Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7
Zadae. Załóżmy, że,, K,, >, są ezależym zmeym losowym o S = = S / S / S jedakowym rozkładze wykładczym. Nech p = Pr( K. Oblcz /. (A p = (B p = 0 (C p = (D p = (E p =
Zadae. Załóżmy, że dyspoujemy pojedyczą obserwacją z rozkładu ormalego N μ,σ. Rozważmy zadae testowaa hpotezy ( H 0 : μ = 0 σ = przecw alteratywe H : μ = σ = 4. Najmocejszy test a pozome stotośc α jest postac Odrzuć H 0, gdy (, b. Podaj pozom stotośc α. (A α = 0, 045 (B α = 0, 07 (C α = 0, 0 (D α = 0, 0 (E α = 0, 4
Zadae 4. Nech Y będą ezależym zmeym losowym o rozkładach ormalych, przy tym E[ ] = E[ Y ] = 0, Var [ ] = Var [ Y ] =. Oblcz Pr[ < Y ]. (A Pr[ < Y ] = 0. (B Pr[ < Y ] = 0.7500 (C Pr[ < Y ] = 0.5000 (D Pr[ < Y ] = 0.6667 (E Pr[ < Y ] = 0.8 4
Zadae 5. Wektor losowy tabelką: (, Y ma łączy rozkład prawdopodobeństwa day astępującą Y = Y = = θ ( θ θ ( θ = θ ( θ gdze θ (0, jest ezaym parametrem. Na podstawe -elemetowej próbk z tego rozkładu, (, Y,...,(, Y, oblczoo estymator ajwększej warogodośc θˆ. Oblcz warację tego estymatora. (A (B (C (D (E θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = θ ( θ Var( ˆ θ = 5
Zadae 6. Załóżmy, że,..., są ezależym zmeym losowym o jedakowym, cągłym rozkładze prawdopodobeństwa, mającym momety rzędu,. Zamy μ = E σ = Var(. ( Nech f (x ozacza gęstość rozkładu pojedyczej zmeej. Wemy, że rozkład jest symetryczy w tym sese, że f ( μ + x = f ( μ x dla każdego x. Oblcz trzec momet sumy: ( (A ( S = μ (μ μ + σ E (B ( S = μ ( μ + σ E (C ( S = μ ( μ + σ E (D ( S = μ ( μ + σ E (E ( S = μ( μ + ( σ μ E E S, gdze S = +... +. 6
Zadae 7. Załóżmy, że,,...,,... jest cągem ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze wykładczym o gęstośc f ( x = exp( x dla x > 0. Zmea losowa N jest ezależa od,,...,,... ma rozkład Possoa o wartośc oczekwaej λ. Nech Y = m(,, Z = Y, ( Y ( Z Oblcz ( S, S Cov. S ( Y ( Y ( Z (A Cov( S S = λ e, ( Y ( Z (B Cov( S, S = λ ( e ( Y ( Z 4 (C Cov( S S = λ e, = N = ( Y ( Z (D Cov( S, S = λ e ( + e ( Y ( Z (E Cov( S S = λ e, Y ( Z, S = Z. N = 7
Zadae 8. Obserwujemy,,, 4 ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc θ gdy x > f ( x = θ+ θ x 0 gdy x Y, Y, K, Y5 ezależych zmeych losowych o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc θ gdy x > f ( x = θ+ θ x 0 gdy x gdze θ θ są ezaym parametram dodatm. Wszystke zmee losowe są ezależe. Testujemy hpotezę H 0 : θ = θ przy alteratywe H : θ < θ za pomocą testu o obszarze krytyczym ˆ θ K = < t ˆ θ gdze ˆ θ θˆ są estymatoram ajwększej warogodośc odpowedo parametrów θ θ wyzaczoym a podstawe prób losowych,,, 4 Y, Y, K, Y5. Dobrać stałą t tak, aby otrzymać test o rozmarze 0,05. (A 0,60 (B 0,99 (C 0,6 (D 0,9 (E 0,6 8
Zadae 9. Nech,,...,, >, będze próbką z rozkładu Possoa z ezaym parametrem λ (parametr jest wartoścą oczekwaą pojedyczej obserwacj, λ = E ( > 0. λ Iteresuje as drug momet obserwacj, czyl welkość m ( λ = E (. λ ( λ Estymator eobcążoy o mmalej waracj fukcj m jest rówy A (B (C (D = + = = = = = = = (E + ( 9
Zadae 0. Pa A przezaczył 5 zł a pewa grę. W pojedyczej kolejce gry pa A wygrywa zł z prawdopodobeństwem / lub przegrywa zł z prawdopodobeństwem /. Pa A kończy grę, gdy wszystko przegra lub gdy będze mał 0 zł. Prawdopodobeństwo, że pa A wszystko przegra jest rówe (A 0,87 (B 0,67 (C 0,50 (D 0,97 (E 0,77 0
Egzam dla Aktuaruszy z 0 lstopada 009 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja C D B 4 A 5 A 6 C 7 A 8 C 9 E 0 D * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.