Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego
|
|
- Damian Filipiak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody rzutowania i funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym z ograniczeniami zasobowymi może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty realizacji procesu i wartość produktu użytecznego G(x, u) = z uwzglȩdnieniem t1 t 0 g(x(t), u(t), t)dt + h(x(t 1 )) równania stanu procesu z zadanym stanem pocz atkowym ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t 0, t 1 ], x(t 0 ) = x 0 ograniczeń chwilowych sterowania u(t) [u, u + ], t [t 0, t 1 ], oraz ograniczeń zasobowych sterowania w postaci równościowej lub nierównościowej t1 t 0 ϕ(u(t))dt = b, t1 t 0 ϕ(u(t))dt b, gdzie x W2 1 ([t 0, t 1 ]; R n ) jest trajektori a stanu procesu, u L 2 ([t 0, t 1 ]; R m ) jest jego sterowaniem, a g : R n R m R R, h : R n R, f : R n R m R R n, ϕ : R n R m R R q s a, ogólnie bior ac, funkcjami nieliniowymi. 1
2 Na podstawie standardowych twierdzeń o istnieniu rozwi azania równania różniczkowego z zadanym warunkiem pocz atkowym można uważać równanie stanu rozważanej klasy procesów za rozwik lywalne wzglȩdem stanu w funkcji sterowania. Określone jest wiȩc odwzorowanie x(t, u) jednoznacznie wyznaczaj ace stan procesu w chwili t w funkcju sterowania u. Pozwala to zredukować rozważany problem do przestrzeni sterowania: zminimalizować zredukowany wskaźnik jakości J(u). = t1 t 0 g(x(t, u), u(t), t)dt + h(x(t 1, u)) z uwzglȩdnieniem ograniczeń chwilowych i równościowych ograniczeń zasobowych sterowania u U. = {u L 2 ([t 0, t 1 ]; R m ) : u(t) [u, u + ] (t [t 0, t 1 ]), t1 t 0 ϕ(u(t))dt = b} lub ograniczeń chwilowych i nierównościowych ograniczeń zasobowych sterowania u U. = {u L 2 ([t 0, t 1 ]; R m ) : u(t) [u, u + ] (t [t 0, t 1 ]), t1 t 0 ϕ(u(t))dt b}. Praktyczna realizacja wielu algorytmów sterowania optymalnego zwi azana jest z dyskretyzacj a sterowania. Zastosowanie znajduje tu przede wszystkim baza funkcji schodkowych (t 0 = 0, t 1 = 1) u(t, u) = e k(t)u k, gdzie u k R m and { 1 if t [k/k, (k + 1)/K), e k (t) = 0 if t / [k/k, (k + 1)/K). Wyznaczamy rozwi azanie równania stanu ze sterowaniem dyskretnym ẋ(t) = f(x(t), u(t, u), t), t [0, 1], x(0) = x 0 oraz równanie sprzȩżone ze sterowaniem dyskretnym η(t) = fx T (x(t), u(t, u), t)η(t) + gx T (x(t), u(t, u), t), t [0, 1], η(1) = h T x (x(1)), a nastȩpnie określamy funkcjȩ Hamiltona dla przypadku sterowania zdyskretyzowanego H u (x(t), u(t, u), t) = g(x(t), u(t, u), t) + η(t) T f(x(t), u(t, u), t). 2
3 Gradient wskaźnika jakości zredukowanego do przestrzeni funkcji schodkowych uzyskuje siȩ w postaci zdyskretyzowanej gdzie J uk (u) = (k+1)δ kδ J u (u) = (J uk (u)), H u (x(t), u(t, u), t)dt, δ. = 1/K, k = 0, 1,..., K 1. Metoda rzutowania gradientu w przestrzeni sterowania Funkcja wypuk la: Za lożenie: sk ladowe funkcji ograniczeń zasobowych ϕ p (u(t)), s a funkcjami wypuk lymi wzglȩdem u(t) w przedziale [u, u + ] tj. p = 1, 2,..., q ϕ p (αu(t) + (1 α)ũ(t)) αϕ p (u(t)) + (1 α)ϕ p (ũ(t)), α [0, 1] gdzie u(t) i ũ(t) s a sterowaniami z przedzia lu [u, u + ]. Warunkiem koniecznym i wystarczaj acym wypuk lości funkcji dwukrotnie różniczkowalnych jest nieujemność drugiej pochodnej funkcji w danym obszarze. Tak wiȩc funkcje ϕ 1 (u(t)) =. u 1 (t), ϕ 2 (u(t)) =. u 2 (t) s a wypuk le w każdym nieujemnym przedziale. Wypuk lość funkcji ϕ p poci aga za sob a wypuk lość zbioru sterowań dopuszczalnych. Do optymalizacji sterowania można zastosować metodȩ rzutowania gradientu w przestrzeni sterowań ( u κ+1 = P U u κ γ κ Ju T (u κ ) ), κ = 0, 1, 2,..., gdzie u κ jest sterowaniem na κ-tej iteracji algorytmu, γ + jest d lugości a kroku w kierunku antygradientu, a P U (ũ κ ) =. argmin{ u ũ κ : u U} jest rzutem ortogonalnym antygradientowej modyfikacji sterowania ũ κ. = u κ γ κ Ju T (u κ ) 3
