I.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego

Transkrypt

1 I. Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego Jan Królikowski Fizyka IVBC 1

2 CIAŁO DOSKONALE CZARNE (CDCz) CDCz jest to takie iało, którego zdolność absorpyjna a(, T) nie zależy od długośi fali i wynosi 100%. Promieniowanie CDCz o temperaturze T: interesuje nas promieniowanie e-m pozostająe w równowadze z CDCz (dla każdej długośi fali tyle samo promieniowania jest emitowane o absorbowane). Jan Królikowski Fizyka IVBC

3 R(T) = d i e(, T ) Prawo Stefana- Boltzmanna r. akad. 004/005 4 R(T) = σ i T Doświadzalnie odkrył Stefan 1879, wyprowadzenie: Boltzmann 1884 Temperatura T e(,t) = u(,t) 4 Gaz fotonowy w obj. V Promieniowanie elektromagnetyzne zamknięte w nazyniu o lustrzanyh śiankah, zmiennej objętośi V i temperaturze T. Jan Królikowski Fizyka IVBC

4 Wyprowadzenie Boltzmanna: Energia wewnętrzna: U = Vu(T) iśnienie: p = u I zasada termo d ynamiki : dq = du + pdv r. akad. 004/005 du udv Vdu udv udv + V dt dq d(vu) + pdv Entropia: ds = = = = dt, T T T T Pamiętamy, że entropia jest funkj ą stanu zmiennyh (V, T) zyli jej różnizka jest zupełna: S S ds = dv + dt V T S S Z zupełnośi różnizki wynika równo ść -gih pohodnyh: = T V V T 4u V u du u du dt,,. T T = V = T T o daje nam: 1 4 = dt zyli 4 T u T T V Wniosek z teorii Maxwella u(t) = d u(, T) = σ T R(T) = d u(, T) = σ T Jan Królikowski Fizyka IVBC 4

5 Przykład widma CDCz r. akad. 004/005 Kosmizne Promieniowanie Tła pomiar z satelity COBE T=.756 K Jan Królikowski Fizyka IVBC 5

6 Zdolność emisyjna kwaru r. akad. 004/005 Jan Królikowski Fizyka IVBC 6

7 Pamiętajmy, że opróz widm iągłyh iała promieniują widma liniowe, pasmowe et. Przykładem są serie widmowe atomów wodoru. Seria Balmera zyli przejśia z różnyh poziomów do poziomu o n= Jan Królikowski Fizyka IVBC 7

8 Model CDCz: wnęka z promieniowaniem Wewnątrz wnęki e-m fale stojąe z węzłami na śiankah wnęki. }krawędź a Jan Królikowski Fizyka IVBC 8

9 CDCz i wnioski z prawa Kirhhoffa Z prawa Kirhhoffa: e (, T) = f(, T) bo a (, T) =1 dla CDCz Pamiętamy, że e=(/4) u, tak wię u (, T) =(/4) f (, T) Prawo Wiena Wien udowodnił, że postać gęstośi energii promieniowania CDCz jest następująa: F( T) u(, T)d = ( ) d 5, gdzie F - pewna uniwersalna funkja (inna niż f w prawie Kirhhoffa). Dygresja: zamiana zmiennyh = zyli d = ν F(T / ν) F(T / ν) u( ν,t)d = dν = ν dν 5 ( / ) ν ν 4 ν dν Jan Królikowski Fizyka IVBC 9

10 Rozkład Boltzmanna Najbardziej prawdopodobny rozkład lizb ząstek o danyh energiah dla układu N ząstek w temperaturze T: N E N(E) de = e kt g(e) de Z gdzie normalizaja dana jest przez: E Z g(e)e kt de i N= = N(E)dE Funkja g(e) jest gęstośi ą stanów o danej energii E. Jan Królikowski Fizyka IVBC 10

11 Max Plank ok. roku 1900 Jan Królikowski Fizyka IVBC 11

12 8πh 1 5 exp( h kt ) 1 8π 5 kt exp( ) Jan Królikowski Fizyka IVBC 1

13 Wzór empiryzny Planka 1 1 u(, T)d = d 5 1 Wzór Planka e T u(, T)d = 8π h 1 h d 5 kt e 1 u( ν, T)dν = 8πh ν 1 h ν dν kt e 1 Jan Królikowski Fizyka IVBC 1

14 Dalsze badania: znalezienie postai f(t) ze wzoru Wiena Metoda: Wnęka z promieniowaniem o obj. V jest dobrym modelem CDCz. Można łatwo oblizyć lizbę fal stojąyh o zęstośi ν (zy też długośi fali ): N(ν)= n(ν) V Średnia energia fal o określonej zęstośi ν: <E(ν,T)>; oblizenia wymagają znajomośi rozkładu Boltzmanna i są nieo bardziej złożone. Klasyznie, na grunie falowej teorii promieniowania e-m energia fali nie zależy od ν, a tylko od amplitudy (natężenia) fali. Wtedy <E(ν,T)>=<E(T)>. Ostateznie u(ν,t)d ν= n(ν)<e(ν,t)>d ν Jan Królikowski Fizyka IVBC 14

