Wkład 4 Podstawowe pojęcia i definicje
. Modelowanie. Definicja Model awiera wsstkie dane i obiekt ora wiąki pomięd nimi, które są niebędne do prawidłowego wświetlenia i realiowania interakcji aplikacją, jak również wmagane pre modł pretwarania niegraficnego np. analia obciążeń i naprężeń materiał projektowanego samolot. W nasm romieni model ostanie proscon do wierchołków, krawędi, ścian ora ich atrbtów kolor i powierchnia.. Proces modelowania Jedną podstawowch operacji modelowania jest tworenie prostch obiektów tp sfera bądź seścian, które mogą bć skalowane, obracane, bądź preswane a następnie miescane w scenie. Każd tch obiektów posiada własn kład odniesienia i może bć transformowan wględem niego lb globalnego kład odniesienia.
Utworenie seścian kł. współr. CS Utworenie sfer kł. współr. CS Rotacja, presnięcie Rotacja, presnięcie + Model 3D Tworenie obiektów Lokalne prekstałcenia Składanie kompocja WCS.3 Wświetlanie model Wświetlanie model jest procesem wkonwanm pre program wialiacjn i polega na transformacji model do obra widocnego na ekranie bądź papiere.
Trójwmiarowa scena Trójwmiarowa scena składa się e bior obiektów, które tworą końcow obra. Najważniejsmi nich są: model omówion powżej, światło i obserwator. Oświetlenie Podobnie jak w recwistości obiekt msą bć oświetlone, żeb bł widocne. Mogą również emitować własne światło. Podstawowmi atrbtami światła są: kiernkowość, intenswność źródła, barwa i odległość źródła od obiekt. Wróżniam tr podstawowe rodaje oświetlenia scen: Źródło pnktowe emitje promienie pojedncego pnkt podobnie jak żarówka. Jasność takiego światła jest ależna od odległości źródła od obiekt ora oświetlanej powierchni godnie e worem: J = J s d gdie: J s onaca intenswność źródła, natomiast d odległość międ źródłem a obiektem.
Źródło kiernkowe promienie pochodą tego samego kiernk są równoległe. Tego tp źródło może wobrażać np. promienie pochodące odległego słońca odległość międ źródłem a obiektem prbliża się jako nieskońconość. Oświetlenie równomierne światło pada e wsstkich kiernków. Ten rodaj światła jest najprosts pnkt widenia grafiki kompterowej, ponieważ wsstkie powierchnie obiektów posiadają jednakowe oświetlenie nieależnie od położenia i orientacji. W prpadk źródła pnktowego lb kiernkowego efekt oświetlenia jest ależn od orientacji powierchni. Jeżeli jest ona prostopadła do padającch promieni, ostaje jasno oświetlona, natomiast gd kąt padania więksa się, oświetlenie powierchni pogarsa się. Światło równomierne Światło pnktowe Światło kiernkowe
Modele kolor Modele kolor żwane są do jednonacnego i łatwego opis kolor oświetlenia bądź powierchni. Do najcęściej spotkanch należą: Model HSV he, satration, vale, wan także HSB he, satration, brightness jest orientowan na percepcję kolor i odcienia pre żtkownika. Użwa clindrcnego kład odniesienia a obsar prestreni, w której model jest definiowan twor ostrosłp o podstawie seściokąta foremnego:
Podstawa ostrosłpa odpowiada wartości jasności V = co onaca wględnie jasne kolor. Kolor w płascźnie V = nie są jednak jednakowo postregane pod wględem jasności. Barwa jest mierona jako kąt pomięd osią pionową, gdie cerwieni odpowiada o, ieleni o, itd. Wartość nascenia S mienia się od na osi V do na trójkątnch ścianach ostrosłpa.
Model RGB red, green, ble jest wkorstwan w monitorach CRT i grafice rastrowej. Opart jest na ficnm składani fal świetlnch określonch cęstotliwości, aś jego opis opart jest na kartejańskim kładie współrędnch. Składowe RGB po dodani dają końcow reltat. Odworowaniem model w prestreni trójwmiarowej jest jednostkow seścian. Prekątna seścian o równch wartościach składowch odwierciedla odcienie sarości od cerni,, do bieli,,.
