Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28
Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję dla x X określona wzorem: g f : X W (g f )(x) = g(f (x)), dla x X. funkcję g w powyższej definicji nazywamy funkcja zewnętrzna, a f - wewnętrzna. Jeżeli f i g maja dziedziny rzeczywiste R, to istnieja f g i g f. Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 2 / 28
Przykład 1 f (x) = sin x, g(x) = x 2 + 4 (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 + 4) = sin(x 2 + 4). dziedzina tej funkcji : R zbiór wartości tej funkcji : < 1, 1 > (g f )(x) = g(f (x)) = g(sin x) = (sin x) 2 + 4. dziedzina tej funkcji : R zbiór wartości tej funkcji : < 3, 5 > Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 3 / 28
Przykład 2 f (x) = x 2 1, g(x) = e x (f g)(x) = f (g(x)) = f (e x ) = (e x ) 2 1 = e 2x 1. dziedzina tej funkcji : R zbiór wartości tej funkcji : < 1, ) (g f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 1) = e x 2 1 dziedzina tej funkcji : R zbiór wartości tej funkcji : < 0, ) Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 4 / 28
Przykład 3 f (x) = x 2 + 1, g(x) = x 1 (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 1) = (x 1) 2 + 1 = x 2 2x + 2. dziedzina tej funkcji : R zbiór wartości tej funkcji : < 1, ) (g f )(x) = g(f (x)) = g(x 2 + 1) = x 2 + 1 1 = x 2. dziedzina tej funkcji : R zbiór wartości tej funkcji : < 0, ) Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 5 / 28
Przykład 4 f (x) = 2x + 1, g(x) = x 1. x 1 (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 1) = dziedzina tej funkcji : R\{2} 2(x 1) + 1 x 1 1 = 2x 1 x 2 (g f )(x) = g(f (x)) = g( 2x + 1 x 1 ) = 2x + 1 x 1 1 =... dziedzina tej funkcji : R\{1} Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 6 / 28
Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna do f nazywamy funkcję taka, że: f 1 : Y X f 1 (y) = x y = f (x), dla x X, y Y. Przykład Rozważmy funkcję f : {0, 1, 2, 3} {0, 1, 4, 9} określona wzorem: f (x) = x 2, zatem f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9. f jest różnowartościowa f 1 : {0, 1, 4, 9} {0, 1, 2, 3} f 1 (0) = 0, bo f (0) = 0 f 1 (1) = 1, bo f (1) = 1 f 1 (4) = 2, bo f (2) = 4 f 1 (9) = 3, bo f (3) = 9 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 7 / 28
Równoważnie dla dowolnych x X zachodza (f f 1 )(x) = x oraz (f 1 f )(x) = x. Wykresy funkcji odwrotnych sa symetryczne względem prostej y = x. Własność Jeżeli funkcja f jest rosnaca, to f 1 też jest rosnaca. Jeżeli funkcja f jest malejaca, to f 1 też jest malejaca. Własność Złożenie 2 funkcji rosnacych jest funkcja rosnac a. Złożenie 2 funkcji malejacych jest funkcja rosnac a. Złożenie funkcji rosnacej i malejacej jest funkcja malejac a. Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 8 / 28
Przykłady funkcji odwrotnych x k k x (k-nieparzyste) log a x a x sin x arc sin x cos x arc cos x tg x arc tg x ctg x arc ctg x ax+b cx+d ex+f gx+h Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 9 / 28
Schemat wyznaczania funkcji odwrotnej do y = f (x): 1 Badamy różnowartościowość f (x) 2 Zamieniamy miejscami x i y (x y), a następnie ze wzoru x = f (y) wyznaczamy y = g(x). Otrzymana funkcja g jest szukana f 1. W celu sprawdzenia można policzyć f (f 1 (x)) oraz f 1 (f (x)). W obu przypadkach powinno wyjść x. Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 10 / 28
Przeglad funkcji elementarnych - ciag dalszy Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 11 / 28
c) Funkcja wielomianowa W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, x R. Jeśli a n 0, to n - stopień wielomianu. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n miejsc zerowych. W (x 0 ) = 0 W (x) dzieli się bez reszty przez (x x 0 ). Jeżeli W (x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to możliwe pierwiastki wymierne sa postaci p q, gdzie: p dzielniki wyrazu wolnego, czyli, a 0, q dzielniki wyrazu przy x n, czyli a n. Zadanie Podzielić pisemnie i za pomoca tabliczki Hornera wielomian (x 4 x 3 8) przez (x 2). Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 12 / 28
Wykresy wielomianów wykres wielomianu zaczynamy zawsze od prawej strony jeżeli a n > 0 to wykres zaczynamy od góry jeżeli a n < 0 to wykres zaczynamy od dołu jeżeli dany pierwiastek ma parzysta krotność, to wykres się odbije w tym punkcie (nie przejdzie na druga stronę) jeżeli dany pierwiastek ma nieparzysta krotność, to wykres przejdzie na druga stronę w tym punkcie. Nierówności wielomianowe - rozwiazuje się graficznie. wykres wielomianu odczytać z wykresu rozwiazanie nierówności Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 13 / 28
Zadanie 1 Sporzadzić wykresy wielomianów: a) W (x) = 3(x 3) 2 (x + 2)x 3 b) W (x) = 2(x + 2) 3 (x 4) 2 (x + 5) 4 a następnie rozwiazać nierówności W (x) 0, W (x) < 0. Zadanie 2 Rozwiazać nierówności: a) x 4 x 3 + 2x 2 2x > 0 b) x 4 5x 2 + 4 < 0. Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 14 / 28
