Temat: Operacje elementarne na erszach macerzy Anna Rajfura
Anna Rajfura Operacje elementarne na erszach macerzy n j m n A
Typy operacj elementarnych. Zamana mejscam erszy oraz j, ozn.: j. Mnożene ersza przez lczbę k, ozn.: : k. Dodane do ersza nnego ersza j pomnożonego przez lczbę k, ozn.: : + j k Anna Rajfura
Operacja elementarna typu j Zamana mejscam erszy oraz j A ~ A j (czyt.: macerz A jest rónoażna macerzy A) Anna Rajfura 4
Anna Rajfura Przykład Uaga A ~ A ~ A
Własnośc operacj typu j A ~ A Jeśl j, to: det A - det A Informacja yprzedzająca: rz A rz A (czyt.: rząd macerzy) Anna Rajfura 6
Operacja elementarna typu : k Mnożene ersza przez lczbę k A ~ : k A (czyt.: macerz A jest rónoażna macerzy A) Anna Rajfura 7
Anna Rajfura 8 Przykład Uaga: A ~ ) ( : - (-/) : - A ~ ) ( A
Własnośc operacj typu k A A Jeśl ~k, to: det A k det A Informacja yprzedzająca: rz A rz A Anna Rajfura 9
Operacja elementarna typu : + j k Dodane do ersza nnego ersza j pomnożonego przez lczbę k, A ~ A : + k j (czyt.: macerz A jest rónoażna macerzy A) Anna Rajfura
Anna Rajfura Przykład Uaga: A ~ : ) ( + A : - (-/) : - + (-/) : - A ~ : ) ( + A
Własnośc operacj typu : + j k Jeśl A ~ : + k j A, to: det A det A Informacja yprzedzająca: rz A rz A Przykład na tablcy. Anna Rajfura
Anna Rajfura Wektory jednostkoe Macerz jednostkoa In: n I Kolumny macerzy I n nazyane są ektoram jednostkoym ymaru n.
Przykład Różne ektory jednostkoe ymaru : Anna Rajfura 4
Postać bazoa macerzy A nm Postacą bazoą macerzy A będzemy nazyać macerz rónoażną macerzy A, o maksymalnej lczbe kolumn będących różnym ektoram jednostkoym. Rzędem macerzy A będzemy nazyać maksymalną lczbę różnych ektoró jednostkoych ystępujących jako kolumny postac bazoej macerzy A; ozn.: A, rank A. Anna Rajfura
Przykład Oblcz rząd macerzy B. B 7 4 6 Anna Rajfura 6
Przykład cd. Stosujemy kolejno operacje elementarne:, : + ( ), : + ( 7), ( 6 ), : + ( ), : +. Oblczena na tablcy. Anna Rajfura 7
Anna Rajfura 8 Przykład cd. otrzymujemy: 6 7 4 B ~ B B postać bazoa macerzy B B Odp.: rz B. da różne ektory jednostkoe
Układy rónań lnoych Układ rónań lnoych A b, gdze: A - macerz układu ymaru m n, [,,..., n ] T (n - lczba neadomych), b [b, b,..., b m ] T (m lczba rónań), może meć: dokładne jedno rozązane (u. oznaczony), neskończene ele rozązań (u. neoznaczony), żadnego rozązana (u. sprzeczny). Anna Rajfura 9
Układy rónań lnoych cd. Macerz A z dopsaną na końcu kolumną praych stron b nazya sę macerzą rozszerzoną: ozn.: A b Lczbę rozązań układu rónań lnoych można określć porónując rzędy macerzy: A, A b z lczbą neadomych. Anna Rajfura
Lczba rozązań układu rónań lnoych Układ rónań A m n n b m rz A < rz[a b] układ sprzeczny (ne ma rozązań) rz A rz[a b] układ posada rozązana rz A rz[a b] n układ oznaczony (ma dokładne jedno rozązane) rz A rz[a b] < n układ neoznaczony (ma neskończene ele rozązań) Anna Rajfura
Anna Rajfura Przykład. Roząż układ rónań A b, gdze: 4 A 4 4 b 4 4 4 b A
Anna Rajfura Przykład. cd. 4 4 4 b A ~ 9 7 4 4 ~ : + (/) : + 9 4 7 4 ~ 7 4 ~ : + (-) : + (-4)
Anna Rajfura 4 Przykład. cd. 7 4 ~ : + (/) : + (4/) Wnosk: rza, rz [A b], lczba neadomych, zatem układ rónań jest oznaczony. Rozązanem jest ektor [-,-, -] T.
Anna Rajfura Przykład. Roząż układ rónań A b, gdze: A b b A
Anna Rajfura 6 Przykład. cd. b A ~ ~ (-) : + (-) : + 6 6 ~ 6 ~ (-/) : + (-) : + (-)
Anna Rajfura 7 Przykład. cd. Wnosk: rza, rz [A b], lczba neadomych, zatem układ rónań jest neoznaczony. Można yznaczyć jego rozązana.
Przykład. cd. kolumny bazoe kolumna nebazoa Anna Rajfura 8
Przykład. cd. zmenne bazoe zmenna nebazoa Anna Rajfura 9
Anna Rajfura Oznaczene dla zmennej nebazoej R s s, s b A,,
Anna Rajfura + s s Rozązane ogólne układu rónań: + s s s, R s Rozązana szczególne układu rónań: Np. dla s : [, -, ] T, dla s : [,, ] T.