Zawcaj normaliowane wartości składowch opisje się a pomocą sersego akres wartości np. od do 55 składowa jest t licbą binarną ośmiobitową jeden bajt. W takim prpadk maksmalna wartość biel to 55, 55, 55, cerń to,, a np. żółcień 55, 55, Model CMY jest bardo bliżon do RGB, jednak jego ałożenia opierają się na asadie diałanie rądeń drkjącch, skjącch kolor nie popre nakładanie fal tlko odbicie światła od drk. Cli w preciwieństwie do RGB proces skiwania kolor nie polega na
dodawani składowch, lec ich odejmowani. Pr CMY składowe to niebieski can, fioletow magenta i żółt ellow. Konwersja pomięd RGB i CMY jest bardo prosta: C = R I M = G Y = B R = C G = M B = Y Natomiast opis kolor a pomocą RGB i HSV spełnia następjącą ależność: V = R + G + B / 3 S = minr, G, B / V
Obserwator kamera Obserwator może najdować się w dowolnm miejsc trójwmiarowej prestreni. Jego kąt patrenia jest ściśle powiąan odległością d pomięd środkiem projekcji i płascną projekcji. Poniżs rsnek ilstrje różnicę pomięd dwoma kątami patrenia obserwatora. Mał kąt, d Projekcja równoległa D kąt, małe d Projekcja perspektwicna
Kolejnm aspektem, któr należ wiąć pod wagę pr tworeni projekcji obiektów jest tw. wektor kamer. Jest on definiowan pre położenie kamer obserwatora i cel obiekt na któr patr, innmi słow wnaca on pnkt na którm skpiona jest socewka kamer..4. Proces wialiacji Implementacja proces wialiacji może się różnić w ależności od wkorstanch algortmów. Poniżs diagram ilstrje ogólnienie tego proces. Ogólnie mówiąc sprowada się on do prekstałcenia kład odniesienia współrędnch świata WCS, world coordinate sstem w którch stworon jest model do kład odniesienia współrędnch kamer CCS, camera coordinate sstem. Dokonje się tego popre liniowe prekstałcenie w jednorodnm homogenicnm kładie współrędnch. Oświetlenie i swanie niewidocnch krtch powierchni mogą bć wkonwane jednoceśnie pr astosowani odpowiednich algortmów. Projekcja prekstałca prestreń trójwmiarową w jej odworowanie na dwwmiarowej płascźnie. Samo wświetlenie słż dopasowani otrmanego dwwmiarowego obra do warnków ekran.
Model 3D Oświetlenie Uswanie niewidocnch powierchni Dekompocja scen Transformacje w jednorodnm kł. współr. Projekcja Wświetlenie Model 3D Podstawowe rodaje modeli: modele analitcne, modele skieletowe stosowane w nasm prpadk, powierchnie aproksmjąca krwe Beiera, B-spline, NURBS, konstrkcjna geometria brłowa solid modeling, drewa ósemkowe.
Model skieletow opisan jest a pomocą wierchołków i krawędi. Stanowi on siatkę wnacającą kontr obiekt.
Projekcja perspektwicna
Uswanie elementów niewidocnch Etap ten wkonje się w cel aoscędenia kostów i asobów potrebnch na obsłgę obiektów i ich fragmentów, które i tak poostaną niewidocne dla obserwatora. Podstawowmi narędiami są: sortowanie ścian Z-bfor
Oświetlanie obiektów Podcas tego etap wględnia się następjące cnniki: powierchnie lstrane odbicie światła od obiektów powierchnie matowe pochłonięcie światła obiekt prerocste ałamanie światła
Tekstrowanie obiektów Tekstra jest obraem płaskim, któr po nałożeni na obiekt trójwmiarow dekorje w określon sposób jego powierchnię. Proces tekstrowania można podielić na następjące etap: generacja tekstr nakładanie na ścian obiektów tekstr i generacja ich obra eliminacja problemów wnikającch gęstości tekstr i jej obra
Generacja realistcnej scen 3D Pojawiają się ttaj dwie najbardiej nacące metod: śledenia promieni ra tracing na ilstracji poniżej metoda energetcna radiosit
Transformacje D W prestreni -wmiarowej możem definiować podstawowe rodaje transformacji transformacje elementarne: presnięcie, miana skali, obrót wokół środka kład odniesienia. Złożone transformacje dokonwane na obiektach można awse opisać są pomocą transformacji składowch, należącch do powżsch tpów.. Transformacje elementarne.. Presnięcie translation Presnięcie dotc mian położenia obiekt wględem kład odniesienia. Be mian poostaje skala ora orientacja obiekt. Jest to najprostsa transformacja elementarna:
Ropatrjąc operację presnięcia, dokonjem preniesienia każdego pnkt należącego do obiekt w praktce operację tą wkonje się na charakterstcnch pnktach obiekt o wektor [t, t ]. Dlatego współrędne pnkt, po transformacji spełniają ależność: t t
.. Zmiana skali scaling Skalowanie onaca powięksenie/mniejsenie romiarów obiekt: Z matematcnego pnkt widenia skalowanie onaca wkonanie jednokładności e środkiem w pocątk kład współrędnch. Dlatego operacja ta sprowada się do premnożenia współrędnch wsstkich pnktów obiekt w praktce operację tą wkonje się na charakterstcnch pnktach obiekt pre współcnnik skali jednokładności. Kied jest on więks od powięksam obiekt, kied należ on do prediał, dokonjem
pomniejsenia. Nie ropatrjem współcnników jemnch, gdż operacja taka może bć astąpiona pre skalowanie o współcnnik dodatnim i obrotem. Ocwiście, skalowanie możem wkonwać nieależnie dla odciętch i rędnch pnktów obiekt. Jednak awcaj prjmjem, że współcnniki skalowania s i s są sobie równe. Współrędne pnkt, po transformacji spełniają ależność: s s.3. Obrót rotation Ta transformacja elementarna jest trochę bardiej skomplikowana od opisanch powżej. Położenie każdego pnkt obiekt w praktce operację tą wkonje się na charakterstcnch pnktach obiekt wględem pocątk kład odniesienia mienia się o kąt obrot φ. Onaca to obrót wektora pnkt, acepionego w pocątk kład współrędnch o kąt φ. Koniec powstałego wektora wnaca obra pnkt po transformacji. Znak kąta określa się godnie odwrotnm kiernkiem wskaówek egara.
Zapis transformacji współrędnch pnkt sprowada się do: cos sin cos sin Uasadnienie powżsch worów opiera się na prostm prekstałceni trgonometrcnm:
sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos r r r r r r gdie: sin cos r r W końc otrmjem: sin cos sin cos
.4. Współrędne jednorodne homogeneos coordinates W poprednim wkładie ostało wprowadone pojęcie współrędnch jednorodnch, w którch dokonwane są transformacje obiektów. Koncepcja ta ma na cel proscenie i jednolicenie procedr transformacji pnkt widenia sbkości i łatwości wkonwania potrebnch obliceń pre kompter. Jednak sama koncepcja wcale nie jest nowa ostała opracowana pre Agsta Ferdnanda Möbisa 79-868. Założenie polega na prekstałceni współrędnch pnkt do wektora:, [ ], [ ] ora posłżeni się macierą transformacji: [ ] [ m m ] m m m 3 m3 w której element m ij stanowią o rodaj transformacji elementarnej. Tak więc we współrędnch jednorodnch operacje opisane powżej wglądają następjąco:
Presnięcie i macier presnięcia, t t t t T, ] [ ] [ t t T Zmiana skali i macier mian skali, s s s s S, ] [ ] [ s s S Obrót wokół pocątk kład współrędnch i macier obrot cos sin sin cos R ] [ ] [ R
Składanie transformacji Dowolna transformacja może ostać astąpiona łożeniem odpowiednich transformacji prostch elementarnch. Poniżej apreentowane są prkład rokładania łożonch transformacji i bdowania końcowej postaci macier transformacji. Obrót i skalowanie Należ wkonać obrót obiekt wokół pnkt c, c pr równocesnm dwkrotnm pomniejseni:
Dokonjem rołożenia tej skomplikowanej transformacji na: I. Presnięcie obiekt ab pnkt c, c nalał się w pocątk kład współrędnch, : p [ ] p [ ] p p T c, c
II. Preskalowanie obiekt godnie s =s =½:,, c c s s S T p p III. Obrót obiekt wokół pocątk kład współrędnch o kąt φ:,, R s s S T p p c c
IV. Presnięcie obiekt, tak ab pnkt, nalał się w c, c :,,, c c c c T R s s S T p p Po dokonani powżsch operacji widać, że transformację można wraić a pomocą macier transformacji M:,,, c c c c T R s s S T M pr cm M ma postać: 3 3 m m m m m m M
