Uogólnione modele uk ladów sterowania

Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach. Wprowadzane jest pojȩcie uogólnionego stanu obiektu sterowania ( ) x r (t) x(t) =, x a (t) który posiada sk ladow a w postaci stanu różniczkowego x r (t) oraz sk ladow a w postaci stanu algebraicznego x a (t). Stan różniczkowy może być zwi azany z wolnozmiennymi sk ladowymi procesu, zaś stan algebraiczny może być zwi azany z szybkozmienne sk ladowymi procesu. Uogólniony model obiektu sterowania obejmuje równanie różniczkowo-algebraiczne (RA) stanu uogólnionego ẋ r (t) = f r (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ], x r (t 0 ) = x r 0, oraz równanie wyjścia f a (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) = 0, t [t 0, t f ] y(t) = g(x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ]. gdzie stan różniczkowy x r (t) R n x r spe lnia równanie różniczkowe jego dynamiki, stan algebraiczny x a (t) R n x a spe lnia równanie algebraiczne jego dynamiki, u(t) R n u jest sterowaniem obiektu, ξ(t) jest zak lóceniem obiektu, a y(t) jest wyjściem obiektu. 1

Proces sterowania sterowanie u(t) zak lócenie ξ(t) stan różniczkowy x r (t) stan algebraiczny x a (t) wyjście y(t) Stan różniczkowy zwany stanem wolnozmiennym opisuje np. ewolucjȩ inercyjnej ciek lej fazy chemicznego procesu produkcyjnego, a stan algebraiczny zwany stanem szybkozmiennym opisuje ewolucjȩ jego bezinercyjnej fazy gazowej. Równanie algebraiczne może określać charakterystyczne warunki prowadzenia procesu np. postulat równowagi termodynamicznej procesu lub jego elektroneutralności. W innych przypadkach odzwierciedla ono algebraiczne zależności matematyczne miȩdzy zmiennymi procesowymi. Model różniczkowo-algebraiczny może być reinterpretacj a modelu różniczkowego. W niektórych przypadkach równanie RA odnosi siȩ tylko do stanu różniczkowego, a stan algebraiczny nie jest określony lub jest wyeliminowany. Równanie algebraiczne jest w tym przypadku narzucone na zmienne różniczkowe i determinuje charakterystyczny sposób funkcjonowania procesu. W literaturze anglojȩzycznej modele procesów sterowania w postaci równań różniczkowych zwyczajnych nazywane s a modelami typu ODE (Ordinary Differential Equation), zaś modele procesów sterowania w postaci równań różniczkowo-algebraicznych nazywane s a modelami typu DAE (Differential Algebraic Equation). Z przyk ladami uogólnionych modeli procesów sterowania i problemów sterowania nimi mamy do czynienia w wielu dziedzinach techniki i technologii takich jak np. uk lady elektryczne i elek- 2

troniczne, uk lady mechaniczne, chemiczne procesy produkcyjne, procesy biotechnologiczne, a także systemy z lożone. W każdej z tych dziedzin stosowane s a różne zwyczajowe oznaczenia wielkości fizyko-chemicznych charakteryzuj acych proces. Przeprowadzimy stadaryzacjȩ opisu różnych problemów sterowania z wielu dziedzin pokazuj ac, że z punktu widzenia teorii sterowania s a one szczególnymi przypadkami ogólnego problemu optymalizacji procesów różniczkowo-algebraicznych. Modele obwodów elektrycznych i elektronicznych przybieraj a w wielu przypadkach postać równań różniczkowo-algebraicznych. Niech bȩdzie dany obwód elektryczny ze źród lem napiȩcia e(t), rezystancj a R, kondensatorami C 1 i C 2 oraz z indukcyjności a L. Sk lada siȩ on z dwóch szeregowo po l aczonych podobwodów erc 1 oraz C 1 LC 2. Zmiennymi stanu s a napiȩcia U 1 (t) i U 2 (t) na kondensatorach oraz natȩżenia pr adu I 1 i I 2 w rezystancji i w indukcyjności. Wyjściem jest napiȩcie U 2 (t) na kondensatorze C 2. obwód elektryczny erc 1 LC 2 R L e(t) I 1 (t) C 1 = U 1 (t) I 2 (t) C 2 = U 2 (t) Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy równania dla napiȩć U i i pr adów I i (i = 1, 2) dla t t 0 : U 1 (t) = 1 C 1 I 1 (t), 3

U 2 (t) = 1 C 2 I 2 (t), I 2 (t) = 1 L (U 1(t) U 2 (t)), U 1 (t) + RI 1 (t) = e(t). Uzyskujemy trzy równania różniczkowe i jedno równanie algebraiczne. Celem sterowania może być zapewnienie przebiegu napiȩcia U 2 (t) zgodnego z programem jego zmienności U 20 (t) przy minimalnych stratach energetycznych źród la napiȩciowego (zak ladany jest d lugi horyzont czasowy sterowania [t 0, t f ] [0, ]) 0 ((U 2 (t) U 20 (t)) 2 + E 2 (t))dt Zmiennymi różniczkowymi stanu s a napiȩcia x r 1(t). = U 1 (t) i x r 2(t). = U 2 (t) oraz pr ad x r 3(t). = I 2 (t). Zmienn a algebraiczn a stanu jest pr ad x a (t). = I 1 (t), sterowaniem jest napiȩcie źród la u(t). = e(t), a wyjściem jest napiȩcie y(t). = U 2 (t) na kondensatorze C 2. Zapisujemy model uk ladu w postaci standardowej ẋ r 1(t) = 1 C 1 x a (t), ẋ r 2(t) = 1 x r C 3(t), 2 ẋ r 3(t) = 1 L (xr 1(t) x r 2(t)), x r 1(t) + Rx a (t) u(t) = 0. Równanie algebraiczne jest bilansem napiȩć w podobwodzie ze źród lem napiȩciowym. Cel sterowania oznacza minimalizacjȩ funkcjona lu kwadratowego Q(x r, x a, u) =. 0 ((x r 2(t) x r 20(t)) 2 + u 2 (t))dt, 4

