Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów

Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów (Na podstawie wykªadu prof. Michaªa Morayne) Mateusz Kwa±nicki 12. grudnia 2004. 1 Wst p Ten tekst jest skróconym zapisem wykªadów dr M. Morayne, po±wi conych podstawom analizy stochastycznej. W wielu miejscach przede wszystkim w dowodach twierdze«pomini to szczegóªy rozumowania, które czytelnik powinien jednak bez trudu uzupeªni. Aby uªatwi lektur tekstu, tam gdzie trudno± ªatwo przeoczy, zamieszczono symbol. 2 Podstawowe denicje i fakty. 1. Oznaczenia. Niech N, Z oznaczaj odpowiednio przestrzenie liczb naturalnych (z zerem) oraz caªkowitych z topologi dyskretn, za± Z N zbiór niesko«czonych ci gów liczb caªkowitych z topologi produktow, indukowan przez metryk : d(p, q) = (min {i : p i q i } + 1) 1. Niech nadto: S = Z n b dzie zbiorem wszystkich ci gów sko«czonych. Jedyny ci g dªugo±ci zero oznaczamy symbolem 0. Niech S = S \ {0}. Symbole R, Q oznaczaj odpowiednio zbiory liczb rzeczywistych i wymiernych; symbol + w indeksie dolnym b dzie oznaczaª,»e mamy na my±li jedynie liczby nieujemne (z zerem); wykluczenie zera ze zbioru b dziemy oznacza symbolem w indeksie 1

górnym. W szczególno±ci N oznacza zbiór dodatnich liczb caªkowitych. Je±li k N, za± p Z N b d¹ p Z n dla pewnego n k, to oznaczamy: p k = (p 0,..., p k 1 ). Je±li za± p S, p = (p 0,..., p k 1 ) oraz i Z, to okre±lamy: p, i = (p 0,..., p k 1, i). 2. Twierdzenie. Przestrzenie topologiczne: Z N (z topologi produktow ), R \ Q oraz R + \ Q (z naturaln topologi ) s ze sob homeomorczne. Dowód. Na potrzeby tego dowodu, niech p = (p 0,..., p k 2, p k 1 + 1) dla p = (p 0,..., p k 1 ) S. Okre±lamy funkcj ψ : S Q indukcyjnie dla coraz dªu»szych ci gów tak, aby dla wszystkich p = (p 0,..., p k 1 ) S speªnione byªy nast puj ce warunki: ψ( p, i ) jest ±ci±le rosn c funkcj i Z, lim ψ( p, i ) = ψ(p) oraz i lim ψ( p, i ) = i ψ(p ) je±li k N, lim i ψ(i) = oraz lim i ψ (S ) = Q. ψ(i) =, (Ostatni warunek uzyskamy na przykªad» daj c, by w k-tym kroku konstrukcji wyczerpa wszystkie liczby wymierne o mianowniku k.) Dla ci gu p Z N okre±lamy: ϕ(p) = lim k ψ(p k ). Wówczas ϕ jest ró»nowarto±ciowym odwzorowaniem Z N na R \ Q ( ). Obrazami zbiorów bazowych topologii w Z N s wszystkie zbiory bazy topologii w R \ Q, zªo»onej z przedziaªów postaci (q(p), q(p )) dla p S. To oznacza ci gªo± odwzorowa«ϕ i ϕ 1. Homeomorzm mi dzy przestrzeniami R \ Q oraz R + \ Q ustala funkcja x 2 x dla x < 1, x 1/x w przeciwnym przypadku. 2

