Średnia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)

Transkrypt

1 Mary przecęte Średa arytmetycza Dla szeregu rozdzelczego cechy skokowej x k x k Średa harmocza (cechy o charakterze lorazu p. Prędkość, gęstość zaludea) x H k x Średa geometrycza x x x... G x średa arytmetycza ważoa x k k x DOMINANTA (WARTOŚĆ MODALNA) D x d ( d d d d ) ( d d ) Gdze: x p dola graca przedzału domaty p lczebość przedzału domaty p lczebość przedzału poprzedego p lczebość przedzału astępego p szerokość przedzału domaty Kwartyle d

2 M M e e x N ( x o Medaa szereg szczegółowy N, gdy N jest eparzyste x N ), gdy N jest parzyste szereg rozdzelczy dla cechy skokowej (ależy skumulować lczebośc, zaleźć wartość dla której częstość >5%) M x e Me k Me Me x Me Me Me - dola graca przedzału meday - połowa lczebośc próby - lczebość przedzału meday - szerokość przedzału meday - lczebość próby o Kwartyl perwszy k N 4 Q xq Q Q o Kwartyl drug = medaa o Kwartyl trzec Q 3 x Q 3 3N 4 k Q 3 Q 3 Mary zróżcowaa (zmeośc), charakteryzują stopeń zróżcowaa jedostek w próbe WARIANCJA (jest marą ryzyka) o dla szeregu szczegółowego ( x) ( x x) N o dla szeregu rozdzelczego cechy skokowej

3 ( x) k ( x x) k o dla szeregu rozdzelczego cechy cągłej (k przedzałów) x ( x) ( x) k ( x x) k - środek przedzału Odchylee stadardowe przecęte odchylee od środka arytm. ( x) Współczyk zmeośc (porówywae ocea stopa zróżcowaa, dola graca ) ( x) V ( x) % x pow5% - duże zróżcow. po3% - małe zróżcow. Gdy przedzały e są domkęte e da sę oblczyć śr. arytm. stosujemy: Mary pozycyje bezwzględe (take które wykorzystują kwartyle) Rozstęp R x max x m Odchylee ćwartkowe Q 3 Q Q Mary pozycyje względe Współczyk zmeośc (pozycyjy) Q V Q *% Me

4 Estymacja przedzałowa parametrów Estymacja przedzałowa określoego parametru z populacj geeralej polega a kostrukcj pewego przedzału lczbowego ( a podstawe wyków z próby losowej poberaej ze zborowośc geeralej ), o którym moża powedzeć,że z przyjętym z góry prawdopodobeństwem pokryje wartość estymowaego parametru. Przedzał tak azywamy przedzałem ufośc Neymaa, atomast prawdopodobeństwo, że przedzał te będący zmeą losową pokryje ezay parametr, azywamy współczykem ufośc ozaczamy symbolem -. Pozomy współczyków ufośc ajczęścej przyjmowae są jako :,9;,95 ;,99. Przedzałem ufośc azywamy przedzał lczbowy, o którym przypuszczamy, że meśc sę w m ezay parametr populacj. Z przedzałem tym zwązaa jest mara ufośc ( pewośc ), że te przedzał aprawdę zawera teresujący as parametr, zwaa pozomem ufośc Na sposób kostrukcj przedzału ufośc ma wpływ lczebość próby losowej. W zależośc od rodzaju szacowaego parametru lczebośc próby moża wyróżć klka przedzałów ufośc, których sposób kostruowaa zostae przedstawoy a modelowych przykładach. Model I. Populacja geerala ma rozkład ormaly N (, ). Wartość średa jest ezaa, odchylee stadardowe w populacj jest zae. Z populacj tej pobrao próbę o lczebośc elemetów, wylosowaych ezależe. Wówczas przedzał ufośc dla średej populacj otrzymuje sę ze wzoru : P { x u x u } gdze : x - średa arytmetycza oblczoa z próby u pozom zmeej stadaryzowaej odczytay z tablc rozkładu ormalego N(,) przy przyjętym z góry współczyku ufośc - adzeja matematycza w populacj geeralej