a problem minimalizacji tego funkcjona lu z uwzglȩdnieniem równań stanu można określić mianem liniowo-kwadratowej optymalizacji różniczkowo-algebraicznej (linear-quadratic DAE optimization). W uk ladach mechanicznych analizowany jest ruch wahad lowy cia la o masie m podwieszonego za pomoc a prȩta (linki, sprȩżyny) o d lugości l. Niech (p 1, p 2 ) bȩd a wspó lrzȩdnymi pozycyjnymi cia la m (poziom a i pionow a), zaś (v 1, v 2 ) niech bȩd a jego prȩdkościami w kartezjańskim uk ladzie wyróżnionej p laszczyzny jego ruchu. Równania wahad lowego ruchu cia la m pod wp lywem si ly F (t) (oddzia lywanie elektromagnetyczne, naprȩżenie sprȩżyny) maj a postać dla t t 0 ṗ 1 (t) = v 1 (t), ṗ 2 (t) = v 2 (t), v 1 (t) = p 1(t) m F (t), v 2 (t) = p 2(t) F (t) g, m gdzie g jest sta l a grawitacyjn a. Równania te uzupe lniamy warunkiem poruszania siȩ cia la m po trajektorii ko lowej p 2 1(t) + p 2 2(t) = l 2. Celem sterowania dla rozważanego uk ladu mechanicznego może być spe lnienie zadanego programu zmian prȩdkości ruchu wahad lowego przy minimalnych stratach na sterowanie tf t 0 ((v 1 (t) v 10 (t)) 2 + (v 2 (t) v 20 (t)) 2 + F 2 (t))dt. Oznaczaj ac różniczkowe zmienne stanu przez x r 1(t). = p 1 (t), x r 2(t). = p 2 (t), x r 3(t). = v 1 (t), x r 4(t). = v 2 (t), 5

a przez u(t). = F (t) sterowanie, przekszta lcamy model uk ladu do postaci standardowej ẋ r 1(t) = x r 3(t), ẋ r 2(t) = x r 4(t), ẋ r 3(t) = xr 1(t) m u(t), ẋ r 4(t) = xr 2(t) u(t) g, m x r 1(t) 2 + x r 2(t) 2 = l 2. Uzyskujemy wiȩc dla opisu ko lowego ruchu wahad la m uk lad równań różniczkowo-algebraicznych określony wy l acznie przez różniczkowe zmienne stanu, na które jest jednak na lożony warunek algebraiczny. Cel sterowania oznacza minimalizacjȩ funkcjona lu kwadratowego Q(x r, u). = 0 ((x r 3(t) x r 30(t)) 2 + (x r 4(t) x r 40(t)) 2 + u 2 (t))dt z uwzglȩdnieniem liniowo-kwadratowych ograniczeń (generalized linear-quadratic DAE optimization). W dziedzinie chemicznych procesów produkcyjnych analizowane s a procesy realizowane w reaktorach przep lywowych i wsadowych. Niech w przep lywowym reaktorze chemicznym bȩdzie prowadzony proces produkcyjny przemiany substratu A B C w 6

produkt użyteczny C z produktem pośrednim B. izotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny A proces przemiany A B C A,B,C Określone jest zmienne w czasie zapotrzebowanie na produkt użyteczny s(t), t [t 0, t f ], przy czym s(t 0 ) = 0. Model procesu przybiera postać ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) k 1 c 2 A(t), t [t 0, t f ], c A (t 0 ) = 1, ċ B (t) = qc B (t) + k 1 c 2 A(t) k 2 c B (t), t [t 0, t f ], c B (t 0 ) = 0, c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, t [t 0, t f ], c C (t) = s(t), t [t 0, t f ], gdzie c A (t), c B (t), c C (t) oznaczaj a stȩżenia substacji A, B, C w reaktorze w chwili t, c A0 oznacza stȩżenie wejściowe substratu, q jest natȩżeniem przep lywu mieszaniny reaguj acej przez reaktor, zaś k 1 i k 2 s a wspó lczynnikami szybkości reakcji. Proces ma charakter izotermiczny. W modelu tym zmiennymi różniczkowymi stanu s a c A (t) i c B (t). Spe lniaj a one dwa równania różniczkowe dynamiki procesu. Rolȩ algebraicznej zmiennej stanu odgrywa w rozważanym modelu zmienna c C (t) pojawiaj aca siȩ w dwóch równaniach algebraicznych. Równanie trzecie jest tzw. równaniem zamykaj acym procesu, które wprowadza normalizacjȩ zmiennych procesowych -suma stȩżeń sk ladników jest sta la i znormalizowana na poziomie jednostkowym. 7

