Poltechnk Gdńsk Wydzł Elektrotechnk Automtyk Ktedr Inżyner Systemów Sterown Teor sterown Podstwy lgebry mcerzy Mterły pomocncze do ćwczeń lbortoryjnych 1 Część 3 Oprcowne: Kzmerz Duznkewcz, dr hb. nż. Mchł Grochowsk, dr nż. Robert Potrowsk, dr nż. Gdńsk
Wprowdzene Mcerzą nzywmy funkcję dwóch zmennych, któr kżdej prze lczb nturlnych, j, 1,2,...,n; j 1,2,...,m przyporządkowuje dokłdne jeden element, który może być lczbą rzeczywstą lub zespoloną, opertorem (np. różnczkown, cłkown) lub welomnem. Ogóln postć mcerzy dn jest wzorem: A 11 1m 21 2m n1 nm (1) Wymrm mcerzy (1) nzywmy uporządkowną prę lczby werszy ( n ) kolumn ( m ) oznczmy przez nm. Mcerz, w której lczb werszy jest różn od lczby kolumn ( n m) nzywmy mcerzą prostokątną. W przypdku, gdy lczb werszy jest równ lczbe kolumn ( n m) to mmy do czynen z mcerzą kwdrtową. Mcerz kwdrtową, której wszystke elementy leżące poz główną przekątną są równe zero ( 0dl j ) nzywmy mcerzą dgonlną: 11 0 0 0 22 0 D 0 nn (2) Mcerz dgonln może być zpsn w nstępujący sposób: D dg 11, 22,, nn (3) Szczególnym przypdkem mcerzy dgonlnej jest mcerz sklrn, której elementy n głównej przekątnej mją tą smą wrtość ( dl 1,2,...,n ): 0 0 0 0 S 0 (4)
Szczególnym przypdkem mcerzy sklrnej jest mcerz jednostkow, w której wszystke elementy n głównej przekątnej są jednoścm: 1 0 0 0 1 0 I (5) 0 1 Podstwowe opercje n mcerzch Nech mcerze A B są postc: 11 1m b11 b1m 21 2m b21 b2m A ; B n1 nm bn1 bnm (6) Sumą (różncą) mcerzy A B (mcerze muszą być jednkowych wymrów) nzywmy mcerz K [ k ], której elementy są sumą (różncą) odpowednch elementów mcerzy dodwnych lub odejmownych: K A B k b ; 1,...,n; j 1,...,m (7) ZADANIE 1 Wyznczyć sumę nstępujących mcerzy: 1 3 4 7 3 2 A ; B 5 2 2 2 1 6 (8) Rozwązne Dokonując oblczeń uzyskujemy: 1 7 3 3 2 4 8 0 6 K A B 5 2 2 1 2 63 3 4 (9)
Sum mcerzy jest opercją łączną przemenną: A ( B C) ( A B) C A B B A orz stneje mcerz zerow (0 nm ), któr jest elementem neutrlnym dodwn: A 0nm A Iloczynem mcerzy A B nzywmy mcerz R równą: r11 r1m r21 r2m R AB rn1 rnm (10) której elementy są określone zleżnoścą: r n b (11) k kj k1 Mnożene mcerzy A przez mcerz B jest wykonywlne wtedy tylko wtedy, gdy lczb kolumn mcerzy A (mnożonej) jest równ lczbe werszy mcerzy B (mnożnk). Gdy wrunek ten ne jest spełnony to mnożene mcerzy A przez B ne jest wykonlne. Dltego też w ogólnośc mnożene mcerzy ne jest przemenne. ZADANIE 2 Znleźć loczyn lczby p przez mcerz A: 7 3 2 p 2 ; A 2 1 6 (12) Rozwązne Po oblczench otrzymujemy: 2 7 2 3 2 214 6 4 p A 2 2 2 1 2 6 4 2 12 (13)
ZADANIE 3 Wyznczyć loczyn nstępujących mcerzy: A 1 2 4 2 1 ; B 5 4 5 2 1 1 2 (14) Rozwązne Dokonując oblczeń mmy: 1 2 2 5 4 1 11 2 4 4 216 17 R AB 5 2 2 5 1 1 5 1 2 4 1 221 15 (15) Mcerzą trnsponowną A T (lub A ) mcerzy A o wymrch nm nzywmy mcerz o wymrch mn otrzymną w wynku zmny werszy n kolumny, czyl przez zstąpene elementu mcerzy A elementem ( A T [ ] ):... A... n1... 11 1m 21 2m nm (16) A T 1m 11 21 n1 12 22 n2 nn (17) Obowązują nstępujące prw: A B A B T T T T T p A p A AB B A T T T
