URSZULA FERDEK WPŁYW ZDERZEŃ NA DRGANIA POPRZECZNE I SKRĘTNE WIRNIKÓW INFLUENCE OF IMPACTS ON THE TRANSVERSE AND TORSIONAL VIBRATION OF ROTORS Strezczenie Abtract W niniejzym artykle przeprowadzono analizę jakościową nieliniowego kład o topniach wobody, opijącego drgania wirnika. Dopzczono możliwość wytępowania zderzeń między elementem wirjącym i tojanem. Zatoowano metody nmerycznego całkowania oraz metody analizy widmowej do zbadania wpływ czętości wymzenia i gięcia tatycznego wirnika na typ drgań i liczbę zderzeń. Słowa klczowe: drgania nieliniowe, chao The paper dice the analyi of a three-degree-of-freedom non-linear model which decribe the vibration of a rotor. The model take into accont the impact between the rotating element and a limiter of motion. Uing the method of nmerical integration and pectrm analyi, the inflence of the excitation freqency and tatic load on the type of vibration, nmber of impact of the ytem ha been tdied. Keyword: non-linear vibration, chao Mgr inż. Urzla Ferdek, Intytt Mechaniki Stoowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowka.
88. Wtęp Drgania poprzeczne wirników ą najczęściej efektem reztkowych niewyważeń. W przypadk wirników, których obroty ą wyżze od krytycznych, dochodzi podcza proceów przejściowych do derzeń wirnika w tojan. W pewnych warnkach pod wpływem ił darowych wzbdzają ię drgania prawie okreowe lb chaotyczne. W pracach dotyczących zagadnień zderzeń w omawianym kładzie zwykle badany jet prozczony model wirnika typ Jeffcott [ 4, 6, 8 ]. Jego analiza pozwala wyjaśnić wiele interejących zjawik wywołanych zderzeniami elementów kład. Przyjmjąc do badań taki model, Karpenko i in. [6], a także Sn, X i Zho [] wykazją, że przy dżym gięci tatycznym lb dżej amplitdzie wymzenia bezwładnościowego talają ię drgania podharmoniczne lb chaotyczne. W pracach [6, ] badany jet wpływ czętości wymzenia oraz ztywności zamocowania tojan na typ drgań. Ch i Zhang [] analizją wpływ iły ciężkości, Edward i in. [] badają wpływ ztywności krętnej wał, natomiat Feng i Zhang [] zwracają wagę na formy wzbdzanych drgań. Poniżej podjęto próbę zbadania wpływ zderzeń na drgania poprzeczne i krętne w kładzie wirnik tojan. Analizowano rch wirnika przy ztywno zamocowanym tojanie.. Model kład W cel zbadania wpływ zderzeń na drgania wirnika przyjęto model przedtawiony na rynk. Wirnik w kztałcie ztywnego dyk o maie m i promieni R jet zamocowany na bezmaowym wale, którego końce podtrzymją elatyczne podpory. Odległości wirnika od podpór ą jednakowe i wynozą l. Pomiędzy wirnikiem a nierchomym tojanem jet lz Δ. Parametry b i c określają, odpowiednio, tłmienie i ztywność podpór wał, b i c tłmienie i ztywność krętną wał, natomiat b i c to parametry określające proce zderzenia wirnika ze tojanem. Drgania poprzeczne opiją wpółrzędne x i y pnkt O (ry. ), natomiat drgania krętne kąt ψ = Θ Θ. W model względniono gięcie tatyczne wirnika d w kiernk pionowym oraz wpływ niewyważenia (parametr e ). Założono także, że prędkość obrotowa Ω zewnętrznego rządzenia napędzającego wirnik (ilnik) jet tała. 4 c S b S c c b b Θ (t) e Θ (t) c / b / c b c / b / l l Ry.. Model fizyczny kład: wirnik, tojan, wał, 4 ilnik Fig.. Dynamic model of the ytem: rotor, tator, haft, 4 motor