Warunek pocz atkowy dla algebraicznej zmiennej stanu powinien być zgodny z warunkami pocz atkowymi dla różniczkowych zmiennych stanu. W rozważanym przyk ladzie określenie tego warunku jest oczywiste c C (t 0 ) = 0, co oznacza, że w momencie pocz atkowym nie dysponujemy produktem użytecznym - bȩdzie on wytwarzany w trakcie prowadzenia procesu. W innych przyk ladach określenie warunku zgodności równania algebraicznego może być trudnym zadaniem wymagaj acym zastosowania metody Newtona do rozwi azywania nieliniowych równań algebraicznych. Cel sterowania dla rozpatrywanego procesu może być określony jako zapewnienie zadanego programu produkcji sk ladnika użytecznego z równoczesn a minimalizacj a sumarycznego zużycia surowca tf t 0 qc A0 (t)dt. Wprowadzaj ac oznaczenia x r 1(t). = c A (t), x r 2(t). = c B (t) dla różniczkowych zmiennych stanu i x a (t). = c C (t) dla algebraicznej zmiennej stanu, zaś u(t). = c A0 (t) dla sterowania, przedstawimy rozpatrywany model w standardowej postaci ẋ r 1(t) = q(u(t) x r 1(t)) k 1 x r 1(t) 2, t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + k 1 x r 1(t) 2 k 2 x r 2(t), t [t 0, t f ], x r 1(t) + x r 2(t) + x a (t) = 1, t [t 0, t f ], x a (t) = s(t), t [t 0, t f ]. Podstawiaj ac zmienn a algebraiczn a stanu z czwartego równania do trzeciego równania uzyskujemy model zredukowany ẋ r 1(t) = q(u(t) x r 1(t)) k 1 x r 1(t) 2, t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + k 1 x r 1(t) 2 k 2 x r 2(t), t [t 0, t f ], x r 1(t) + x r 2(t) = 1 s(t), t [t 0, t f ]. 8

W ostatnim modelu mamy do czynienia tylko z różniczkowymi zmiennymi stanu. Oprócz równań różniczkowych spe lniaj a one dynamiczne równanie algebraiczne określaj ace dodatkowy warunek prowadzenia procesu gwarantuj acy uzyskiwanie produktu użytecznego zgodnie z określonym programem. Cel optymalizacji procesu przybiera postać Q(x r, x a, u) =. tf t 0 qu(t)dt. Za lóżmy, że w rozpatrywanym przyk ladzie reakcje A B i B C s a egzotermiczne z ciep lami reakcji h 1 i h 2, a temperatura procesu T (t) jest kontrolowana za pomoc a czynnika ch lodz acego przep lywaj acego przez p laszcz ch lodz acy reaktora z natȩżeniem q c (t) i temperatur a T c (t). Chwilowe zapotrzebowanie na produkt użyteczny nie jest zadane. nieizotermiczny przep lywowy reaktor chemiczny A proces przemiany A B C A,B,C obwód grzejny T Model procesu zapisujemy jako uk lad równań różniczkowoalgebraicznych rozpatrywany w przedziale [t 0, t f ] ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) k 1 e β 1 T (t) c 2 A (t), ċ B (t) = qc B (t) + k 1 e β 1 T (t) c 2 A (t) k 2 e β 2 T (t) cb (t), T (t) = q(t 0 T (t))+h 1 e β 1 T (t) c 2 A (t)+h 2 e β 2 T (t) cb (t) q c (t)(t (t) T c ), c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, 9

gdzie trzecie równanie opisuje bilans cieplny reactora. W tym przypadku równania różniczkowe procesu określone s a za pomoc a skomplikowanych nieliniowych eksponencjalno-potȩgowych wyrażeń znacznie komplikuj acych ich rozwi azywanie. Nasila siȩ zjawisko propagacji b lȩdu i pojawiaj a siȩ niestabilne przebiegi zmiennych stanu. Dlatego celowe może być wprowadzenie algebraicznych zmiennych stanu oznaczaj acych szybkości reakcji κ 1 (t) i κ 2 (t). Model procesu przepisujemy w postaci równoważnej ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) κ 1 (t), ċ B (t) = qc B (t) + κ 1 (t) κ 2 (t), T (t) = q(t 0 T (t)) + h 1 k 1 κ 1 (t) + h 2 k 2 κ 2 (t) q c (t)(t (t) T c ), c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, κ 1 (t) = k 1 e β 1 T (t) c 2 A (t), κ 2 (t) = k 2 e β 2 T (t) cb (t). Równania różniczkowe w przekszta lconym modelu s a liniowe wzglȩdem zmiennych stanu, co istotnie u latwia ich rozwi azywanie. Nieliniowości przerzucone s a do równań algebraicznych. Wskaźnik jakości procesu obejmuje sumaryczne koszty surowca i ch lodzenia oraz sumaryczn a wartość produktu użytecznego tf t 0 (α 1 qc A0 (t) + α 2 q c (t) βc C (t))dt, gdzie α 1 i α 2 s a wspó lczynnikami kosztów surowca i czynnika ch lodz acego, a β jest wspó lczynnikiem wartości produktu. Wprowadzaj ac oznaczenia x r 1(t). = c A (t), x r 2(t). = c B (t), x r 3(t). = T (t) dla różniczkowych zmiennych stanu oraz x a 1(t). = c C (t), x a 2(t). = κ 1 (t), x a 3(t). = κ 2 (t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zaś u 1 (t). = 10

