Klucz odpowiedzi do zada zamknitych i schemat oceniania zada otwartych Klucz odpowiedzi do zada zamknitych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Schemat oceniania zada otwartych Zadanie. (pkt) Rozwi nierówno Rozwizanie x + x 0. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + x rozkładajc go na czynniki liniowe x + x = x x 4. Std x = 0, x =. 4 Moemy równie obliczy pierwiastki wykorzystujc wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas = 4 ( ) 0 =, =, 4 + x = =, x = = 0 4 ( ) ( ) Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y = x + x, y 0 x 4 _ z którego odczytujemy zbiór rozwiza rozwizywanej nierównoci x 0,. 4 Odpowied: x 0,. 4 Strona z 6
Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 0, x = i na tym 4 poprzestanie lub błdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci rozłoy trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie 4 lub błdnie zapisze zbiór rozwiza nierównoci zapisze nierówno w postaci równowanej x i na tym poprzestanie lub błdnie 8 8 zapisze zbiór rozwiza nierównoci popełni błd rachunkowy przy obliczaniu wyrónika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa róne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błdu rozwie nierówno błdnie przekształci nierówno do postaci równowanej, np. zapisze x + 8 8 i konsekwentnie do popełnionego błdu rozwie nierówno. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiza nierównoci: 0, lub x 0, lub ( x 0 i x ) 4 4 4 sporzdzi ilustracj geometryczn (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiza nierównoci w postaci: x 0, x 4 poda zbiór rozwiza nierównoci w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi kocami przedziałów. 0 x 4 Zadanie. ( pkt), 4 C =, s wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej Punkty A = ( ) i ( ) zawierajcej przektn BD tego kwadratu. Rozwizanie Przektne kwadratu s prostopadłe i połowi si, wic prosta BD jest prostopadła do prostej AC i przechodzi przez rodek S odcinka AC. Współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy 4 a AC = =, 4 ( ) wic współczynnik kierunkowy prostej BD jest równy Strona z 6
abd = = 4. aac rodek S odcinka AC ma współrzdne xa + xc ya + yc + 4 + 7 S =, =, =,. Zatem prosta BD ma równanie postaci 7 5 y = 4( x ( ) ) +, czyli y = 4x +. 5 Odpowied: Prosta BD ma równanie postaci y = 4x +. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy: obliczy współrzdne rodka odcinka AC i współczynnik kierunkowy prostej AC: 7 S =,, a AC = 4 obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC i współczynnik kierunkowy prostej BD: a AC =, a BD = 4 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błdy. Zdajcy otrzymuje... pkt 5 gdy wyznaczy równanie prostej BD: y = 4x +. Zadanie. (pkt) Kty ostre α i β trójkta prostoktnego spełniaj warunek Wyznacz miar kta α. Rozwizanie Poniewa β = 90 α, wic sin β = sin ( 90 α ) = cosα. Zatem równo α + β + α = moemy zapisa w postaci sin sin tg 4 sin α + cos α + tg α = 4. Std i z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy + tg α = 4, tg α =, wic tgα =, gdy α jest ktem ostrym. Std α = 60. Odpowied: Miara kta α jest równa 60. α + β + α =. sin sin tg 4 Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy warto kwadratu tangensa kta α i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błdy: tg α =. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy obliczy miar kta α : α = 60. Strona z 6