Równania różniczkowe rch wygodnie jet wyprowadzić z równań Lagrange a II-go rodzaj. W tym cel wzór określający energię kinetyczną wirnika przekztałćmy, wykorzytjąc związki V V Sx Sy = mv + Θ& S I 89 T () = x& e Θ& in Θ = x& e ( Ω + ψ& )in( Ωt + ψ) = y& + e Θ& co Θ = y& + e ( Ω + ψ& ) co( Ωt + ψ) wynikające z zależności wektorowej między prędkościami pnktów O i S. Kąt () Θ = Ωt + ψ jet t całkowitym kątem obrot wirnika. Po wprowadzeni oznaczenia IO = I S + me otrzymamy T = m( x& + y& ) I ( Ω + ψ& ) + me ( Ω + ψ& )[ y& co( Ωt + ψ) x& O in( Ωt + ψ)] () Zakładając dalej, że x, y i ψ ą wpółrzędnymi ogólnionymi, iły ogólnione opiją natępjące wzory Qx = bx& cx Fr co ϕ + Ft in ϕ Qy = by& cy Fr in ϕ Ft co ϕ (4) Q = b ψ& c ψ F R ψ gdzie tgϕ = y/(x + d) (ry. ). Wytępjące we wzorach (4) iły F r i F t ą kładowymi biegnowymi oddziaływania tojan na wirnik w momencie zderzenia. Przyjęto dalej [4], że kładową radialną iły darowej opije wzór F ( r, r& r ) = [ c ( r Δ) + b r& ] H ( r Δ) H[ c ( r Δ) + b r& ] (5) gdzie H(.) jet fnkcją Heaviide a. Zgodnie ze wzorem (5) kładowa F r przyjmje dla r > Δ tylko wartości dodatnie. Pomiędzy kładową radialną i tranweralną założono związek F = μ gn[ r ϕ & + ( ψ & t Fr R + Ω)] (6) Wytępjące we wzorach (5), (6) wpółrzędne biegnowe oraz ich pochodne można wyznaczyć ze wzorów r = ) + ( x + d y r x + d) x yy] r t & = [( & + & r ϕ & = [( x + d) y& yx& ] r (7) Z równań Lagrange a II-go rodzaj wynika natępjący kład równań różniczkowych mx && + bx& + cx + F co ϕ F in ϕ = me[( Ω + ψ& ) co Θ + ψ&& r t in Θ] my && + by& + cy + F in ϕ + F co ϕ = me[( Ω + ψ& ) in Θ ψ&& r t co Θ] I ψ && + b ψ & + c ψ + F R = me [&& x in( Ωt + ψ) && y co( Ωt + ψ)] O t Po wprowadzeni bezwymiarowego cza τ = ω t, gdzie ω = c / m jet czętością drgań włanych wirnika oraz bezwymiarowych wpółrzędnych = x/δ, = y/δ i = ψ, kład (8) przyjmje potać (8)
9 + ζ + + ζ + + f ( + f ( + σ μ ) = e[( ω + ) co( ωτ + ) + in( ωτ + )] + ω ζ + ω + μγ f = λe[( ω + ) in( ωτ + ) co( ωτ + )] przy czym + μ + μσ) = e[( ω + ) in( ωτ + ) co( ωτ + )] (9) f = [ γ ( ) + ζ ' ] H ( ) H[ γ ( ) + ζ ' ] μ = μ gn[ ϕ ' +( ω + ' )] () gdzie = ( ) + + σ y r e C S Ry.. Związki kinematyczne Fig.. Kinematic relation x+d F tt F r Układ (9) jet kładem równań nieliniowych głównie ze względ na iły będące rezltatem zderzeń wirnika z nierchomym tojanem. Opije on drgania poprzeczne i krętne wirnika. Rozwiązania kład (9) zależą itotnie od bezwymiarowych parametrów ω = Ω e e Δ σ = d Δ () ω = oraz w nieco mniejzym topni od pozotałych parametrów, zdefiniowanych natępjąco γ = mrδ I O = c c γ γ = cm cio = me Δ IO ζ = b mc = b mc ζ = b IOc λ = R / Δ () ζ (). Rezltaty obliczeń Poniżej przedtawiono wybrane rezltaty analizy jakościowej, prowadzonej metodami nmerycznymi opianymi