4 na zbiór sterowań dopuszczalnych. W przypadku stosowania schodkowej dyskretyzacji sterowania zbiór dyskretnych sterowań dopuszczalnych z ograniczeniami chwilowymi i równościowymi ograniczeniami zasobowymi przybiera postać U K. = { {uk } : u k [u, u + ], k = 0, 1,..., K 1; ϕ(u k )/K = b }, zaś zbiór dyskretnych sterowań dopuszczalnych z ograniczeniami chwilowymi i nierównościowymi ograniczeniami zasobowymi przybiera postać U K. = { {uk } : u k [u, u + ], k = 0, 1,..., K 1; ϕ(u k )/K b }. Określenie rzutu ortogonalnego sterowania dyskretnego {ũ k } na zbiór U K jest równoważne z minimalizacj a kwadratu odleg lości euklidesowej od wypuk lego zbioru U K. min u k U K (u k ũ k ) 2 /K, Wkomponowanie ograniczenia zasobowego do funkcji celu za pomoc a mnożnika Lagrange a λ pozwala przekszta lcić powyższy problem do postaci minimalizacji zmodyfikowanej funkcji celu (u k ũ k ) 2 /K + λ( ϕ(u k )/K b) z uwzglȩdnieniem ograniczeń chwilowych sterowania dyskretnego u k [u, u + ], k = 0, 1, 2,..., K 1. Jeśli uznać mnożnik λ za ustalony parametr, to ostatni problem można zapisać w postaci równoważnej: zminimalizować na zbiorze ( (uk ũ k ) 2 + λϕ(u k ) ) u k [u, u + ], k = 0, 1, 2,..., K 1. Dla liniowej funkcji ϕ(u(t)) = u(t) stosowanej np. do określenia sumaryczego zużycia substratu 1 u(t)dt uzyskuje siȩ 0 ( (uk ũ k ) 2 + λu k ) 4
5 na zbiorze u k [u, u + ], k = 0, 1, 2,..., K 1. Optymalne rozwi azanie wyznaczone jest przez obliczenie punktu zerowego pochodnej sk ladowych funkcji celu i obciȩcie tego punktu do przedzia lu dopuszczalnych wartości sterowania [u, u + ] tj. 2(u k ũ k ) + λ = 0, u k = ũ k λ/2, u k = sat(ũ k λ/2, u, u + ), gdzie funkcja sat jest zdefiniowana jak nastȩpuje x gdy x [y, z] sat(x, y, z) = y gdy x < y z gdy x > z Mnożnik λ obliczany jest jako rozwi azanie równania zasobowego ψ(λ) = b, ψ(λ). = sat(ũ k λ/2, u, u + )/K. Jeśli ˆλ 0 jest rozwi azaniem powyższego równania, to rzut ortogonalny antygradientowej modyfikacji sterowania dyskretnego na zbiór U K daje siȩ określić w postaci P UK (ũ k ) = {sat(ũ k ˆλ/2, u, u + )}. Dla kwadratowej funkcji ϕ(u(t)) = u 2 (t) stosowanej np. do określenia sumaryczego zużycia energii 1 0 u2 (t)dt uzyskuje siȩ zadanie z mnożnikiem λ: zminimalizować na zbiorze ( (uk ũ k ) 2 + λu 2 k) u k [u, u + ], k = 0, 1, 2,..., K 1. W tym przypadku wygodnie jest przekszta lcić minimalizowan a funkcjȩ do postaci ( (1 + λ)u 2 k 2u k ũ k ) ) Optymalne rozwi azanie wyznaczone jest przez obliczenie punktu zerowego pochodnej sk ladowych funkcji celu i obciȩcie tego punktu do przedzia lu dopuszczalnych wartości sterowania [u, u + ] tj. 2(1 + λ)(u k 2ũ k ) = 0, u k = ũ k /(1 + λ), u k = sat(ũ k /(1 + λ), u, u + ), 5
6 gdzie funkcja sat jest zdefiniowana jak nastȩpuje x gdy x [y, z] sat(x, y, z) = y gdy x < y z gdy x > z Mnożnik λ obliczany jest jako rozwi azanie równania zasobowego ψ(λ) = b, ψ(λ). = sat 2 (ũ k /(1 + λ), u, u + )/K. Jeśli ˆλ 0 jest rozwi azaniem powyższego równania, to rzut ortogonalny antygradientowej modyfikacji sterowania dyskretnego na zbiór U K daje siȩ określić w postaci P UK (ũ k ) = {sat(ũ k /(1 + λ), u, u + )}. Dla równościowych ograniczeń zasobowych mnożnik λ jest nieograniczonego znaku. W przypadku nierównościowych ograniczeń zasobowych należy wyznaczyć nieujemny mnożnik λ 0 jako rozwi azanie nierówności zasobowej ψ(λ) b, ψ(λ). = sat(ũ k λ/2, u, u + )/K jeśli ϕ(t) = u(t) (ograniczenie surowcowe) i jako rozwi azanie nierówności zasobowej ψ(λ) b, ψ(λ). = jeśli ϕ(t) = u 2 (t) (ograniczenie energetyczne). sat 2 (ũ k /(1 + λ), u, u + )/K 6
7 Algorytm rzutowania gradientu dla problemów sterowania optymalnego z ograniczeniami zasobowymi Etap wstȩpny. Wybierz wymiar bazy schodkowej sterowania K i dyskretne sterowanie pocz atkowe (wspó lczynniki bazy schodkowej) u =. {u k } i dok ladność obliczeń ɛ. Etap pierwszy. Wyznacz rozwi azanie równania stanu ze sterowaniem dyskretnym ẋ(t) = f(x(t), u(t, u), t), t [0, 1], x(0) = x 0 oraz równanie sprzȩżone ze sterowaniem dyskretnym η(t) = f T x (x(t), u(t, u), t)η(t) + g T x (x(t), u(t, u), t), t [0, 1], η(1) = h T x (x(1)). Etap drugi. Oblicz gradient zredukowanego wskaźnika jakości (k+1)δ J uk (u) = H u (η(t), x(t), u(t, u), t)dt, δ = 1/K, k = 0, 1,..., K 1, kδ i podstaw startow a d lugość kroku γ. Etap trzeci. Wyznacz rzut ortogonalny sterowania antygradientowego na l aczne ograniczenia chwilowe zasobowe sterowania P U (u γj u (u)) = {sat(u γj u (u)) + λ/2, u, u + )} rozwi azuj ac równanie krzywej zasobowej ψ(λ) = 0 wzglȩdem λ sat(u γj u (u)) + λ/2, u, u + )/K = b. Etap czwarty. Jeśli J(P U (u γj u (u))) < J(u), to podstaw u := u γj u (u). W przeciwnym przypadku podstaw γ := γ/2 i wróć do etapu 3. Etap pi aty. Jeśli u P U (u J u (u) < ɛ, to stop. W przeciwnym razie wróć do etapu pierwszego. 7
