= , t 1872, = , t 1872,0.95

Transkrypt

1 19 stycza 008 Zadae 1 Dyspoujemy próbą dla Staów Zjedoczoych z roku 1988 dotyczącą kobet: l_wage logarytm zarobków; ttl_exp całkowte dośwadczee zawodowe wyrażoe w latach; uo czy osoba ależy do zwązków zawodowych, 1 tak, 0 e; l_age logarytm weku; race rasa, 1 bały, czary, 3 w pozostałych przypadkach. Pożej zajdują sę oszacowaa regresj, w której zmeą zależą jest l_wage, atomast zmee ezależe to ttl_exp, uo, l_age, race. Poadto w regresj uwzględoo terakcje mędzy zmeą ozaczającą przyależość do zwązków zawodowych a dośwadczeem zawodowym. Pozom bazowy dla zmeej race to rasa bała. Source SS df MS Number of obs = F( 6, 1873) = 97.9 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0.35 Total Root MSE = l_wage Coef. Std. Err. t uo ttl_exp uoxttl_exp l_age _Irace_ _Irace_ _cos Uzupełj brakujące mejsca.. Dlaczego wprowadzoo do modelu terakcje mędzy zmeą uo a ttl_exp? 3. Które ze zmeych są stote? (odpowedź ależy uzasadć) 4. Dokoaj terpretacj parametrów. 5. Przetestuj hpotezę o tym, że wpływ a dochód wzrostu dośwadczea o 1 rok u kobet ależących do zwązków zawodowych jest o 1% mejszy ż u kobet eależących do zwązków zawodowych. 6. Chcemy przetestować hpotezę, że kobety rasy ej ż bała zarabają tyle samo oraz wzrost weku o 1% powoduje spadek dochodu o 0,5%. Zapsać hpotezę zerową za pomocą macerzy: HB = h oraz wyjaść jak moża ją testować (podać postać modelu z ograczeam). Przy testowau hpotez proszę przyjąć pozom stotośc Do testowaa hpotez mogą przydać sę astępujące kwatyle: t 1873,0.95 = , t 1873,0.975 = , t 187,0.95 = , t 187,0.975 =1.9613, Rozwązae: 1. Wydruk ze Staty: Source SS df MS Number of obs = F( 6, 1873) = 97.9 Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = 0.35 Total Root MSE = l_wage Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] _Iuo_ ttl_exp

2 _IuXttl_~ l_age _Irace_ _Irace_ _cos Oblczea: RSS = TSS ESS = = Stope swobody (df) dla ESS: K 1 = 7 1 = 6 Stope swobody (df) dla RSS: N K = = 1873 ESS R = = TSS b seˆ( b) t = =. Zapszmy fragmet modelu tylko ze zmeym uo ttl_exp: E( y ) = β1 + βuo + β3ttl _ exp + β4ttl _ exp uo Wartość oczekwaa w rozbcu a podpróby ze względu a zmeą uo: E( y ) = β + β ttl _ exp - kobeta e ależąca do zwązków zawodowych; 1 3 E( y) = β1 + β + β3ttl _ exp + β4ttl _ exp= β1 + β + ( β3 + β4) ttl _ exp - kobeta ależąca do zwązków zawodowych. Wosek: terakcja została wprowadzoa do modelu, aby uwzględć y wpływ dośwadczea zawodowego a pozom zarobków wśród kobet ależących eależących do zwązków zawodowych. Iterakcje mędzy zmeą cągła dyskretą wprowadzamy do regresj, jeśl podejrzewamy, że wpływ zmeej cągłej a zmeą objaśaą zależy od pozomów zmeej dyskretej. 3. Będzemy testować hpotezy H : 0 0 β k = vs. H : 0. 0 βk Do tego celu potrzebujemy kwatyl rzędu 0,975 (test dwustroy a pozome stotośc 0,05) z rozkładu t-studeta o 1873 stopach swobody (N K). Hpotezę zerową odrzucamy, jeśl statystyka testowa wpada do obszaru krytyczego W = ( ; ] [ ; ), czyl jeśl wartość bezwzględa statystyk testowej jest wększa od Tylko dla zmeej _race_3 brak podstaw do odrzucea H, 0 bo t = 0.3 W. Pozostałe zmee oraz stała są stote. 4. Kobety ależące do zwązków zawodowych zarabają o 38,08% węcej ż kobety e ależące do zwązków zawodowych. Każdy dodatkowy rok dośwadczea u kobety e ależącej do zwązków zawodowych powoduje wzrost dochodu o 5,1%. Każdy dodatkowy rok dośwadczea u kobety ależącej do zwązków zawodowych powoduje wzrost dochodu o 3,89% (5,1% - 1,3% = 3,89%). Wzrost weku o 1% powoduje spadek dochodu o 0,45% (zmea wek jest zlogarytmowaa!) Kobety rasy czarej zarabają o 0,% mej ż kobety rasy bałej. Kobety rasy ej ż bała lub czara zarabają o,16% węcej ż kobety rasy bałej. 5. Zgode z odpowedzą a podpukt drug, wystarczy przetestować hpotezę, że parametr przy zmeej ttl_exp wyos 0,01. Testujemy węc zestaw hpotez: H : β = 0.01 H : β ttl _ exp 1 ttl _exp 1) Wyzaczamy wartość statystyk testowej: * bttl _ exp β ( 0.01) t = = 0.4 se( b ) ttl _ exp ) t * = t0,975;1873 = W = ( ; ] [ ; ) 3) Poeważ t W, węc brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej.