3. Uwaga. W powy»szym dowodzie mo»na bez»adnych dodatkowych zmian zast pi zbiór Q dowolnym innym g stym podzbiorem przeliczalnym E R. Tym samym udowodnili±my,»e R\E 1 oraz R\E 2 s homeomorczne dla ka»dych dwóch przeliczalnych podzbiorów g stych E 1, E 2 R. ledz c uwa»nie dowód mo»na zauwa»y,»e homeomorzm mi dzy tymi przestrzeniami jest ustalony przez pewn funkcj rosn c f rozszerzaj c si w sposób ci gªy do homeomorzmu R R. Oznacza to,»e istnieje ci gªa i rosn ca funkcja f : R R speªniaj ca warunek f(e 1 ) = E 2. Co ciekawe, istnieje funkcja speªniaj ca te zaªo»enia i dodatkowo taka,»e f i f 1 s niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalne. 4. Denicje. Od tego momentu, je±li nie zostanie powiedziane inaczej, X jest pewnym zbiorem, za± Φ pewn rodzin jego podzbiorów. Oznaczamy: { } (Φ) δ = A n : A n Φ, n N, (Φ) σ = { A n : A n Φ, n N Φ c = {A c : A Φ}. Rodzin Φ nazywamy σδ-krat, je±li Φ = (Φ) δ = (Φ) σ, za± σ-algebr, je±li jest σδ-krat oraz Φ = Φ c. Najmniejsz σδ-krat zawieraj c Φ oznaczamy ˆΦ, za± najmniejsz σ-algebr σ(φ). Rodzin wszystkich podzbiorów X oznaczamy P (X). Je±li X jest przestrzeni topologiczn, to przez B (X) oznaczamy rodzin zbiorów borelowskich na X, czyli σ(τ), gdzie τ jest rodzin otwartych podzbiorów X. Je±li Φ i Ψ s rodzinami podzbiorów odpowiednio zbioru X i Y, to okre- ±lamy: } Φ Ψ = {A B : A Φ, B Ψ}, Φ ˆ Ψ = (Φ Ψ)ˆ, Φ Ψ = σ(φ Ψ). Deniujemy rzutowanie: π(x, y) = x. Dla zbioru A X Y oraz x X okre±lamy ci cie (A) x jako {y Y : (x, y) A}., 3

5. Fakt. Zachodz nast puj ce relacje: Φ ˆ Ψ = Φ ˆ ˆΨ = ˆΦ ˆ ˆΨ, Φ Ψ = Φ σ(ψ) = σ(φ) σ(ψ). 3 Transformacja A Souslina 1. Denicja. Niech T : S P (X). Oznaczamy: A(T ) = T (p n ), k N p Z N A(Φ) = {A(T ) : T : S Φ}. 2. Twierdzenie. Operacja A jest indempotentna, czyli A(A(Φ)) = A(Φ). Dowód. Niech ˆT : S A(Φ) i niech ˆT (p) = A (T p ), gdzie T p : S Φ. Niech ponadto n (α(n), β(n)) b dzie bijekcj mi dzy Z oraz Z Z. Niech k N, k > 0. Wówczas k = 2 i (2j + 1) dla pewnych wyznaczonych jednoznacznie i, j N. Okre±lamy wtedy: q = (α(p 1 ), α(p 2 ), α(p 4 ),..., α(p 2 i)), T (p 1,..., p k ) = T q (β(p 2 i), p 2i 3, p 2i 5,..., p 2 i (2j+1)). Wówczas ( ): A( T ) = p Z N = T (p k ) k N q Z N p i Z N,i N i N = q Z N i N p Z N = q Z N j N T q i (p i j ) k N T q i (p k ) i N A(T q i ) = A( ˆT ). 4

