie równa«rozwa»ania tego podrozdziaªu mo»na stosowa do wielomianów, jednak nie ma to zastosowania i jest do± skomplikowane w praktyce. Dlatego ograniczymy si tu tylko do liczb caªkowitych. Równaniem diofantycznym nazywamy ka»de równanie, którego rozwi - za«szukamy w zbiorze liczb caªkowitych. Teoria takich równa«jest oddzielnym, silnie rozbudowanym, dziaªem teorii liczb. Tutaj zajmiemy si tylko równaniami liniowymi jako przykªadem zastosowania algorytmu Euklidesa. Interesuj nas wi c równania postaci a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, (6.4) gdzie b, a 1, a 2,... a n s liczbami caªkowitymi. Warunek konieczny i dostateczny istnienia rozwi zania jest prosty i zawiera si w nast pnym twierdzeniu. Zanim je jednak sformuªujemy i udowodnimy, zdeniujemy najwi kszy wspólny dzielnik wielu liczb, czyli liczb NWD(a 1, a 2,..., a n ) wzorem rekurencyjnym NWD(NWD(a 1, a 2,..., a n 1 ), a n ), tj. je±li znamy NWD n 1 liczb, to stosuj c powy»szy wzór, jeste±my w stanie obliczy NWD n liczb. 6.5 Twierdzenie. Je»eli a 1, a 2,... a n s liczbami caªkowitymi ró»nymi od zera, d = NWD(a 1, a 2,..., a n ), to równanie 6.4 ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy d b. Dowód. Je±li 6.4 ma rozwi zanie, powiedzmy y 1, y 2,..., y n, to poniewa» d a i dla i {1, 2,..., n}, wi c otrzymujemy d a 1 y 1 + a 2 y a n y n, czyli d b. Odwrotnie, je»eli d = NWD(a 1, a 2,..., a n ), to istniej takie liczby y 1, y 2,..., y n,»e d = a 1 y 1 + a 2 y a n y n. Niech e = b/d. Wtedy ey 1, ey 2,..., ey n jest rozwi zaniem 6.4.
35 Elementy teorii liczb wykªad 35 Oddzieln spraw jest znalezienie rozwi zania. W przypadku równania z jedn niewiadom jest to trywialne. Zajmiemy si wi c równaniami z dwoma niewiadomymi, czyli równaniami postaci a 1 x + a 2 y = b. (6.5) W celu rozwi zania go u»yjemy technik algorytmu Euklidesa. Zaªó»my,»e a 1 a 2. Dzielimy (z reszt ) a 1 przez a 2 otrzymuj c a 1 = a 2 q 3 + a 3. Równanie 6.5 mo»emy zapisa jako Nast pnie podstawiamy (a 2 q 3 + a 3 )x + a 2 y = b. (6.6) x = y 3 q 3 x + y = x 3 i otrzymujemy 6.6 w postaci a 2 x 3 + a 3 y 3 = b. (6.7) Šatwo spostrzec,»e je±li 6.7 ma rozwi zanie to i 6.5 ma rozwi zanie. W ten sposób otrzymujemy równanie z mniejszymi wspóªczynnikami. Powtarzaj c wielokrotnie powy»sz czynno±, w ko«cu dochodzimy do sytuacji gdy dla pewnego s, wspóªczynnik a s = 0, czyli otrzymujemy równanie a s 1 x s = b. (6.8) W dalszym ci gu mamy,»e je»eli 6.8 ma rozwi zanie, to i 6.5 ma rozwi zanie. Zauwa»my,»e a s 1 jest ostatni niezerow reszt, gdy do liczb a 1 i a 2 jest zastosowany algorytm Euklidesa. Zatem, je±li 6.5 ma rozwi zanie, to, poniewa» a s 1 = NWD(a 1, a 2 ), mamy a s 1 b. St d znajdujemy x s. Nast pnie traktujemy x s 1 jako parametr i w zale»no±ci od niego obliczamy nasze niewiadome x oraz y. 6.6 Przykªad. Znajdziemy wszystkie rozwi zania w liczbach caªkowitych x i y równania 119x + 105y = 28. Otrzymujemy kolejno: 119 = x + y = x 1, x = y 1 105x y 1 = = x 1 + y 1 = x 2, x 1 = y 2 14x 2 + 7y 2 = = 2 7 2x 2 + y 2 = x 3 7x 3 = 28.
