ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi do zadań z listy można zweryfikować za pomoca programów komputerowych Istnieje wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych Programy te można wykorzystać np do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciagów i funkcji, wyznaczania całek i pochodnych, rozwiazywania równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych Polecamy stronę internetow a Wolfram Alpha oraz darmowe programy: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programy płatne: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPalce Uzdolnionych studentów zachęcamy do udziału w egzaminach na ocenę celujac a z algebry i analizy Zadania z tych egzaminów można znaleźć na stronie internetowej http://wwwimpwrwrocpl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujacehtml Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista zadań Wyrażenia algebraiczne Indukcja matematyczna Studenci wydziałów W oraz W4 opracowuja ten materiałsamodzielnie Podać przykłady liczb rzeczywistych x, y, u, v oraz liczb naturalnych n, m, dla których nie zachodza podane równości: (x + y) = x + y ; b) x + y = x + y; c) sin (x + y) = sin x + sin y; d) tg x = tg x; e) x y + u v = x+u y+v ; Obliczyć lub uprościć wyrażenia: 35 3 4 3 8 ; b) 5 4 4 3 6 ; c) (a b 3 ) 4 (a 4 b ) 3 ; d) x y 4 z 3 x 3 y 5 z 3 ; e) 3 Obliczyć: 7 9 ; b) 3 0; c) 4 5 7 6 f) (n + m)! = n! + m! y 3 x 5 x 5 y 7 ; f) 4 Podane wyrażenia zapisać w postaci potęgi : 4 8 3 ; b) 34 ; c) 4 5 8; d) 3 ; e) 4 ; f) 3 6 3 5 Wył aczyć czynnik spod znaku pierwiastka: 3 50 7; b) ; c) 4 6; d) 3x 8 4 ; e) 3 6a 9 ; f) 4 4a 4 b 8 6 Wykonać wskazane działania: (u + v) (u v) ; b) [ ] a c) 3 b 3 (a + b) a b ( ) x +y x : (x y ) ; y ( a b + ) ; d) a c a +ac+c a 3 b 3 a b bc 0003 0 4 00 7
7 Podane ułamki uwolnić od niewymierności w mianowniku: 3 ; b) 6 4 ; c) 5 3 ; d) 3 3+ ; e) 5 8 Wskazać większa z liczb wśród podanych par: 3 + 3, 4 7 ; b), 3 ; c) 9 0, 7 3 ; d) 7 3, 8 3; e) 38, 37 + 39 9 Uprościć wyrażenia: x3 8 x 4 ; b) a3 +7b 3 a 5 +43b 5 ; c) x4 +x y +y 4 x 6 +y 6 ; d) x x ; 0 *Uzasadnić, że podane liczby sa niewymierne: 5; b) 3 ; c) log 3 d) cos π (a b)5 e) (b 3 Za pomoca indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodza tożsamości: + 3 + + (n ) = n ; b) + 3 + + n(n+) = n ; n+ c) + 3 + + 3 n = (3n ) ; [ ] d) 3 + 3 + + n 3 = n(n+) Metoda indukcji matematycznej uzasadnić nierówności: n > n dla n 5; b) + + + n n c) n! > n dla n 4; dla n N; d) ( + x) n + nx dla x oraz n N (nierówność Bernoulliego); e) n! < ( n ) n dla n 6 3 Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba: n 5 n jest podzielna przez 5; b) 8 n + 6 jest podzielna przez 7 4 *Uzasadnić, że n prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+) + obszarów Na ile obszarów płaszczyznę można podzielić n okręgami? 5 Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń: (x + y) 4 ; b) ( c ) 7 ; c) ( x + x 3 ) 5 ; d) ( u + 4 v) 8 6 *Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: n ( n n ( k) ; b) n k) k ; c) n ) ( ) k k=0 k=0 k=0 ( n k 7 W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia ( ) a 3 + 5 a znaleźć współczynnik stojacy przy a 5 ; ( ) 4 7 b) W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia x5 3 x znaleźć współczynnik stojacy przy 3 4 x Geometria analityczna na płaszczyźnie Studenci wydziałów W oraz W4 opracowuja ten materiałsamodzielnie