5 - odchylee stadardowe w populacj geeralej - lczebość próby Model II. Populacja geerala ma rozkład N (, ). Nezaa jest zarówo wartość średa, jak odchylee stadardowe w populacj. Z populacj tej wylosowao ezależe małą próbę o lczebośc elemetów. Przedzał ufośc dla średej populacj otrzymuje sę wówczas według wzoru : s s P { x t x t } lub według wzoru rówoważego sˆ sˆ P { x t x t } gdze x ozacza średą arytmetyczą oblczoą z próby, s ŝ są odchyleam stadardowym z próby oblczoym według wzorów : s ( x x) sˆ ( x x) Wartość t ozacza wartość zmeej t tudeta odczytaą z tablcy tego rozkładu dla - stop swobody w tak sposób, by dla daego z góry prawdopodobeństwa - była spełoa relacja P { t t t }. Model III. Populacja geerala ma rozkład N(, ) bądź dowoly y rozkład o średej skończoej waracj ( ezaej ). Z populacj tej pobrao do próby ezależych obserwacj, przy czym lczebość próby jest dużą ( co ajmej klka dzesątków ). Wtedy przedzał ufośc dla średej populacj wyzaczamy ze wzoru jak w modelu I, z tą tylko różcą, że zamast we wzorze tym używamy odchyleń stadardowych

6 s lub ŝ oblczoych z próby. Ze względu a dużą próbę wyk jej grupuje sę w szereg rozdzelczy o r klasach wtedy wygode jest oblczać x oraz s według wzorów: x r j x o j j s r j ( x x) o j j gdze o x j ozacza środek poszczególego przedzału klasowego, a j jego lczebość. Gdy lczba r przedzałów klasowych jest mała, tz. gdy długość h każdego przedzału klasowego jest duża, oblczając z powyższego wzoru wartość s ależy stosować, tzw. poprawkę grupowaa, tj. odjąć od perwastek. s lczbę h, a dopero potem wycągąć Zwykle przyjmuje sę współczyk ufośc - wyoszące,9 ;,95 ( ajczęścej ), wreszce,99 lub,999 w badaach gdze ryzyko pomyłk jest małe. Przedzał ufośc dla wskaźka struktury Podstawowym parametrem populacj, szacowaym w przypadku badań statystyczych ze względu a cechę emerzalą ( jakoścową ) jest frakcja, prawdopodobeństwo ( lub po przemożeu przez procet ) elemetów wyróżoych w populacj, zwaa też wskaźkem struktury w populacj. Zagadee sprowadza sę do budowy przedzału lczbowego, który z określoym, z góry zadaym prawdopodobeństwem ( współczykem ufośc ), będze zawerał ezaą wartość odsetka ( wskaźka struktury, częstośc względej lub procetu ) zborowośc geeralej. Ważym warukem jest duża próba, >, a awet >. W zastosowaach statystyk waruek te jest zacze łagodejszy >3. Jedak m wększa próba tym lepsze wyk.

7 Gdy jest małe ( <3), wówczas korzysta sę z dokładego rozkładu m estymatora pˆ, jakm jest rozkład dwumaowy ze średą E( pˆ) p p( p) odchyleem stadardowym pˆ. Jeżel jest duże ( > ), a p jest małym ułamkem ( p,5), to moża przyjąć, że estymator ormaly o parametrach N( p, m pˆ ma rozkład asymptotycze p( p) a statystyka asymptotyczy rozkład ormaly zero jedykowy N(,). Przedzał ufośc dla parametru p wyraża sę wzorem : pˆ p u ma p( p) pˆ( pˆ) pˆ( pˆ) P { pˆ u p pˆ u } Przedzał ufośc dla waracj odchylea stadardowego Przedzał ufośc dla waracj w populacj geeralej moża wyzaczyć, gdy cecha X charakteryzująca zborowość ma rozkład N (, ), przy czym parametry, są ezae. Na podstawe próby losowej pochodzącej z tej populacj budujemy przedzał ufośc dla ezaej waracj.estymatorem parametru wzorem :, przyjmując współczyk ufośc - jest waracja z próby s określoa s ( x x). Przedzał ufośc dla może być zbudoway a podstawe rozkładu s statystyk, która ma rozkład ch kwadrat o v=- stopach swobody. Dla przyjętego współczyka ufośc - moża zaleźć dwe wartośc, które moża zapsać jako :

8 ) ( P oraz ) ( P Przedzał ufośc dla waracj określoy jest wzorem : } ˆ ) ( ˆ ) ( { P Przedzał ufośc dla odchylea stadardowego moża wyrazć wzorem : } { u s u s P