8 Zbieżność metody rzutowania gradientu. Gradient zredukowanego wskaźnika jakości może mieć postać wierszow a J u (u) =. (J u1 (u), J u2 (u),..., J um (u)) lub kolumnow a J (u) =. Ju T (u). Lemat. Jeśli gradient J (u) zredukowanego wskaźnika jakości spe lnia na zbiorze wypuk lym U warunek Lipschitza ze sta l a L 0 J (u) J (v) L u v, u, v U, to zachodzi nierówność J(u) J(v) J, u v L u v 2 dla dowolnych u, v U. Dowód. Na podstawie rozwiniȩcia funkcji J(u) w szereg Taylora pierwszego rzȩdu można napisać, że J(u) J(v) J (v), u v = 1 Z warunku Lipschitza dla gradientu J (u) uzyskuje siȩ J(u) J(v) J (v), u v J (v + t(u v)) J (v) u v dt J (v + t(u v)) J (v), u v dt. J (v + t(u v)) J (v), u v dt 1 L u v 2 tdt = L u v 2. Twierdzenie. Jeśli zredukowany wskaźnik jakości J(u) spe lnia na zwartym wypuk lym zbiorze U warunek Lipschitza, to ci ag sterowań u κ określony za pomoc a metody rzutowania gradientu u κ+1 = P U (u κ γ k J (u κ )), γ κ [ɛ 0, 2/(L + 2ɛ 1 )], ɛ 1, ɛ 2 > 0, κ = 0, 1, 2,... jest zbieżny do sterowania u spe lniaj acego warunek optymalności na zbiorze U J (u ), u u 0 u U. 8
9 Metoda funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego z ograniczeniami chwilowymi stanu Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym z chwilowymi ograniczeniami stanu może polegać na minimalizacji kombinowanego wskaźnika jakości G(x, u) = z uwzglȩdnieniem τ 0 g(x(t), u(t), t)dt + h(x(τ)) równania stanu procesu z zadanym stanem pocz atkowym ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [0, τ], x(0) = x 0 ograniczeń chwilowych niektórych wspó lrzȩdnych stanu h(x(t)) 0, t [0, τ], oraz ograniczeń chwilowych sterowania u(t) [u, u + ], t [0, τ], gdzie [0, τ] jest przedzia lem czasowym sterowania, x W ([0, 1 τ]; R n ) jest trajektori a stanu procesu, u L ([0, τ]; R m ) jest jego sterowaniem, a g : R n R m R R, f : R n R m R R n, h : R n R, h : R n R p, s a, ogólnie bior ac, funkcjami nieliniowymi. Standardowe twierdzenia o istnieniu rozwi azania równania różniczkowego z zadanym warunkiem pocz atkowym pozwalaj a uważać równanie stanu rozważanej klasy procesów za rozwik lywalne wzglȩdem stanu w funkcji sterowania. Określone jest wiȩc odwzorowanie x(t, u) jednoznacznie wyznaczaj ace stan procesu w chwili t w funkcju sterowania u. Na tej podstawie można zredukować rozważany problem do przestrzeni sterowania: zminimalizować zredukowany wskaźnik jakości J(u) =. z uwzglȩdnieniem τ 0 g(x(t, u), u(t), t)dt + h(x(τ, u)) 9
10 nierównościowych ograniczeń nieliniowych stanu chwilowego oraz ograniczeń chwilowych sterowania h(x(t, u)) 0, t [0, τ] u(t) [u, u + ], t [0, τ]. Te ostatnie ograniczenia mog a nie być w l aczone w sposób jawny do sformu lowania niektórych problemów jeśli minimalizacja wskaźnika jakości automatycznie ogranicza amplitudȩ sterowania. Aby zastosować algorytmy optymalizacji skończenie wymiarowej do rozważanego problemu celowo jest wprowadzić dwie, ogólnie bior ac, różne dyskretyzacje przedzia lu sterowania.. Dyskretyzacja t k = kτ/k1, k = 0, 1,..., k 1 1 zwi azana jest z dyskretyzacj a schodkow a sterowania u(t, u) = k 1 1 e k(t)u k.. Natomiast dyskretyzacja t k = kτ/k2, k = 0, 1,..., k 2 zwi azana jest ze skończenie wymiarow a aproksymacj a ograniczeń chwilowych stanu h k (u) 0, k = 1,..., k 2, gdzie h k (u). = h( t k, u)). Ogólnie bior ac k 1 k 2. Duża liczba k 2 punktów aproksymacji ograniczeń stanu chwilowego może zapewnić dobr a reprezentacjȩ ograniczeń trajektorii stanu h(x(t, u)) 0 w ca lym przdziale sterowania [0, τ]. Dwuskalowa dyskretyzacja sprowadza rozpatrywany problem do zadania optymalizacji skończenie-wymiarowej typu: zminimalizować zredukowany wskaźnik jakości przy ograniczeniach J(u). = τ 0 g(x(t, u), u(t, u), t)dt + h(x(τ, u)) h k (u) 0, k = 1, 2,..., k 2, u k [u, u + ], k = 0, 1,..., k 1 1. Przyk lad: Proces produkcyjny prowadzony w zbiornikowym reaktorze chemicznym polega na przemianie surowca A w produkt użyteczny B w rezultacie odwracalnej reakcji egzotermicznej wydzielaj acej energiȩ ciepln a. W charakterze 10