8 Niech a = (, 4), b = (, 4) Wyznaczyć wektor u = 3 a b 9 Trójkat jest rozpięty na wektorach a, b Wyrazić środkowe tego trójkata przez wektory a, b 0 Niech r A, r B będa wektorami wodzacymi odpowiednio punktów A, B oraz niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku : 3 Znaleźć wektor wodzacy punktu P *Za pomoca rachunku wektorowego pokazać, że środki boków dowolnego czworokata sa wierzchołkami równoległoboku Wyznaczyć cosinus kata, jaki tworza wektory: u = (, ), v = (3, 5) ; b) u = (, ), v = (, 7) 3 Równoległobok jest rozpięty na wektorach a = ( 3, 4), b = (, ) Wyznaczyć kat ostry między przekatnymi równoległoboku 4 ( Długości wektorów a, b wynosza odpowiednio 3, 5 Znamy iloczyn skalarny a b = Obliczyć a ) ( b a + 3 ) b 5 Pokazać, że czworokat o wierzchołkach A = (0, 0), B = (5, ), C = (3, 7), D = (, 5) jest kwadratem 6 Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (, 3) i tworzy kat 0 o dodatnia częścia osi Ox z 7 Napisać równanie prostej przechodzacej przez punkty P = (, 3), P = ( 3, 7) 8 Znaleźć przecięcia prostej l : { x = 4 t, y = 6 + t, gdzie t R, z osiami układu współrzędnych Czy punkt P = (4, 7) należy do prostej? 9 Znaleźć punkt wspólny prostych: { x = t, k : y = 3 + t, gdzie t R, l : { x = t, y = 3 t, gdzie t R, 30 Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (, ) i jest równoległa do prostej 3x y + = 0; b) prostopadła do prostej x + y = 0 3 Dla jakiej wartości parametru m, odległość punktów P = (, 0) i Q = (m + 3, ) jest równa 4? 3 Wyznaczyć odległość punktu P 0 = ( 4, ) od prostej l o równaniu 3x + 4y + = 0 33 Znaleźć odległość prostych równoległych l, l o równaniach odpowiednio x y = 0, 3x + 6y 5 = 0 34 Obliczyć wysokość trójkata o wierzchołkach A = (0, 0), B = (, 3), C = (, 5) opuszczona z wierzchołka C 35 *Znaleźć równania dwusiecznych katów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y = 0, 4x 3y + 5 = 0 Krzywe stożkowe Studenci wydziałów W oraz W4 opracowuja ten materiałsamodzielnie 3
36 Napisać równanie okręgu, którego średnica jest odcinek o końcach A = (, 3), B = (5, 7) 37 Wyznaczyć współrzędne środka i promień okręgu x 4x + y + 6y + = 0 38 Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkacie ABC o wierzchołkach A = (0, 0), B = (8, 0), C = (0, 6) 39 Znaleźć równanie okręgu, który przechodzi przez punkty P = (3, 4), Q = (5, ) i ma środek na osi Ox 40 Wyznaczyć równanie okręgu, który jest styczny do obu osi układu współrzędnych oraz przechodzi przez punkt A = (5, 8) Ile rozwiazań ma zadanie? 