c A0 (t), u 2 (t). = q c (t) dla zmiennych steruj acych, przedstawimy rozpatrywany model w standardowej postaci ẋ r 1(t) = q(u 1 (t) x r 1(t)) x a 1(t), t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + x a 1(t) x a 2(t), t [t 0, t f ], ẋ r 3(t) = q(t 0 x r 3(t)) + h 1 k 1 x a 2(t) + h 2 k 2 x r 3(t) u 2 (t)(x r 3(t) T c ), x r 1(t) + x r 2(t) + x a 1(t) = 1, x a 1(t) = k 1 e β 1 x r 3 (t) x r 1(t) 2, x a 2(t) = k 2 e β 2 x a 3 (t) x r 2(t). Tak wiȩc czȩść różniczkowa równań stanu zosta la zasadniczo uproszczona, a czȩść algebraiczna uleg la komplikacji. Liczba algebraicznych zmiennych stanu zosta la zwiȩkszona do trzech zmiennych, a równania algebraiczne przybra ly postać nieliniow a. Możliwe jest też podejście pośrednie upraszczaj ace niektóre nieliniowości czȩści różniczkowej modelu. Wyróżnimy funkcje wp lywu temperatury na szybkość reakcji θ 1 (t). = k 1 e β 1 T (t), θ2 (t). = k 2 e β 2 T (t) jako algebraiczne zmienne stanu. Prowadzi to do równań różniczkowych stanu z nieliniowościami multiplikatywnymi ċ A (t) = q(c A0 (t) c A (t)) θ 1 (t)c 2 A(t), ċ B (t) = qc B (t) + θ 1 (t)c 2 A(t) θ 2 (t)c B (t), T (t) = q(t 0 T (t))+ h 1 k 1 θ 1 (t)c 2 A(t)+ h 2 k 2 θ 2 (t)c B (t) q c (t)(t (t) T c ), c A (t) + c B (t) + c C (t) = 1, θ 1 (t) = k 1 e β 1 T (t), θ 2 (t) = k 2 e β 2 T (t). Wprowadzaj ac oznaczenia x r 1(t). = c A (t), x r 2(t). = c B (t), x r 3(t). = T (t) dla różniczkowych zmiennych stanu oraz x a 1(t). = c C (t), x a 2(t). = 11

θ 1 (t), x a 3(t). = θ 2 (t) dla algebraicznych zmiennych stanu, zaś u 1 (t). = c A0 (t), u 2 (t). = q c (t) dla zmiennych steruj acych, przedstawimy rozpatrywany model w standardowej postaci ẋ r 1(t) = q(u 1 (t) x r 1(t)) x a 1(t)x a 1(t) 2, t [t 0, t f ], ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + x a 1(t)x r 1(t) 2 x a 2(t)x r 2(t), t [t 0, t f ], ẋ r 3(t) = q(t 0 x r 3(t))+ h 1 k 1 x a 2(t)x r 2(t) 2 + h 2 k 2 x a 3(t)x r 2(t) u 2 (t)(x r 3(t) T c ), x r 1(t) + x r 2(t) + x a 1(t) = 1, x a 1(t) = k 1 e β 1 x r 3 (t), x a 2(t) = k 2 e β 2 x r 3 (t). Od sposobu wyróżnienia czȩści różniczkowej i algebraicznej modelu procesu może istotnie zależeć efektywność procedur numerycznych dla l acznego rozwi azywania równań różniczkowo-algebraicznych. Podkreślimy to jeszcze na przyk ladzie procesów biotechnologicznych, które w wielu przypadkach modelowane s a z wykorzystaniem skomplikowanych funkcji wymiernych. Do przep lywowego bioreaktora doprowadzany jest substrat S(t) (pożywka, odpady, ścieki), a w bioreaktorze zainstalowane s a dwie konkuruj ace populacje mikrobiologiczne P 1 (t) i P 2 (t) przetwarzajçe substrat na biomasȩ B(t). Chociaż wymienione wielkości traktowane s a jako stȩżenia, to oznaczaj a one odmienne wielkości biofizyczne i nie s a normalizowane na poziomie jednostkowym. S a one natomiast skalowane za pomoc a odpowiednich wspó lczynników. Zależności miȩdzy wielkościami biofizycznymi procesu: szybkości zmiany stȩżenia substratu i populacji s a określone przez wielkości dop lywu i odp lywu biosk ladników procesu oraz przez szybkość przetwarzania substratu przez populacje Ṡ(t) = q(s 0 (t) S(t)) a 1 12 S(t) b 10 + b 11 S(t) P 1(t)

a 2 S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t) P 2(t), P 1 (t) = qp 1 (t) + ā 1 P 2 (t) = qp 2 (t) + ā 2 Ḃ(t) = qb(t) + ã 1 S(t) b 10 + b 11 S(t) P 1(t), S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t) P 2(t), S(t) b 10 + b 11 S(t) P 1(t) +ã 2 S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t) P 2(t), gdzie a i, ā i, ã i i b ij s a parametrami funkcji przyrostu populacji, zaś q jest natȩżeniem przep lywu biomieszaniny przez bioreaktor. Model powyższy jest modelem różniczkowym z czterema różniczkowymi zmiennymi stanu. Prawe strony równań stanu maj a charakterystyczn a dla procesów biotechnologicznych skomplikowan a postać funkcji wymiernych. Model ten można przekszta lcić do nastȩpuj acej postaci różniczkowo-algebraicznej: Ṡ(t) = q(s 0 (t) S(t)) a 1 h 1 (t)p 1 (t) a 2 h 2 (t)p 2 (t), P 1 (t) = qp 1 (t) + ā 1 h 1 P 1 (t), P 2 (t) = qp 2 (t) + ā 2 h 2 P 2 (t), Ḃ(t) = qb(t) + ã 1 h 1 (t)p 1 (t) + ã 2 h 2 (t)p 2 (t), h 2 (t). = h 1 (t). = S(t) b 10 + b 11 S(t), S(t) b 20 + b 21 S(t) + b 22 S 2 (t), gdzie h 1 (t) i h 2 (t) s a funkcjami przyrostu populacji. Optymalizacji podlega wartość średnia uzysku biomasy 1 τ t0 +τ t 0 qb(t)dt, gdzie τ jest d lugości a cyklu sterowania procesem. 13