Wyzncznk mcerzy kwdrtowej A oznczmy jko det A (lub jko A ) oblczmy n podstwe nstępującego wzoru: rozwnęce względem -tego wersz: n j j1 lub rozwnęce względem j-tej kolumny: det A 1 det A (18) n j j1 det A 1 det A (18b) gdze det A jest wyzncznkem mcerzy powstłej przez wykreślene -tego wersz j-tej kolumny. W ogólnym przypdku oblczene wyzncznk może odbywć sę poprzez wykreślene dowolnego wersz dowolnej kolumny. ZADANIE 4 Oblczyć wyzncznk nstępujących mcerzy: 10 1 5 3 3 2 5 3 1 4 2 11 8 A ; B 1 1 2 ; C 2 5 3 5 1 4 2 0 0 2 7 6 3 (19) Rozwązne Wyzncznk mcerzy A: det A3 5 12 13 (20) Wyzncznk mcerzy B: B det 3 10 10 5 2 2 2 5 12 2 0 3 0 2 1 2 (21) Wyzncznk mcerzy C: Skreśljąc np. perwszy wersz kolejno perwszą, drugą, trzecą czwrtą kolumnę oblczmy poszczególne wyzncznk:
2 11 8 4 11 8 C 5 1 4 727 ; C 3 1 4 431 ; 11 12 7 6 3 2 6 3 4 2 8 4 2 11 C 3 5 4 294 ; C 3 5 1 67 13 14 2 7 3 2 7 6 (22) Rozwjąc mcerz C według elementów perwszego wersz mmy: C 11 12 13 14 det 1 c C 1 c C 1 c C 1 c C 11 11 12 12 13 13 14 14 1 10 727 1 1 431 1 5 294 1 3 67 6432 (23) Mcerz kwdrtową A nzywmy mcerzą neosoblwą (regulrną) wtedy tylko wtedy, gdy jej wyzncznk jest nezerowy ( det A 0 ). W przypdku, gdy wyzncznk mcerzy jest równy zero ( det A 0 ) to tką mcerz kwdrtową nzywmy mcerzą osoblwą. Mcerz dołączon A dj mcerzy kwdrtowej A jest to mcerz powstł przez zstąpene kżdego elementu mcerzy trnsponownej A T odpowdjącym temu elementow jego dopełnenem lgebrcznym opsnym wzorem: j D ( 1) D (24) gdze D jest mnorem mcerzy A T tzn. wyzncznkem mcerzy powstłej przez wykreślene z mcerzy A T -tego wersz j-tej kolumny. Mnorem D stopn ( n1) mcerzy kwdrtowej A stopn n nzywmy wyzncznk mcerzy powstłej z mcerzy A przez usunęce -tego wersz orz j-tej kolumny.
ZADANIE 5 Wyznczyć mcerz dołączoną nstępującej mcerzy: 1 2 3 A 2 4 5 3 5 6 (25) Rozwązne Dokonując oblczeń mmy: 4 5 2 5 2 4 D11 1 ; D12 3 ; D13 2 5 6 3 6 3 5 2 3 1 3 1 2 D 21 3 ; D 22 3 ; D 23 1 5 6 3 6 3 5 2 3 1 3 1 2 D 31 2 ; D 32 1 ; D 33 0 4 5 2 5 2 4 (26) D 11 D12 D13 1 3 21 3 2 T D D21 D22 D23 3 3 1 ; Adj D 3 3 1 D 31 D32 D33 2 1 0 2 1 0 Mcerzą odwrotną A -1 postc: mcerzy kwdrtowej A stopn n nzywmy mcerz Α 1 1 det A A dj (27) UWAGA: Przypdek szczególny, dl mcerzy kwdrtowej wymru 2 zchodz: A 1 21 22 det A 21 11 11 12 1 ; A 22 12 (28)
ZADANIE 6 Oblczyć mcerz odwrotną dl nstępujących mcerzy: A 4 2 1 2 3 ; B 2 4 5 3 1 3 5 6 (29) Rozwązne Dl mcerzy A mmy: det A 2 ; 1 1 1 20,5 1 det A 21 11 2 3 4 1,5 2 1 22 12 A (30) Dl mcerzy B uzyskujemy: B 1 3 2 D det Β 1; B 3 3 1 2 1 0 1 3 2 1 3 2 1 1 B B 3 3 1 3 3 1 det 1 2 1 0 2 1 0 1 D (31) Rzędem mcerzy nzywmy njwyższy stopeń nezerowego mnor tej mcerzy. Jeżel mcerz A m wymr nm rząd tej mcerzy spełn wrunek: rząd A mn(n,m) (32) ZADANIE 7 Znleźć rząd nstępujących mcerzy: 4 0 2 3 1 A 0 2 ; B 4 6 2 3 0 (33)