3. Twierdzenie. Rodzina A(Φ) jest σδ-krat zawieraj c Φ. Dowód. Niech A n Φ dla n N. Okre±lmy T 1 (p 0,..., p k 1 ) = A p0, T 2 (p 0,..., p k 1 ) = A k 1 dla ka»dego (p 0,..., p k 1 ) S. Wówczas A(T 1 ) = A n oraz A(T 2 ) = A n, a wi c (Φ) σ A(Φ), (Φ) δ A(Φ). Stosuj c ten rezultat dla A(Φ) w miejsce Φ otrzymujemy: co dowodzi tezy. (A(Φ)) σ A(A(Φ)) = A(Φ), (A(Φ)) δ A(A(Φ)) = A(Φ), 4. Uwaga. W ogólno±ci rodzina A(Φ) nie jest σ-algebr, nawet gdy Φ jest σ-algebr. 5. Twierdzenie. Zachodz nast puj ce równo±ci: A(Φ) = { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)} = { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. Dowód. Teza twierdzenia wynika z poni»szych trzech lematów. 6. Lemat. Zachodzi inkluzja A(Φ) { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)}. Dowód. Niech T : S Φ. Okre±lmy: E k = p Z k T (p) U(p), gdzie U(p 0,..., p k 1 ) = { q Z N : q i = p i, i = 0,..., k 1 } jest zbiorem bazowym topologii w Z N. Niech E = k=1 E k. Wówczas E Φ ˆ B ( Z N) oraz π(e) = A(T ). 7. Lemat. Zachodzi inkluzja A(Φ) { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. Dowód. Niech Ψ = {[a, b] : a, b R, a b} b dzie rodzin domkni tych przedziaªów liczb rzeczywistych. Wówczas (Ψ) δ = Ψ oraz ˆΨ = B (R). Ponadto je±li B n Ψ, n N, to: B n = k N : 5 k B n =. n=0

Oznacza to,»e je±li E n Φ Ψ, n N, to: ( ) π E n = ( k ) π E n. k N Oczywi±cie rzut sumy dowolnej mnogo±ci zbiorów jest sum rzutów tych zbiorów. We¹my zatem dowolne T : S Φ Ψ i niech T (p) = T 1 (p) T 2 (p). Okre±lmy T : S Φ Ψ dla p = (p 0,..., p k 1 ) S wzorem: ( k ) T (p) = T 1 (p) T 2 (p n ). Wówczas ( ): n=1 n=0 π(a(t )) = π(a( T )) = A(π T ) A(Φ). Ale A(Φ Ψ) (Φ Ψ)ˆ = Φ ˆ B (R), a wi c π(e) A(Φ) dla wszystkich E Φ ˆ B (R). 8. Lemat. Zachodzi równo± : { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)} = { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. Dowód. Przestrzenie Z N i R \ Q s homeomorczne (twierdzenie 2.2), a mi dzy przestrzeniami R \ Q oraz R istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie borelowskie, którego odwrotno± jest tak»e borelowska. Zatem: { π(e) : E Φ ˆ B ( Z N)} = { π(e) : E Φ ˆ B (R \ Q) } = { π(e) : E Φ ˆ B (R) }. 9. Uwaga. Oczywi±cie w twierdzeniu 5 mo»na w miejsce R napisa R + b d¹ dowolny przedziaª (otwarty lub domkni ty) liczb rzeczywistych. 6

4 Twierdzenie Königa o drzewach 1. Denicja. Drzewem nazywamy ka»dy zbiór T S speªniaj cy warunek: (p 0,..., p k ) T (p 0,..., p k 1 ) T dla wszystkich k N. Dla wierzchoªka p T liczb : # {i : p, i T } nazywamy stopniem rozgaª zienia wierzchoªka p. Drzewo T nazywamy sko«- czenie rozgaª zionym, je±li stopie«rozgaª zienia ka»dego wierzchoªka T jest sko«czony. 2. Twierdzenie Königa o drzewach sko«czenie rozgaª zionych. Je±li T jest drzewem sko«czenie rozgaª zionym oraz #T =, to istnieje ci g p Z N taki,»e p k T dla ka»dego k N. Dowód. Ci g p skonstruujemy indukcyjnie, dbaj c o to, by w ka»dym kroku zbiór przedªu»e«ci gu p k w drzewie T : A(p k ) = {q T : q k = p k } byª niesko«czony. Dla k = 0 zachodzi A(0) = T, a wi c warunek jest speªniony. Je±li skonstruowany zostaª ju» ci g p k, to: A(p k ) = {p k } i Z A( p k, i ) oraz tylko sko«czenie wiele zbiorów A( p k, i ), i Z, jest niepustych. Zatem dla pewnego i Z zbiór A( p k, i ) jest niesko«czony. Przyjmujemy p k = i. 5 Pojemno± Choqueta 1. Denicja. Funkcj ν : P (X) R nazywamy Φ-pojemno±ci Choqueta (w skrócie Φ-pojemno±ci ), je±li speªnia nast puj ce warunki: 1. Monotoniczno± : Dla A B X zachodzi ν(a) ν(b), 7