Definiujemy różniczkowe zmienne stanu x r 1(t) =. S(t), x r 2(t) =. P 1 (t), x r. 3(t) = P 2 (t), x r. 4(t) = B(t), algebraiczne zmienne stanu x a 1(t) =. h 1 (t), x a. 2 = h 2 (t) i sterowanie u(t) =. S 0 (t). Wprowadzamy różniczkowo-algebraiczn a standaryzacjȩ opisu ẋ r 1(t) = q(u(t) x a 1(t)) a 1 x a 1(t)x r 2(t) a 2 x a 2(t)x r 3(t), ẋ r 2(t) = qx r 2(t) + ā 1 x a 1(t)x r 2(t), ẋ r 3(t) = qx r 3(t) + ā 2 x a 2(t)x r 3(t), ẋ r 4(t) = qx r 4(t) + ã 1 x a 1(t)x r 2(t) + ã 2 x a 2(t)x r 3(t), x a 2(t) = x a 1(t) = x r 1(t) b 10 + b 11 x r 1 (t), x r 1(t) b 20 + b 21 x r 1 (t) + b 22x r 1 (t)2. Uśredniony cel sterowania przybiera postać 1 τ τ 0 qx r 4(t)dt. Dalszym ważnym przyk ladem równań różniczkowo-algebraicznych s a równania dynamiki systemów z lożonych z interakcjami. Niech x i (t) oznacza zmienn a stanu i-tego podsystemu, v i (t) - jego zmienn a interakcyjn a, zaś u i (t) - jego zmienn a steruj ac a. Dla uk ladu N powi azanych podsystemów zapisujemy ich równania stanu ẋ i (t) = f i (x i (t), v i (t), u i (t), t), t [t 0, t f ] (i = 1,..., N) oraz ich równania interakcji v i (t) = N h ij (x j (t), v j (t), u j (t), t), t [t 0, t f ], (i = 1,..., N). j=1 14

Celem sterowania jest globalny zysk z prowadzenia procesu w systemie z lożonym N Q i (x i (t), v i (t), u i (t))dt, i=1 gdzie Q i s a funkcjami zysku dla poszczególnych podsystemów. Definiujemy zmienne różniczkowe stanu jako zmienne stanu podsystemów x r i (t) =. x i (t) oraz zmienne algebraiczne jako zmienne interakcyjne podsystemów x a i (t) =. v i (t). Model systemu z lożonego zapisujemy jako uk lad równań różniczkowo-algebraicznych ẋ r i (t) = f i (x r i (t), x a i (t), u i (t), t), t [t 0, t f ] (i = 1,..., N) N x a i (t) = h ij (x r j(t), x a j(t), u j (t), t), t [t 0, t f ], (i = 1,..., N). j=1 Funkcja celu przybiera postać N Q i (x r i (t), x a i (t), u i (t))dt. i=1 Problem nie zawiera już zmiennych interakcyjnych. Zosta ly one zast apione algebraicznymi zmiennymi stanu. Problem przybra l postać z lożonej optymalizacji różniczkowo-algebraicznej (large scale DAE optimization). 15

Przekszta lcanie i rozwi azywanie równań różniczkowo-algebraicznych Równania różniczkowo-algebraiczne można przekszta lcić do postaci różniczkowej różniczkuj ac równanie algebraiczne i wyznaczaj ac pochodn a zmiennej algebraicznej w funkcji pozosta lych zmiennych: d dt f a (x r (t), x a (t), u(t)) = 0 f a x r (t)ẋr (t) + f a x a (t)ẋa (t) + f a (t) u(t) = 0 u [ f ẋ a a ] 1 (t) = x (t) f a ( a x r (t)ẋr (t) + f a (t) u(t)). u Takie przekszta lcenie jest zawsze możliwe jeśli macierz f a x (t) jest a kwadratowa i nieosobliwa dla każdego t [t 0, t f ]. W tym przypadku jednokrotne różniczkowanie równania algebraicznego wystarcza do sprowadzenia modelu do postaci różniczkowej. ogólnym przypadku trzeba wykonać wiele takich różniczkowań, gdyż macierz f a x a (t) może być osobliwa lub osobliwa dla niektórych t [t 0, t f ], lub też może ona być macierz a prostok atn a. Definicja: Najmniejsza liczba różniczkowań równania algebraicznego procesu pozwalaj aca sprowadzić równanie RA do postaci różniczkowej nazywa siȩ indeksem równania RA. Rozważany przypadek z nieosobliw a macierz a f a x a (t) oznacza, że równanie RA jest indeksu pierwszego. Określenie indeksu jest stosowane do określania stopnia trudności rozwi azywania równania RA. Równanie takie jest uważane za tym trudniejsze, im wyższy jest jego indeks. Do wyznaczania rozwi azań równań różniczkowo-algebraicznych stosowana jest metoda Newtona w różnych wersjach. Wersje te uogólniaj a podstawowy wariant metody Newtona dla rozwi azywa- W 16

