ELEKTRYKA 212 Zeszy 3-4 (223-224) Ro LVIII Aa PIWOWAR Jausz WALCZAK Isyu Eleroechii i Iformayi Poliechia Śląsa w Gliwicach MODEL TRANSMISYJNY UOGÓLNIONEJ SEKCJI LTV PIERWSZEGO RZĘDU Sreszczeie. W aryule opisao model secji parameryczej (azywaej secją LTV liear ime varyig) pierwszego rzędu órej paramer zmieia się ieoresowo. Secje aie saowić mogą elemey bardziej złożoych sruur filrów parameryczych Wyprowadzoo wzór pozwalający wyzaczyć odpowiedź secji a dowole wymuszeie będące sygałem o ograiczoej mocy średiej. Uzysae wyii zilusrowao przyładem. Słowa luczowe: LTV uogólioa secja paramerycza GENERALISED TRANSMISSION MODEL OF FIRST ORDER PARAMETRIC SECTION Summary. This paper preses a model of he firs order firs order parameric secio furher called LTV secio wih o-periodically variable parameer. Those sysems are used as pars of more complex parameric filers. A formula describig filer respose o ay sigal wih fiie average power has bee deermied. Obaied resuls have bee illusraed by a example. Keywords: LTV geeralized parameric secio 1. WPROWADZENIE Modele rasmisyje uładów SISO (rys. 1) opisywae są [1] operacją P odwzorowującą sygały wejściowe x() uładu w sygały wyjściowe y(). Rys. 1. Model rasmisyjy uładu SISO Fig. 1. The rasmissio model of SISO sysem
98 A. Piwowar J. Walcza Sygały e ależą do defiiowaych w róży sposób przesrzei sygałowych. W dziedziie czasu dla uładów o zmieych w czasie paramerach LTV (ag. liear ime varyig) azywaych rówież uładami parameryczymi operację P saowią: rówaia sau uładu splo parameryczy oreśloy wzorem: h() impulsowa fucja przejścia uładu. y( ) h( ) x( )d (1) Opis rasmisyjy uładu z wyorzysaiem splou (1) umożliwia wyzaczeie odpowiedzi uładu y() a dowole wymuszeie x() jeśli ylo zaa jes fucja h(). Wyzaczeiem impulsowej fucji przejścia uładów LTV opisaych rówaiem: y' ( ) ( ) y( ) x( ) (2) () fucja parameryzująca azywaych secjami pierwszego rzędu a aże secji wyższych rzędów poświęcoa jes w dużej mierze praca [3]. Przyjęo am że fucja () jes oreśloa jedym ze wzorów: ( ) g Ce g R ( g g 1 ) C e R C C R (3) R. (4) Fucje parameryzujące (3) (4) saowią jedyie pewie podzbiór przesrzei L 2 ) (przy pomiięciu sładia ) ie są oe zaem reprezeacjami dowolej fucji o sończoej eergii. Moża wyazać [4] że dowolą fucję () L 2 ) moża aprosymować szeregiem: przy czym: p ( ) C e C p C (5) g 1 N N1 j * C C e C C A jb p * (6) j p p (7) Warui poprawej aprosymacji dla sończoej liczby wyrazów szeregu (5) oreśla wzór: Re N p (8) zaem liczby p umiejscowioe muszą być w lewej półpłaszczyźie Gaussa rys. 2.