Rozwązne Dl mcerzy A otrzymujemy: 4 0 0 2 8 0 ; rząd A 2 (34) Dl mcerzy B mmy: 2 3 3 1 2 1 0 ; 0 ; 0 ; rząd B 1 4 6 6 2 4 2 (35) Mcerzą sprzężoną wymrch elementem, gdze A mcerzy o wymrch nm nzywmy mcerz o mn otrzymną w wynku zstąpen elementu mcerzy A jest elementem sprzężonym względem A. [ ] (36) Algorytm wyznczn mcerzy sprzężonej jest nstępujący: 1. Wyznczyć mcerz trnsponowną A T. 2. Zstąpć kżdy element mcerzy trnsponownej elementem sprzężonym. ZADANIE 8 Wyznczyć mcerz sprzężoną dl nstępującej mcerzy: 1 j 2 j j3 A j4 2 j2 3 j4 2 j3 4 j3 1 (37) Rozwązne Krok 1 Wyznczmy mcerz trnsponowną: 1 j j4 2 j3 A T 2 j 2 j2 4 j3 j3 3 j4 1 (38)
Krok 2 Zstępujemy kżdy element tej mcerzy elementem sprzężonym: A 1 j j4 2 j3 2 j 2 j2 4 j3 j3 3 j4 1 (39) Welomnem chrkterystycznym mcerzy kwdrtowej A stopn n nzywmy welomn postc: równne: ( ) det nzywmy równnem chrkterystycznym mcerzy A. A I (40) ( ) 0 (41) Wrtoścm włsnym mcerzy kwdrtowej A nzywmy perwstk ( 1, 2,..., n ) jej równn chrkterystycznego. Zbór wrtośc włsnych 1, 2,..., n nzywmy wdmem tej mcerzy. Podstwowe włsnośc wrtośc włsnych: Jeżel wszystke współczynnk mcerzy A są rzeczywste, to jej wrtośc włsne są rzeczywste lub zespolone prm sprzężone. Jeżel 1, 2,..., n są wrtoścm włsnym mcerzy A to są równeż wrtoścm włsnym mcerzy A T. Jeżel 1, 2,..., n są wrtoścm włsnym mcerzy A (mcerz t ne jest mcerzą jednostkową) to A -1. 1 1 1,,..., 1 2 n są wrtoścm włsnym mcerzy ZADANIE 9 Wyznczyć welomn chrkterystyczny wrtośc włsne mcerzy postc: 2 1 A 1 3 (42)
Rozwązne N podstwe zleżnośc (40) welomn chrkterystyczny wynos: 2 1 02 1 ( ) det A I 1 3 0 1 3 2 3 1 5 7 2 (43) Ztem zgodne z (41) oblczmy wrtośc włsne: 2 5 7 0 5 j 3 5 j 3 25 28 3 ; j 3 ; 1 ; 1 2 2 (44) Prwostronnym wektorem włsnym nleżącym do wrtośc włsnej mcerzy kwdrtowej A stopn n nzywmy nezerowy n wymrowy wektor kolumnowy x, który jest rozwąznem równn: A I x 0 ; 1,...,n (45) Lewostronnym wektorem włsnym nleżącym do wrtośc włsnej mcerzy kwdrtowej A stopn n nzywmy nezerowy n wymrowy wektor werszowy T y, który jest rozwąznem równn: T y A I 0 ; 1,...,n (46) Prwostronne lewostronne wektory włsne nzywne są często po prostu wektorm włsnym. Twerdzene 1 Kżd nezerow kolumn (wersz) mcerzy dołączonej A I jest prwostronnym (lewostronnym) wektorem włsnym nleżącym do wrtośc włsnej mcerzy A. dj
Bblogrf Bnszk G., Gjd W. (2002). Elementy lgebry lnowej. Część 1. Pństwowe Wydwnctwo Nukowe. Trnwsk E. (1967). Mtemtyk. Część perwsz. Pństwowe Wydwnctwo Nukowe. Trjdos-Wróbel T. (1965). Mtemtyk dl nżynerów. Kurs wyższy. Wydwnctw Nukowo Technczne.