nia nieliniowych równań skalarnych f(x) = 0. Równanie to linearyzujemy w punkcie pocz atkowym x 0 f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) x x 0 = (f (x 0 )) 1 f(x 0 ). Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania na podstawie jego linearyzacji w punkcie pocz atkowym x 1 = x 0 (f (x 0 )) 1 f(x 0 ). Dokonujemy linearyzacji równania w punkcie kolejnym x 1 f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) x x 1 = (f (x 1 )) 1 f(x 1 ). Obliczamy nowe przybliżenie rozwi azania x 2 = x 1 (f (x 1 )) 1 f(x 1 )... Wynika st ad iteracyjna metoda Newtona x κ+1 = x κ (f (x κ )) 1 f(x κ ), κ = 0, 1, 2,.... Dla równań z argumentem wektorowym x R n f (x κ ) oznacza macierz Jacobiego, tj. pochodna f (x κ ) = ( f (i) x (j) (x κ )) i,j=1,...,n, gdzie obliczane s a pochodne cz astkowe kolejnych sk ladowych równania f (i) wzglȩdem kolejnych sk ladowych argumentu x (i). Metoda Newtona jest zbieżna jeśli znane jest dobre przybliżenie pocz atkowe. Takie przybliżenie wyznaczane jest na podstawie minimalizacji kwadratowej min f 2 (x). x R n 17

Dla równania posiadaj acego rozwi azanie minimalna wartość funkcji celu ostatniego problemu jest zerowa. Zastosowanie do tego problemu np. gradientowego algorytmu optymalizacji pozwala oszacować jakość osi agniȩtego przybliżenia. W literaturze anglojȩzycznej numeryczne procedury rozwi azywania równań różniczkowych określane s a mianem ODE Solvers, a równań różniczkowo-algebraicznych mianem DAE Solvers. Stosuj a one dyskretyzacjȩ czasu t 0 < t 1 <... < t k 1 < t k <... < t f z d lugości a kroku h k = t k t k 1. Proste jednokrokowe procedury tego rodzaju stosuj a jawn a aproksymacjȩ Eulera dla równań różniczkowych x(t k ) x(t k 1 ) h k f(x(t k 1 ), u(t k 1 ), t k 1 ) = 0, k = 1, 2,..., gdzie k jest numerem iteracji. Tak wiȩc pochodn a aproksymujemy lewostronnym ilorazem różnicowym. Przy zadanym stanie pocz atkowym x(t 0 ) wyznaczamy stan x(t 1 ) z jawnej aproksymacji. Znaj ac x(t 1 ) w podobny sposób wyznaczamy x(t 2 ) itd. Taka procedura jest ma lo dok ladna i może być praktyczna dla bardzo prostych równań. Celem uzyskania dok ladniejszych wyników stosujemy niejawn a (wsteczn a) aproksymacjȩ Eulera dla równań różniczkowych x(t k ) x(t k 1 ) h κ f(x(t k ), u(t k ), t k ) = 0, k = 1, 2,..., Przy zadanym stanie pocz atkowym x(t 0 ) wyznaczamy stan x(t 1 ) rozwi azuj ac równanie aproksymuj ace tego stanu metod a Newtona. Znaj ac x(t 1 ) w podobny sposób wyznaczamy x(t 2 ) itd. Dla równań różniczkowo-algebraicznych jawna aproksymacja 18

Eulera przybiera postać x r (t k ) x r (t k 1 ) h k f r (x r (t k 1 ), x a (t k 1 ), u(t k 1 ), t k 1 ) = 0, k = 1, 2,... f a (x r (t k 1 ), x a (t k 1 ), u(t k 1 ), t k 1 ) = 0, k = 1, 2,... W momencie pocz atkowym wyznaczamy stan algebraiczny x a (t 0 ) zgodny z zadanym pocz atkowym stanem różniczkowym x r (t 0 ). Ogólnie bior ac wykorzystujemy w tym celu metodȩ Newtona. Nastȩpnie określamy x(t 1 ) z jawnej aproksymacji równania różniczkowego. Postȩpowanie to powtarzamy dla k = 2, 3... Celem uzyskania dok ladniejszych wyników stosujemy niejawn a (wsteczn a) aproksymacjȩ Eulera dla równań różniczkowo-algebraicznych x r (t k ) x r (t k 1 ) h k = f r (x r (t k ), x a (t k ), u(t k ), t k ), k = 1, 2,... f a (x r (t k ), x a (t k ), u(t k ), t k ), k = 1, 2,... Równania RA rozwi azujemy l acznie metod a Newtona wzglȩdem l acznego stanu (x r (t k ), x a (t k )). Oczywiście takie postȩpowanie daje siȩ zrealizować przy spe lnieniu odpowiednich warunków dla realizowalności metody Newtona (dostatecznie dobre przybliżenia pocz atkowe, odwracalność macierzy Jacobiego). Metody wielokrokowe stosuj a dodatkow a dyskretyzacjȩ czasu pomiȩdzy punktami t k 1 i t k z drobnym krokiem h kl. = tkl t k 1,l t k 1 = t k 1,0 < t k 1,1 < t k 1,2 <... < t k 1,l <... < t k 1,m < t k. Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji równania różniczkowego wyznacza wartość x r (t k ) na podstawie znajomości x r (t k 1 ) oraz wielu wartości pośrednich x r (t k 1,l ) m x r (t k ) = x r (t k 1 ) + h kl φ kl, n = 1, 2,..., l=1 19