Model rasmisyjy uogólioej 99 Rys. 2. Kofiguracja rzeczywisych o i zespoloych x współczyiów p Fig. 2. The cofiguraio of real o ad complex x of coefficies p W aryule opisao uogólioy (w sosuu do modeli rozparywaych w pracy [3]) model secji pierwszego rzędu opisaej rówaiem (2) z fucją parameryzującą: ( ) g e ( Acos( 1 ) Bsi( 1 )) (9) p j C A 2 C cos B 2 C si 1 e j będącą szczególym przypadiem zależości (5) dla N=1. (1) 2. MODEL SEKCJI Rozwiązaia rówaia (2) w posaci zamięej są zae [5]. Dla zerowego waruu począowego rozwiązaia e oreśla wzór: y ( ( ) ( )) ( ) e x( ) d (11) ( ) ( ) d. (12) Wyorzysując wzory (9) (12) i porówując zależości (1) (11) uzysuje się zależość oreślającą model secji w posaci splou (1): y( ) e g ( ) ( ) exp[- ] ( ) exp[ ] e x( )d (13)
1 A. Piwowar J. Walcza przy czym: ( A ( ) (14) 1 B )si( 1 ) ( A B1) cos( 1 ) 2 2 1 oraz impulsową fucję przejścia uładu w posaci: Wzory (13) i (15) saowią peły model rasmisyjy uogólioej secji parameryczej pierwszego rzędu ze zmieym paramerem oreśloym zależością (9). 3. ODPOWIEDŹ SEKCJI LTV NA DOWOLNE WYMUSZENIE Aalizując ajbardziej ogóly przypade wymuszeń będących elemeami przesrzei Hilbera L 2 ( ) lub L 2 (T) moża wyazać że dowoly sygał będący elemeem ych przesrzei moża aprosymować szeregiem: x( ) F ( ) F R (16) { ()} baza przesrzei Hilbera. W ym przypadu odpowiedź badaej secji a wymuszeie (16) oreśla wzór: y g ( ) ( ) exp[- ] ( )exp[ ] h ( ) e e. (15) ( )exp[- ] g g ( )exp[- ] ( ) e e F e e ( )d (17) Rozparzoy zosaie ajprosszy przypade odpowiedzi secji y() (por. rys. 5) a wymuszeie posaci sou jedosowego x()=1(). Wyorzysując sończeie wymiarowe przybliżeie fucji espoecjalej wysępującej we wzorze (17) fucyjym szeregiem Taylora: e ( ) exp( ) N e ( 1) ( ) (18)! oraz uwzględiając przyjęą wyżej posać wymuszeia uzysuje się zależość opisującą odpowiedź uładu a so jedosowy o posaci:
Model rasmisyjy uogólioej 11 g N ( )exp[- ] g e y( ) e e e ( 1) ( ) d. (19)! Wzór (17) moża aże wyorzysać do wyzaczaia odpowiedzi secji a wiele iych wysępujących w prayce wymuszeń. PRZYKŁAD Dla secji opisaej rówaiem (2) fucję parameryzującą oreśla wzór (7). Przebiegi fucji parameryzującej poazao a rys. 3. Rys. 3. Przebiegi fucji parameryzujących ) Fig. 3. Examples of waveforms of parameric fucios () Przyładową odpowiedź impulsową (dla uładu z fucją parameryzującą 3 ()) poazao a rys. 4.
12 A. Piwowar J. Walcza Rys. 4. Impulsowa fucja przejścia uładu LTV secji ze zmieym paramerem 3 () Fig. 4. The impulse respose of parameric sysem wih variable parameer 3 () Odpowiedź secji a wymuszeie w posaci sou jedosowego poazao a rys. 5. Na rysuu ym poazao rówież odpowiedź secji sacjoarej LTI (()= g ) a o samo wymuszeie. Rys. 5. Odpowiedź soowa badaej secji Fig. 5. The sep resposes of firs order parameric secios 4. PODSUMOWANIE Opracoway model aaliyczy doloprzepusowej secji parameryczej pierwszego rzędu z ieoresowo zmieym paramerem umożliwia wyzaczaie odpowiedzi secji a dowole wymuszeie w posaci sygałów o ograiczoej mocy i o sończoej eergii.
Model rasmisyjy uogólioej 13 Odpowiedzi impulsowe secji parameryczych są fucjami ie ylo czasu (ja w przypadu lasyczych secji sacjoarych) zależą aże od momeu podaia wymuszeia a wejście uładu. Zmiaa paramerów ma wpływ a szał przebiegu odpowiedzi impulsowej. W saie usaloym filry LTV zachowują się ja lasycze filry sacjoare. Korzyścią sosowaia filrów LTV jes możliwość poprawy dyamii przez odpowiedi dobór przebiegu zmieości fucji parameryzującej. BIBLIOGRAFIA 1. Descoer C. A. Vidyasager M.: Feedbac Sysems: Ipu-Oupu Properies. Academic Press New Yor 1995 2. D Agelo H.: Liear Time-Varyig Sysems. Aalysis ad Syhesis. Ally ad Baco Ic. Boso 197. 3. Piwowar A.: Aalysis of parameric sysems wih firs ad secod order secios. PhD hesis Gliwice 211. 4. Clleme P. R.: O compleeess of basis fucio used for sigal aalysis. SIAM Reviev 1963 Vol. 5 No. 2 p. 167-172. 5. Polyai A. D. Zaisev V. F.: Hadboo of exac soluios for ordiary differeial equaios. 2d Ediio Chapma & Hall/CRC Boca Rao 23. Wpłyęło do Redacji dia 1 grudia 212 r. Receze: Prof. dr hab. iż. Maria Paso Dr iż. Aa PIWOWAR Poliechia Śląsa Isyu Eleroechii i Iformayi ul. Aademica 1 44-1 Gliwice Tel. (32) 237 1 18; e-mail: Aa.Piwowar@polsl.pl Prof. dr hab. iż. Jausz WALCZAK Poliechia Śląsa Isyu Eleroechii i Iformayi ul. Aademica 1 44-1 Gliwice Tel. (32) 237 21 9; e-mail: Jausz.Walcza@polsl.pl