Zadanie 4. (pkt) Udowodnij, e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówno x + xy + y x + y 4. Dowód (I sposób) Nierówno moemy zapisa w postaci równowanej x + xy + y x y + 4 0, ( ) x y x y y + + + 4 0. Moemy potraktowa t nierówno jak nierówno kwadratow z niewiadom x. Poniewa współczynnik przy x jest dodatni, wic wystarczy wykaza, e wyrónik trójmianu stojcego po lewej stronie nierównoci jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej y, czyli 0, Obliczmy wyrónik trójmianu ( y ) ( y y ) 4 + 4 0, y y y y 4 + 4 4 + 8 6 0, y y + y y + 4 0. 4 ( ) ( ) y = 4 4 = 4 4 = 8. Poniewa wyrónik ten jest ujemny i współczynnik przy y jest ujemny, wic nierówno jest prawdziwa dla kadej liczby rzeczywistej y. To koczy dowód. Dowód (II sposób) Nierówno moemy zapisa w postaci równowanej x + xy + y x y + 4 0. Mnoc obie strony nierównoci przez otrzymujemy x + xy + y 4x 4y + 8 0. T nierówno moemy zapisa w postaci równowanej x + x + xy + y + y 4x 4y + 8 0, x xy y x x y y + + + 4 + 4 + 4 + 4 0, ( x y) ( x ) ( y ) + + + 0. Ta nierówno jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, gdy kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a suma trzech liczb nieujemnych jest nieujemna. To koczy dowód. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy x + y x + y y + 4 0 i potraktuje t zapisze nierówno w postaci równowanej ( ) nierówno jak nierówno kwadratow z niewiadom x, np. zapisze wyrónik ( y ) 4 ( y y 4) = + zapisze nierówno w postaci równowanej ( x y) ( x ) ( y ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błdy. + + + 0 Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Strona 4 z 6
Zadanie 5. (pkt) Rozwi równanie x + x + 4x + 6 = 0. I sposób rozwizania (grupowanie wyrazów) x x x 0 Stosujemy metod grupowania ( ) ( ) skd wynika, e ( x )( x ) Schemat oceniania + + + = x ( x ) ( x ) + + = 0, a std otrzymujemy x =. + + + = 0, Zdajcy otrzymuje... pkt gdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo mona doprowadzi do postaci iloczynowej, x x x 0 x x + + x + = 0 i na tym poprzestanie lub dalej + + + = lub ( ) ( ) np.: ( ) ( ) popełnia błdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy otrzyma rozwizanie x =. II sposób rozwizania (dzielenie) Oznaczmy W ( x) = x + x + 4x + 6. Sprawdzamy, e ( ) ( ) ( ) ( ) W = + + 4 + 6= 0, wic jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x =. Dzielimy wielomian przez dwumian x + i otrzymujemy x + 4. Zapisujemy wic równanie w postaci ( x ) ( x ) + + 4 = 0. Poniewa rzeczywistym rozwizaniem równania jest x =. Schemat oceniania II sposobu rozwizania x + 4 > 0 dla kadej liczby rzeczywistej x, wic jedynym Zdajcy otrzymuje... pkt gdy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x +, otrzyma iloraz x + 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy otrzyma rozwizanie x =. Zadanie 6. (pkt) Na odcinku AB wybrano punkt C, a nastpnie zbudowano trójkty równoboczne ACD i CBE tak, e wierzchołki D i E le po tej samej stronie prostej AB. Okrgi opisane na tych trójktach przecinaj si w punktach C i P (zobacz rysunek). E D P A C B Udowodnij, e miara kta APB jest równa 0. Strona 5 z 6
Dowód Poprowadmy odcinek CP. D P E A C B Kty ADC i APC to kty wpisane w okrg oparte na tym samym łuku AC, wic kty te maj równe miary. Miara kta ADC jest równa 60, gdy jest to kt trójkta równobocznego, wic APC = 60. Tak samo kty CEB i CPB to kty wpisane w okrg oparte na tym samym łuku CB, wic maj równe miary. Miara kta CEB jest równa 60, gdy jest to kt trójkta równobocznego, wic CPB = 60. Zatem APB = APC + CPB = 60 + 60 = 0, co naleało udowodni. Schemat oceniania Zdajcy otrzymuje... pkt gdy zauway, e kty ADC i APC to kty wpisane w okrg oparte na tym samym łuku AC lub kty CEB i CPB to kty wpisane w okrg oparte na tym samym łuku CB i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błdy. Zdajcy otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. (4pkt) Promie okrgu opisanego na trójkcie prostoktnym jest równy 5. Jedna z przyprostoktnych tego trójkta jest o 4 dłusza od drugiej przyprostoktnej. Oblicz wysoko tego trójkta opuszczon na przeciwprostoktn. Rozwizanie Poniewa trójkt jest prostoktny, wic jego przeciwprostoktna jest rednic okrgu opisanego na tym trójkcie. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. C h a A 5 S D B Zatem AB = 4 5, BC = a, AC = a + 4. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy Strona 6 z 6
Std mamy AB AC BC = +, czyli ( 4 5) ( a 4) 6 5 = a + 8a + 6 + a, a + 8a 4 6 = 0, a + 4a = 0. = 4 4 = 44, =, ( ) = + + a. 4 4 + a = = 8 lub a = = 4. Pierwsze z rozwiza odrzucamy (długo boku trójkta nie moe by ujemna), wic BC = 4 oraz AC = 4 + 4 = 8. Poniewa trójkty ACD i ABC s prostoktne i maj wspólny kt ostry przy wierzchołku A, wic s podobne (cecha kt-kt-kt podobiestwa trójktów). Wynika std CD BC h 4 =, czyli =. AC AB 8 4 5 Zatem h = 8 8 5 5 = 5. Odpowied: Wysoko trójkta opuszczona na przeciwprostoktn jest równa 8 5 5. Schemat oceniania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Zdajcy zapisze równanie (lub układ równa) pozwalajce obliczy długo jednej z przyprostoktnych trójkta, np.: ( 4 5) ( a 4) = + + a. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zdajcy obliczy długo jednej z przyprostoktnych trójkta: BC = 4. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zdajcy zapisze równanie lub układ równa pozwalajcy obliczy wysoko trójkta h 4 opuszczon na przeciwprostoktn, np.: =. 8 4 5 Rozwizanie pełne...4 pkt 8 5 Zdajcy obliczy wysoko trójkta opuszczon na przeciwprostoktn: h =. 5 Zadanie 8. (4 pkt) W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od do 8, przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez jest równa s białe, a pozostałe kule s czarne. Losujemy z pojemnika jednoczenie dwie kule. Oblicz prawdopodobiestwo zdarzenia polegajcego na tym, e wylosujemy kule rónych kolorów, których iloczyn numerów bdzie wikszy od 6 i nie wikszy od 5. Strona 7 z 6
I sposób rozwizania (klasyczna definicja prawdopodobiestwa - cigi) Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie pary ( x, y ) rónych liczb naturalnych ze zbioru {,,, 4,5,6,7,8}. Zdarzenia jednoelementowe s równoprawdopodobne. Liczba wszystkich zdarze elementarnych jest równa Ω = 8 7 = 56. Mamy wic do czynienia z modelem klasycznym. Sporód liczb ze zbioru {,,, 4,5,6,7,8} reszt z dzielenia przez równ daj trzy liczby:, 4, 7. Zatem kule z tymi numerami s białe, a pozostałe kule s czarne. Mamy wic nastpujce kule:,,,,,,,. Oznaczamy przez A zdarzenie polegajce na tym, e wylosujemy kule rónych kolorów, których iloczyn numerów bdzie wikszy od 6 i nie wikszy od 5. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A: (,), (,), (,), (,), (,), (,),(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,),(,), (,), 8 9 Zatem A = 8 i P ( A ) = =. 8 7 8 Odpowied: Prawdopodobiestwo zdarzenia polegajcego na tym, e wylosujemy kule rónych kolorów, których iloczyn numerów bdzie wikszy od 6 i nie wikszy od 5 jest równe 9 8. Uwaga Moemy zilustrowa zbiór wszystkich zdarzenia elementarnych w tabeli 8 na 8 oraz zaznaczy pola sprzyjajce zdarzeniu A. X X X X X X X X X X X X X X X X X X Moemy równie potraktowa zdarzenie elementarne jak punkt w prostoktnym układzie współrzdnych na płaszczynie i wyróni te punkty, które odpowiadaj zdarzeniom elementarnym sprzyjajcym zdarzeniu A. y 0 x y Strona 8 z 6 0 x
