G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\Fourier.doc. Drgania i fale II rok Fizyki BC. zawierają fazy i amplitudy.

Podobne dokumenty
EFEKTY DYSPERSYJNE ZNIEKSZTAŁCAJĄCE KRÓTKIE IMPULSY LASEROWE. prof. Halina Abramczyk Laboratory of Laser Molecular Spectroscopy

TERAZ O SYGNAŁACH. Przebieg i widmo Zniekształcenia sygnałów okresowych Miary sygnałów Zasady cyfryzacji sygnałów analogowych

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

AM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (

Akustyka. Fale akustyczne = fale dźwiękowe = fale mechaniczne, polegające na drganiach cząstek ośrodka.

FILTRY ANALOGOWE Spis treści

Drgania i fale II rok Fizyk BC

MACIERZE STOCHASTYCZNE

ELEKTRONIKA. dla Mechaników

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

Podstawy Akustyki. Drgania normalne a fale stojące Składanie fal harmonicznych: Fale akustyczne w powietrzu Efekt Dopplera.

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 14 dr Adam Ćmiel

Wykład 11. a, b G a b = b a,

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

u t 1 v u(x,t) - odkształcenie, v - prędkość rozchodzenia się odkształceń (charakterystyczna dla danego ośrodka) Drgania sieci krystalicznej FONONY

Rozmieszczenie liczb pierwszych

Część I. Wyznaczanie parametrów sieci i grupy przestrzennej dla kryształów oksymu oksofenyloacetaldehydu. Zakres materiału do opanowania

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

G:\AA_Wyklad 2000\FIN\DOC\FRAUN1.doc. "Drgania i fale" ii rok FizykaBC. Dyfrakcja: Skalarna teoria dyfrakcji: ia λ

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

I. Podzielność liczb całkowitych

) (2) 1. A i. t+β i. sin(ω i

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Problem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Elementy optyki. Odbicie i załamanie fal. Siatka dyfrakcyjna. Zasada Huygensa Zasada Fermata. Interferencja Dyfrakcja

Prawdopodobieństwo i statystyka

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Krystalografia Wykład IX

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

Teoria Sygnałów. Inżynieria Obliczeniowa II rok 2018/19. Wykład 10. ( t) Wykorzystanie transformacji Fouriera w analizie korelacyjnej

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Teoria Sygnałów. III rok Informatyki Stosowanej. Wykład 8

Temat ćwiczenia. Analiza częstotliwościowa

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

Badanie widma fali akustycznej

WYKŁAD 6 TRANZYSTORY POLOWE

Magnetyczny Rezonans Jądrowy (NMR)

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

I.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

ANEMOMETRIA LASEROWA

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

ANALIZA FOURIEROWSKA szybkie transformaty Fouriera

Funkcja generująca rozkład (p-two)

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2: Szeregi Fouriera

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Elementy optyki. Odbicie i załamanie fal Zasada Huygensa Zasada Fermata Interferencja Dyfrakcja Siatka dyfrakcyjna

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Fale rzeczywiste. dudnienia i prędkość grupowa

Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

Własności falowe materii

O1. POMIARY KĄTA GRANICZNEGO

1 Dwuwymiarowa zmienna losowa

Fotometria. F. obiektywna = radiometria: Jaka ENERGIA dopływa ze źródła. F. subiektywna: Jak JASNO świeci to źródło? (w ocenie przeciętnego człowieka)

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

Podstawy układów mikroelektronicznych

TRANSFORMATA FOURIERA

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

2. Całkowita liczba modów podłużnych. Dobroć rezonatora. Związek między szerokością linii emisji wymuszonej a dobrocią rezonatora

Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 13, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

Równania liniowe rzędu drugiego stałych współczynnikach

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Analiza matematyczna dla informatyków 4 Zajęcia 5

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

OCHRONA PRZECIWPOŻAROWA BUDYNKÓW

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012



Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka propagujące się zgodnie z równaniem. S 0 amplituda odkształcenia. f [Hz] - częstotliwość.

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Chemia Teoretyczna I (6).

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

R Z N C. p11. a!b! = b (a b)!b! d n dx n [xn sin x] = x n(n k) (sin x) (n) = n(n 1) (n k + 1) sin(x + kπ. n(n 1) (n k + 1) sin(x + lπ 2 )

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

1. Modulacja analogowa, 2. Modulacja cyfrowa

f = 2 śr MODULACJE

Analiza właściwości filtra selektywnego

Transkrypt:

Elemety aalizy ourierowskiej: W przypadku drgań było: () t A + A ( ω t + φ ) + A os( 2ω t + φ ) gdzie + A ω 0 os 2 2 os( ω t + φ ) +... 2π Moża zapisać jako: [ ] () t A + C exp( iω t) + C ( iω t) gdzie 0 exp C zawierają azy i amplitudy. ( Aos ϕ 2 ReC; Asiϕ 2ImC) +... Nieh A C ; 0 0 ; C + () t exp( iω t) Aaliza harmoiza poszukiwaie. Dla ukji harmoizej średia po wielu kompletyh okresah rówa zeru. Dla dwu ukji o różyh okresah średia z ih ilozyu po wielu kompletyh okresah rówa zero. Dla okresów rówyh 0.

