ZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych

Transkrypt

1 ZJAZD Przedmotem statystyk jest zberae, prezetacja oraz aalza daych opsujących zjawska losowe. Badau statystyczemu podlega próbka losowa pobraa z populacj, aczej populacj geeralej. Na podstawe uzyskaych wyków woskuje sę o właścwoścach całej populacj. Badać moża jedą lub wele cech populacj geeralej. Badae cechy mogą być merzale (p. długość, waga, czas) lub emerzale (p. kolor, płeć, wykształcee). W tym drugm przypadku, aby obróbka statystycza była możlwa, ależy badaym elemetom próbk przypsać wartośc lczbowe. STATYSTYKA OPISOWA wstępa aalza daych Celem oblczeń jest m.. wyzaczee pewych charakterystyk lczbowych, zwaych statystykam opsowym, opsujących badaą cechę. Na tej podstawe są wycągae podstawowe wosk dotyczące tej cechy lub przedstawae wyk obserwacj w postac grafczej. Nech x, x,...x będze -elemetową próbką pobraą z badaej populacj. Wybrae statystyk opsowe:. Średa arytmetycza x = x =. Medaa (wartość środkowa) środkowa lczba w uporządkowaej emalejąco próbce 3. Moda (wartość modala) ajczęścej powtarzająca sę wartość w próbce, o le steje 4. Kwartyl góry elemet, pożej którego leży 75% wartośc w uporządkowaej próbce 5. Kwartyl doly elemet, pożej którego leży 5% wartośc w uporządkowaej próbce

2 6. Waracja s = ( x x) = 7. Odchylee stadardowe s = s 8. Rozstęp R = x max x m gdze x max jest ajwększą a x m - ajmejszą wartoścą w próbce. Rozstęp jest długoścą ajmejszego przedzału zawerającego wszystke elemety próbk. Szereg rozdzelczy Przy dużej lczośc próbk, w celu ułatwea aalzy, elemety próbk grupuje sę w tzw. klasach, czyl przedzałach a ogół tej samej długośc. Lczbę elemetów próbk zawerających sę w -tej klase azywamy lczoścą (lczeboścą) tej klasy. Środk klas lczebośc tych klas staową klasyczy szereg rozdzelczy. Na peły szereg rozdzelczy składają sę: - końce przedzałów klasowych - środk przedzałów klasowych - lczośc - lczośc skumulowae (lczoścą skumulowaą -tej klasy jest suma l = ) j= - częstośc (częstość -tej klasy otrzymujemy dzeląc lczość tej klasy przez lczość próbk) - częstośc skumulowae (czyl lorazy lczośc skumulowaych przez lczość próbk) Hstogram Hstogramem azywamy grafcze przedstawee szeregu rozdzelczego. Jest to wykres słupkowy, a którym a os pozomej zazaczoe są koleje klasy, atomast a os poowej zajdują sę lczośc (hstogram lczośc), częstośc (hstogram częstośc), lczośc skumulowae (hstogram lczośc skumulowaych) lub częstośc skumulowae (hstogram częstośc skumulowaych) Łącząc pukty o współrzędych ( x, ), gdze x jest środkem -tej klasy, otrzymujemy łamaą lczebośc. Podobe moża arysować łamaą częstośc, lczebośc skumulowaej częstośc skumulowaej.