11 zmiennych stanu i zmiennych steruj acych wyróżnione s a nastȩpuj ace wielkości: x 1 (t) - stȩżenie A w reaktorze w chwili t, x 2 (t) - temperatura w reaktorze w chwili t, u 1 (t) - natȩżenie dop lywu katalizatora do reaktora oraz u 2 (t) - natȩżenie dop lywu czynnika ch lodz acego do tego reaktora. Równania stanu procesu maj a postać ẋ 1 (t) = a 1 u 1 (t)x 2 1(t)e b 1/x 2 (t) + a 2 x 1 (t)e b 2/x 2 (t), t [0, 1], x 1 (0) = x 10, ẋ 2 (t) = a 3 u 1 (t)x 2 1(t)e b 1/x 2 (t) a 4 u 2 (t), t [0, 1], x 2 (0) = x 20, gdzie przyjȩto jednostkowy przedzia l czasowy sterowania. Należy zminimalizować zawartość surowca w chwili końcowej procesu (tj. zmaksymalizować zawartość produktu użytecznego w chwili końcowej procesu) J(u) =. x 1 (1) z uwzglȩdnieniem ograniczenia temperatury chwilowej w reaktorze w przedziale sterowania x 2 (t) x 2, t [0, 1] oraz ograniczeń chwilowych sterowania u j (t) [u j, u+ j ], t [0, 1]. Redukcja problemu do przestrzeni sterowania i jego dyskretyzacja pozwalaj a zapisać go w postaci zadania optymalizacji: zminimalizować wskaźnik jakości J(u) = x 1 (1, u) przy ograniczeniach x 2 ( t k, u) x 2, k = 1, 2,..., k 2, u jk [u j, u+ j ], j = 1, 2; k = 0, 1,..., k 1 1. Zastosowanie metody przesuwanej funkcji kary do wyznaczania optymalnego rozwi azania powyższego zadania jest utrudnione ze wzglȩdu na konieczność wykonania znacznej liczby przesuniȩć tej funkcji w powi azaniu z obliczeniem naruszenia kolejnych ograniczeń. Lepsze rezultaty można uzyskać za pomoc a metody funkcji barierowych, które odpychaj a obliczane sterowania od brzegu obszaru dopuszczalnego. Dla opisu tej metody celowo jest przeformu lować zadania rozważanego typu do postaci: zminimalizować zredukowany wskaźnik jakości J(u) 11
12 przy ograniczeniach h k (u) 0, k = 1, 2,..., k 2, u U, gdzie nieliniowe ograniczenia nierównościowe s a zapisane w postaci wiȩksze niż zero lub równe zeru h k (u) 0, k = 1, 2,..., k 2, h k (u) =. h k (u), a U jest zbiorem ograniczeń zakresu zmiennych steruj acych U =. {u R m : u k [u, u + ], k = 0, 1,..., k 1 1, m =. mk 1 }. W przypadku braku jawnych ograniczeń zakresu zmiennych steruj acych uwzglȩdnianych pośrednio przez wskaźnik jakości problem obejmuje jedynie nieliniowe ograniczenia nierównościowe: zminimalizować J(u) przy ograniczeniach h k (u) 0, k = 1, 2,..., k 2. W rezultacie zastosowania różnych funkcji barierowych uzyskuje siȩ zadanie optymalizacji bez ograniczeń. W metodzie funkcji barierowych Carolla minimalizowana jest zastȩpcza funkcja celu postaci Φ(u, ρ) =. min u R m{j(u) + ρ 1 k 1 k=1 h 1 k (u)}, gdzie ρ > 0 jest wspó lczynnikiem funkcji barierowej (ρ + ), zaś jest funkcj a barierow a Carolla. h 1 k (u) Funkcja ta tworz ac barierȩ na brzegu obszaru dopuszczalnego wprowadza też dodatni sk ladnik w ca lym obszarze dopuszczalnym. Może to powodować nadmierne przesuwanie optymalizowanego sterowania do wnȩtrza obszaru dopuszczalnego. W metodzie funkcji barierowych Frischa minimalizowana jest zastȩpcza funkcja celu postaci Φ(u, ρ) =. min u R m{j(u) ρ 1 12 k 1 k=1 ln(h k (u))},
13 gdzie ρ > 0 jest wspó lczynnikiem funkcji barierowej, zaś ln(h k (u)) jest funkcj a barierow a Frischa (logarytmiczn a funkcj a barierow a). Funkcja ta tworz ac barierȩ na brzegu obszaru dopuszczalnego wprowadza dodatni sk ladnik tylko w pewnej strefie przygranicznej obszaru dopuszczalnego. Funkcja ta w mniejszym stopniu odpycha optymalizowane sterowania od brzegu obszaru dopuszczalnego. Wskazane funkcje barierowe nie pozwalaj a wyznaczyć optymalnych sterowań przyjmuj acych wartości z brzegu obszaru dopuszczalnego, a optymalne sterowania przyjmuj ace wartości z wnȩtrza obszaru dopuszczalnego mog a być wyznaczone dok ladnie jedynie przy wspó lczynniku funkcji barierowej d aż acym do nieskończoności. Aby unikn ać tych wad klasycznych funkcji barierowych zaproponowano różne ich modyfikacje. Metoda zmodyfikowanych funkcji barierowych dla problemów sterowania optymalnego z ograniczeniami chwilowymi stanu W metodzie zmodyfikowanych logarytmicznych funkcji barierowych stosowane jest przesuniȩcie tej funkcji, tak aby mog l ona dopuszczać rozwi azania brzegowe Φ(u, ρ) =. min u R m{j(u) ρ 1 k 1 k=1 ln(ρh k (u) + 1)}. W metodzie zmodyfikowanych mnożnikowych logarytmicznych funkcji barierowych minimalizowana jest zastȩpcza funkcja celu postaci Ψ(u, λ, ρ) =. min u R m{j(u) ρ 1 k 1 k=1 λ T ln(ρh k (u) + 1)}, gdzie ρ > 0 jest wspó lczynnikiem funkcji barierowej, λ R p jest mnożnikiem Lagrange a, zaś ρ 1 ln(ρh k (u) + 1)) jest zmodyfikowan a logarytmiczn a funkcj a barierow a. 13