w pracach [5, 7]. Do wyznaczenia rozwiązań równań (9) zatoowano metody nmerycznego całkowania, a do określenia typów drgań metody analizy widmowej, bazjące na algorytmach zybkiej tranformaty Foriera. Ograniczono ię do zbadania wpływ parametrów ω i σ, decydjących najczęściej o charakterze wzbdzanych drgań. W obliczeniach zotały przyjęte natępjące wartości pozotałych parametrów: e =,, γ =,, γ = 5, γ =, λ =,5, =, ζ =,, ζ =,, ζ =,5. Na rynk przedtawiono wpływ czętości wymzenia ω i gięcia tatycznego σ na typ drgań (ry. ) oraz liczbę zderzeń (ry. ). Na rynkach nanieiono również krzy-
wą, wyznaczoną na podtawie analizy kład liniowego (bez zderzeń), a określającą gięcie tatyczne σ, dla którego wartość makymalna wpółrzędnej r podcza drgań talonych jet równa lzowi Δ(r max = Δ). W obzarach leżących poniżej tej krzywej analiza liniowa gerje brak zderzeń wirnika z ogranicznikiem, czyli w tanie talonym powinno ię oberwować drgania harmoniczne. 9 Badania kład nieliniowego wykazją jednak wytępowanie w tych obzarach innych typów talonych drgań, podcza których wirnik derza w poób reglarny lb niereglarny w ogranicznik. Jet to rezltat proceów przejściowych początkowo poradyczne derzenia wirnika w tojan przechodzą z czaem w ytematycznie powtarzające ię zderzenia wywołjące drgania o złożonym charakterze. Drgania takie zależą od warnków początkowych oraz od lz Δ. W efekcie finalnym obzar drgań bez zderzeń jet oddzielony od pozotałych obzarów niereglarną krzywą. W zerokim zakreie rezonanowym (dla,5 < ω <,) dominją drgania z czętością wymzenia (drgania T-okreowe) w jednym okreie wymzenia najczęściej oberwje ię pojedyncze derzenia wirnika w ogranicznik rch (N = ). W wężzym zakreie, w pobliż wartości ω =, dochodzi także do czętzych zderzeń (N > ). Wraz ze wzrotem wartości ω liczba derzeń maleje, równocześnie drgania T-okreowe przechodzą kolejno w drgania podharmoniczne drgiego, trzeciego i czwartego rzęd. Drgania podharmoniczne oddzielone ą od iebie zakreami drgań chaotycznych. Parametry γ, ζ, a także γ i λ, decydjące o drganiach krętnych wał, mają znikomy wpływ na przedtawione rezltaty analizy jakościowej. O typie drgań decydją zderzenia, których wytąpienie zależy od drgań poprzecznych. Drgania poprzeczne w małym topni zależą od drgań krętnych. Fakt ten potwierdzają wyniki przedtawione na ry. 4. Mamy t przypadek drgań okreowych (przyjęto ω =, σ = i γ = 5). Przebiegi czaowe drgań poprzecznych, otrzymane dla znacznie różniących ię wartości parametr γ (bezwymiarowa ztywność krętn, praktycznie ą takie ame (ry. 4 dla γ = 4 i ry. 4 dla γ = 4). Wpływ parametr γ widacznia ię dopiero na wykreach drgań krętσ,8.8,6.6,4.4,. σ,8.8,6.6,4.4,.,.,..5,5,5.5 4,5 4.5 6,5 6.5 8,5 8.5 ω.5,5,5.5 4,5 4.5 6,5 6.5 8.5 8,5 ω T T T 4T nt,n>4 brak kontakt N <. chao prawie okreowe brak kontakt N >.5 N = N = ω N.4 N.5 częściowy kontakt Ry.. Wpływ parametrów ω i σ na: typ drgań, liczbę zderzeń Fig.. Inflence of parameter ω and σ on: the type of vibration, nmber of impact
