Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2. Funkcja i jej własności Niech X, Y będą zbiorami. Każdy podzbiór R X Y nazywamy relacją. Relację f X Y nazywamy funkcją, jeśli są spełnione następujące dwa warunki: f : X Y, y = f(x) D f dziedzina funkcji f x X y Y (x, y) f, ( x X y,y Y (x, y) f (x, y ) f = y = y ). Zbiór wartości funkcji f to zbiór tych elementów y Y, dla których istnieje x X takie, że y = f(x). Miejsce zerowe Miejsce zerowe funkcji y = f(x) to każda wartość argumentu x, dla której wartość funkcji równa się zero. Do wyznaczenia miejsca zerowego funkcji rozwiązujemy równanie f(x) = 0, gdzie x D f. Równość funkcji Dwie funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy: D f = D g = D, dla każdego x D f(x) = g(x). Monotoniczność funkcji Niech f : X Y. Funkcję f nazywamy silnie rosnącą w zbiorze A X, jeśli x1,x 2 A (x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 )). Funkcję f nazywamy silnie malejącą w zbiorze A X, jeśli x1,x 2 A (x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 )). Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A X, jeśli x1,x 2 A (x 1 < tx 2 = f(x 1 ) f(x 2 )). Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A X, jeśli x1,x 2 A (x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )). Funkcję f nazywamy stałą w zbiorze A X, jeśli c Y x A f(x) = c. Funkcja różnowartościowa Funkcję f : X Y nazywamy funkcją różnowartościową (iniekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy każdej parze różnych argumentów przyporządkowuje różne wartości funkcji, tzn. x1,x 2 X (x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )). 4
Funkcja na Funkcję f : X Y nazywamy funkcją na (surjekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y Y istnieje x X taki, że y = f(x). Funkcja wzajemnie jednoznaczna Funkcję f : X Y nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest iniekcją i surjekcją. Złożenie funkcji Jeżeli dane są funkcje f : X Y 1 oraz g : Y 2 Z, gdzie Y 1 Y 2, to istnieje funkcja h: X Z określona wzorem h(x) = (g f)(x) = g(f(x)), zwana złożeniem funkcji f z funkcją g. Funkcja odwrotna Funkcję g : Y X nazywamy odwrotną do funkcji f : X Y wtedy i tylko wtedy, gdy (g f)(x) = x dla każdego x X oraz (f g)(y) = y dla każdego y Y. Uwaga: Wykresy funkcji f i do niej odwrotnej są wzajemnie symetryczne do prostej o równaniu y = x. Funkcja okresowa Funkcja okresowa o okresie t 0 to funkcja f : X Y taka, że dla każdego x D f również (x+t) D f oraz f(x) = f(x + t) dla każdego x X. Funkcja parzysta Funkcja parzysta to funkcja f taka, że dla każdego x D f mamy x D f i f( x) = f(x). Uwaga: Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY. Funkcja nieparzysta Funkcja nieparzysta to funkcja f taka, że dla każdego x D f mamy x D f i f( x) = f(x). Uwaga: Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem punktu (0, 0). Funkcja ograniczona Funkcja ograniczona to funkcja f, której zbiór wartości jest zbiorem ograniczonym. Przekształcenia wykresów funkcji Załóżmy, że mamy wykres funkcji f : D R, D R. Aby na podstawie tego wykresu otrzymać wykres funkcji g(x) = f(x p) + q, należy wykres funkcji f przesunąć o wektor u = [p, q]. g(x) = f(x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX. g(x) = f( x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OY. g(x) = f( x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem punktu (0, 0). g(x) = f(x), należy wykres funkcji f odbić symetrycznie względem osi OX dla wartości ujemnych, natomiast dla wartości dodatnich pozostawić bez zmian. g(x) = f( x ), należy wykres funkcji f dla argumentów ujemnych usunąć, natomiast dla argumentów nieujemnych pozostawić bez zmian i odbić symetrycznie względem osi OY. 5
Przykładowe zadania 1. Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak: a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe, c) monotoniczność, d) parzystość, nieparzystość, e) różnowartościowość, f) okresowość, g) najmniejsza i największa wartość. Odpowiedź: a) D f = R, ZW f = [ 4, + ). b) Miejsca zerowe: 0, 3. c) Funkcja f jest silnie malejąca w przedziale ( 2, 1). Funkcja f jest silnie rosnąca w przedziałach: (, 2), (1, 2), (2, + ). d) Funkcja f nie jest nieparzysta i nie jest parzysta. e) Funkcja f nie jest różnowartościowa. f) Funkcja f nie jest okresowa. g) W punkcie 2 funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość równą 4. Największa wartość funkcji f nie istnieje. 2. Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji g(x) = f(x). Rozwiązanie: Wykres funkcji f odbijamy symetrycznie względem osi OX. Odpowiedź: 6
Zadania Na podstawie wykresu funkcji f opisać jej własności, takie jak: a) dziedzina, zbiór wartości, b) miejsca zerowe, c) monotoniczność, d) parzystość, nieparzystość, 1. e) różnowartościowość, f) okresowość, g) najmniejsza i największa wartość. 4. 2. 5. 3. 6. 7
Na podstawie wykresu funkcji f znaleźć rozwiązania nierówności: 7. f(x) < 0. 8. f(x) 0. Na podstawie wykresu funkcji f naszkicować wykres funkcji: 9. g(x) = f(x + 1) + 1. 10. g(x) = f( x). Narysować wykres funkcji: 11. g(x) = f(x). 12. g(x) = f( x). 13. g(x) = f( x ). 14. g(x) = f(x). 15. f(x) = 2 x. 16. f(x) = x 2 + 2x 2. 17. f(x) = x 2 4 1. 18. f(x) = x 2 + 2x 1. Na podstawie wykresu funkcji f, w oparciu o przekształcenia wykresów funkcji, narysować wykres funkcji g, jeżeli: 19. f(x) = x, g(x) = x + 1 2. 20. f(x) = x 2, g(x) = x 2 + 2x 2. 21. f(x) = x 2, g(x) = x 2 1 + 2. 22. f(x) = 3 x, g(x) = 2 3 x. 23. f(x) = e x, g(x) = e x + 2. 24. f(x) = ( 1 2 )x, g(x) = ( 1 2 ) x 1 + 3. 25. f(x) = log 3 x, g(x) = 1 log 3 (x 1 2 ). 26. f(x) = sin x, g(x) = sin x + 1. 27. f(x) = cos x, g(x) = cos(x + π 4 ). 28. f(x) = arc tg x, g(x) = arc tg x 1 + π 2. 29. f(x) = tg x, g(x) = tg x. 30. f(x) = arc cos x, g(x) = arc cos( x) + π. Na podstawie definicji ustalić, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste: 31. f(x) = 3 2 x x 2. 32. f(x) = x(1+2x ) 1 2 x. 33. Niech h = g f, gdzie f(x) = x + 3, g(x) = 1 + 2 x. Obliczyć h( 1 3 ). 34. Niech h = g f, gdzie f(x) = x 2, g(x) = x + 1. Obliczyć h( 6). 35. Niech f, g : [1, + ) [1, + ), f(x) = x 2 2x + 2, g(x) = 1 + x 1. Dla x [1, + ) wyznaczyć g(f(x)), f(g(x)). Czy funkcja f jest funkcją odwrotną do g? 8