4 Znaleźć równanie stycznej okręgu x + y = 5: w punkcie ( 3, 4); b) przechodzacej przez punkt ( 5, 0); c) równoległej do prostej x y 4 = 0; d) prostopadłej do prostej x + y = 0 4 Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz mimośród elipsy x 6 + y 9 = 43 Punkty F = ( 5, 0), F = (5, 0) sa ogniskami elipsy Znaleźć równanie tej elipsy, jeżeli widomo, że jednym z jej wierzchołków jest punkt W = (0, 3) 44 Naszkicować elipsę o równaniu 4x 8x + 9y + 36y + 4 = 0 45 Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz równania asymptot hiperboli 46 Narysować hiperbolę wraz z asymptotami: x 44 y 5 = (y + 5) (x ) 6 9 = ; b) 4x 5y + 8x = 0 47 Wyznaczyć współrzędne ogniska, wierzchołka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu: y = x; b) y = x + 6x 48 Napisać równanie paraboli, której: kierownica jest prosta y =, a punkt W = (, 6) - wierzchołkiem; b) kierownica jest prosta x =, a punkt W = (5, ) - wierzchołkiem 49 *Jakie krzywe przedstawiaj a równania: x y + 4 = 0; b) (x y) = ; c) x + y = xy? Macierze 4
50 Dla podanych par macierzy A, B wykonać (jeśli to jest możliwe) wskazane działania 3A B, AT, AB, BA, A : [ ] [ ] 4 0 6 A =, B = ; 0 8 b) A = [ 3 ], B = [ 4 0 ] ; c) A = 0 3 0 5 ] ; 0 0 0 d) A = 4, B = 4 3 0 0 3 5 Rozwiazać równanie macierzowe 0 4 3 3 3 3 X = X+ 0 6 5 5 Znaleźć niewiadome x, y, z spełniaj ace równanie [ ] [ ] T x + y + 3 3 6 = 3 0 y z 53 Podać przykłady macierzy kwadratowych A, B, które spełniaj a podane warunki: AB BA; b) AB = 0, ale A 0, B 0; c) A = 0, ale A 0 54 *Uzasadnić, że iloczyn: macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierza diagonalna; b) iloczyn macierzy trójkatnych dolnych tego samego stopnia jest macierza trójkatn a dolna 55 *Pokazać, że każda macierz kwadratowa można przedstawić jednoznacznie jako sumę macierzy symetrycznej ( A T = A ) i antysymetrycznej ( A T = A ) Napisać to przedstawienie dla macierzy 0 4 B = 3 5 8 4 3 4 6 0 0 56 *Macierze kwadratowe A, B sa przemienne, tzn spełniaj a równość AB = BA Pokazać, tożsamości: (A B) (A + B) = A B ; b) (BA) = A B ; c) A B 3 = B 3 A 57 Dla podanych macierzy A obliczyć A n dla kilka poczatkowych liczb naturalnych n, następnie wysunać hipotezę o postaci tych potęg i uzasadnić ja za pomoca indukcji matematycznej: 0 0 0 0 A = 0 0 ; b) A = 0 0 ; c*) A = 0 0 0 3 0 0 0 58 *W zbiorze macierzy rzeczywistych znaleźć wszystkie rozwiazania podanych równań: [ ] [ ] [ ] 4 0 0 0 0 X = ; b) X 0 9 = c) X 0 0 = 0 Wyznaczniki 5
59 Napisać rozwinięcia Laplace a podanych wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwinięciach): 4 3 4 3 7 3 0, trzecia kolumna; b) 4 0 5 5 4 6, czwarty wiersz 0 0 3 60 Obliczyć podane wyznaczniki: 5 3 7 ; b) 3 4 ; c) 0 0 0 3 3 5 7 4 0 4 5 0 6 Korzystajac z własności wyznaczników uzasadnić, że podane macierze sa osobliwe: 5 4 4 3 ; b) 4 4 4 ; c) 7 5 5 5 7 4 4 3 5 6 3 3 3 0 3 6 Jakie sa możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spełniaj acej podane warunki: A 3 = 4A dla n = 3, 4; b) A T = A dla n = 3, 4? 63 Obliczyć wyznaczniki podanych macierzy: 3 4 5 3 4 5 3 3 3 4 5 4 4 4 4 5 ; b) 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; c) 5 3 0 0 5 3 0 0 5 0 3 0 0 0 5 Macierz odwrotna i układy równań liniowych 64 Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do podanych: A = [ ] 0 0 5 ; b) A = 3 0 ; c) 3 8 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 4 0 65 Korzystajac z metody doł aczonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do podanych: ] 0 0 4 [ A = 3 ; b) A = 0 0 0 6 66 Znaleźć rozwiazania podanych równań macierzowych: [ ] [ ] 3 5 0 3 X = ; 4 0 0 3 b) X = ; 6 4 ; c) A = 4 0 0 0 3 0 0 0 6