a prekstałcenie wgląda następjąco: [ ] [ ] M Efektwnie oblicenie nowch współrędnch pnkt sprowadają się do 4 dodawań i 4 mnożeń miennoprecinkowch. Jest to niewkle mał kost obliceniow. Odbicie lstrane [ ] [ ]
Ścinanie shear [ ] [ ] SH
3. Transformacje 3D Podobnie jak w prestreni -wmiarowej, dla prestreni 3-wmiarowej definijem transformacje elementarne: presnięcie, miana skali, obrót wokół dowolnej osi współrędnch. Także ttaj łożone transformacje opisje się jako łożenie transformacji elementarnch. 3. Współrędne jednorodne Wkorstwane w grafice 3D współrędne jednorodne wględniają 3 osie współrędnch:,, [,, [ Robdowani lega także macier transformacji, jednak wciąż achowje wmiar, co jest bardo istotne pnkt widenia łożoności arówno obliceń wkonwanch pre kompter jak i kod tworonego pre programistę: ] ]
[ M m m m m 3 4 ] [ m m m m 3 4 m m m m 3 3 33 43 m m m m 4 4 34 44 ] M 3.. Transformacje elementarne Zasada dokonwania transformacji elementarnch jest analogicna jak w prestreni -wmiarowej, dlatego nie będą one ttaj ponownie ropatrwane. Istotne są natomiast odpowiadające im maciere transformacji. Presnięcie T t, t, t t t t
Skalowanie,, s s s s s s S Obrót wględem osi cos sin sin cos R Obrót wględem osi cos sin sin cos R
Obrót wględem osi R cos sin sin cos 3.3 Składanie prekstałceń Metodka składania prekstałceń jest identcna jak w prpadk transformacji D. Poniżej ostał amiescon prkład takich operacji w prestreni 3D. Transformacja polega na obrocie obiekt wokół osi określonej pre parę pnktów,, ora,, o kąt Θ:
Wkonanie transformacji sprowada się do wnacenia macier transformacji M.
Rachnek wektorow Wgodnie jest w tm cel posłżć się rachnkiem wektorowm wra jego podstawowmi pojęciami: wektor: v dłgość wektora: v sma wektorów: v v, v v ilocn skalarn: v v v v v cos v
ilocn wektorow: v v det v v v v sin Repreentacja osi obrot Wgodnie jest oś obrot predstawić a pomocą jej wektora stcnego. Taki wektor bardo łatwo następnie rołożć na wersor repreentjące obrot składowe wględem poscególnch osi kład:
Zakładając, że wektor jest acepion w,, będie miał postać: v v v c b a ] [ gdie: v Konsekwencją jest normaliowanie wektora :
Kied posiadam jż wektor repreentjąc oś obrot, msim wkonać następjące kroki mające na cel możliwienie wkonania transformacji elementarnch:. Presnięcie osi i obiekt tak, ab oś prechodiła pre pocątek kład współrędnch.. Obrócenie osi i obiekt tak, ab oś stała się współliniowa jedną osi kład np. Z: a położenie osi na płascźnie b obrót wokół osi. 3. Obrót obiekt wokół osi obrot o kąt Θ. 4. Transformacja odwrotna do transformacji pnkt. 5. Transformacja odwrotna do transformacji pnkt.
ad. : Pocątek wektora ostał presnięt,, do,, :,, T ad. a: ] [ ] [ ] [ c b c b a
Położenie wektora na płascnę jest równonacne obrotem go o kąt α. Można go wnacć do macier obrot potrebjem wartości jego sinsa i cosinsa ilocn skalarnego i wektorowego: c c b Z drgiej stron: cos pr cm: d c b ora W końc otrmjem: d c cos b c b det podobnie: sin sin d Z cego wnika: d b sin Otrmjem macier obrot:
cos sin sin cos d c d b d b d c R ad. b: ] [ d a położon poprednio na płascnę wektor ] [ d położn poprednio na oś wektor ] [ wersor osi
Podobnie jak poprednio potrebjem wnacć do macier obrot sinβ i cosβ: d d a Z drgiej stron: cos pr cm: c b a c b a d a ora W końc otrmjem: cos det a d a podobnie: sin sin Z cego wnika: a sin
Do położenia osi obrot na oś stosjem macier: cos sin sin cos d a a d R ad. 3: Do obrot obiekt wokół osi o kąt Θ wkorstjem macier: cos sin sin cos R ad. 4: Transformacja odwrotna do transformacji krok opiera się na macier: R R
ad. 5: Transformacja odwrotna do transformacji krok sprowada się do:,,, T Macier będąca końcowm efektem transformacji obiekt wokół osi obrot:,,,,,, T R R R R R T