9 nych (ry. 4c) i 4d), odpowiednio, dla γ = 4 i γ = 4). Cyklicznie powtarzające ię zderzenia wywołją zanikające wykładniczo drgania krętne. Czętość tych drgań zależy wyraźnie od parametr γ, który może być t interpretowany jako kwadrat bezwymiarowej czętości krętnej. W związk z tym okre drgań tłmionych, pokazanych na ry. 4d), jet razy mniejzy od okre przebieg na ry. 4c).,.6,6 -., 5 4 45 τ/t c),.5,5,.6,6 -., 5 4 45 τ/t τ/t d),.5,5, -. 5 4 45 τ/t, -.9 5 4 45 τ/t Ry. 4. Wpływ parametr γ na przebiegi czaowe: i drgania gięte, c) i d) drgania krętne Fig. 4. Inflence of parameter γ on the time hitory: i flexral vibration, c) i d) torional vibration λ.,.,,5.5,..7,7 5, 5. 6.9 6,9 8.5 8,5 ω ω, -., -., -.,5.5,..7,7 5, 5. 6.9 6,9 8,5 8.5 ω ω c) D L L.5,5.,,5.5,..7,7 5, 5. 6.9 6,9 8.5 8,5 ω Ry. 5. Wpływ parametr ω: wykładnik Lapnowa, diagram bifrkacyjny, c) wymiar Lapnowa Fig. 5. Inflence of parameter ω: Lapnov exponent, bifrcation diagram, c) Lapnov dimenion ω
Na rynk 5 przedtawiono porównanie wykre najwiękzego wykładnika Lapnowa z diagramem bifrkacyjnym oraz zależność wymiar Lapnowa od czętości wymzenia. Do wyznaczenia wykładników zatoowano odpowiednio zmodyfikowany algorytm Wolfa [], natomiat diagram porządzono metodą trobokopową, notjąc wartości przemiezczeń co okre wymzenia. Diagram ten odpowiada przekrojowi obzar (ω, σ) dla σ =,8 (ry. ). Wartość jemna wykładnika Lapnowa (ry. 5) świadczy o niechaotycznej ewolcji kład, w odpowiednich zakreach czętości ω na diagramie można zaoberwować kłady pojedynczych linii. Liczba linii n określa rząd drgań podharmonicznych (nt-okreowe). Chao wytępje w przypadk dodatniego wykładnika Lapnowa, wówcza na diagramie rozkład pnktów jet zbliżony do loowego, a wymiar Lapnowa przyjmje wartość więkzą od jedności (D L > ). Na rynk 6 przedtawiono przebiegi czaowe zmiennej (t), portrety fazowe na płazczyźnie (, ) oraz trajektorie (, ) dla drgań okreowych typ : (ry. 6), prawie okreowych (ry. 6) oraz dwóch typów drgań chaotycznych (ry. 6c) i 6d)). Przyjęto t σ =,8. 9,.5,5 -.5,5 4 5 τ/t,., -.5,5 4 5 τ/t,.5,5.,, 4. 4,.,.,.5,5 -.5,5, -. -.,5, -. -.5,5,4 -.4,5 -.5,7 -.7.,,5 -.5,8 -.8, -.,9 -.9,9 -.9.,, -., -.,. c) d),.5,5 -., 4 5 τ/t,., -.5,5 4 5 τ/t,.7,7.,,.5,5., -., -., -.9,9, -. -.9,9 -.7,7-5. 5,,4 -.4, -.,6 -.6, -., -.,6 -.6,.,8 -.8,9 -.9,., -., -.,. Ry. 6. Przebiegi czaowe, portrety fazowe i trajektorie: ω = 4,5, ω = 9,5, c) ω =,5, d) ω = 8 Fig. 6. Time hitorie, phae plane and trajectorie: ω = 4,5, ω = 9,5, c) ω =,5, d) ω = 8
94 Trajektorie fazowe oraz trajektorie rch ą krzywymi zamkniętymi tylko w przypadk drgań okreowych (ry. 6), w pozotałych przypadkach wypełniają one dość zczelnie pewne fragmenty odpowiednich płazczyzn (dla więkzej przejrzytości na ry. 6 pokazano trajektorie w ograniczonym przedziale cz. c) d),,,,.6,6.6,6.,.,, -., -.., -.,,8 -.8,8 -. -., -.,,4 -.4,8 -.8, -., -., -., -., -.,5 -.5,.,8 -.8,9 -.9., Ry. 7. Mapy Poincaré (σ =,8): ω = 4,5, ω = 9,5, c) ω =,5, d) ω = 8 Fig. 7. Poincaré map (σ =,8): ω = 4,5, ω = 9,5, c) ω =,5, d) ω = 8 Różne ą też fazowe portrety trobokopowe (w płazczyźnie, ) dla omawianych typów drgań ą to, odpowiednio, pojedyncze pnkty (ry. 7), krzywa zamknięta (ry. 7) oraz fraktale w przypadk drgań chaotycznych (ry. 7c) i 7d)). 