Twierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A

Transkrypt

1 Twierdzenie 1 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«- czony A taki»e wszystkie sko«czone sumy jego (ró»nych) elementów maj ten sam kolor. wiczenie 1. Znajd¹ takie kolorowanie zbioru liczb naturalnych na dwa kolory,»e prócz {0} nie istnieje zbiór monochromatyczny zamkni ty na sko«czone sumy. Denicja 2. Filtr na zbiorze liczb naturalnych to rodzina F zbiorów liczb naturalnych speªniaj ca nast puj ce warunki: (1) je»eli A, B F, to A B F (zamkni cie na przekroje), (2) je»eli A F i B A, to B F (monotoniczno± ), (3) / F (nietrywialno± ), (4) N F (niepusto± ). Ultraltr to ltr maksymalny (ze wzgl du na zawieranie). Równowa»- nie, ltr F jest ultraltrem je»eli dla ka»dego A N mamy A F lub A c F. Uwaga. Intuicyjnie, ltr mówi nam które zbiory uwa»amy za du»e w jakim± sensie. O ultraltrze mo»na my±le jako o mierze sko«czenie addytywnej zerojedynkowej okre±lonej na wszystkich podzbiorach zbioru liczb naturalnych (okre±lonej jako µ(a) = 1 gdy A F i µ(a) = 0 gdy A / F). Stwierdzenie 3. Poka»,»e je»eli U jest ultraltrem i A U, a B A, to B U albo (A \ B) U. Dowód. Je»eli B / U, to B c U, ale wtedy A\B = A B c U. Inaczej: je»eli od zbioru miary 1 odejmiemy zbiór miary 0, to otrzymamy zbiór miary 1. Przykªad 4. Dla ka»dej liczby naturalnej n mamy ultraltr (n) skªadaj cy si z dokªadnie tych zbiorów, do których nale»y n. Ultraltr tego rodzaju nazywamy ultraltrem gªównym. Fakt 5. Korzystaj c z lematu Kuratowskiego-Zorna, ka»dy ltr mo»na rozszerzy do ultraltru. wiczenie 2. Rodzina wszystkich kosko«czonych podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest ltrem (nazywanym czasami ltrem Frécheta; sprawd¹ to!). Korzystaj c z poprzedniego faktu uzasadnij,»e istniej ultraltry niegªówne. 1

2 2 Denicja 6. Przestrze«wszystkich ultraltrów na zbiorze liczb naturalnych nazywamy βn, sªownie uzwarceniem ƒecha-stone'a zbioru liczb naturalnych. Sk d wzi topologi na βn? Denicja 7. Topologia na βn zadana jest przez podbaz zbiorów otwartych. Dokªadniej, dla ka»dego A N mamy deniujemy otwarty [A] βn jako [A] = {U βn A U}. Innymi sªowy, U [A] wtedy i tylko wtedy gdy A U. Stwierdzenie 8. [A] [B] = [A B], [A] [B] = [A B] wiczenie 3. Poka»»e ka»dy [A] jest otwarto-domkni ty i»e βn jest przestrzeni Hausdora. wiczenie 4. Funkcja i: N βn okre±lona wzorem i(n) = (n) jest topologicznym wªo»eniem, którego obraz jest otwarty i g sty w βn. (Od teraz uto»samiamy n N z (n) βn, tak»e N βn.) wiczenie 5. Sprawd¹»e przy uto»samieniu N z ultraltrami gªównymi w βn (z poprzedniego wiczenia) nast puj ce warunki s równowa»ne dla n N i A N: n A, A (n), n [A], A n. Pogód¹ si z tym. wiczenie 6. Je»eli F 0 jest niepust rodzin podzbiorów N zamkni t na sko«czone przekroje i nie zawieraj c, to F := {A N B F 0 B A} (rodzina wszystkich nadzbiorów elementów F 0 ) jest ltrem. W szczególno±ci ka»da taka rodzina rozszerza si do ultraltru. Lemat 9. βn jest zwart przestrzeni o±rodkow. Dowód. Wystarczy sprawdzi,»e je»eli βn = A A [A] dla pewnego A P(N), to dla pewnego sko«czonego A 0 A mamy ju» βn = A A 0 [A]. Zaªó»my nie wprost,»e tak nie jest, to znaczy dla ka»dych A 1,..., A n A istnieje taki ultraltr U,»e A 1,..., A n / U. Warunek ten jest równowa»ny temu»e A 1... A n / U (bo suma n zbiorów miary zero