0 3 0 0 c) X = 0 ; 3 0 4 3 [ ] [ ] [ ] 3 8 d) X = 3 5 3 0 5 67 Korzystajac ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazana niewiadoma z podanych układów równań liniowych: { x y = 0, niewiadoma y; 3x + y = 5 x + y + z = b) x y + z = 4, niewiadoma x; 4x + y + 4z = c) b) x + 3y + z + 5t = x + y + 5z + t = x + y + 3z + t = 3 x + y + 3z + 4t = 3, niewiadoma z 68 Metoda eliminacji Gaussa rozwiazać podane układy równań: { x y = 0 3x + y = 5 ; c) x + y + z = x y + z = 4 4x + y + 4z = 3x y 5z + t = 3 x 3y + z + 5t = 3 x + y 4t = 3 x y 4z + 9t = ; 69 Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkty (, 4), (, 3) b) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (, ), (0, ), (, 4) c) Wyznaczyć współczynniki a, b, c funkcji y = a x +b3 x +c4 x, która w punktach, 0, przyjmuje odpowiednio wartości 3,, 4 d) Funkcja y (x) = A cos x + B sin x spełnia równanie różniczkowe y 6y + 3y = 5 sin x Wyznaczyć współczynniki A, B 70 Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiazanie mx + y + z = 0 x y + mz = 0 mx + y + 4z = 0 b) Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny x + y = a z + t = b? x + z = c y + t = d c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których podany układ równań liniowych ma tylko jedno rozwiazanie x + y 3z = x py + z = 3 x + y pz = 5? 7
7 a*) Rozwiazać układ równań + 3 = x y z 3 + 4 + 6 = 7 x y z 8 3 = 4 x y z b*) Znaleźć dodatnie rozwiazania układu równań Geometria analityczna w R 3 xy z 3 = x y 3 z 4 = 4 x yz = 7 Dla jakich wartości parametrów p, q wektory a = ( p, 3, ), b = (, 4 q, ) sa równoległe? b) Dla jakich wartości parametru s wektory p = (s,, s), q = (s,, ) sa prostopadłe? 73 Obliczyć iloczyn skalarny i wektorowy wektorów a = (,, 5), b = (, 3, ) 74 Znaleźć wersor, który jest prostopadły do wektorów u = (,, 0), v = (0,, ) 75 Wyznaczyć cosinus kata między wektorami p = (0, 3, 4), q = (,, ) 76 Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u = (,, 5), v = (0, 3, ) b) Obliczyć pole trójkata o wierzchołkach A = (0, 0, ), B = (3, 0, 0), C = (0, 5, 0) c) Obliczyć wysokość 77 Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: a = (,, 3), b = (0, 4, ), c = (, 0, ) b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach: A = (,, ), B = (,, 3), C = (0, 4, ), D = (,, ) 78 Znaleźć równania normalne i parametryczne płaszczyzny przechodzacej przez punkty: P = (,, 0), Q = (, 5, 7), R = (0, 0, ) 79 Płaszczyznę π : x + y z 3 = 0 zapisać w postaci parametrycznej x = + s + t, b) Płaszczyznę π : y = s t, przekształcić do postaci normalnej z = 3 + 3s t 80 Znaleźć równanie parametryczne i krawędziowe prostej: przechodzacej przez punkty A = ( 3, 4, ), B = (0,, ) b) przechodzacej przez punkt P = (3,, ) i przecinajacej prostopadle oś Oy { x + y 3 = 0 8 Prosta l : zapisać w postaci parametrycznej y + z = 0 b) Prosta l : x = 3, y = t, z = t zapisać w postaci krawędziowej 8 Wyznaczyć punkt przecięcia: prostej l : x = t, y = t, z = 3 + t oraz płaszczyzny π : 3x y z 5 = 0; b) płaszczyzn π : x + y z 5 = 0, π : x + y + = 0, π 3 : x + y + z = 0; c) prostych l : x = t, y =, z = 3 + t, l : x = s, y = 3 s, z = 5s 8