4. Wnioki Z analizy nmerycznej równań różniczkowych (9) można wyciągnąć natępjące wnioki dotyczące zachowania ię kład wirnik tojan: Pokazany wpływ parametrów ω i σ na charakter drgań oraz liczbę zderzeń jet typowy dla kład wirnik tojan. Dla innych wartości pozotałych parametrów kład kztałty obzarów różnych jakościowo drgań legają tylko nieznacznej zmianie [8]. Podcza drgań T-okreowych liczba zderzeń w okreie wymzenia jet najczęściej liczbą całkowitą, więkzą lb równą jedności. W przypadk drgań podharmonicznych mamy do czynienia z rzadkimi zderzeniami, a w przypadk drgań chaotycznych liczba zderzeń dodatkowo zmienia ię w poób niereglarny co okre wymzenia. Analiza wykładników Lapnowa oraz diagram bifrkacyjnego prowadzi do podobnych wnioków. Analiza diagram pozwala w przypadk drgań okreowych określić dodatkowo rząd drgań podharmonicznych; zaletą jet t też znacznie mniejzy cza wymaganych obliczeń nmerycznych. Sktkiem zderzeń wirnika ze tojanem ą drgania krętne wał. Itotny wpływ na amplitdy drgań mają t parametry γ, γ, ζ i λ. Jednak ze względ na łabe przężenie dwóch pierwzych równań kład (9) z równaniem trzecim drgania poprzeczne w nieznacznym topni zależą od drgań krętnych. Literatra [] C h F., Z h a n g Z., Bifrcation and chao in a rb-impact Jeffcott rotor ytem, Jornal of Sond and Vibration (), 998, -8.
[] E d w a r d S., L e e A.W., F r i w e l l M.I., The inflence of torion on rotor/tator contact in rotating machinery, Jornal of Sond and Vibration 5, 4, 999, 767-778. [] F e n g Z.C., Z h a n g X.Z., Rbbing phenomena in rotor tator contact, Chao, Soliton and Fractal 4,, 57-67. [4] F e r d e k U., Wpływ zderzeń na drgania talone kład wirnik tojan, Zezyty Nakowe Politechniki Rzezowkiej, Mechanika z. 65, 5, 9-6. [5] F e r d e k U., Ł czko J., Analiza jakościowa kładów wibrodarowych, Czaopimo Techniczne z. 6-M/, -6. [6] K a r p e n k o E., W i e r c i g r o c h M., C a r t m e l l M., Reglar and chaotic dynamic of a dicontinoly nonlinear rotor ytem, Chao, Soliton and Fractal,, -4. [7] Ł czko J., Metody nmeryczne wyznaczania zakreów drgań podharmonicznych i chaotycznych, Czaopimo Techniczne z. -M/6, 9-6. [8] Ł czko J., Ferdek U., Cpiał P., Inflence of geometrical retraint on the vibration of rotor, Proc. of the 7 th Conference on Dynamical Sytem Theory and Application, Vol.,, 65-6. [9] M z y ń k a A., G o l d m a n P., Chaotic Repone of nbalanced rotor/bearing/tator ytem with looene or rb, Chao, Soliton & Fractal 5, 9, 995, 68-74. [] S n Z., X J., Z h o T., Analyi on complicated characteritic of a high-peed rotor ytem with rb-impact, Mechanim and Machine Theory 7,, 659-67. [] W o l f A., S w i f t J.B., S w i n n e y H.L., V a t a n o J.A., Determining Lyapnov Exponent From A Time Serie, Phyica 6D, 985, 85-7. 95