3 jest miary zero!). Oznacza to w szczególno±ci,»e A 1... A n N, a równowa»nie»e A c 1... A c n. Ale wtedy rodzina B sko«czonych przekrojów zbiorów A c, gdzie A A jest zamkni ta na sko«czone przekroje i nie zawiera. wiczenie: pokaza,»e wówczas ka»dy ultraltr rozszerzaj cy B nie nale»y do A A [A] (co przeczy zaªo»eniu,»e ta suma to caªe βn). wiczenie 7. Uzupeªnij brakuj ce elementy powy»szego dowodu. wiczenie 8. Spróbuj udowodni powy»szy lemat w alternatywny sposób: poka»»e βn 2 2N jest domkni te (z topologi produktow ) i»e topologia pokrywa si z t zadan powy»ej. Uwaga. βn\n jest przestrzeni zwart, której ci»ar (moc minimalnej bazy) to c. Denicja 10 (Granica po ultraltrze). Zaªó»my»e (x n ) n jest ci - giem punktów w przestrzeni topologicznej, a U βn. Mówimy»e x = lim n U x n gdy dla ka»dego otoczenia U x zbiór tych n»e x n U nale»y do U. Uwaga. Powy»sz denicj mo»na zrozumie w nast puj cy sposób: je»eli lim n F x n = x i U x jest otwarty, to dla F-prawie wszystkich n zachodzi x n U, to znaczy zbiór tych n»e x n U nale»y do F. wiczenie 9. Je»eli x n jest ci giem punktów w przestrzeni zwartej, a U βn, to istnieje taki x»e x = lim n U x n (wskazówka: na±laduj dowód tego,»e w zwartej przestrzeni metrycznej ka»dy ci g ma podci g zbie»ny). wiczenie 10. Je»eli U = (n) jest ultraltrem gªównym, to czym jest granica po U? wiczenie 11. Je»eli f : X Y jest funkcj ci gª i lim n F x n = x, to lim n F f(x n ) = f(x). wiczenie 12. Je»eli F βn, to wzór µ(a) = lim n F A [ n,n] 2n+1 zadaje sko«czenie addytywn, niezmiennicz na translacje probabilistyczn miar sko«czenie addytywn na grupie Z liczb caªkowitych (t miar nazywamy ±redni Banacha). Istnienie takiej miary oznacza»e grupa liczb caªkowitych jest ±redniowalna. Ogólnie, mówimy»e grupa (dyskretna) jest ±redniowalna gdy istnieje sko«czenie addytywna, niezmiennicza miara probabilistyczna okre±lona na wszystkich jej podzbiorach. Nie wszystkie grupy s ±redniowalne, np. grupa wolna rangi 2 nie jest (vide paradoks Banacha-Tarskiego). 3