9 Weryfkacja hpotez statystyczych Hpoteza statystycza jest założeem badawczym, sformułowaym przez użytkowka, które dotyczy:. pozomu ezaych parametrów w populacj geeralej ( hpotezy parametrycze ). kształtu rozkładów teoretyczych dla obserwowaych zmeych losowych ( hpotezy eparametrycze ) Złożea badawcze, zwae parametryczym lub eparametryczym hpotezam statystyczym są formułowae w rówoległych erozłączych postacach, a maowce jako : hpoteza zerowa ( H ), przez którą ależy rozumeć sformułowae założea o braku jakejkolwek różcy pomędzy oceam z prób losowych a parametram lub rozkładam w populacj geeralej hpotezy alteratywe ( H ), które są wszystkm pozostałym możlwym założeam, poza sformułowaą hpotezą zerową Hpotezy alteratywe mogą być sformułowae względem hpotezy zerowej dwustroe wtedy H H lewostroe wtedy H H prawostroe wtedy H H topeń sformułowaa hpotezy alteratywej względem hpotezy zerowej ma wpływ a stopeń jedozaczośc podejmowaych decyzj weryfkacyjych. Metody weryfkacj hpotez są skerowae wyłącze a sprawdzee hpotez zerowych. Hpotezy zerowe, decyzje weryfkacyje oraz błędy ch prawdopodobeństwa Hpoteza zerowa Odrzucee Przyjęce ( H ) H Prawdzwa Błąd I rodzaju (B I ) P(B I ) =, << H Decyzja bezbłęda Fałszywa Decyzja bezbłęda Błąd II rodzaju ( B II ) P(B II )=,

10 Podstawowe pojęca Hpoteza statystycza - Założee dotyczące wartośc parametru lub rodzaju rozkładu zmeej w zborowośc geeralej. Hpoteza zerowa ( H ) - Hpoteza formułowaa często w testach stotośc w tak sposób, aby a podstawe wyków próby mogła być odrzucoa ( wbrew zdrowemu rozsądkow ), tak aby moża było ją łatwo odrzucć. Na przykład stawamy H : ( hpoteza prosta ). Częścej jedak chodz o zaps H : lub H : ( hpotezy złożoe ). Hpoteza alteratywa ( H ) - Hpoteza odośe której przypuszczamy, że jest prawdzwa ( zgode ze zdrowym rozsądkem ). Jeżel H zostae odrzucoa, wówczas przyjmujemy H, w przecwym przypadku e mamy podstaw do stwerdzea, że hpoteza alteratywa jest prawdzwa, p. dla ezaej średej zborowośc geeralej. Błąd I rodzaju () - Jeśl hpoteza zerowa w rzeczywstośc jest prawdzwa ( choć tego e wemy ), ale a podstawe wyków hpotezę tę odrzucamy, to popełamy błąd I rodzaju. Błąd II rodzaju () - Jeśl hpoteza zerowa w rzeczywstośc jest fałszywa ( choć tego e wemy ), ale a podstawe wyków z próby e mamy podstaw do jej odrzucea ( co w praktyce ozacza jej akceptację, czyl przyjęce ) to wówczas popełamy błąd II rodzaju. prawdza testu ( statystyka testu ) zmea losowa o określoym rozkładze z próby ( ajczęścej ormalym, t-tudeta lub ch kwadrat ), której wartość wpada lub e do obszaru odrzucea hpotezy zerowej ( H ), w zależośc od tego, jaka będze krytycza wartość testu. Wartość krytycza testu - Wartość zmeej losowej o określoym rozkładze ( ajczęścej ormalym, t- tudeta lub ch kwadrat ), która przy daym ( pozome stotośc ) jest porówywala z wartoścą statystyk testu dla potrzeb ustalea, czy H może być odrzucoa czy też e.