15 Oblizenie N(ν) i n(ν) = N(ν) /V (Rayleigh-Jeans) Będziemy badali e-m fale stojąe we wnęe CDCz. Przyjmiemy dla prostoty rahunków, że wnęka jest sześianem o krawędzi a i objętośi V=a. Na siankah wnęki fale e-m mają węzły, o narzua warunki periodyznosi tj. ałkowit ą lizbę / na odległośi a. Dla fali o wektorze falowym k (k= π / ) możemy napisa ć: Warunki periodyznośi: Wynika stąd, że: k x = kos α / = / os α k = kos β i / = / osβ k yx z = kosγ a a a = n, = n, = n, x y z x y z a ( ) (os α + os β + os γ ) = nx + ny + n z Ponieważ osinusy kierunkowe dodaj ą się w kwadratah do jedynki dostajemy ostateznie: x z y / = / os γ a = n x + n + n z y Jan Królikowski Fizyka IVBC 15

16 Całkowanie w przestrzeni węzłów r a = ν = n + n + n x y z 1 1 a rdr= d( r) = ν dν rdr a = ν dν Jan Królikowski Fizyka IVBC 16

17 Ile fal o zęstośiah pomiędzy ν a ν+d ν i różnyh kierunkah wektorów falowyh znajduje się we wnęe CDCz? Należy polizyć lizbę węzłów w 1/8 warstwy kulistej o promieniu r= i grubośi dr w przestrzeni węzłów n i. a ν ' Wprowadźmy gęsto ść węzłów N (r) 4πrN'(r)dr πrn'(r)dr Lizbawęzłów : = 8 a Zamieniamy zmienne : r dr = ν dν Wobe tego lizba fal stojąyh o jednej polaryzaji w przedziale zęśtośi [ ν, ν+ d ν] wynosi: a 8 a N( ) d N'(r)dV π d, za ś uwzględniają obie polaryzaje: N( )d = π ν ν = = ν ν ν ν ν dν Ostateznie gęsto ść fal stojąyh: N( ν)dν 8π n( ν)d ν= = ν dν V Jan Królikowski Fizyka IVBC 17

18 Oblizenie średniej energii <E(ν)> Rozkład lizby ząstek w funkji ih energii dany jest rozkładem Boltzmanna: Średnia energia <E(T)>= N E/kT N(E, T)= e gdzie Z(T)= exp( Z N(E,T) E de N Rayleigh -Jeans : Średnia energia promieniowania e-m CDCz nie zależy od zęsto śi i dla każdej warto śi zęsto śi wyno si <E(T )>=kt. Wo be tego gęsto ść energii promieniowania wg. R-J wynosi: 8πν u( ν,t)d ν= n( ν )<E(T)>d ν= kt dν 8πν u(,t)d = kt d 5 0 -E kt )de Max Plank: Wzór R-J nie zgadza się z danymi doświadzalnymi opisanymi fenomenologiznym wzorem Planka. Potrzebne inne założenia przy oblizaniu <E( ν,t)>: - Atomy w śiankah to elementarne osylatory, które pohłaniaj ą i emituj ą energie E = nh ν, n=1,,...stała h jest uniwersalna. n - Lizba fal stojąyh jest taka sama jak w wyprowadzeniu R-J. Jan Królikowski Fizyka IVBC 18

19 8πh 1 5 exp( h kt ) 1 8π 5 kt exp( ) Jan Królikowski Fizyka IVBC 19

20 Oblizenie <E(ν, T)> i u (ν, T) przez Planka r. akad. 004/005 E(,T) n ν P(,T) n ν nhν exp( nhν ) n= 0 kt d E(, T) ln exp( ) ( nhν ) < ν >= = = P( nh n ν,t) exp( ν kt ) d( 1/ kt) Wyrażenie w nawiasie pod logarytmem jest sum ą postępu geometryznego z q=exp(- hν kt ): d 1 exp( ν h ) < E( ν, T) >= ln = h ν kt ( 1 exp( ν h ))( ) d( 1/ kt) 1 exp( h ) ( exp( h )) kt 1 = ν ν kt 1 kt hν = exp( hν kt ) 1 kt Ostateznie : 8πν hν 8πh 1 u( ν, T)dν = dν lub u(, T)d = d h 5 exp( ν ) exp( h kt 1 kt ) 1 Jan Królikowski Fizyka IVBC 0