3 Procedury programu Statgraphc Do wyzaczea statystyk opsowych dla jedej próbk służy polecee z meu główego: Descrbe/Numerc Data/Oe-Varable Aalyss... Opcja tekstowa (Tabular Optos) arzędza Summary Statstc umożlwa wyśwetlee podstawowych charakterystyk. Możlwość wyboru ych charakterystyk uzyskuje sę poprzez meu podręcze oka Summary Statstc wskazując polecee Pae Optos... Wybrae opcj tekstowej Frequecy Tabulato powoduje wyśwetlee szeregu rozdzelczego, atomast opcja grafcza Frequecy Hstogram umożlwa wykreślee hstogramów oraz łamaych. Do wyzaczea statystyk opsowych dla welu próbek służą polecea: dwe próbk - Compare/Two Samples/ Two-Sample Comparso... węcej ż dwe próbk - Compare/Multple Samples/Multple-Samples Comparso... WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Jest to podstawowa metoda woskowaa statystyczego. Hpotezą statystyczą jest dowole przypuszczee dotyczące badaej cechy populacj. Najczęścej dotyczy oo postac ezaego rozkładu lub wartośc jego parametrów. Weryfkowaą hpotezę azywamy hpotezą zerową. Podczas weryfkacj hpotezy H ależy określć hpotezę alteratywą K, czyl hpotezę, którą jesteśmy skło przyjąć, jeżel odrzucmy hpotezę H. Weryfkację przeprowadza sę a przyjętym z góry pozome stotośc α, będącym prawdopodobeństwem popełea błędu perwszego rodzaju, czyl odrzucea hpotezy H wtedy, gdy jest oa prawdzwa. Weryfkację postawoej hpotezy przeprowadza sę a podstawe próby losowej pobraej z populacj. Weryfkację taką przeprowadza sę za pomocą odpowedego testu statystyczego, który z ustaloym prawdopodobeństwem (pozom stotośc) umożlwa podjęce decyzj o odrzuceu lub e odrzuceu hpotezy. Weryfkacja polega a wyborze odpowedej statystyk testowej, czyl pewej fukcj określoej a zborze obserwowaych zmeych losowych oraz określeu tzw. zboru krytyczego, czyl zboru tych wartośc statystyk testowej, a podstawe których, hpotezę weryfkowaą w kotekśce hpotezy alteratywej odrzuca sę albo e. 3

4 Jeżel weryfkacja e daje podstaw do zaprzeczea weryfkowaej hpoteze, to ta hpoteza e może być odrzucoa. Ne ozacza to jedak, że jest oa prawdzwa. Jeżel wyk weryfkacj zaprzeczają weryfkowaej hpoteze - odrzucamy ją a korzyść hpotezy alteratywej. UWAGA Powyżej opsaa została klasycza metoda weryfkacj hpotez. Isteje także druga metoda polegająca a tym, że decyzję o przyjęcu lub odrzuceu hpotezy podejmuje sę a podstawe wartośc tzw. pozomu krytyczego pv (ajmejszego pozomu stotośc, przy którym odrzuca sę weryfkowaą hpotezę). Jeżel pozom krytyczy pv jest mejszy ż przyjęty pozom stotośc α odrzuca sę rozważaą hpotezę a rzecz hpotezy alteratywej. W przecwym przypadku e ma podstaw do odrzucea hpotezy. TESTY ZGODNOŚCI Służą oe do weryfkacj hpotez o postac rozkładu badaej cechy lub hpotez o detyczośc rozkładów cechy dla welu populacj.. Test zgodośc ch-kwadrat Pearsoa jest wykorzystyway do weryfkacj hpotez o postac rozkładu cechy dla jedej populacj. Wymaga o dużej próby, dla której ależy utworzyć szereg rozdzelczy. Statystyka testowa tego testu jest postac χ = = ( p p k ) gdze welkość próby k lczba klas lczość -tej klasy p prawdopodobeństwo, że cecha przyjme wartość ależącą do -tej klasy. Zborem krytyczym testu jest zbór W [ χ + ) = α, k, gdze χ p, f jest kwatylem rzędu p rozkładu ch-kwadrat o f stopach swobody. Jeżel oblczoa wartość statystyk χ zawera sę w zborze krytyczym W, wówczas hpotezę H odrzucamy a rzecz hpotezy alteratywej. W przecwym przypadku e mamy podstaw do odrzucea hpotezy.. Test zgodośc Kołmogorowa może być stosoway dla małych prób pochodzących z populacj o rozkładze cągłym badaej cechy. 4