11 Zbór krytyczy - Zbór takch wartośc sprawdzau testu, które przemawają za odrzuceem H. Pozom stotośc - Maksymale prawdopodobeństwo popełea błędu I rodzaju, a które godz sę badacz przeprowadzający test statystyczy.zazwyczaj jest oo małe przyjmuje wartośc, ;, ;,5 ; lub,. Test jedostroy - ytuacja, w której zbór krytyczy hpotezy zerowej zajduje sę tylko a lewo lub tylko a prawo od wartośc oczekwaej daej zmeej losowej. Zbór krytyczy testu usytuoway jest zatem po jedej stroe wartośc oczekwaej. Test dwustroy - ytuacja, w której zbór krytyczy hpotezy zerowej umeszczoy jest symetrycze a lewo a prawo od wartośc oczekwaej daej statystyk testu. Wybór rodzaju testu - Zbór krytyczy testu, jeśl to możlwe, powo sę wyzaczyć w tak sposób, aby przy ustaloym prawdopodobeństwe popełea błędu I rodzaju mmalzować prawdopodobeństwo ( popełea błędu II rodzaju ). Moc testu - Prawdopodobeństwo odrzucea hpotezy zerowej H, gdy hpoteza alteratywa H jest prawdzwa. Moc testu ozaczoy jest przez M=-. Wykres mocy testu - wykres prawdopodobeństwa odrzucea hpotezy zerowej dla wszystkch możlwych wartośc ezaego parametru zborowośc geeralej. Wartość p mmala wartość, dla której H może być odrzucoa a podstawe wyków próby Hpoteza zerowa powa być odrzucoa tylko wtedy, gdy wartość p jest mejsza od przyjętego dla daego testu pozomu stotośc ( H odrzucamy, gdy wartość p < ). Wartość p często jest azywaa obserwowalym pozomem stotośc. Jest to mara oceająca, a le wyk z próby skłaają do założea prawdzwośc hpotezy zerowej. Im mejsze p, tym jest to mej prawdopodobe.

12 Uwaga! Komputerowy pozom stotośc lub pozom prawdopodobeństwa jest w pakece tatstca ozaczoy jako p. Jeżel >p, to a daym pozome odrzucamy hpotezę zerową, atomast gdy < p, to a daym pozome stotośc e ma podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. Hpoteza parametrycza założee odoszące sę do ezaego pozomu parametru ( parametrów ) zborowośc geeralej. Hpoteza eparametrycza założea odoszące sę do ezaej postac rozkładu zmeej losowej w zborowośc geeralej ( czasam dotyczy to rówań ezaych wartośc parametrów tego rozkładu ). tadardowa procedura testu stotośc jest to sposób weryfkacj hpotezy statystyczej składający sę z astępujących po sobe czyośc : przyjęce określoego pozomu stotośc sformułowae hpotezy zerowej H sformułowae hpotezy alteratywej ( w zależośc od H test może być jedostroy lub dwustroy ) ustalee sprawdzau testu ( statystyk ) jego wartośc a podstawe dostępych formacj o zborowośc geeralej próbe odczytae wartośc krytyczej sprawdzau testu ( główe z tablc rozkładu ormalego, t- tudeta lub ch kwadrat ) przy daym pozome formacjach pochodzących z próby losowej ustalee obszaru odrzucea ( krytyczego ) H przy daym ( obszar te może być jedostroy lub dwustroy ) podjęce decyzj o odrzuceu lub brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej ( a podstawe porówaa wartośc statystyk testu z wartoścą krytyczą ) porówae wartośc p z Test dla wartośc średej Załóżmy, że cecha X posada w populacj rozkład N(, ) parametry tego rozkładu e są zae. W postępowau weryfkacyjym H :, gdy ezaa jest wartość drugego parametru, tz., ależy wyróżć dwa przypadk :. wykorzystuje sę statystykę Z, której dokłady rozkład w określoych warukach jest zay. W tym przypadku mamy do czyea z małą próbą.