2. Ci gªo± w gór : Dla A 0 A 1 X zachodzi ν ( A n) = lim n ν(a n ), 3. Ci gªo± w dóª: Dla A 0 A 1 X, A n Φ, n N, zachodzi ν ( A n) = limn ν(a n ). Mówimy,»e A X jest ν-kapacytowalny, je±li: ɛ > 0 B (Φ) δ : B A, ν(b) > ν(a) ɛ. 2. Twierdzenie. Je±li (Ω, F, P) jest przestrzeni probabilistyczn, za± P miar zewn trzn, czyli: to P jest F-pojemno±ci. P (A) = inf {P(E) : E F, E A}, Dowód. Najpierw udowodnimy,»e P jest F-pojemno±ci. Monotoniczno± wynika wprost z denicji. Je±li A n X dla n N, to niech E n F b dzie takim zbiorem,»e A n E n, P (A n ) = P(E n ). Je±li A 0 A 1..., to: Zatem: ( ) P(E n ) = P (A n ) P E i P(E n ). j N i=n ( ) ( ) P(E n ) =P (A n ) P A j P E i = lim j P ( i=j E i ) = lim j P (E j ), j N i=j co oznacza ci gªo± w gór. Ci gªo± w dóª wynika wynika z ci gªo±ci miary. 3. Twierdzenie Choqueta. Zaªó»my,»e Φ jest krat, czyli rodzin zamkni t na sko«czone sumy i przekroje. Je±li ν jest Φ-pojemno±ci, to ka»dy zbiór z rodziny A(Φ) jest ν-kapacytowalny. 8

Dowód. Niech A = A(T ), gdzie T : S Φ. Bez straty ogólno±ci mo»emy przyj,»e: T (p k ) T (p k + 1 ) dla wszystkich p Z N, k N. Okre±lamy: T (p) = k N T (p k ) dla p Z N. Ponadto dla dowolnego sko«czonego ci gu liczb naturalnych m = (m 0,..., m k 1 ) niech S(m) oznacza sum mnogo±ciow obrazów wszystkich ci gów z Z N, których pocz tkowe wspóªrz dne s ograniczone przez liczby m i, a wi c: S(m) = T (p). p Z N, p i <m i dla i=0,...,k 1 Zauwa»my,»e S(0) = A. Ustalmy ɛ > 0. Konstruujemy indukcyjnie ci g liczb naturalnych m w nast puj cy sposób. Przyjmijmy,»e zostaªy ju» okre- ±lone m 0,..., m k 1 tak,»e: ν(s(m k )) > ν(a) ɛ. Wobec: S(m k ) = i N S( m k, i ) i denicji Φ-pojemno±ci, dla pewnego m k N: ν(s(m k + 1 )) > ν(a) ɛ. Niech teraz: F k = T (p) p N k, p i <m i dla i=0,...,k 1 dla k N oraz niech: F = F k. k N Oczywi±cie F k Φ, wi c F (Φ) δ. Ponadto: ν(f k ) ν(s(m k )) > ν(a) ɛ, 9