4 4 Stwierdzenie 11. βn speªnia nast puj c wªasno± uniwersaln : je-»eli X jest przestrzeni zwart Hausdora i f : N X jest dowoln funkcj (tzn. ci giem), to istnieje jedyna funkcja ci gªa βf : βn X przedªu»aj ca f. Dowód. Funkcj t konstruujemy korzystaj c z poprzedniego wiczenia, to znaczy βf(u) = lim n U f(n). Tak okre±lona funkcja jest ci gªa: je»eli V X jest otwarty, to βf 1 [V ] = V [f 1 [V ]], gdzie V przebiega zbiory otwarte takie»e V V. Z g sto±ci N w βn wynika jedyno±. wiczenie 13. Uzupeªnij powy»szy dowód. (Wskazówka: X jest zwarta Hausdora, wi c jest te» regularna, w szczególno±ci je»eli x V, to znajdziemy zbiór V x taki»e V (X \ V ) =. Z drugiej strony je»eli Y X jest dowolnym podzbiorem i y n jest ci giem elementów Y, to lim n U y n Y.) wiczenie 14. Sprawd¹,»e je»eli n N i F βn, to n + F := {B N ( A F) (n + A) B} jest ultraltrem. Wniosek 12. Na βn mamy dziaªanie + zadane wzorem F + U = lim n F n + U i dziaªanie to jest ci gªe w lewym argumencie. Uwaga. Dziaªanie + nie jest przemienne! wiczenie 15. Sprawd¹»e dziaªanie + obci te do N βn ma ª czno± mieszan z lewej, tzn. dla n, m N i F βn mamy n+(m+f) = (n + m) + F. wiczenie 16. Sprawd¹»e dziaªanie + obci te do N βn jest ci gªe w drugim argumencie, to znaczy dla ka»dej liczby naturalnej n odwzorowanie βn βn, gdzie F n + F jest ci gªe. Wywnioskuj st d,»e N s centralne w βn, tzn.»e dla n N i F βn mamy n + F = F + n. Stwierdzenie 13. Dziaªanie + na βn jest ª czne. Dowód. Ustalmy dowolne U 1, U 2, U 3 βn. Wtedy mamy U 1 + (U 2 + U 3 ) = lim (n + lim (m + U 3 )) = lim ( lim (n + m + U 3 ))) (pierwsza równo± z denicji, druga z wiczenia), z drugiej strony z ci gªo±ci + na βn w pierwszym argumencie mamy lim ( lim (n+m+u 3 )) = lim ( lim (n+m)+u 3 ) = lim ( lim (n+m))+u 3.

5 Stosuj c jeszcze raz ci gªo± w drugim argumencie (przy pierwszym argumencie z N), dostajemy lim m U2 (n + m) = (n + U 2 ), wi c z denicjilim n U1 (lim m U2 (n + m)) = U 1 + U 2, co ko«czy dowód. wiczenie 17. Uzupeªnij brakuj ce elementy powy»szego dowodu. Wniosek 14. βn jest zwart lew póªgrup topologiczn. wiczenie 18. Wzór n (F n + F) zadaje wªo»enie Φ: N βn βn (przestrze«wszystkich funkcji βn βn z topologi zbie»no- ±ci punktowej). To indukuje (z wªasno±ci uniwersalnej) odwzorowanie βφ: βn βn βn. Sprawd¹»e ta funkcja jest 1 1 i»e U + F = βφ(u) βφ(f) ( to zªo»enie funkcji). Wywnioskuj st d»e βφ jest wªo»eniem lewych póªgrup topologicznych. wiczenie 19. Sprawd¹»e + na βn zadaje si wzorem U + F = {A N {n A n + F} U} wiczenie 20. Je»eli µ, ν s miarami sko«czenie addytywnymi na póªgrupie S (czy te» raczej odpowiednim ciele podzbiorów S, speªniaj - cymi pewne naturalne zaªo»enia, takie jak mierzalno± mno»enia), to mo»na zada splot miar µ ν wzorem µ ν(a) = χ A (xy) dν(y)dµ(x). Sprawd¹»e je»eli U, F βn, to (je»eli potraktujemy je jako miary zerojedynkowe na póªgrupie (N, +)) zachodzi wzór U F = U + F. W tym celu sprawd¹ najpierw,»e dla A N i U βn zachodzi: { 1 gdy A x + F χ A (x + y) df(y) = 0 w przeciwnym wypadku (spróbuj najpierw z x = 0, x = 1). wiczenie 21. W notacji poprzedniego wiczenia sprawd¹,»e je»eli S jest przemienn póªgrup i µ, ν s przeliczalnie addytywne, to µ ν = ν µ. (Wskazówka: skorzystaj z tw. Fubiniego.) A co je±li tylko jedna z µ, ν jest przeliczalnie addytywna? Co mo»esz powiedzie o ci gªo±ci? (Zauwa»»e przeliczalnie addytywne ultraltry na N to dokªadnie ultraltry gªówne, przypomnij sobie wiczenie 16.) Denicja 15. Je»eli S jest póªgrup, a I S jest niepusty, to mówimy»e I jest (lewym) ideaªem w S gdy SI I (to znaczy dla ka»dego s S oraz i I mamy si I); piszemy wtedy I S. wiczenie 22. Je»eli S jest grup, to jakie s jej ideaªy? 5