14 Ta ostatnia metoda umożliwia wyznaczenie optymalnych sterowań zarówno z brzegu jak i z wnȩtrza obszaru dopuszczalnego przy skończonej wartości wspó lczynnika funkcji barierowej. Niech L(u, λ) =. k 1 J(u) λ T k h k bȩdzie funkcj a Lagrange a problemu wyjściowego i niech û bȩdzie jego lokalnym minimum. Za lóżmy, że minimum to spe lnia standardowe warunki wystarczaj ace optymalności rzȩdu drugiego tj. gradienty h k(u) ograniczeń aktywnych h k (u) = 0, k K s a liniowo niezależne, co oznacza, że istniej a jednoznacznie określone mnożniki Lagrange a ˆλ k, k = 1, 2,..., k 1 zwi azane z danym minimum, hesjan L uu funkcji Lagrange a w punkcie (û, ˆλ) jest dodatnio określony na podprzestrzeni stycznej do zbioru rozwi azań dopuszczalnych v T L uu v > 0, v T h k (û), k K, k=1 zachodz a warunki ścis lej komplementarności λ T k h k (u) = 0, k = 0, 1,..., k 1, λ k > 0, k K. Jeśli s a spe lnione powyższe za lożenia, to można udowodnić, że zmodyfikowana logarytmiczna funkcja barierowa posiada w pewnym otoczeniu minimum dodatnio określony hesjan (jest ściśle wypuk la w pewnym otoczeniu minimum) Ψ uu (û, ˆλ, ρ) > 0. Hesjan ten jest w zwi azku z tym odwracalny i można zastosować metodȩ Newtona do minimalizacji funkcji bez ograniczeń u κ+1 = u κ γψ 1 uu (û, ˆλ, ρ)ψ u (û, ˆλ, ρ). Można udowodnić, że przeliczanie mnożników Lagrange a wed lug wzoru λ κ+1 k = λ κ k/(ρh k (û) + 1) zapewnia ich zbieżność do mnożników optymalnych. 14
15 Optymalizacja procesów w przestrzeni stanu i sterowania Metoda punktu wewnȩtrznego Dla szerokiej klasy problemów optymalnego sterowania celowo jest traktować l acznie zmienne stanu i zmienne steruj ace jako niezależne zmienne decyzyjne. Równania stanu nie s a rozwik lywane lecz s a traktowane jako ograniczenia równościowe. Liczba zmiennych decyzyjnych ulega w ten sposób zwiȩkszeniu, jednak u latwia to wkomponowanie różnorodnych ograniczeń stanu i sterowania do algorytmów optymalizacji. Rozwik lywanie równania stanu jest użyteczne dla problemów o niewielkiej wymiarowości stanu i wielomianowych modelach procesu. W innych przypadkach (znaczna liczba zmiennych stanu, eksponencjalne zależności w modelach procesu) wymagane s a czasoch lonne procedury rozwi azywania równań stanu. S a też klasy równań stanu, które nie s a rozwik lywalne wzglȩdem stanu w funkcji sterowania takie jak równania z uwik lan a pochodn a lub równania statycznych procesów sterowania. Optymalizacja w przestrzeni stanu i sterowania umożliwia bezpośrednie obliczanie pochodnych pierwszego i drugiego rzȩdu wzglȩdem ca lego zestawu zmiennych decyzyjnych, co pozwala stosować zaawansowane algorytmy optymalizacji wyznaczaj ace rozwi azanie warunków koniecznych optymalności problemu. Nawi azuj ac w tym kontekście do optymalizacji nieliniowych statycznych problemów optymalizacji rozważymy proces optymalizacji egzotermicznej przemiany surowca A w produkt użyteczny B zachodz acy w reaktorze zbiornikowym. Za lożymy, że temperatura w reaktorze jest bezpośrednio wymuszana za pomoc a p laszcza grzejnego i silnego źród la ciep la. Niech x oznacza stȩżenie surowca A w reaktorze, zaś u temperaturȩ wymuszan a w nim. Wskaźnik jakości procesu jest równoważny z maksymalizacj a ilości produktu użytecznego B z uwzglȩdnieniem kosztów nagrzewania tj. należy zminimalizować x + cu przy ograniczeniach w postaci statycznego równania stanu 0 = 1 x ae b 1/(b 2 +u) x 2 /(1 + x 2 ) oraz w postaci wymagania nieujemności zmiennych x 0, u 0. 15
16 Postać równania stanu utrudnia jego rozwik lywanie, wiȩc stosujemy optymalizacjȩ procesu w przestrzeni stanu i sterowania tj. traktujemy l acznie (x, u) jako wektor zmiennych decyzyjnych. Niech przebieg temperatury bȩdzie wymuszany pośrednio za pomoc a obwodu grzejnego i niech temperatura bȩdzie drug a zmienn a stanu. Wskaźnik jakości procesu jest równoważny z maksymalizacj a ilości produktu użytecznego B z uwzglȩdnieniem kosztów nagrzewania tj. należy zminimalizować x 1 + cu przy statycznych równaniach stanu obejmuj acych bilans masy dla surowca A i bilans energii cieplnej w obiekcie 0 = 1 x 1 a 1 x 2 1e b 1/(b 2 +x 2 ), 0 = a 2 x 2 1e b 1/(b 2 +x 2 ) + u a 3 + u (b 3 x 2 ) + b 4 x 