d) Funkcja wykładnicza y = a x, x R, a (0, 1) (1, ) a > 1 funkcja rosnaca 0 < a < 1 funkcja malejaca Z różnowartościowości (dla a 1): a x 1 = a x 2 x 1 = x 2. Nierówność wykładnicza { a x 1 < a x x 2 1 < x 2, gdy a > 1 ( bo wtedy funkcja rośnie ) x 1 > x 2, gdy a (0, 1) ( bo wtedy funkcja maleje ) Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 15 / 28
Nierówności wykładnicze: a x > b i a x < b a x = b x = log a b nierówności dla b > 0 a x > b a x < b 0 < a < 1 funkcja malejaca x < log a b x > log a b a > 1 funkcja rosnaca x > log a b x < log a b Dla b < 0 mamy a x > b x R, a x < b x Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 16 / 28
Wzory : a m a n = a m+n, a m a n = am n, a m = 1 a m, (am ) n = a mn, m x = x 1 m Zadanie Szczególny przypadek : y = e x, gdzie e = 2, 7182... Rozwiazać równania: a) 2 2x 3 = 4 x+2 b) 6 x 5 36 x+3 = 6 c) 3 x+2 3 x = 72 d) 8 3x 5 = 0.125 ( 2 4 )6 5x Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 17 / 28
e) Funkcja logarytmiczna y = log a x, x > 0, a (0, 1) (1, ). log a x = b x = a b. a > 1 funkcja rosnaca 0 < a < 1 funkcja malejaca Z różnowartościowości (bo monotoniczności) mamy: log a x 1 = log a x 2 x 1 = x 2. Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 18 / 28
Nierówności logarytmiczne: log a x 1 < log a x 2 log a x 1 < log a x 2 { x 1 < x 2, gdy a > 1 ( bo wtedy funkcja rośnie ) x 1 > x 2, gdy a (0, 1) ( bo wtedy funkcja maleje log a x = b x = a b nierówności log a x > b i log a x < b log a x > b log a x < b 0 < a < 1 funkcja malejaca 0 < x < a b x > a b a > 1 funkcja rosnaca x > a b 0 < x < a b Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 19 / 28
Wzory log a b + log a c = log a (bc) log a b log a c = log a ( b c ) log a b = log c b log c a log a b m = m log a b Zależność między funkcja wykładnicza i logarytmiczna: log a a x = x a log a x = x Szczególne przypadki: ln x = log e x, log x = log 10 x Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 20 / 28
Zadanie 1 Obliczyć: a) log 6 1, log 64 16, log 2 2, log 5 5 3 5 b) log 2 x = 4, log 0.5 x = 3, log x 64 = 3, log x 1 8 = 3 2. Zadanie 2 Rozwiazać równania: a) 3 log x = 1 27 b) log(3x + 4) + log(x + 8) = 2 c) log 2 3 x log 3 x 3 + 2 = 0 d) log 3 x 2(x 2 + 2x 1) = 2. Zadanie 3 Korzystajac z wzoru a log a b = b obliczyć: Zadanie 4 Obliczyć: 3 log 3 15, 10 2+2 log 7, 49 log 7 2, 2 3 log 2 (3) log 6 3 log 3 36, log 3 8 log 4 81, log 9 5 log 25 27. Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 21 / 28
f) Funkcje trygonometryczne sin x, cos x - dziedzina R, okres 2π = 360 sin x jest funkcja nieparzysta, więc sin( x) = sin x cos x jest funkcja parzysta, więc cos( x) = cos x dla dowolnego α [0, 2π) zachodzi: sin(360 + α) = sin α, cos(720 + α) = cos α Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 22 / 28
tg x - dziedzina R \ {(2k + 1) π 2 }, okres π = 180 ctg x - dziedzina R \ {kπ}, okres π = 180 tg(180 + x) = tg x, ctg(180 + x) = ctg x, tg(360 + x) = tg x,... tg x jest funkcja nieparzysta, więc tg( x) = tg x ctg x jest funkcja nieparzysta, więc ctg( x) = ctg x Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 23 / 28
Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych katów ostrych sin x cos x 30 = π 6 45 = π 4 1 2 60 = π 3 3 2 3 2 2 2 1 2 2 2 tg x ctg x 3 1 3 3 3 3 1 3 Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych: I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka sin x + + cos x + + tg x + + ctg x + + Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 24 / 28
Dodatkowe wzory: sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x sin 2 x Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 25 / 28
Stosujac wzory redukcyjne można obliczyć wartość funkcji trygonometrycznej dowolnego kata znajac wartości funkcji trygonometrycznej dla kata ostrego. Procedura: ustalamy znak funkcji trygonometrycznej dla kata danej ćwiartki (patrz tabelka znaków na poprzednim slajdzie) dla katów 90 + α oraz 270 + α (α- kat ostry) wyjściowa funkcja trygonometryczna przechodzi na kofunkcję kata α, czyli (sin x cos x, tg x ctg x). Zatem dla katów drugiej ćwiartki mamy: ( Uwaga!!! - tylko sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni ) sin(90 + α) = cos α, cos(90 + α) = sin α, tg(90 + α) = ctg α, ctg(90 + α) = tg α Dla katów czwartej ćwiartki mamy: ( Uwaga!!! - w czwartej ćwiartce tylko cos x jest dodatni ) sin(270 + α) = cos α, cos(270 + α) = sin α Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 26 / 28
dla kata 180 + α (α kat ostry) wyjściowa funkcja trygonometryczna nie zmienia się, tzn. sin(180 + α) = sin α, cos(180 + α) = cos α, tg(180 + α) = tg α, ctg(180 + α) = ctg α, Funkcje tg x i ctg x sa funkcjami okresowymi o okresie 180, co również wyjaśnia dwa ostatnie wzory. Przykład Obliczyć wartość : sin(570 ), cos(540 ), tg(315 ), ctg(120 ). Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 27 / 28
Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 28 / 28