2

Nieh () t ukja o okresie, () t okresie tą. I. () t () t 0 2π ω Nieh I ukja o dla wszystkih harmoik poza - [ ]dt () t C exp( iω t) + C exp( iω t) I C I + I () t exp( iω t)dt I C () t exp( iω t)dt Po podstawieiu () t w postai szeregu Fouriera pozostaą tylko wkłady do harmoizej (współzyiki I, I od -tej, ). 3

I C C C [ exp( iω t) + exp( iω t) ] exp( iω t) dt dt C I exp () t ( iω t)dt Jeśli zamy () t. 0 ()dt t Nie zawsze widmo jest symetryze względem 0. 4

Dla () t Dla () t parzystej: ( C C ) ieparzystej: W ogólośi: zespoloe. - współzyiki Fouriera Twierdzeie Fouriera prawdziwe dla dowolej ukji, ie tylko ukji zasu. Dla ali stojąej w struie było: ( z, t) A u ( z) os( ω t + φ ) u ( z) - siusoidale ukje włase (od zmieej przestrzeej). Ih argumet k obustroie k 2k, 3... z, dla struy zamoowaej, k ( z, t) Au ( z) os( ω t + φ ) Dla określoego t : 5

( z) A u ( z) os stałe. gdzie A A ( ω t + φ ) u ( z) harmoize w z, stąd: ( z) exp( ik z) Jak dla t, ale t z, ω k Biorą 2π k k exp π ( z) ( ik z)dz 2π k 2 Modulaja: Jak zaleźć widmo zęstośi dla drgań zmodulowayh amplitudowo? inω t inω t () t M ()[ t Ce + C e ] M () t - obwiedia modulująa (periodyza z 2π ω ). 6

Częstość ośa N ω, N - duże. Nieh C ; C 2 C : inω t inω t () t M ()[ t e + e ] 2 Współzyik dla -tej harmoizej: 2 2 M M inω t inω t ()[ t e + e ] ω t [ ]dt e iω t i( N ) ω t i( + N ) () t e + e dt Dwie zęśi - ( N )-ta i ( + N ) ourierowska M () t. -ta składowa 7

Widmo zęstośi składa się z dwu widm odpowiadająyh M () t etrowayh w ( N ) i ( + N ). Zmiaa zęstośi ośej ie zmieia każdego z widm, tylko odległośi między imi. Impuls, pazka alowa: Nieh iąg impulsów prostokątyh. Zmieiamy zas repetyji: 8

Bez zmiay obwiedi, rośie lizba harmoik, ale ie zmieia się zakres zęstośi. Czy zakres zęstośi zmiei się, jeśli zmiei się długość impulsu? Największe zazeie mają małe zęstośi. Miarą zakresu zęstośi może być zakres między zerem i ajmiejszą zęstośią z 0. si π π 9

Częstość podstawowa Szerokość pasma ν t ν 0. ν - przybliżoe dla rozpatrywaego przypadku. Ogólie: ν t. Waże: ie jest zerem! Im impuls większy, tym szersze rozmyie zęstośi w szeregu Fouriera. W przypadku graizym ( t 0), wszystkie zęstośi (do ). Dla drgań harmoizyh zmodulowayh impulsami potrzeba zęstośi z pasma ν ± ν, ν t Nie ma ieskońzeie wąskih impulsów. 0

Impuls bardzo długi moża zbudować z drgań o zęstośiah z bardzo wąskiego pasma, etrowaego a zęstośi drgań. Grupa al: t z ω k z 2π k Jeśli zmodulowaa przestrzeie ala o lizbie alowej k 0 ; potrzebe ale o lizbah alowyh k0 ± k. Dla z małego iągłe widmo k. Trasormata Fouriera:

Dla pojedyzego impulsu zęstośi ω tworzą kotiuum. Zamiast sumy ałka. Zastępujemy ω przez ω, ałkujemy po ω zamiast sumować po, a w miejse i () ( ω ) ω t t e dω ( ω )? () t exp( iω t)dt ( ω ) dω ω ω ; dω 2π + 2 π iω t ( ω ) () t e dt W przestrzei: + + 2π ikz ikz ( z) ( k) e dk ( k) ( z) e dz 2