13 . wykorzystuje sę statystykę Z, której zay jest rozkład graczy ( asymptotyczy ). Przypadek te dotyczy dużych prób, tz. gdy W przypadku perwszym formułujemy hpotezy : H : wobec H : ( albo H :, albo H : ) Poberamy próbę losową prostą lczącą jedostek. Jeżel próba jest mała, w praktyce <3, to do weryfkacj hpotezy H, wykorzystuje sę statystykę : X X t ˆ tatystyka t ma rozkład t- tudeta o v=- stopach swobody wtedy, gdy prawdzwa jest hpoteza zerowa. W celu podjęca decyzj względem H, z tablc rozkładu t- tudeta odczytujemy wartość krytyczą t,v spełającą waruek: P ( t,v t ) gdze : - ustaloy z góry pozom stotośc Zbór wartośc (, t, v t, v, ) jest obszarem ( zborem ) krytyczym. Wadomo, że dla daego,, Z zbór krytyczy K określa także postać hpotezy alteratywej. Jeżel hpoteza kokurecyja jest postac : H :, to obszar krytyczy wyzaczoy z rówośc P ( t t,v ) atomast dla hpotezy H :, zbór krytyczy określa rówość P ( t t,v ) W każdym rozważaym przypadku lczba stop swobody v wyos -. Jeżel oblczoa wartość statystyk testu t zajdze sę w zborze krytyczym K, to hpotezę H odrzucamy z prawdopodobeństwem przyjmujemy hpotezę alteratywą. Gdy stwerdzmy, że wartość statystyk testu e zajduje sę w obszarze krytyczym ( jej wartość ależy do zboru dopuszczalego ), wstrzymamy sę od podjęca decyzj mówąc, że e ma podstaw do odrzucea H a pozome stotośc. Test dla dwóch średch Rozważae są dwe zborowośc, każda ze względu a pewą wybraą zmeą X. Zakłada sę, że badaa cecha w każdej z tych zborowośc ma

14 rozkład ormaly odpowedo o parametrach, - w perwszej zborowośc oraz, - w drugej zborowośc. W celu sprawdzea hpotezy : H : wobec H : ( może być lub ) pobera sę ezależe z każdej z tych zborowośc próby proste o lczebośc odpowedo rówej. Jeżel 3, to dla zweryfkowaa H wykorzystuje sę statystykę : t X X * * tatystyka ta ma rozkład t- tudeta o v stopach swobody wówczas, gdy prawdzwa jest H oraz waracje badaej zmeej w obu populacjach są rówe ( ) W przypadku gdy 3, w celu weryfkacj rozważaej H wykorzystuje sę statystykę o astępującej postac : u X X tatystyka ta ma graczy rozkład ormaly, czyl operając sę a rozkładze N(,) określa sę krytyczy dopuszczaly zbór wartośc rozważaej statystyk. Test dla waracj Chcemy sprawdzć hpotezę, że waracja w populacj, w której badaa cecha ma rozkład ormaly N( praktyce hpoteza kokurecyja, ), jest rówe lczbe. Najczęścej w ( alteratywa ) głos, że waracja jest wększa od. formułowae hpotezy możemy zapsać astępująco : H : wobec H :. W celu sprawdzea hpotezy H poberamy próbę prostą losową lczącą jedostek wykorzystujemy statystykę o postac : ( X tatystyka X ) ma rozkład ( ch kwadrat ) o v=- stopach swobody, gdy prawdzwa jest H. Zbór wartośc krytyczych testu wyzacza sę z

15 relacj P( ). Jeżel wartość statystyk testu zajdze sę w, v obszarze krytyczym, ), to z prawdopodobeństwem odrzucamy, v hpotezę H. W przecwym wypadku wstrzymujemy sę od podjęca decyzj. W przypadku, gdy rozważaa jest duża próba, to wykorzystuje sę statystykę u Fshera o postac : u v. tatystyka ta ma graczy rozkład N (, ) wówczas, gdy prawdzwa jest H. Test dla dwóch waracj Badamy dwe populacje o rozkładze ormalym N( ) N, )., ( Żade z tych parametrów e jest zay. Należy sprawdzć hpotezę H : wobec hpotezy alteratywej H :. Do weryfkacj hpotezy H, że waracje w obu populacjach są detycze, używa sę waracj oraz oblczaych z dwóch ezależych prób prostych o lczebośc, odpowedo, oraz. Jeżel prawdzwa jest hpoteza zerowa, tz., to zmea F ma rozkład F-edecora ( lub krótko rozkład F ) z v oraz v stopam swobody, przy czym są estymatoram waracj z ezależych prób prostych pobraych ze zborowośc o rozkładze ormalym. Relacja wyzaczająca prawostroy obszar krytyczy jest postac P ( F F ), gdze wartość krytyczą F odczytujemy z tablc rozkładu F-edecora, dla v v stop swobody. Jeżel powyższa relacja jest spełoa, ależy hpotezę H odrzucć. W przecwym przypadku e ma podstaw do odrzucea H o detyczośc waracj w obu populacjach. Gdy sprawdzeu podlega hpoteza H : wobec o H :, wówczas statystykę F oblcza sę, umeszczając w lczku wększą z waracj z obu prób, awet jeśl pochodz oa z populacj ozaczoej umerem. Test dla wskaźka struktury Nech populacja geerala ma rozkład dwupuktowy z parametrem p ozaczającym prawdopodobeństwo, że badaa zmea X w populacj przyjme wyróżoą wartość. Parametr p ( )<p< ) moża terpretować

