( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

Podobne dokumenty
Prawdopodobieństwo i statystyka r.

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

. Wtedy E V U jest równa

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

16, zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy H

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

Macierz prawdopodobieństw przejścia w pojedynczym kroku dla łańcucha Markowa jest postaci

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

65120/ / / /200

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Statystyka Inżynierska

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Przegląd wybranych testów

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

X i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Funkcja wiarogodności

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Prawdopodobieństwo i statystyka

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Linie regresji II-go rodzaju

Zadania z rachunku prawdopodobieństwa

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

1.1. Uprość opis zdarzeń: 1.2. Uprościć opis zdarzeń: a) A B A Uprościć opis zdarzeń: 1.4. Uprościć opis zdarzeń:

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

16 Przedziały ufności

Wyrażanie niepewności pomiaru

Statystyka Wykład 6 Adam Ćmiel A3-A4 311a

Wykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Liniowe relacje między zmiennymi

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

Pojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k

= , t 1872, = , t 1872,0.95

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

ZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Weryfikacja hipotez dla wielu populacji

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Statystyka Opisowa Wzory

Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

Transkrypt:

Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7

Zadae. Załóżmy, że,, K,, >, są ezależym zmeym losowym o S = = S / S / S jedakowym rozkładze wykładczym. Nech p = Pr( K. Oblcz /. (A p = (B p = 0 (C p = (D p = (E p =

Zadae. Załóżmy, że dyspoujemy pojedyczą obserwacją z rozkładu ormalego N μ,σ. Rozważmy zadae testowaa hpotezy ( H 0 : μ = 0 σ = przecw alteratywe H : μ = σ = 4. Najmocejszy test a pozome stotośc α jest postac Odrzuć H 0, gdy (, b. Podaj pozom stotośc α. (A α = 0, 045 (B α = 0, 07 (C α = 0, 0 (D α = 0, 0 (E α = 0, 4

Zadae 4. Nech Y będą ezależym zmeym losowym o rozkładach ormalych, przy tym E[ ] = E[ Y ] = 0, Var [ ] = Var [ Y ] =. Oblcz Pr[ < Y ]. (A Pr[ < Y ] = 0. (B Pr[ < Y ] = 0.7500 (C Pr[ < Y ] = 0.5000 (D Pr[ < Y ] = 0.6667 (E Pr[ < Y ] = 0.8 4

Zadae 5. Wektor losowy tabelką: (, Y ma łączy rozkład prawdopodobeństwa day astępującą Y = Y = = θ ( θ θ ( θ = θ ( θ gdze θ (0, jest ezaym parametrem. Na podstawe -elemetowej próbk z tego rozkładu, (, Y,...,(, Y, oblczoo estymator ajwększej warogodośc θˆ. Oblcz warację tego estymatora. (A (B (C (D (E θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = 5

Zadae 6. Załóżmy, że,..., są ezależym zmeym losowym o jedakowym, cągłym rozkładze prawdopodobeństwa, mającym momety rzędu,. Zamy μ = E σ = Var(. ( Nech f (x ozacza gęstość rozkładu pojedyczej zmeej. Wemy, że rozkład jest symetryczy w tym sese, że f ( μ + x = f ( μ x dla każdego x. Oblcz trzec momet sumy: ( (A ( S = μ (μ μ + σ E (B ( S = μ ( μ + σ E (C ( S = μ ( μ + σ E (D ( S = μ ( μ + σ E (E ( S = μ( μ + ( σ μ E E S, gdze S = +... +. 6

Zadae 7. Załóżmy, że,,...,,... jest cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze wykładczym o gęstośc f ( x = exp( x dla x > 0. Zmea losowa N jest ezależa od,,...,,... ma rozkład Possoa o wartośc oczekwaej λ. Nech Y = m(,, Z = Y, ( Y ( Z Oblcz ( S, S Cov. S ( Y ( Y ( Z (A Cov( S S = λ e, ( Y ( Z (B Cov( S, S = λ ( e ( Y ( Z 4 (C Cov( S S = λ e, = N = ( Y ( Z (D Cov( S, S = λ e ( + e ( Y ( Z (E Cov( S S = λ e, Y ( Z, S = Z. N = 7

Zadae 8. Obserwujemy,,, 4 ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc θ gdy x > f ( x = θ+ θ x 0 gdy x Y, Y, K, Y5 ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc θ gdy x > f ( x = θ+ θ x 0 gdy x gdze θ θ są ezaym parametram dodatm. Wszystke zmee losowe są ezależe. Testujemy hpotezę H 0 : θ = θ przy alteratywe H : θ < θ za pomocą testu o obszarze krytyczym ˆ θ K = < t ˆ θ gdze ˆ θ θˆ są estymatoram ajwększej warogodośc odpowedo parametrów θ θ wyzaczoym a podstawe prób losowych,,, 4 Y, Y, K, Y5. Dobrać stałą t tak, aby otrzymać test o rozmarze 0,05. (A 0,60 (B 0,99 (C 0,6 (D 0,9 (E 0,6 8

Zadae 9. Nech,,...,, >, będze próbką z rozkładu Possoa z ezaym parametrem λ (parametr jest wartoścą oczekwaą pojedyczej obserwacj, λ = E ( > 0. λ Iteresuje as drug momet obserwacj, czyl welkość m ( λ = E (. λ ( λ Estymator eobcążoy o mmalej waracj fukcj m jest rówy A (B (C (D = + = = = = = = = (E + ( 9

Zadae 0. Pa A przezaczył 5 zł a pewa grę. W pojedyczej kolejce gry pa A wygrywa zł z prawdopodobeństwem / lub przegrywa zł z prawdopodobeństwem /. Pa A kończy grę, gdy wszystko przegra lub gdy będze mał 0 zł. Prawdopodobeństwo, że pa A wszystko przegra jest rówe (A 0,87 (B 0,67 (C 0,50 (D 0,97 (E 0,77 0

Egzam dla Aktuaruszy z 0 lstopada 009 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja C D B 4 A 5 A 6 C 7 A 8 C 9 E 0 D * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.