83 Obliczyć odległość: punktu P = (0,, ) od płaszczyzny π : 3x 4y + z = 0; b) płaszczyzn równoległych π : x y + z 3 = 0, π : x + 4y 4z + 8 = 0; c) punktu P = (, 5, ) od prostej l : x = t, y = t, z = 3 + t; d) prostych równoległych l : { x + y + z 3 = 0 x y z = 0, l : { x + y + z 3 = 0 x y z + 4 = 0 ; e) prostych skośnych l : x = t, y =, z = 3 + t, l : x = s, y = 3 s, z = 5s 84 Wyznaczyć rzut prostopadły punktu P = (,, 0) na: płaszczyznę π : x + y + 3z 5 = 0; b) prosta l : x = t, y = t, z = 3t 85 Obliczyć kat między: płaszczyznami π : x y + 3z = 0, π : x + y z + 5 = 0; { x + y + z 3 = 0 b) prosta l : i płaszczyzn a π : x + y = 0; x y z = 0 c) prostymi l : x = t, y = + t, z = 3, l : x = 0, y = s, z = + s Liczby zespolone 86 Obliczyć: ( 5i) + ( 3 + i ) ; b) (7 + 6i) (8 3i) ; c) (4 i) (3 + 4i) ; d) +i 6 5i ; e) i ; f) ( + i); g) ( 3i); h) (3 + 4i) ; i) [ ( + i) 3] 87 Porównuj ac części rzeczywiste i urojone obu stron podanych równań znaleźć ich rozwiazania: z = ( i)z; b) z + 4 = 0; c) ( + 3i) z + ( 5i) z = i 3; d*) z 3 = 88 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniaj acych podane warunki: Re (z + ) = Im (z 4i) ; b) Re (z ) = 0; c) Im (z ) 8; d) Re ( z ) > Im (iz) 89 Uzasadnić tożsamości: z = z ; b) z z = z ; c) z n = z n, gdzie z C oraz n N 90 Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: 3; b) 5 i; c) + i 5; d) 3+4i 4 3i ; e) ( + i) (i 3) ; f) ( + i)8 ; g) (sin 4α i cos 4α), gdzie α R; h) (ctg α + i), gdzie α nπ, n N 9 Korzystajac z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniaj acych podane warunki: z + 3i < 4; b) z + 5i 3; c) z = + 5i z, d) z + 3i < z 4i ; e) iz + 5 i < + i ; f) > ; g) z +4 ; h) z + iz < 9 z 3i z 9 Wyznaczyć argumenty główne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzystać kalkulator): 55; b) π; c) i; d) 3 i; e) 3 + 3 3i; f) + i; g) + 3i; h) 3i 9 z i
93 Podane liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej: ; b) 0 + 0i; c) + i 3 ; d) πi; e) 7 i 7; f) 3 i 7 94 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniaj acych podane warunki: arg (z) = π; b) π 6 < arg (z i) π 3 ; c) π < arg (iz) < π; ) 3π d) arg ( z) = π; e) 0 < arg (z) π; f) 3π arg ( 4 3 4 z 95 Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć: ( ( i) ; b) + i ) 8 ( ) 3 9 ( ; c) i ; d) 5 i 5 ) 0 96 Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej elementy podanych pierwiastków: 4 6; b) 3 8i; c) 3 i; d) 6 97 W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać podane równania: z z + 0 = 0; b) z + 3iz + 4 = 0; c) z 4 + 5z + 4 = 0; d) z + ( 3i) z i = 0; e) z 6 = ( i) 6 ; f) (z i) 4 = (z + ) 4 Wielomiany 98 Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczyć 3P Q, P Q, P : P (x) = x 3x +, Q (x) = x 4 ; b) P (z) = z + 4i, Q (z) = z 3 + ( i) z + 5 99 Obliczyć iloraz wielomianu P przez Q oraz podać resztę z tego dzielenia, jeżeli: P (x) = x 4 3x 3 x + x 5, Q (x) = x 3 x + 5; b) P (x) = x 4 + x + 6, Q (x) = x 3x + 4; c) P (z) = z 3 + iz +, Q (z) = z i 00 Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: x 3 + 3x 4; b) x 4 x 3 + x 8x ; c) x 4 x 0 Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów: 6x 3 5x x + ; b) 3x 3 x + 3x ; c) 6x 4 + 7x + 0 Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami podanych wielomianów: (x ) (x + ) 3 ; b) (x + 6) ( 4x) 5, c) (z ) (z + ) 3 (z + 9) 4 03 Nie wykonujac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli: P (x) = x 8 + 3x 5 + x + 4, Q (x) = x ; b) P (x) = x 007 + 3x + 008, Q (x) = x + ; c) P (x) = x 99 x 98 + 4x 97, Q (x) = x 4 6 d*) P (x) = x 003 + x 00, Q (x) = x 4 + ; e*) P (x) = x 444 + x + x, Q (x) = (x + ) 04 Pokazać, że jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P, to liczba z także jest pierwiastkiem wielomianu P Korzystajac z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x 4 4x 3 +x 6x+5 wiedzac, że jednym z nich jest x = +i 0
05 Podane wielomiany rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste: x 3 7; b) x 4 + 6; c) x 4 + x + 4; d*) x 6 + 06 Podane funkcje wymierne rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: x+5 x+9 3x ; b) ; c) +4x+3 ; x x x(x+3) x 3 x +4x 4 Przestrzeń liniowa Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 d) x3 x 7x+6 x 4 +0x +9 07 Niech a = (,,, 3), b = (5, 4,, 0) będa wektorami w przestrzeni liniowej R 4 Wyznaczyć wektory x oraz y, jeżeli: x = a b; b) a x = b + x; { x y = a, c) 3 x + y = b 08 Sprawdzić, czy podane zbiory sa podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni R n : A = { (x, y) R : xy 0 }, R ; b) B = { (x, y, z) R 3 : x + y z = 0 }, R 3 ; c) C = { (x, x, x 3, x 4 ) R 4 : x = x = 3x 3 = 4x 4 }, R 4 ; d) D = { (x, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 : x = 0, x = x 3, x 5 = 0 }, R 5 ; e) E = { (x, y, z) R 3 : x y = 0, y 3z = 0, z 4x = 0 }, R 3 09 We wskazanej przestrzeni liniowej zbadać liniowa niezależność podanych układów wektorów: R 3, a = (, 3, 0), a = (, 0, ), a 3 = (0,, 4) ; b) R 3, b = (,, 3), b = (3,, ), b 3 = (,, ) ; c) R 4, c = (, 0, 0, 0), c = (,, 0, 0), c 3 = (,,, 0), c 4 = (,,, ) ; d) R 5, d = (,, 3, 4, 5), d = (5, 4, 3,, ), d3 = (, 0,, 0, ) ; e) R n, e = (, 0, 0,, 0), e = (0,, 0,, 0), e 3 = (0, 0, 3,, 0),, e n = (0, 0, 0,, n) 0 Pokazać, że jeżeli wektory a, b, c sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej R n, to wektory a, a+ b, b 5 c także sa liniowo niezależne Czy wektory a b, b c, c a sa liniowo niezależne? b) Wektory u, v, w sa liniowo zależne w przestrzeni liniowej R n Czy wektory u v, u, w v także sa liniowo zależne? c) Wektory a, a + b, a + b + c sa liniowo niezależne w przestrzeni liniowej R n Pokazać, że wektory a, b, c sa także liniowo niezależne Pokazać, że układ wektorów w przestrzeni liniowej R n, który zawiera: wektor zerowy, b) dwa jednakowe wektory, c) wektory a, b oraz a b, jest liniowo zależny