2, oraz przy wymaganiu nieujemności zmiennych procesowych x 1 0, x 2 0, u 0. Wartości zmiennych procesowych s a ograniczone od góry przez minimalizacjȩ wskaźnika jakości (jeśli chodzi o zmienne x 1 i u) oraz przez endotermiczny charakter procesu (jeśli chodzi o x 2 ). Dla celów optymalizacji w przestrzeni stanu i sterowania definiujemy now a zmienn a procesow a z = (z 1, z 2, z 3 ) T, gdzie z 1 = x 1, z 2 = x 2, z 3 = u. Problem przybiera postać: zminimalizować funkcjȩ przy ograniczeniach lub w skrócie z 1 + cz 2 0 = 1 z 1 a 1 z 2 1e b 1/(b 2 +z 2 ), 0 = a 2 z 2 1e b 1/(b 2 +z 2 ) + z 3 a 3 + z 3 (b 3 z 2 ) + b 4 z 2, z 1 0, z 2 0, z 3 0, min z Rp{ g(z) : f(z) = 0, z 0}, ( ) 16
17 gdzie p = n + m jest l aczn a liczb a zmiennych procesowych, a g(z). = z 1 + cz 2, f(z). = {1 z 1 a 1 z 2 1e b 1/(b 2 +z 2 ), a 2 z 2 1e b 1/(b 2 +z 2 ) + z 3 a 3 + z 3 (b 3 z 2 ) + b 4 z 2 } T. Każdy problem z ograniczeniami nierównościowymi ogólnej postaci ϕ(z) 0 można sprowadzić do postaci równościowej stosuj ac nieujemn a zmienn a dope lniaj ac a s ϕ(z) + s = 0, s 0. Odwrotnie każde równanie ϕ(z) = 0 można zast apić równoważnym uk ladem dwóch nierówności Problem min z Rp{ g(z) : ϕ(z) 0, ϕ(z) 0. f(z) = 0, z 0}, ( ) nazywamy problemem optymalizacji w postaci standardowej. Sprowadzamy go do problemu barierowego p min z R p{ g(z) µ ln(z i ) : i=1 f(z) = 0, }, ( ), gdzie dla ograniczeń nieujemności zmiennych zastosowano logarytmiczn a funkcjȩ barierow a. Zak ladamy, że ograniczenia równościowe spe lniaj a warunek regularności dla lokalnego minimum ẑ rank(f (ẑ)) = n, co oznacza, że rz ad macierzy Jacobiego jest równy licznbie ograniczeń aktywnych (gradienty ograniczeń aktywnych s a liniowo niezależne). Zapisujemy funkcjȩ Lagrange a problemu standardowego L(z, λ). = g(z) λ T f(z) 17
18 i funkcjȩ Lagrange a problemu barierowego L(z, λ, µ) =. n g(z) µ ln(z i ) λ T f(z), gdzie λ R n jest mnożnikiem Lagrange a dla ograniczeń równościowych. i=1 Formu lujemy warunki optymalności problemu barierowego pierwszego rzȩdu L z(z, λ, µ) = 0, L λ (z, λ, µ) = 0 tj. g (z) µz 1 e λ T f (z) = 0, f(z) = 0, gdzie Z 1. = diag(z1, z 2,..., z p ), e. = (1, 1,..., 1) T R p. Stosujemy podstawienie v = µz 1 e, które określa tzw. dualne zmienne barierowe. Podstawienie to można zapisać w postaci równoważnej ZV e = µe, gdzie V. = diag(v 1, v 2,..., v p ). rzȩdu Uzyskujemy w ten sposób now a postać warunków optymalności pierwszego g (z) v λ T f (z) = 0, f(z) = 0, ZV e µe = 0. Powyższy nieliniowy uk lad równań jest rozwi azywany metod a Newtona. Celem jej zastosowania określamy macierz Jacobiego uk ladu i uk lad równań zlinearyzowanych Newtona. L zz(z, λ) f (z) T I δz g (z) v λ T f (z) f (z) 0 0 δλ = f(z) V 0 Z δv V Ze µe Wektor (δz, δλ, δv) T wyznacza kierunek Newtona dla rozwi azywania uk ladu warunków koniecznych optymalności problemu barierowego. Rozwi azanie wyznaczamy iteracyjnie dobieraj ac krok σ w kierunku Newtona z := z + σδz, λ := λ + σδλ, v := v + σδv. D lugość kroku dobieramy minimalizuj ac zmodyfikowan a funkcjȩ Lagrange a wzglȩdem tej d lugości i zachowuj acograniczenie z 0 (st ad nazwa metoda ścieżki centralnej) L(z + σz). = g(z + σz) µ p ln((z i + σz i ) 1 ) λ T f(z + σz) + ρ f(z + σz). i=1 18
19 W charakterze kryterium stopu przyjmujemy stopień naruszenia warunków optymalności ɛ g (z) v λ T f (z) + f(z) + V Ze µe < ɛ. Problemy optymalizacji w przestrzeni stanu i sterowania z ograniczeniami postaci innej niż standardowa mog a być sprowadzone do tej postaci za pomoc a dodatkowych zmiennych dope lniaj acych np. ograniczenia nierównościowe ϕ(z) 0 sprowadzamy do postaci równościowej ϕ(z) + s = 0, s 0, gdzie s jest nieujemn a zmienn a dope lniaj ac a. Do postaci standardowej umożliwiaj acej zastosowanie metody punktu wewnȩtrznego sprowadzane s a także problemy optymalizacji dynamicznej w przestrzeni stanu i sterowania. Pe lna dok ladna dyskretyzacja równań stanu dla uk ladów o parametrach skupionych prowadzi do problemów aproksymuj acych z tysi acami zmiennych i ograniczeń, zaś dla uk ladów o parametrach roz lożonych - do problemów z setkami tysiȩcy zmiennych i ograniczeń. Mimo tego wysoka efektywność wspó lczesnych komputerów w powi azaniu z zaawansowanymi technikami dekompozycji macierzy pozwalaj a stosować metodȩ punktu wewnȩtrznego dla problemów o tak dużym stopniu z lożoności. Niech problem sterowania optymalnego dla uk ladu o parametrach skupionych ma postać: zminimalizować wskaźnik jakości 1 0 g(x(t), u(t))dt + h(x(1)) uwzglȩdniaj ac ograniczenia ẋ(t) = f(x(t), u(t)), t [0, 1], x(0) = x 0, x x(t) x +, u u(t) u +, t [0, 1]. Jeśli zast apić pochodn a prawostronnym ilorazem różnicowym, to aproksymacja (jednokrokowa) problemu przybierze postać k 1 g(x k, u k )/ k + h(x k), 19