Prawdopodobiestwo zdarzenia A jest zatem równe A 8 9 P ( A ) = = =. Ω 56 8 Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Zdajcy zapisze liczb wszystkich zdarze elementarnych: Ω = 8 7 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A i spełniajce dwa sporód trzech warunków: o kule s rónych kolorów o iloczyn numerów kul jest wikszy od 6 o iloczyn numerów kul jest nie wikszy od 5 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A zakładajc błdnie, e iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5, np.: (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), i na tym zakoczy lub dalej rozwizuje błdnie. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zdajcy zapisze liczb wszystkich zdarze elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A: Ω = 8 7, A={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)} i na tym zakoczy lub dalej rozwizuje błdnie. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zdajcy obliczy liczb wszystkich zdarze elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A i poda ich liczb: Ω = 56, A={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}, A = 8. Rozwizanie pełne...4 pkt Zdajcy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A: ( ) Strona 9 z 6 9 P A =. 8 Uwagi. Jeli zdajcy rozwie zadanie do koca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeli zdajcy błdnie załoy, e iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwie zadanie do koca, to otrzymuje punkty.. Jeli zdajcy przyjmie błdnie, e wszystkie liczby ze zbioru {,,, 4,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez daj reszt to 4 i 7 i konsekwentnie rozwie zadanie do koca, to otrzymuje punkty.
II sposób rozwizania (klasyczna definicja prawdopodobiestwa - zbiory) x, y złoone z dwóch liczb naturalnych ze Zdarzeniami elementarnymi s wszystkie zbiory { } zbioru {,,, 4,5,6,7,8}. Zdarzenia jednoelementowe s równoprawdopodobne. Liczba 8 7 wszystkich zdarze elementarnych jest równa Ω = = 8. Mamy wic do czynienia z modelem klasycznym. Sporód liczb ze zbioru {,,, 4,5,6,7,8} reszt z dzielenia przez równ daj trzy liczby:, 4, 7. Zatem kule z tymi numerami s białe, a pozostałe kule s czarne. Mamy wic nastpujce kule:,,,,,,,. Oznaczamy przez A zdarzenie polegajce na tym, e wylosujemy kule rónych kolorów, których iloczyn numerów bdzie wikszy od 6 i nie wikszy od 5. Wypiszmy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A: {,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}, 9 Zatem A = 9 i P ( A ) =. 8 Odpowied: Prawdopodobiestwo zdarzenia polegajcego na tym, e wylosujemy kule rónych kolorów, których iloczyn numerów bdzie wikszy od 6 i nie wikszy od 5 jest równe 9 8. Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Zdajcy 8 7 zapisze liczb wszystkich zdarze elementarnych: Ω = wypisze zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A i spełniajce dwa sporód trzech warunków: o kule s rónych kolorów o iloczyn numerów kul jest wikszy od 6 o iloczyn numerów kul jest nie wikszy od 5 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A zakładajc błdnie, e iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5, np.: {,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,} i na tym zakoczy lub dalej rozwizuje błdnie. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zdajcy zapisze liczb wszystkich zdarze elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia 8 7 elementarne sprzyjajce zdarzeniu A: Ω =, A={{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}}, i na tym zakoczy lub dalej rozwizuje błdnie. Strona 0 z 6
Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zdajcy obliczy liczb wszystkich zdarze elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjajce zdarzeniu A i poda ich liczb: Ω = 8, A = 9, A={{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}}. Rozwizanie pełne...4 pkt Zdajcy obliczy prawdopodobiestwo zdarzenia A: ( ) 9 P A =. 8 Uwagi. Jeli zdajcy rozwie zadanie do koca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeli zdajcy błdnie załoy, e iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwie zadanie do koca, to otrzymuje punkty.. Jeli zdajcy przyjmie błdnie, e wszystkie liczby ze zbioru {,,, 4,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez daj reszt to 4 i 7 i konsekwentnie rozwie zadanie do koca, to otrzymuje punkty. III sposób rozwizania (metoda drzewa) Narysujmy drzewo ilustrujce dowiadczenie losowe jakim jest losowanie kolejno dwóch kul, przy czym kul wylosowan za pierwszym razem odkładamy i drug kul losujemy z pozostałych siedmiu kul. Wystarczy narysowa tylko te gałzie drzewa, które odpowiadaj zdarzeniu A polegajcemu na tym, e wylosujemy kule rónych kolorów, których iloczyn numerów bdzie wikszy od 6 i nie wikszy od 5. Prawdopodobiestwo na kadym odcinku drzewa odpowiadajcym losowaniu pierwszej kuli jest równe, a na kadym odcinku 8 odpowiadajcym losowaniu drugiej kuli 7. 8 7 Prawdopodobiestwo zdarzenia A jest wic równe P ( A) = + + + + + + + + + + 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 9 + + + + + + + + = 8 =. 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 Schemat oceniania III sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwizania zadania... pkt Zdajcy narysuje drzewo i na tym zakoczy lub dalej rozwizuje błdnie. Strona z 6
Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zdajcy narysuje drzewo, zapisze prawdopodobiestwa na jego gałziach i na tym zakoczy lub dalej rozwizuje błdnie. Uwagi. Oceniamy rozwizanie na 0 punktów, gdy w dalszej czci rozwizania zdajcy dodaje prawdopodobiestwa wzdłu gałzi zamiast mnoy mnoy otrzymane iloczyny zamiast dodawa.. Jeeli zdajcy opisał prawdopodobiestwa tylko na istotnych gałziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudnoci zadania.. Jeeli zdajcy narysował drzewo składajce si tylko z istotnych gałzi i opisał prawdopodobiestwa na jego gałziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudnoci zadania. 4. Jeeli rozwizujcy popełni błd rachunkowy lub nieuwagi i na tym zakoczy, to otrzymuje punkty. Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zdajcy narysuje drzewo składajce si tylko z istotnych gałzi lub wskae na drzewie istotne gałzie (np. pogrubi gałzie lub zapisze prawdopodobiestwa tylko na istotnych gałziach) i zapisze prawdopodobiestwo na co najmniej jednym odcinku kadego poziomu drzewa. Rozwizanie pełne...4 pkt Zdajcy obliczy prawdopodobiestwo omawianego zdarzenia: 9 8 Uwagi. Jeli zdajcy rozwie zadanie do koca i otrzyma P ( A ) >, to otrzymuje 0 punktów.. Jeli zdajcy błdnie załoy, e iloczyn numerów kul jest mniejszy od 5 i konsekwentnie rozwie zadanie do koca, to otrzymuje punkty.. Jeli zdajcy przyjmie błdnie, e wszystkie liczby ze zbioru {,,, 4,5,6,7,8}, które przy dzieleniu przez daj reszt to 4 i 7 i konsekwentnie rozwie zadanie do koca, to otrzymuje punkty. Zadanie 9. (5pkt) Do zbiornika mona doprowadzi wod dwiema rurami. Czas napełniania zbiornika tylko pierwsz rur jest o 5 godzin i 0 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drug