3 6. Wartość oczekwaą zmeej zależej możemy zapsać: E( y ) = β + β uo + β ttl _ exp + β ttl _ exp uo + β l_ age + β race _ + β race _ β = β - kobety rasy ej ż bała zarabają tyle samo; 6 7 β 5 = 0,5 - wzrost weku o 1% powoduje spadek dochodu o 0,5%. Czyl hpotezę zerową możemy zapsać: β1 β β 3 β6 β7 = H0 : β4 β5 = 0, = 0,5 β 5 β6 β 7 Postać modelu z ograczeam: y = β + β uo + β ttl _ exp + β ttl _ exp uo 0,5l_ age + β race _ + β race _ 3 + ε y + 0,5l_ age = β1 + βuo + β3ttl _ exp + β4ttl _ exp uo + β6 ( race _ + race _ 3 ) + ε * * y race Zmea race* przyjmuje warość 0 dla kobet rasy bałej oraz 1 w pozostałych przypadkach. Hpotezę zerową testujemy za pomocą statystyk F ( porówae sumy kwadratów reszt dla modelu bez ograczeń z ograczeam). Zadae Dla modelu (*) y = X β + ε, stworzylśmy macerz X* = XA, gdze A jest pewą macerzą eosoblwą, oraz wektor y* = cy, gdze c R c 0. Następe defujemy model (**) y* = X * β * + η. 1. Ile wyos estymator MNK dla regresj (**)? Estymator b * ależy przedstawć jako fukcję estymatora b.. Wyzaczyć Var( b *). 3. Wyzaczyć wektor reszt dla regresj (**) jako fukcję wektora reszt dla regresj (*). 4. Pokazać, że R w obu regresjach jest take samo. Rozwązae: * * * 1 * * b = ( X X ) X y = (( XA) XA) ( XA) cy = c( A X XA) A X y Dla dowolych eosoblwych macerzy A B zachodz wzór a przypadek trzech odwracalych macerzy mamy Czyl ( A X XA) = A ( X X ) ( A ). = = = * b ca ( X X ) ( A ) A X y ca ( X X ) X y ca b I AB = B A Uogólając te ( ) ( ABC) = C ( AB) = C B A.. * 1 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) Var b Var ca b ca Var b ca c A Var b A c A 1 σ ( X X ) 1 = = = = ( A 1 ) 3

4 * * * yˆ = X b = XAcA b = cx AA b = cxb = cyˆ, gdze ŷ ozacza wartośc dopasowae dla I regresj (*); * * * e = y yˆ = cy cyˆ = c( y yˆ ) = ce, gdze e ozacza wektor reszt dla regresj (*) * * 4. ( e ) e = ( ce) ce = c e e * 1 * 1 1 y = y 1 = cy 1 = = c y 1 = cy = = = * * * * * TSS = y y y y = cy cy cy cy = c y y y y R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 = 1 = R * c e e e e c ( y y ) ( y y ) ( y y ) ( y y ) Zadae 3 Oszacowao regresję logarytmu lośc sprzedawaych owych samochodów (zmea l_ocars) a logarytme PKB per capta (zmea l_y) dekse ce owych samochodów (zmea l_prce). Regresję oszacowao a daych kwartalych dla Staów Zjedoczoych z okresu Wprowadzoo także do modelu zmee sezoowe przyjmujące wartość 1 dla odpowedego kwartału, a 0 dla pozostałych (pozom bazowy to I kwartał). Wyk regresj zajdują sę pożej. Source SS df MS Number of obs = F( 5, 54) = Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = l_ocars Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] l_y l_prce dq dq dq _cos RESET F(3, 51) = 3.45 [0.031] Durb-Watso (6,60) =.97 Breusch-Godfrey ch(4) = 4.4 [0.0001] Jarque-Bera ch() = 0.1 [0.9438] Whte ch(14) = [0.6865] Wykres lczby sprzedawaych samochodów (w tyś. sztuk) w zależośc od czasu: 4