16 jako frakcję elemetów populacj mających tę wartość określaą często w lteraturze wskaźkem struktury w populacj. Załóżmy dalej, że dla takej populacj chcemy zweryfkować hpotezę zerową, że parametr p w populacj ma określoą wartość p. Hpoteza zerowa jest postac H : p p prawdzaem tej hpotezy jest wskaźk struktury z dużej próby elemetowej ( ) zdefoway jako : m pˆ ( ) gdze m ozacza lczbę wyróżoych elemetów w próbe jest realzacją zmeej losowej X o rozkładze dwupuktowym. tatystyka ( ) ma asymptotyczy ( graczy ) rozkład ormaly p( p) N p,. Jeżel hpoteza zerowa jest prawdzwa, tz. jeśl p p, to wskaźk struktury z próby ma asymptotyczy rozkład ormaly p ( p ) N p, statystyka : u pˆ p p ( p ) m p p ( p ) ma asymptotyczy ( w przyblżeu ) rozkład ormaly N(, ), przy czym m ozacza lczbę jedostek o wyróżoej wartośc cechy w elemetowej próbe. Obszar krytyczy w tym teśce jest określoy relacją P ( u u ), gdze jest pozomem stotośc, a u - wartoścą krytyczą. posób weryfkacj przebega w podoby sposób jak poprzedo. Moża kostruować róweż jedostroe obszary krytycze w zależośc od sformułowaa hpotezy alteratywej. Test dla dwóch wskaźków struktury Nech badaa cecha X w dwóch populacjach ma rozkład dwupuktowy z parametram p p. Formułujemy hpotezę, że oba te parametry są detycze. Hpotezę zerową możemy zapsać w sposób astępujący : H : p p a hpotezę alteratywą H : p p albo H : p p lub H. W celu weryfkacj hpotezy zerowej z obu populacj : p p

17 wylosowao próby proste o lczebośc jedostek. Nech oraz m, ozaczają wskaźk struktury odpowedo z perwszej drugej próby. Różca tych wskaźków struktury ma asymptotyczy rozkład : N p p, p( p) p ( p ) Jeśl prawdzwa jest hpoteza zerowa ( H : p p ), to statystyka : u m m pq m ma rozkład asymptotycze ormaly N (, ), We wzorze tym są lczeboścam odpowedo próby perwszej drugej, m m są lczbą elemetów wyróżoych odpowedo w próbe perwszej drugej, atomast : m m * p, q p,

18 Testy eparametrycze prawdzae hpotezy a podstawe testu zgodośc Populacja geerala ma dowoly rozkład o dystrybuace ależącej do zboru rozkładów o określoym type postac fukcyjej dystrybuaty. Mogą to być dystrybuaty typu cągłego skokowego. Z populacj tej losujemy ezależe dużą próbę, a wyk losowaa dzelmy a r rozłączych klas o lczebośc w każdej klase, przy czym Podzał a klasy tworzy tzw. Rozkład empryczy. Na podstawe wyków próby stawamy hpotezę, że dystrybuata populacj ależy do klasy określoych dystrybuat, którą będzemy ozaczać przez ; tz. H : F( ), gdze F ( x ) jest dystrybuatą rozkładu populacj. x Porówae dystrybuaty F ( x) z dystrybuatą empryczą daje możlwość weryfkacj postawoej hpotezy. Test zgodośc dla tej hpotezy jest astępujący : z hpotetyczego rozkładu ależącego do poszczególych klas wartośc badaej cechy x prawdopodobeństwa p, że zmea losowa x o rozkładze przyjme wartośc ależące do klasy o umerze ( =,,3,...,m ). Z kole możąc p przez lczebość całej próby, otrzymujemy lczebośc teoretycze p, które wystąpą w poszczególych klasach, jeżel postawoa hpoteza H jest prawdzwa. tatystyką weryfkującą H jest hpoteza : r ( p ) p która ma przy słuszośc założea H rozkład asymptotyczy o r- stopach swobody, lub r--k stopach swobody ( r jest lczbą klas, k lczbą parametrów, które wyzaczamy dla fukcj ależącej do ). Obszar krytyczy w tym teśce buduje sę prawostroe w oparcu o rozkład statystyk stotośc ) P (. Jeżel. Z tablc rozkładu, dla ustaloego z góry pozomu, odczytujemy wartość krytyczą e ma podstaw do odrzucea hpotezy. emp, to H ależy odrzucć, jeżel, by zachodzło, to emp.