5 3. Test zgodośc Kołmogorowa-Smrowa stosoway jest do weryfkacj hpotez o detyczośc rozkładów cechy dla dwóch prób. 4. Test zgodośc Kruskala-Wallsa służy do weryfkacj hpotez o detyczośc rozkładów cechy dla welu prób. Procedury programu Statgraphc Do weryfkacj hpotezy o postac rozkładu cechy populacj, z której pochodz próbka służy polecee Descrbe/Dstrbutos/Dstrbuto Fttg (Ucesored Data)... Spośród opcj tekstowych wskazujemy grupę testów zgodośc (Kołmogorowa chkwadrat) Goodess-of-Ft Tests, a dodatkowo jeżel hpoteza dotyczy rozkładu ormalego testy ormalośc Tests for Normalty. Do porówaa dwóch prób stosuje sę polecee Compare/Two Samples/Two-Sample Comparso... a astępe spośród opcj tekstowych ależy wskazać opcję Kolmogorov-Smrov Test Do porówaa welu prób stosuje sę polecee Compare/Multple Samples/Multple-Sample Comparso... oraz opcją tekstową aalzy Kruskal-Walls ad Fredma Tests Do oblczea kwatyt rozkładu ch-kwadrat ależy w kalkulatorze programowym skorzystać z fukcj INVCHISQUARE(? ;? ). Perwszym parametrem fukcj jest rząd szukaego kwatyla, drugm lczba stop swobody. ZADANIA Zadae Wygeerować 00 elemetowa próbkę z rozkładu logarytmczo-ormalego o parametrach LN(5,). Utworzyć dla tej próbk: - szereg rozdzelczy - hstogramy lczebośc częstośc - hstogramy skumulowaych lczebośc częstośc - łamae lczebośc częstośc - łamae skumulowaych lczebośc częstośc. Zapamętać uzyskae wykresy tworząc tzw. slajdy, a astępe porówać odpowadające sobe hstogramy łamae akładając te slajdy a sebe. Porówać róweż otrzymaą dla tej próbk łamaą częstośc oraz łamaą skumulowaych częstośc z gęstoścą oraz dystrybuatą rozkładu teoretyczego LN(5,). 5

6 Zadae Poższe dae staową wyk pomarów lepkośc pewego produktu chemczego, uzyskae w odstępach jedogodzych: 3,3 4,5 5,3 5,3 4,3 4,8 5, 4,5 4,6 4, 4,3 6, 3, 5,5,6 4,6 4,3 5,4 5, 6,8 4,9 3,7 5, 4,5 5,3 5,6 5,8 3,3 4, 5,4 Zweryfkować hpotezę, że lepkość tego produktu chemczego ma rozkład ormaly Przyjąć pozom stotośc a = 0,0. Zadae 3 Zbadao grupę krw 00 osób otrzymao astępujące wyk: grupę 0 mało 39 osób, A - 44, B -, AB - 6 osób. a) Czy a podstawe tych daych moża przyjąć hpotezę o rówomerym rozkładze wszystkch grup krw w badaej populacj? b) Zweryfkować hpotezę, że prawdopodobeństwa występowaa grup krw 0, A, B, AB są w stosuku 4:4::. Przyjąć pozom stotośc a = 0,05. Zadae 4 W losowo wybraym jedogodzym przedzale czasowym odotowao 7 rozmów telefoczych o astępującym czase trwaa (w mutach):,5,8 6,0 0,5 8,75, 3,75 Na pozome stotośc 0,0 zweryfkować hpotezę, że czas trwaa rozmów ma rozkład wykładczy. Zadae 5 Przeprowadzoo eksperymet a dwóch próbach śwek morskch. Zaobserwoway cężar śwek (w gramach) w perwszej próbe kształtował sę astępująco: podczas gdy w drugej próbe otrzymao: Na pozome stotośc 0,05 zweryfkować hpotezę, że rozważae próby pochodzą z tej samej populacj. Lteratura Krysck W., Bartos J.. Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza w zadaach PWN Warszawa 986 Wybrae zagadea woskowaa statystyczego z wykorzystaem paketu STATGRAPHICS preskryp laboratoryjy. Praca pod redakcją Przemysława Grzegorzewskego. Ofcya Wydawcza PW, Warszawa 00 6