6 6 Uwaga. Ideaª minimalny (w sensie inkluzji) zawsze jest ideaªem gªównym, a nawet I = Si dla ka»dego i I. Dowód. Zauwa»my»e je»eli i I, to z denicji Si I. Ale poniewa» I jest minimalny i Si S, to poci ga Si = I. Stwierdzenie 16. W zwartej lewej póªgrupie topologicznej ideaªy gªówne s domkni te. W szczególno±ci ka»dy ideaª zawiera ideaª domkni ty. Dowód. Je»eli I = Sa, ale to jest obraz S przez funkcj ci gª, a wi c zbiór zwarty. Je»eli I jest dowolnym ideaªem i a I, to Sa I jest ideaªem domkni tym. Lemat 17. Ka»da zwarta lewa póªgrupa topologiczna S ma domkni ty ideaª minimalny M. Dowód. Rozwa»my rodzin wszystkich domkni tych ideaªów w S uporz dkowan przez inkluzj. Šatwo sprawdzi,»e speªnia ona zaªo»enia lematu Kuratowskiego-Zorna (ze zwarto±ci), wi c istnieje minimalny ideaª domkni ty. Z poprzedniego stwierdzenia wynika,»e taki ideaª jest jednocze±nie ideaªem minimalnym. Lemat 18 (Ellis-Nakamura). W zaªo»eniach poprzedniego lematu, ka»dy ideaª minimalny M jest generowany przez idempotent (tzn. istnieje taki u S,»e M = Su i u u = u). Dowód. Z wiczenia wynika,»e wystarczy pokaza,»e w M jest idempotent (bo M jest generowany przez ka»dy swój element). Z lematu Kuratowskiego-Zorna i zwarto±ci wynika,»e M ma minimaln domkni t podpóªgrup K. Niech u K b dzie dowolny. Wtedy Ku K i Ku jest domkni t podgrup M: istotnie, je»eli k, k K, to (k u)(k u) = (k uk )u Ku. St d Ku = K, czyli istnieje taki b K,»e bu = u. W szczególno±ci zbiór {b K bu = u} jest niepusty. Z drugiej strony ªatwo sprawdzi,»e jest on domkni t podpóªgrup i zawiera si w K, st d dla ka»dego b K mamy bu = u, a w szczególno±ci uu = u, co nale»aªo dowie±. Uwaga. A posteriori mo»emy stwierdzi,»e K, któr wzi li±my w dowodzie lematu powy»ej, musiaªa by grup trywialn {u}. wiczenie 23. Uzupeªnij luki w powy»szym dowodzie. wiczenie 24. Sprawd¹,»e je»eli M jest ideaªem minimalnym i u M jest idempotentem, to um jest grup. wiczenie 25. Sprawd¹»e je»eli M jest ideaªem minimalnym, a u, v M s idempotentami, to uv = u i vu = v, a ponadto M = u um, gdzie u przebiega idempotenty w M.