Podać interpretację geometryczna podanych zbiorów we wskazanej przestrzeni: lin{(, 3)} w R ; b) lin{(, 0, 0), (,, 0), (,, )} w R 3 ; c) lin{(,, ), (4,, ), (, 3, 5)} w R 3 ; d*) lin{(,, 0, 0), (0, 0,, ), (, 0,, 0), (0,, 0, )} w R 4 ; e*) lin { (, 0, 0,, 0), (0,, 0,, ), (0, 0,,, 0),, ( 0, 0, 0,, ( ) n+)} w R n 3 *Czy w przestrzeni R 4 zachodzi równość lin {(,, 3, 5), (, 3, 4, 6), (, 4,, )} = lin {(0, 0, 3, 4), (, 5, 0, 0), (,,, )}? Baza i wymiar przestrzeni Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 4 Zbadać, czy podane układy wektorów sa bazami wskazanych przestrzeni liniowych R n : {(,, 0), (, 0, 3), (0,, 3)}, R 3 ; b) {(, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,,, 0), (,,, )}, R 4 ; c) {(,, 0, ), (, 0, 3, 0), (0,, 3, 0), (0, 0, 0, )}, R 4 ; d) {(,, 0, 0, 0), (0,,, 0, 0), (0, 0, 3, 3, 0), (0, 0, 0, 4, 4)}, R 5 ; e) {(0,, 0,, 0), (, 0,, 0, ), (0, 0, 0,, ), (,,,, ), (,,,, )}, R 5 5 Podane układy wektorów uzupełnić do baz wskazanych przestrzeni: {(,, 4), (, 0, )}, R 3 ; b) {(,, 3, 4), (, 0, 0, ), (0,, 0, 0)}, R 4 ; c) {(0,, 0, ), (4,,, 3)}, R 4 ; d) {(,, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 3, 3), (0,,, 0, 0)}, R 5 ; e) {(, 0, 0, 0, ), (0, 0, 0, 0, 4), (0,,, 0, 0), (0, 0, 0,, )}, R 5 6 Pokazać, że jeżeli wektory b, b, b 3, b 4 tworza bazę przestrzeni R 4, to wektory także tworza bazę tej przestrzeni u = b + b, u = b + b 3, u 3 = b + b 4, u 4 = b 3 + b 4 7 Znaleźć bazy i wymiary podanych podprzestrzeni: A = { (x, y, z) R 3 : 3x + y z = 0 } ; b) B = { (x, y, z, t) R 4 : x = y = t } ; c) C = { (u, v, x, y, z) R 5 : u + v = 0, x + y + x = 0 } ; d) D = { (u, v, w, x, y, z) R 6 : u + v = 0, x + y + z = 0, x u + y v + z = 0 } 8 Wyznaczyć współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach: a = (, 3), B = {(, ), (0, )} R ; b) b = (,, 3), B = {(,, ), (,, 0), (3, 0, 0)} R 3 ; c) c = (, 0,, 0), B = {(, 0,, 0), (0,, 0, ), (, 0,, 0), (,, 3, 4)} R 4 ; d) d = (5, 4, 3,, ),
B = {(,,,, ), (,,,, 0), (,,, 0, 0), (,, 0, 0, 0), (, 0, 0, 0, 0)} R 5 Przekształcenia liniowe Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 9 Zbadać, czy podane przekształcenia sa liniowe: F : R R, F (x, x ) = x 3x ; b) F : R R, F (x, y) = ( x + y, x y ) ; c) F : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; d) F : R R 4, F (x) = (0, x, 0, 3x) ; e) F : R 4 R, F (x, x, x 3, x 4 ) = (x x, x 3 x 4 ) ; f) F : R 3 R 5, F (u, v, w) = (u, 4v, u + v, w, u 3w) 0 Korzystajac z interpretacji geometrycznej przekształceń liniowych znaleźć ich jadra i obrazy: L : R R, obrót o kat α = π wokółpocz atku układu 3 b) L : R R, rzut prostokatny na prosta x + y = 0 c) L : R 3 R 3, symetria względem płaszczyzny y = z d) L : R 3 R 3, obrót wokółosi Oy o kat π Wyznaczyć jadra i obrazy podanych przekształceń liniowych: F : R R, F (x, x ) = x 3x ; b) F : R R, F (x, y) = (x + y, x + y) ; c) F : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; d) F : R R 4, F (x) = (0, x, 