. φ kl = f r (x r (t k 1,l ), u r (t k 1,l ), t k 1,l ), l = 1, 2,..., m, gdzie pośrednie wartości stanu różniczkowego obliczane s a w punktach t k 1,l x r (t k 1,l ) = x r (t k 1 ) + h kl φ k,l 1, l = 1, 2,..., m. W szczególności zak ladaj ac m = 4 uzyskujemy przy pewnym wyborze drobnych kroków h kl szeroko stosowan a metodȩ Rungego-Kutty czwartego rzȩdu dla numerycznego rozwi azywania nieliniowych równań różniczkowych. Jawna wielokrokowa metoda aproksymacji równania różniczkowoalgebraicznego wyznacza wartość x r (t k ) na podstawie znajomości x r (t k 1 ) oraz wielu wartości pośrednich stanu różniczkowego x r (t k 1,l ) i algebraicznego x a (t k 1,l ) x r (t k ) = x r (t k 1 ) + m h kl φ kl, k = 1, 2,..., l=1. φ kl = f r (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l ), u r (t k 1,l ), t k 1,l ), l = 1, 2,..., m, gdzie poŕednie wartości stanu różniczkowego i stanu algebraicznego obliczane s a w punktach t k 1,l x r (t k 1,l ) = x r (t k 1 ) + h kl φ k,l 1,. φ k,l 1 = f r (x r (t k 1,l 1 ), x a (t k 1,l 1, u r (t k 1,l 1 ), t k 1,l 1 ), f a (x r (t k 1,l 1 ), x a (t k 1,l 1, u r (t k 1,l 1 ), t k 1,l 1 ) = 0, l = 1, 2,..., m. Równanie algebraiczne rozwi azywane jest wzglȩdem x a (t k 1,l 1 ) przy zadanym x r (t k 1,l 1 ). Można wiȩc powiedzieć, że ostatnia metoda jest pó ljawna. Jawne i pó ljawne metody wielokrokowe daj a dobre wyniki dla szerokiej klasy równań różniczkowych stanu i równań różniczkowo-algebraicznych stanu. 20

W niejawnych metodach wartości pośrednie zmiennych stanu wyznaczane s a w rezultacie l acznego rozwi azywania niejawnych równań różniczkowych i algebraicznych wzglȩdem l acznego argumentu (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l )) obejmuj acego stan różniczkowy i algebraiczny x r (t k 1,l ) = x r (t k 1 ) + h kl φ k,l,. φ k,l = f r (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l, u r (t k 1,l ), t k 1,l ), f a (x r (t k 1,l ), x a (t k 1,l, u r (t k 1,l ), t k 1,l ) = 0, l = 1, 2,..., m. Metody takie mog a dawać bardzo dok ladne wyniki. Wymagaj a jednak dużego nak ladu obliczeń. Stosowane s a m.in. do rozwi azywania tzw. sztywnych uk ladów różniczkowo-algebraicznych o ma lo stabilnych przebiegach. Numeryczne procedury typu ODE Solver i DAE Solver s a zawarte w uniwersalnych programach obliczeniowych takich jak MATLAB i MATHEMATICA. Istnieje także wiele zaawansowanych wersji tych procedur powi azanych z metodami optymalizacji np. program MUSCOD. Szerokie omówienie takich procedur prezentuj a w swoich monografiach Biegler i Betts. Pozwalaj a one rozwi azywać problemy typu DAE Optimization z dziesi atkami, a nawet setkami tysiȩcy zmiennych. 21

Singularne modele procesów sterowania Modele różniczkowo-algebraiczne procesów sterowania s a szczególnym przypadkiem modeli singularnych. Niech bȩdzie dany różniczkowo-algebraiczny model procesu sterowania ẋ r (t) = f r (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ], x r (t 0 ) = x r 0, f a (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) = 0, t [t 0, t f ]. Zestaw stanu różniczkowego i algebraicznego zapisywany jest w postaci stanu uogólnionego procesu ( ) x r (t) x(t) =. x a (t) Niech funkcja f ma w charakterze sk ladowych prawe strony równania różniczkowo-algebraicznego ( ) f r (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) f(x(t), u(t), ξ(t), t) = f a (x r (t), x a (t), u(t), ξ(t), t) i niech macierz E przyjmuje postać osobliw a ( ) I O1 E =, O 2 O 3 przy czym I jest macierz a jednostkow a o wymiarach n x r n x r, zaś zerowe macierze O 1, O 2 i O 3 maj a wymiary odpowiednio n x r n x a, n x a n x r i n x a n x a. Równanie różniczkowo-algebraiczne procesu można przepisać w równoważnej postaci singularnej Eẋ(t) = f(x(t), u(t), ξ(t), t), t [t 0, t f ]. 22