7 wiczenie 26. Sprawd¹»e je±li n N, a U βn, to je»eli U + n = n, to U = 0 (ideaª gªówny generowany przez 0; wskazówka: rozwa» zbiór tych m N,»e m + n {n}). Wywnioskuj st d,»e je»eli M jest ideaªem minimalnym w βn, to M N = (tzn. M skªada si z ideaªów niegªównych). Twierdzenie 19 (Hindmana). Ustalmy dowolne kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów. Wtedy istnieje zbiór niesko«czony A taki»e wszystkie sko«czone sumy jego (ró»nych) elementów maj ten sam kolor. Dowód. Ustalmy kolorowanie zbioru liczb naturalnych na sko«czenie wiele kolorów, to znaczy (równowa»nie) partycj N = A 1... A n. Ustalmy dowolny idempotent u βn. Poniewa» u jest ultraltrem, dla pewnego (jedynego) j mamy A j u, czyli u [A j ]. u jest idempotentem, czyli lim n u n+u = u+u = u [A j ] (czyli dla u-prawie wszystkich n mamy n+u [A j ]), oraz oczywi±cie lim n u n = u [A j ] (dla u-prawie wszystkich n zachodzi n [A j ]) W szczególno±ci istnieje takie n 1,»e n 1 + u [A j ] i n 1 [A j ] (to wynika z zamkni cia u na przekroje; sprawd¹ to!). Z drugiej strony, n 1 + u = n 1 + u + u = lim n u n 1 + n + u [A j ], oraz lim n u n 1 + n = n 1 + u [A j ], czyli dla u-prawie wszystkich n mamy n 1 + n + u [A j ] i n 1 + n [A j ] i n + u [A j ] i n [A j ]; w szczególno±ci istnieje takie n = n 2. Analogicznie konstruujemy rekurencyjnie ci g n k, w taki sposób»e dowolna suma n k jest elementem [A j ], te» gdy dodamy u z prawej. Poniewa» dla n N nale»enie n [A j ] jest równowa»ne z tym»e n A j, bior c A = {a k k N} otrzymujemy tez. wiczenie 27. W powy»szym dowodzie jest powa»na luka. Je±li jej nie widzisz, to sprawd¹, co si stanie, je»eli we¹miemy u = 0 (ultraltr gªówny). wiczenie 28. Znajd¹ niesko«czony zbiór A N, taki»e dla ka»dego niesko«czonego B N pewna sko«czona suma elementów B nie jest elementem A (wskazówka: wystarczy sprawdza B A). wiczenie 29. Zaªó»my»e (S, +) jest niesko«czon póªgrup przemienn z wªasno±ci skracania, tzn. dla ka»dych s 1, s 2, s 3 równo± s 1 + s 3 = s 2 + s 3 poci ga s 1 = s 2 (równowa»nie: S jest podpóªgrup pewnej grupy abelowej). Rozumuj c tak jak w dowodzie tw. Hindmana (rozwa»aj c zbiór ultraltrów na S z odpowiedni topologi i struktur póªgrupow ) poka»,»e dla ka»dego kolorowania S na sko«czenie wiele 7

8 8 kolorów istnieje zbiór niesko«czony, taki»e wszystkie sumy jego elementów maj ten sam kolor. A co gdy S nie jest przemienna? wiczenie 30. Znajd¹ niesko«czon póªgrup przemienn S i ideaª minimalny M βs, taki»e M S. Denicja 20. Rozwa»my przestrze«zwart Hausdora X i dowoln grup G dziaªaj c na X przez homeomorzmy. To daje nam odwzorowanie G X X, gdzie X X to przestrze«wszystkich funkcji z X w X z topologi produktow (zbie»no±ci punktowej) i dziaªaniem: skªadaniem funkcji. Póªgrup Ellisa (lub póªgrup obwiedni ) tego dziaªania nazywamy domkni cie w X X obrazu G przez to odwzorowanie. wiczenie 31. Dla G, X jak w denicji powy»ej, sprawd¹»e póªgrupa Ellisa jest zwart lew póªgrup topologiczn. Wniosek 21. W póªgrupie Ellisa mamy (zwarte) ideaªy minimalne, w ka»dym z których znajdziemy idempotent. Co wi cej, ka»dy ideaª minimalny M jest sum rozª czn grup postaci um, gdzie u M jest idempotentem. wiczenie 32. Niech X = S 1, a G b dzie peªn grup homeomorzmów S 1. Sprawd¹»e póªgrupa Ellisa nie jest grup (wskazówka: znajd¹ element, który nie jest na)