0, x) Znaleźć macierze podanych przekształceń liniowych F : R n R m we wskazanych bazach B oraz B odpowiednio przestrzeni R n oraz R m : F (x, y) = (x, y, x y), B = {(, 0), (, )}, B = {(, 0, 0), (0,, 0), (,, )} ; b) F (x, y) = (y, 0, x, 0), B = {(, ), (0, )}, B = {(, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,,, 0), (,,, )} ; c) F (x, y, z) = x + y 3z, B = {(, 0, ), (0,, ), (0, 0, )}, B -standardowa; d) F (x, y, z, t) = (x + y + z + t, y t, z x), B -standardowa, B -standardowa 3 Uzasadnić, że obrót na płaszczyźnie R wokółpoczatku układu współrzędnych o kat ϕ jest przekształceniem liniowym Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych b) Pokazać, że symetria wzlędem osi Oz w przestrzeni R 3 jest przekształceniem liniowym Znaleźć macierz tej symetrii w bazach standardowych Wartości i wektory własne macierzy Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 3
4 Korzystajac z definicji wyznaczyć wektory i wartości własne podanych przekształceń liniowych: symetria względm osi Ox w przestrzeni R ; b) obrót wokółosi Oy o kat π w przestrzeni 6 R3 ; c) symetria względem płaszczyny xoz w przestrzeni R 3 ; d) rzut prostokatny na oś Oz w przestrzeni R 3 5 Wyznaczyć wektory i wartości własne podanych macierzy: [ ] 4 5 A = ; b) B = 5 7 3 ; 6 9 4 0 0 0 3 0 0 c) C = 0 0 0 0 0 0 0 0 ; d) D = 0 0 3 0 5 3 0 0 4 3 6 Sprawdzić, że podane macierze spełniaj a swoje równania charakterystyczne: [ ] 0 0 A = ; b) B = 0 0 0 3 0 Iloczyn skalarny Normy wektorów i macierzy Tylko dla studentów wydziałów W oraz W4 7 Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów w przestrzeni euklidesowej R n : a = (,, 5), b = (3, 4, ) w R 3 ; b) u = (0,, 3,, 5), v = (,, 3, 4, ) w R 5 8 Obliczyć katy między podanymi wektorami w przestrzeni euklidesowej R n : x = (, 5), y = (3, 4) w R ; b) p = (0,, 0,, 0), q = (, 0, 3, 0, ) w R 4 9 Dla jakich wartości parametru p, wektory a = (p,, p, ), b = (p, p,, 9) sa prostopadłe w przestrzeni euklidesowej R 4? 30 Sprawdzić, że podane układy wektorów tworza bazy ortogonalne we wskazanych przestrzeniach euklidesowych R n : e = (, 3, ), e = (,, 5), e 3 = (6, 7, 5), R 3 ; b) e = (,,, 3), e = (, 3,, 4), e 3 = (,,, 0), e 4 = (5,, 6, ), R 4 3 Wyznaczyć współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach ortogonalnych przestrzeni euklidesowych R n : a = (0, ), B = {(3, 4), (4, 3)} R ; b) b = (, 5, 4), B = {(,, ), (0,, ), (,, )} R 3 ; c) c = (0,, 0, ), B = {(, 0, 0, 0), (0,,, ), (0,, 0, ), (0,,, )} R 4 ; 4
3 W przestrzeni R n wprowadzamy następujace normy wektora x = (x, x,, x n ) : x = n i= (x i ) (norma euklidesow, x = max in a i, x = Obliczyć każda z tych norm podanych wektorów: x = ( 3, 4) R ; b) x = (,,, ) R 4 33 Wprowadzamy następujace normy macierzy kwadratowej A = [a ij ] stopnia n : n A F = i= A = max in n j= n j= Obliczyć każda z tych norm podanych macierzy: [ ] 0 A = ; b) A = 0 4 3 3 0 (a ij ) (norma Frobenius, A = max jn a ij, A = max i,jn a ij, A 3 = *Które z powyższych norm macierzy sa indukowane przez normy wektorów? n i= n x i i= n a ij, i= n a ij j= 5