20 x k+1 x k = δ k f(x k, u k ), k = 0, 1,..., k 1, x 0 = x 0, x i x k x + i, k = 1, 2,..., k, u i u k u + i, k = 0, 1,..., k 1,.. gdzie x k = x(k/ k) jest zdyskretyzowanym sterowaniem, uk = u(k/ k) jest zdyskretyzowanym sterowaniem, a δ k jest krokiem dyskretyzacji. Dyskretyzacja taka zapewnia możliwość bezpoŕedniego obliczania pochodnych pierwszego i drugiego rzȩdu funkcji celu i warunków ograniczaj acych. Jeśli zast apić pochodn a symetrycznym ilorazem różnicowym, to aproksymacja (dwukrokowa) problemu przybierze postać k 1 g(x k, u k )/ k + h(x k), x k+1 x k 1 = 2δ k f(x k, u k ), k = 0, 1,..., k 1, x 0 = x 0, x 1 = x 0 + 2δ 0 f(x 0, u 0 ), x i x k x + i, k = 1, 2,..., k, u i u k u + i, k = 0, 1,..., k 1. W powyższych przyk ladach zastosowano stosunkowo ma lo dok ladn a jawn a aproksymacjȩ równań stanu. Dok ladniejsze wyniki można uzyskać stosuj ac niejawn a aproksymacjȩ tych równań. Jeśli do aproksymacji równań stanu zastosować wzór trapezów, to niejawna dyskretyzacja problemu przybierze postać k 1 g(x k, u k )/ k + h(x k), x k+1 x k 1 = 0.5δ k (f(x k, u k ) f(x k+1, u k+1 ), k = 0, 1,..., k 1, x 0 = x 0, x 1 = x 0 + 2δ 0 f(x 0, u 0 ), x i x k x + i, k = 1, 2,..., k, u i u k u + i, k = 0, 1,..., k 1. Jeśli do aproksymacji równań stanu zastosować wzór punktu środkowego, to niejawna dyskretyzacja problemu przybierze postać k 1 g(x k, u k )/ k + h(x k), x k+1 x k = δ k (f(x k, u k ) + f(x k+1, u k+1 ), k = 0, 1,..., k 1, x 0 = x 0, x 1 = x 0 + 2δ 0 f(x 0, u 0 ), x i x k x + i, k = 1, 2,..., k, u i u k u + i, k = 0, 1,..., k 1. 20
21 W uk ladach sterowania procesami o parametrach roz lożonych wyróżniamy zmienn a czasow a t [t 0, t 1 ] i zmienn a przestrzenn a s [0, 1]. Zmienne procesowe s a funkcjami, ogólnie bior ac, zmiennej czasowej i zmiennej przestrzennej: x(t, s) - stan procesu, x t (t, s) - pochodna cz astkowa stanu wzglȩdem zmiennej czasowej, x s (t, s) - pochodna cz astkowa stanu wzglȩdem zmiennej przestrzennej, x ss (t, s) - druga pochodna cz astkowa stanu wzglȩdem zmiennej przestrzennej. Problem optymalnego transferu ciep la może polegać na minimalizacji wskaźnika jakości 1 (x(t, 1) r(t)) 2 dt + ρ u 2 (t)dt określonego dla dynamicznego roz lożonego stanu procesu x W2 1 ([0, 1] [0, 1], R nx ) i jego dynamicznego sterowania brzegowego u L 2 ([0, 1], R nu ) i interpretowanego jako osi aganie zadanego przebiegu temperatury r(t) na jednym brzegu obiektu z jedn a zmienn a przestrzenn a przy za lożeniu, że sterowanie (źród lo ciep la) oddzia lywuje na drugim jego brzegu z uwzglȩdnieniem dynamicznego równania stanu w postaci równania przewodnictwa cieplnego x t (t, s) = ax ss (t, s) bx(t, s), t [0, 1] z warunkiem pocz atkowym x(0, s) = x 0 (s), s [0, 1], i z warunkami brzegowymi x(t, 0) αx s (t, 0) = u(t), x s (t, 1) = 0, t [0, 1] oraz z ograniczeniami chwilowymi stanu roz lożonego obiektu (zapobieganie przegrzaniu obiektu) x(t, s) x max, (t, s) [0, 1] [0, 1]. 21
22 Aproksymacja pochodnej cz astkowej stanu wzglȩdem czasu za pomoc a prawostronnego ilorazu różnicowego pierwszego rzȩdu przybiera postać x t (t, s) x k+1,l x kl δ 1, zaś aproksymacja drugiej pochodnej cz astkowej stanu wzglȩdem zmiennej przestrzennej za pomoc a symetrycznego ilorazu różnicowego drugiego rzȩdu przybiera postać x ss (t, s) x k,l+1 2x kl + x k,l 1. δ2 2 Prowadzi to do nastȩpuj acej siatkowej aproksymacji równania stanu procesu x k+1,l x kl δ 1 = α x k,l+1 2x kl + x k,l 1 δ 2 2 bx(k, l), k = 0, 1,..., k 1, l = 1,..., l z aproksymowanymi warunkami pocz atkowymi x 0,l = x 0 (l), l = 0, 1,..., l, i brzegowymi x k,0 α(x k,1 x k,0 )/δ 2 = u k, (x k, l+1 x k, l)/δ 2, k = 0, 1,..., k 1 oraz aproksymowanymi ograniczeniami stanu x k,l x max, k = 0, 1,..., k, l = 0, 1,..., l. 22
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoMetody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego
Metody kierunków poprawy dla nieliniowych problemów sterowania optymalnego Problem optymalnego sterowania procesem dynamicznym może polegać na polega na minimalizacji wskaźnika jakości obejmuj acego koszty
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoZasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu.
Zasada optymalności Bellmana. Uogólniony optymalny regulator stanu. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych z czasem ci ag lym W podstawowym problemie sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoliniowych uk ladów sterowania
Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t),
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoStabilność liniowych uk ladów sterowania
Stabilność liniowych uk ladów sterowania Stabilność uk ladów z czasem ci ag lym W teorii stabilności uk ladów sterowania badamy wrażliwość trajektorii stanu na zaburzenia stanu pocz atkowego. Interesuje
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania
Wprowadzenie do teorii sterowania Literatura podstawowa T. Kaczorek i inni, Podstawy teorii sterowania, WNT, Warszawa 2005. T. Kaczorek, Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa 1996. T. Kaczorek, Teoria
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne
Sterowanie optymalne Sterowanie Procesami Ciągłymi 2017 Optymalizacja statyczna funkcji Funkcja celu/kryterialna/kosztów Ograniczenie Q(x) min x x = arg min Q(x) x x X, gdzie X zbiór rozwiązań dopuszczalnych
Bardziej szczegółowoZestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod sterowania optymalnego
Wprowadzenie do metod sterowania optymalnego Pojȩcie procesu sterowania obejmuje zestaw trajektorii stanu i sterowania (x, u) X U, gdzie X jest przestrzeni a trajektorii stanu, a U jest przestrzeni a sterowania.
Bardziej szczegółowoAsymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoSZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents
Bardziej szczegółowoUogólnione modele uk ladów sterowania
Uogólnione modele uk ladów sterowania Różniczkowo-algebraiczne modele uk ladów sterowania Analiza w lasności wielu uk ladów sterowania wymaga uogólnienia modeli procesów zachodz acych w tych uk ladach.
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoWprowadzenie z dynamicznej optymalizacji
Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych.
Dr hab. inż. Krystyn Styczeń, prof. PWr Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy sterowania o parametrach skupionych. http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ http://krystyn.styczen.staff.iiar.pwr.wroc.pl/
Bardziej szczegółowoedzi (local edge detectors) Lokalne operatory wykrywania kraw
Lokalne operatory wykrywania kraw edzi (local edge detectors) Jeśli dwie reprezentacje sa zbyt odleg le, by można by lo latwo określić transformacje miedzy nimi, to u latwić zadanie można przez wprowadzenie
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA REPREZENTACJA LICZB W KOMPUTERZE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 B l ad bezwzglȩdny zaokr aglenia liczby ɛ = fl() B l ad wzglȩdny zaokr aglenia liczby 0 δ = fl() B l ad procentowy zaokr aglenia liczby 0
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoMonika Musia l. METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe)
Monika Musia l METODA MIESZANIA KONFIGURACJI Configuration Interaction (CI) (ujȩcie wyznacznikowe) ĤΨ i = E i Ψ i W metodzie mieszania konfiguracji wariacyjna funkcja falowa, jest liniow a kombinacj a
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowogdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)
5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Politechnika Wroc lawska Wydzia l Elektroniki Katedra K8 Prof. dr hab. inż. Krystyn Styczeń http://staff.iiar.pwr.wroc.pl/krystyn.styczen/ Wprowadzenie do teorii sterowania. Procesy o parametrach skupionych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo0.1 Reprezentacja liczb w komputerze
1 0.1 Reprezentacja liczb w komputerze Zapis liczb w zmiennym przecinku. U lamki dziesiȩtne w laṡciwe i niew laṡciwe piszemy oddzielaj ac czȩṡċ ca lkowit a od czȩṡci u lamkowej w laṡciwej przecinkiem w
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Bardziej szczegółowo