przez co ν(f ) = lim k ν(f k ) ν(a) ɛ. Poka»emy,»e F A. Niech x F. Okre±lamy drzewo T jako zbiór wszystkich wierzchoªków postaci p k dla p Z N takich,»e x T (p) oraz p i < m i dla i = 0,..., k 1. Jest to drzewo niesko«czone (bo wobec denicji F i F k zawiera ci gi dowolnej dªugo±ci) i sko«czenie rozgaª zione, wi c na mocy twierdzenia Königa (4.2) istnieje ci g p Z N taki,»e p i < m i dla i N oraz x T (p k ) dla wszystkich k N. To oznacza,»e x A. Zatem F A. Powy»szy dowód pochodzi od prof. J. Cichonia i prof. [???]. 4. Wnioski. Niech (Ω, F, µ) b dzie przestrzeni probabilistyczn. Przez F µ oznaczamy σ-algebr uzupeªnion wzgl dem miary µ, a wi c σ-algebr generowan przez F oraz wszystkie zbiory A X takie,»e µ (A) = 0. Wówczas: lub inaczej: F µ = {A : E 1, E 2 F : E 1 A E 2, µ(e 1 ) = µ(e 2 )} F µ = {A : E F : E A, µ(e) = µ (A)}. Miar µ mo»na jednoznacznie rozszerzy do miary na F µ. Na mocy tw. Choqueta i faktu,»e µ jest F µ -pojemno±ci, ka»dy zbiór z rodziny A(F µ ) speªnia powy»szy warunek, wi c A(F µ ) F µ. Co wi cej, je±li (Ω, F) jest przestrzeni mierzaln, to dla ka»dej miary probabilistycznej µ na σ-algebrze F zachodzi A(F) F µ, a wi c: A(F) F = F µ, µ M(F) gdzie M(F) oznacza rodzin wszystkich miar probabilistycznych na σ- algebrze F, za± F nazywane jest rodzin zbiorów uniwersalnie mierzalnych. Zauwa»my,»e (F ) = F. Na mocy twierdzenia 3.5 oznacza to,»e rzuty π(e) zbiorów E F B (R) (a nawet E F B (R)) nale» do rodziny zbiorów uniwersalnie mierzalnych F, za± rzuty zbiorów E F µ B (R) nale» do F µ. W szczególno±ci rzuty borelowskich podzbiorów pªaszczyzny na jedn z osi s mierzalne w sensie Lebesgue'a. 5. Twierdzenie. Je±li Φ = {E F B (R + ) : ω Ω : (E) ω jest zwarty} oraz X = Ω R +, to funkcja ν(a) = P (π(a)) dla A P (X) jest Φ- pojemno±ci. 10

Dowód. Monotoniczno± ν wynika z monotoniczno±ci rzutów, ci gªo± w gór z przemienno±ci rzutowania i sumowania oraz ci gªo±ci w gór P udowodnionej w twierdzeniu 5.2. Je±li A 0 A 1..., A n Φ, n N, to dla ω Ω: (A n ) ω = n N : (A n ) ω = wobec zwarto±ci ci (A n ) ω, a wi c π ( A ) n = π(a n). Ponadto na mocy wniosków wyci gni tych z tw. Choqueta, zachodzi π(a n ) F P, π ( A n) F P. Zatem po przedªu»eniu P do miary na F P : ( ) ( )) ( ) ν A n =P (π A n = P π(a n ) = lim n P(π(A n )) = lim n ν(a n ). Znów w miejsce R + mo»na wpisa R b d¹ dowolny przedziaª liczb rzeczywistych. 6 Wykresy mierzalne i twierdzenie von Neumanna o selektorze 1. Denicja. Zbiór A F B (R + ) nazywamy wykresem mierzalnym, je±li: ω Ω : #(A) ω 1. Debiutem zbioru E Ω R + nazywamy funkcj okre±lon dla ω π(e) wzorem D A (ω) = inf {t R + : (ω, t) E}. 2. Twierdzenie. Je±li przestrze«(ω, F, P) jest zupeªna (czyli F P = F), to ka»dy wykres mierzalny jest postaci: {(ω, f(ω)) : ω E} dla pewnego E F oraz f : E R + borelowskiej. Dowód. Je±li E F oraz f : E R + jest funkcj borelowsk, to: {(ω, f(ω)) : ω E} = ( ([ k f 1 n, k + 1 )) n k N 11 ) [ k E n, k + 1 ) F B (R + ). n