Ogólne singularne modele s a charakterystyczne dla elektrycznych i elektronicznych uk ladów sterowania, dla uk ladów ze sprzȩżeniem zwrotnym i dla uk ladów z lożonych. Macierz E nie musi mieć struktury zero-jedynkowej zwi azanej z modelami różniczkowoalgebraicznymi. Osobliwość macierzy E może oznaczać, że model uk ladu przybiera postać, która nie jest rozwik lywalna wzglȩdem pochodnych. Model taki nazywany jest też uwik lanym modelem procesu sterowania. Niech bȩdzie dany obwód elektryczny ze źród lem napiȩcia e(t), rezystancj a R, kondensatorami C 1 i C 2 oraz z indukcyjności a L. Sk lada siȩ on z dwóch szeregowo po l aczonych podobwodów RLC 1 oraz C 1 ec 2. Zmiennymi stanu uogólnionego s a napiȩcia U 1 (t) i U 2 (t) na kondensatorach oraz natȩżenie pr adu I(t) w indukcyjności. Sterowaniem jest napiȩcie źród lowe e(t). Wyjściem jest napiȩcie U 2 (t) na kondensatorze C 2. obwód elektryczny RLC 1 ec 2 L e(t) C R I 1 (t) 1 C = U I 2 (t) 2 1 (t) = U 2 (t) Na podstawie praw Kirchhoffa zapisujemy równania dla podobwodów RI(t) + L I(t) + U 1 (t) = 0, U 1 (t) + e(t) U 2 (t) = 0, C 1 U 1 (t) + C 2 U 2 (t)) = I(t). 23

Równania te zapisujemy w postaci równoważnej 0 0 L U 1 (t) 1 0 R U 1 (t) 0 C 1 C 2 0 U 2 (t) = 0 0 1 U 2 (t) + 0 e(t) 0 0 0 I(t) 1 1 0 I(t) 1 Macierz pojawiaj aca siȩ przy wektorze stanu uogólnionego jest osobliwa, lecz nie ma struktury zero-jedynkowej charakterystycznej dla uk ladów różniczkowo-algebraicznych. Odzwierciedla ona uwik lane równania zmiennych stanu uogólnionego w rozpatrywanym obwodzie elektrycznym. Oznaczamy zmienne stanu uogólnionego jako x 1 (t) = U 1 (t), x 2 (t) = U 2 (t), x 3 (t) = I(t), wektor stanu uogólnionego jako x 1 (t) x(t) = x 2 (t), x 3 (t) sterowanie jako u(t) = e(t), a macierze uogólnionego równania stanu jako 0 0 L 1 0 R 0 E = C 1 C 2 0, A = 0 0 1, B = 0. 0 0 0 1 1 0 1 Zapisujemy model rozpatrywanego uk ladu w postaci liniowego singularnego równania stanu w którym dete = 0. Eẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), Innym źród lem uk ladów singularnych s a uk lady z uogólnionym sprzȩżeniem zwrotnym. W przypadku podstawowym równania 24

uk ladu ze sprzȩżeniem zwrotnym maj a postać ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = Ky(t), co prowadzi do równania zamkniȩtego uk ladu sterowania ẋ(t) = (A + BKC)x(t). Sterowanie jest ca lkowicie eliminowane przez sprzȩżenie zwrotne. Jeśli natomiast wprowadzane jest nowe sterowanie zewnȩtrzne v(t), a sprzȩżenie zwrotne zależy nie tylko od wyjścia obiektu lecz także od jego pochodnej przyspieszaj acej dzia lanie uk ladu, to równania uk ladu przybieraj a postać ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t), u(t) = v(t) K 1 y(t) K 2 ẏ(t). Prowadzi to do równania zamkniȩtego uk ladu sterowania (I + BK 2 C)ẋ(t) = (A BK 1 C)x(t) lub Jeżeli Eẋ(t) = (A BK 1 C)x(t), E. = I + BK 2 C. dete = det(i + BK 2 C) = 0, to uk lad zamkniȩty staje siȩ singularnym uk ladem sterowania. Rozważane s a również singularne uk lady sterowania z czasem dyskretnym. Mog a one być bezpośrednim wynikiem modelowania uk ladu funkcjonuj acego z pewnym taktem zmienności (okresem zmienności) lub mog a być wynikiem dyskretyzacji uk ladu singularnego z czasem ci ag lym. Liniowe singularne uk lady sterowania modelowane s a za pomoc a równań Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k = k 0, k 0 + 1, k 0 + 2,... 25

Przyk ladem singularnego modelu procesu sterowania w dziedzinie ekonomii jest model Leontiefa N-sektorowego procesu produkcyjnego spe lniaj acego równanie dynamiki x(k) = F x(k) + E(x(k + 1) x(k)) + u(k), k = 0, 1,..., gdzie wektor x(k) = (x T 1 (k), x T 2 (k),..., x T N(k)) T opisuje poziomy produkcji w poszczególnych sektorach w okresie k-tym (miesi ac, kwarta l, rok) w jednostkach monetarnych, macierz F opisuje nak lady na bież ac a produkcjȩ, macierz E opisuje nak lady na rozwój produkcji w poszczególnych sektorach, a wektor u(k) = (u T 1 (k), u T 2 (k),..., u T N(k)) T oznacza zewnȩtrzne zapotrzebowanie. Uzyskujemy st ad po prostych przekszta lceniach równanie singularnego procesu sterowania Ex(k + 1) = (I + E F )x(k) u(k), k = 0, 1,..., gdyż macierz miȩdzysektorowych przep lywów kapita lowych E jest w wielu przypadkach osobliwa dete = 0 (macierz E ma z regu ly wiele elementów zerowych ponieważ kapita l rozwoju produkcji pochodzi zwykle tylko z niektórych sektorów). Bardzo ogólny opis uk ladu sterowania w nieliniowej postaci uwik lanej wzglȩdem pochodnych określany jest mianem równania deskryptorowego f(ẋ(t), x(t), u(t), t) = 0, a uogólniony stan uk ladu nazywany jest deskryptorem uk ladu. 26