rur, natomiast 5 godzin trwa napełnienie tego zbiornika obiema rurami jednoczenie. Oblicz, w cigu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeli woda bdzie doprowadzana tylko pierwsz rur. Rozwizanie (I sposób) Niech V oznacza pojemno zbiornika w m, t czas, w godzinach, w cigu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z pierwszej rury, i niech p, p oznacza ilo wody w m, jak dostarcza odpowiednio pierwsza i druga rura w cigu jednej godziny. Wtedy V = p t. Czas napełniania zbiornika tylko druga rur jest równy t + 5,5 godziny, wic Strona z 6 ( ) V = p t + 5,5. Za pomoc obu rur napełnia si w cigu 5 godzin, wic V = p + p. ( ) 5
Porównujc prawe strony dwóch pierwszych równa mamy t + 5,5 p t = p ( t + 5,5), skd p = p. t Std, z drugiego i z trzeciego równania otrzymujemy t + 5,5 p ( t + 5,5) = p + p 5, t p t t + 5,5 = p t + 5, 5 + t 5, ( ) ( ) t t t ( ) ( ) t + 5,5 = 0 + 8,5, 4,5 t 8,5 = 0. = 4,5 4 8,5 = 90, 5, = 90, 5 = 0, 5, 4,5 0, 5 4,5 + 0,5 t = = lub t = = 7,5. Pierwsze z tych rozwiza odrzucamy, gdy czas napełniania zbiornika nie moe by ujemny. Odpowied: Pusty zbiornik zostanie napełniony w cigu 7 godzin i 0 minut, jeli woda bdzie doprowadzana tylko pierwsz rur. Schemat oceniania I sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwizania... pkt Zdajcy przyjmie oznaczenia i zapisze równania wynikajce z treci zadania, np.: V = p t, V = p ( t + 5,5), gdzie V oznacza pojemno zbiornika w m, p, p ilo wody w m, jak dostarcza do zbiornika odpowiednio pierwsza i druga rura w cigu jednej godziny. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zdajcy zapisze układu równa pozwalajcy obliczy czas, w cigu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeli woda bdzie doprowadzana tylko pierwsz rur, np.: V = p t V = p ( t + 5,5). V = ( p + p ) 5 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zdajcy doprowadzi układ do równania z jedn niewiadom, np.: t 4,5 t 8,5 = 0. Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)...4 pkt Zdajcy rozwie równanie t 4,5 t 8,5 = 0 i nie odrzuci rozwizania t = rozwie zadanie do koca z błdami rachunkowymi. Rozwizanie bezbłdne...5 pkt Zdajcy obliczy czas, w cigu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeli woda bdzie doprowadzana tylko pierwsz rur: 7,5 godziny. Rozwizanie (II sposób) Niech t oznacza czas, w godzinach, w cigu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z pierwszej rury. Wtedy czas, w cigu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z drugiej Strona z 6
rury jest równy t + 5, 5 godziny. W cigu jednej godziny z pierwszej rury wpływa t objtoci zbiornika, a z drugiej t + 5,5 objtoci zbiornika. Zatem w cigu jednej godziny z obu rur jednoczenie wpływa + objtoci zbiornika. Skoro zbiornik napełni si z obu rur t t + 5,5 w cigu 5 godzin, wic w cigu godziny napełnia si zbiornika. Otrzymujemy równanie 5 + =, t t + 5,5 5 ( ) ( ) ( t ) t t ( t ) 5 + 5,5 + 5 = + 5,5, t + + t = t + t, 5 8, 5 5 5,5 t 4,5t 8,5 = 0. = 4,5 4 8,5 = 90, 5, = 90, 5 = 0, 5, 4,5 0, 5 4,5 + 0,5 t = = lub t = = 7,5. Pierwsze z tych rozwiza odrzucamy, gdy czas napełniania zbiornika nie moe by ujemny. Odpowied: Pusty zbiornik zostanie napełniony w cigu 7 godzin i 0 minut, jeli woda bdzie doprowadzana tylko pierwsz rur. Schemat oceniania II sposobu rozwizania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwizania... pkt Zdajcy wprowadzi jako niewiadom czas, w cigu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z jednej z rur, np. z pierwszej, nastpnie zapisze w zalenoci od wprowadzonej