Je±li za± A jest wykresem mierzalnym, to okre±namy E = π(a) F P = F (mierzalno± E wynika z 5.4) oraz f(ω) (A) ω dla ω E. Zauwa»my,»e wybór f jest jednoznaczny oraz»e A = {(ω, f(ω)) : ω E}. Ponadto dla F B (R + ): f 1 (F ) = {ω Ω : (A) ω F } = {ω Ω : (A (Ω F )) ω } =π(a (Ω F )) F P = F (mierzalno± ponownie jest konsekwencj 5.4). Zatem f jest funkcj borelowsk. 3. Twierdzenie. Je±li przestrze«(ω, F, P) jest zupeªna oraz E F B (R + ), to D E jest funkcj mierzaln. Dowód. Teza wynika z nast puj cego rachunku: oraz z 5.4. {ω π(e) : D E (ω) < t} = {ω Ω : s [0, t) : (ω, s) E} =π(e (Ω [0, t))) 4. Uwaga. W dowodach powy»szych twierdze«wykorzystali±my jedynie fakt,»e rzut zbioru mierzalnego jest mierzalny. Mo»na zatem osªabi zaªo»enia tych twierdze«: zamiast zupeªno±ci przestrzeni probabilistycznej wystarczy wymaga, by A(F) = F. W szczególno±ci F mo»e by σ-algebr zbiorów uniwersalnie mierzalnych. 5. Twierdzenie von Neumanna o selektorze. Je±li przestrze«(ω, F, P) jest zupeªna, za± E F B (R + ), to istnieje wykres mierzalny A E taki,»e π(a) = π(e). Dowód. Niech Φ = {E F B (R + ) : ω Ω : (E) ω jest zwarty} i niech ν(a) = P (π(a)). Udowodnili±my w 5.5,»e ν jest Φ-pojemno±ci. Skonstruujemy indukcyjnie ci g F n Φ, n N, oraz ci g pomocniczy E n F B (R + ), n N. Niech E 1 = E. Zaªó»my,»e dla pewnego n N skonstruowali±my ju» E n F B (R + ). Poniewa» E n jest ν-kapacytowalny, wi c istnieje F n (Φ) δ = Φ taki,»e F n E n oraz ν(f n ) > ν(e n ) 1/n. Okre±lamy: E n+1 = E n \ (π(f n ) R + ). 12

Na mocy 5.4 E n+1 F B (R + ). Zauwa»my,»e π(f n ) π(e n+1 ) = oraz π(e n+1 ) π(f n ) = π(e n ). Wynika st d,»e dla n m zachodzi π(f n ) π(f m ) =, a wi c: F = F n Φ, oraz: St d: π(f ) = π(f n ) = π(e n ) \ π(e n+1 ) = π(e) \ E n. P(π(E)) P(π(F )) = lim n P(E n+1 ) = lim n (ν(e n ) ν(f n )) = 0 (mierzalno± wszystkich zbiorów w powy»szej równo±ci wynika z 5.4). Ponadto wobec F n E n zachodzi F E. Okre±lmy f : π(e) R + wzorem f(ω) = D F (ω) dla ω π(f ) oraz tak, by f(ω) E ω dla ω π(e) \ π(e). Na mocy twierdzenia 6.3 i wobec zupeªno±ci przestrzeni (Ω, F, P), funkcja f jest mierzalna. Ponadto jej wykres jest zawarty w E (bo wykres D F jest zawarty w F ). Teza wynika z twierdzenia 6.2. 13