19 Test ser tevesa erą azywamy każdy cąg detyczych elemetów w zborze uporządkowaym według przyjętego kryterum. Losowość próby weryfkuje sę w oparcu o testy ser. W testach tych kluczowym pojęcem staje sę pojece ser. Zakładamy, że pojawee sę kolejych elemetów ma charakter losowy. Ogóla lczba ser w próbe -elemetowej jest to zmea losowa K o stablcowaym rozkładze. tawamy hpotezy: Ho: dobór jedostek do próby jest losowy H: dobór jedostek do próby e jest losowy Algorytm postepowaa moża zapsać w postac: wyzaczamy medaę w próbe euporządkowaej ozaczamy symbolam A B wartośc różące sę od meday zgode z erówoścam x < Me = A x > Me = B, gdy x = Me to -ty elemet próby pomjamy zlczamy lczbę ser k=k A +k B ka lczba symbol A kb lczba symbol B, lczba ser K jest wartoścą statystyk testowej Obszar krytyczy testu jest dwustroy, gdyż ser e może być a za dużo, a za mało. Wartośc krytycze testu k k odczytuje sę z tablc lczby ser. Gdy k <k<k to e ma podstaw do odrzucea Ho. Jeżel zaś jest y układ, to ależy odrzucć Ho.

20 Wartośc krytycze rozkładu ser (jedostroe) P ( k k, ), =, =, I I =,95 =, I

21 Materały przygotowae w oparcu o poższe źródła: Domańsk C. 979: tatystycze testy eparametrycze, PWE, Warszawa. Draper N.R., mth H Aalza regresj stosowaa. PWN, Warszawa Greń J., tatystyka matematycza modele zadaa. PWN Warszawa. Hausz Z., Tarasńska J. 6. tatystyka Matematycza. Wydawctwo AR w Luble. Hellwg Z. 975: Elemety rachuku prawdopodobeństwa statystyk matematyczej, PWN, Warszawa. Kala R.. tatystyka dla przyrodków. Wydawctwo AR w Pozau Kassyk-Rokcka H tatystyka e jest truda. Merk statystycze. PWE, Warszawa Kloeck W tatystyka dla żyerów. PWN, Warszawa Krysck W. J. Bartos, W. Dyczka, K. Królkowska, M. Waslewsk, 6: Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza w zadaach, część. Warszawa: PWN, Luszewcz A tatystyka e jest truda. Metody woskowaa statystyczego. PWE, Warszawa Makać W., Urbaek-Krzysztofak D Metody opsu statystyczego. Wydawctwo Uwersytetu Gdańskego Oktaba W. 98: Elemety statystyk matematyczej metodyka dośwadczalctwa, PWN, Warszawa. Oktaba W. 98: Metody statystyk matematyczej w dośwadczalctwe, PWN, Warszawa. Pawłowsk Z. 98: tatystyka matematycza, PWN, Warszawa. Platt C. 98: Problemy rachuku prawdopodobeństwa statystyk matematyczej, PWN, Warszawa Rao C. R. 98: Modele lowe statystyk matematyczej, PWN, Warszawa. Rao C. R. 994: tatystyka prawda, PWN, Warszawa. Rechma W. J. 968: Drog bezdroża statystyk, PWN, Warszawa. Rószkewcz M. 993: tatystyka kurs podstawowy, GH, Warszawa. lvey. D. 978: Woskowae statystycze, PWN, Warszawa. obczak M. 997: tatystyka, PWE, Warszawa. tasz A., - Aalza waracj - testy po fakce, Medycya Praktycza /4. Wójck A.R tatystyka matematycza. Wydawctwo GGW, Warszawa Zelńsk W Wybrae testy statystycze. Fudacja "Rozwój GGW", Warszawa Zelńsk R., 97 - Tablce tatystycze. Wyd. PWN Warszawa.