36 36 Elementy teorii liczb wykªad St d mamy x 3 = 4. Podstawiaj c x 2 = t, gdzie t jest dowoln liczb caªkowit otrzymujemy nasze rozwi zanie po nast puj cym ci gu podstawie«. x 2 = t y 2 = 4 2t x 1 = 4 2t y 1 = 15t 28 x = 15t 28 y = 32 17t. Zajmiemy si teraz przypadkiem ogólnym, czyli równaniem 6.4 dla n > 2. Na pocz tek zapiszmy to równanie w postaci a 1 x 1 + a 2 x a n 1 x n 1 = b a n x n. (6.9) Poniewa» równania 6.4 oraz 6.9 s równowa»ne, to ostatnie musi mie rozwi zanie je±li pierwsze ma. St d wynika,»e je»eli δ = NWD(a 1, a 2,..., a n 1 ), to δ b a n x n. Istnieje wi c liczba caªkowita x n+1 taka,»e b a n x n = δx n+1, sk d a n x n + δx n+1 = b. (6.10) Je±li liczby caªkowite x n oraz x n+1 s rozwi zaniem równania 6.10, a liczby x 1, x 2,..., x n 1 s rozwi zaniem równania a 1 x 1 + a 2 x a n 1 x n 1 = δx n+1, (6.11) to liczby x 1, x 2,..., x n s rozwi zaniem równania 6.4. W ten sposób znajdowanie wszystkich rozwi za«w liczbach caªkowitych równania 6.4 o n niewiadomych sprowadza si do rozwi zania równania 6.10 o dwóch niewiadomych i 6.11 o n 1 niewiadomych. 6.3 Diofantyczne równania liniowe z dwiema niewiadomymi Ograniczymy si teraz do równa«z dwiema niewiadomymi, przy czym wi kszy nacisk poªo»ymy na zastosowania. Na pocz tku podamy nast puj ce 6.7 Twierdzenie (Bramaghupty). Przypu± my,»e (x 0, y 0 ) jest rozwi zaniem równania ax + by = m. Wówczas wszystkie pozostaªe rozwi zania s dane nast puj co x = x 0 + b NWD(a, b) k, y = y 0 a k dla k Z. (6.12) NWD(a, b)
37 Elementy teorii liczb wykªad 37 Dowód. Zauwa»my najpierw,»e 6.12 jest istotnie rozwi zaniem ax + by = m. (6.13) Niech (x 1, y 1 ) b dzie dowolnym rozwi zaniem Mamy zatem ax 0 + by 0 = m ax 1 + by 1 = m Odejmuj c stronami oba powy»sze równania otrzymujemy a po dalszym przeksztaªceniu, a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) = 0, a(x 0 x 1 ) = b(y 0 y 1 ). (6.14) Podzielmy obie strony 6.14 przez d = NWD(a, b). Otrzymamy a d (x 0 x 1 ) = b d (y 0 y 1 ). (6.15) Poniewa» na podstawie lematu 5.1(d) mamy NWD( a, b d d) = 1, wi c a d y 0 y 1 oraz b d x 0 x 1. St d, dla pewnego k Z, mamy y 0 y 1 = k a, czyli 6.15 mo»emy zapisa w d formie a d (x 0 x 1 ) = b d k a d. Skracaj c a, otrzymujemy x d 0 x 1 = k b. Zatem y d 1 = y 0 ak, x d 1 = x 0 + b k. d St d Przykªad. Rozwa»my równanie 3x + 2y = 5. Zauwa»amy,»e jego rozwi zaniem jest (1, 1). Poniewa» NWD(3, 2) = 1, wi c dowolne rozwi zanie naszego równania wyra»a si wzorem x = 1 + 2k, y = 1 3k, gdzie k jest dowoln liczb caªkowit. Zapytajmy teraz, dla jakich warto±ci k, nasze równanie ma rozwi zanie o obu wspóªrz dnych dodatnich. Musz wówczas zachodzi obie poni»sze nierówno±ci: 1 + 2k > 0 oraz 1 3k > 0. Zatem 1 2 < k < 1 3. Poniewa» k jest liczb caªkowit, wi c k = 0. Oznacza to,»e (1, 1) jest jedynym rozwi zaniem równania 3x + 2y = 5 o obu wspóªrz dnych dodatnich.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2015/16
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2015/16 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoWST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13
WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Kryptograa a steganograa 5 1.1 Steganograa........................... 6 1.2 Szyfry przestawieniowe...................... 8 1.3 Systemy
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb
Rozdział 7 Elementy teorii liczb 7.1 Podstawowe własności liczb Zakres teorii liczb to zbiór liczb całkowitych. Tak więc nie będziemy wychodzić poza ten zbiór, a jeśli się pojawi pojęcie,,liczba, oznaczać
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe
Liczby zmiennoprzecinkowe 1 Liczby zmiennoprzecinkowe Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów na cz ± caªkowit oraz m na
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoWst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoNiezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej
Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowodziaªaniem jest grup abelow : Okre±lmy funkcj charakterystyczn zbioru A: χ(a) = (1 A (x 1 ), 1 A (x 2 ),..., 1 A (x n )), gdzie 1 A (x) =
Zadanie 1 (2.1). Poka»,»e (P (X), ) jest grup abelow, dla X. Zauwa»my wpierw,»e dla wszystkich A, B X, A B A B X, zatem P (X) jest zamnki te na dziaªanie. Zauwa»my,»e (x A B) ((x A) (x B)), zatem wystarczy
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoLiczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoMacierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoModel obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Bardziej szczegółowoMateriaªy dydaktyczne 1. Funkcje tworz ce. Czesªaw Bagi«ski
Materiaªy dydaktyczne Funkcje tworz ce Czesªaw Bagi«ski Szereg formalny o wspóªczynnikach rzeczywistych a 0, a, a 2,..., to mówi c maªo precyzyjnie, wyra»enie postaci A(x a n x n. Nie wdaj c si w formalizmy
Bardziej szczegółowo