zmiennej czas, w cigu którego zostanie napełniony zbiornik jedynie z drugiej rury oraz ustali jaka cz zbiornika jest napełniana w cigu jednej godziny z pierwszej rury lub z drugiej rury, lub z obu rur jednoczenie, np.: t czas, w godzinach, w cigu którego zbiornik zostanie napełniony tylko z pierwszej rury, cz zbiornika napełniana w cigu jednej godziny z pierwszej rury. t Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zdajcy zapisze równanie z jedn niewiadom, np.: + =. t t + 5,5 5 Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Zdajcy doprowadzi układ do równania kwadratowego z jedn niewiadom, np.: t 4,5 t 8,5 = 0. Rozwizanie zadania do koca lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)...4 pkt Zdajcy rozwie równanie t 4,5 t 8,5 = 0 i nie odrzuci rozwizania t = rozwie zadanie do koca z błdami rachunkowymi. Rozwizanie bezbłdne...5 pkt Zdajcy obliczy czas, w cigu którego pusty zbiornik zostanie napełniony, jeli woda bdzie doprowadzana tylko pierwsz rur: 7,5 godziny. Strona 4 z 6
Zadanie 0. (5pkt) Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworoktnego. Kada ciana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod ktem 5, a pole powierzchni ciany bocznej jest równe 550 m. Oblicz objto piramidy. Wynik zapisz w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczb całkowit. Rozwizanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zaznaczmy te kt α midzy cian boczn BCS ostrosłupa a płaszczyzn jego podstawy. S D h O h b α E C Pole ciany bocznej BCS jest równe 550, wic moemy zapisa równanie ph b = 550. Z trójkta prostoktnego OES otrzymujemy p cosα =. hb Std p hb =. cosα Podstawiajc to do pierwszego równania otrzymujemy wic p p = 550, cosα p = 4 550 cosα, p = 8600 cos5, p = 0 86 cos5. Ponownie z trójkta prostoktnego OES otrzymujemy tgα = h p Objto ostrosłupa jest zatem równa, skd h = p tgα = p tg 5. = = 8600 cos5 0 86 cos5 sin5 V p h A p B cos5 4000 = 86 cos5 sin5. Strona 5 z 6
Z tablic odczytujemy, e sin5 0,788 i cos5 0,657. Zatem 4000 86 0,657 0,788 608077,,608 0 6 V m. Odpowied: Objto Piramidy Cheopsa jest równa około 6,608 0 m. Schemat oceniania Rozwizanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwizania... pkt Zapisanie jednego z równa: p ph b = 550, cos5 =, gdzie p oznacza długo hb krawdzi podstawy ostrosłupa, za h b wysokociany bocznej ostrosłupa. Rozwizanie, w którym jest istotny postp... pkt Zapisanie układu równa pozwalajcego obliczy długo krawdzi podstawy ostrosłupa oraz wysoko ostrosłupa: p ph b = 550 oraz cos5 =. hb Pokonanie zasadniczych trudnoci zadania... pkt Obliczenie długoci krawdzi podstawy ostrosłupa lub kwadratu tej długoci: p = 0 86 cos 5 0,765, p = 8600 cos 5 507,4. Rozwizanie zadania do koca, lecz z usterkami, które jednak nie przekrelaj poprawnoci rozwizania (np. błdy rachunkowe)...4 pkt Obliczenie wysokoci ostrosłupa i na tym poprzestanie lub dalsze rozwizanie błdne: h = p tgα = p tg 5 47, 44 obliczenie objtoci ostrosłupa z błdami rachunkowymi i konsekwentne zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczb całkowit obliczenie objtoci ostrosłupa i nie zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest liczb całkowit. Rozwizanie bezbłdne...5 pkt Obliczenie objtoci ostrosłupa i zapisanie wyniku w postaci a 0 k, gdzie a < 0 i k jest 6 liczb całkowit:,608 0 m Uwagi. Jeeli zdajcy wyrazi objto w innych jednostkach ni m, to musi konsekwentnie poda 9 wynik kocowy, np.,608 0 dm.. Zdajcy moe przyj dowolne przyblienie liczby a z dokładnoci do jednego lub wicej miejsc po przecinku. Strona 6 z 6