5 ocars q q3 1978q3 1979q3 1980q q3 198q3 1983q3 1984q3 1985q3 1986q3 1987q3 1988q3 1989q3 1990q3 data Testowae hpotez ależy przeprowadzć a pozome stotośc α = 0, 05. Każdą z odpowedz ależy uzasadć odpowedm wartoścam statystyk testowych p-value. Wartośc krytycze d l d u dla testu DW przy 60 obserwacjach 5 zmeych stałej a pozome stotośc 0,05 wyoszą odpowedo Do testowaa hpotez mogą być potrzebe astępujące kwatyle rozkładu t-studeta: t 0,95;54 = ; t 0,975;54 = Określć, czy model jest dobrze dopasoway do daych oraz czy zbór zmeych ezależych stote objaśa zmeą zależą.. Podać, które zmee w modelu są stote. 3. Przetestuj hpotezę o tym, że popyt a samochody jest elastyczy (popyt jest elastyczy jeżel zmaa cey o 1% powoduje wększą ż o 1% zmaę żądaej lośc). 4. Wyjaśj a podstawe wykresu, dlaczego w modelu zawarto kwartale zmee sezoowe. 5. W jak sposób ależałoby weryfkować hpotezę mówącą o tym, że a lość sprzedawaych samochodów e wpływa pora roku? 6. Zbadać, czy w modelu występuje heteroscedastyczość. 7. Zbadać, czy w modelu występuje autokorelacja. 8. Zbadać, czy zaburzee losowe ma rozkład ormaly. 9. Sprawdzć, czy forma fukcyja modelu jest prawdłowa. 10. Jeżel model e speła założeń KMRL określć: a) które założee e jest spełoe? b) jake ma to kosekwecje dla woskowaa statystyczego? c) w jak sposób moża rozwązać problemy zasygalzowae przez wyk testów? 5

6 Rozwązae: 1. R = 0, 5657, czyl 56,57% zmeośc logarytmu lośc sprzedawaych samochodów zostało objaśoe przez zmeość zmeych ezależych. Wartość statystyk testowej w teśce a łączą stotość zmeych ezależych: F = 14, 04 ( p value = 0,0000 < 0,05). Poeważ p-value jest mejsze od przyjętego pozomu stotośc, to odrzucamy hpotezę zerową zakładającą łączą estotość zmeych objaśających.. W modelu stote są te zmee, dla których p-value jest mejsze od 0,05 (wówczas odrzucamy hpotezę zerową zakładającą estotość daej zmeej). Węc stote zmee to: l_y, l_prce, dq_ oraz stała. 3. Testoway zestaw hpotez: H0 : β l_ = 1 vs. H1 : β l_ < 1 prce 1,13440 ( 1) 1) Wartość statystyk testowej: t = 0,1803 0, 74 ) t * = t0,95;54 = W = ( ; ] (bo test lewostroy!) 3) Poeważ t W, to brak podstaw do odrzucea hpotezy. Ne moża węc przyjąć hpotezy, że popyt a samochody jest elastyczy. 4. Na wykrese wyraźe wdać, ż sprzedaż samochodów cechuje sę sezoowoścą ajwęcej samochodów sprzedaje sę w II kwartale. Aby uchwycć wpływ pory roku a sprzedaż samochodów uwzględoo w modelu zmee zerojedykowe wyróżające kwartały. 5. Należałoby przetestować hpotezę zakładającą łączą estotość zmeych sezoowych, H : β = β = β = 0. Hpotezę tę moża przetestować w stadardowy sposób czyl: 0 dq _ dq _3 dq _ 4 za pomocą statystyk F porówae sumy kwadratów reszt dla modelu bez ograczeń modelu z ograczeam (regresja z pomętym zmeym sezoowym). 6. Występowae heteroscedastyczośc testujemy za pomocą testu Whte a (hpoteza zerowa: homoscedastyczość; hpoteza alteratywa: heteroscedastyczość). Wartość statystyk testowej wyos ch(14)= oraz p-value = 0,6865 > 0,05, węc brak podstaw do odrzuceu hpotezy zerowej. 7. Autokorelację testujemy za pomocą testu Durba-Watsoa Breuscha-Godfreya. Test DW Poeważ DW = 0,97 <, węc testujemy zestaw hpotez: H0 : Cov( ε t, ε t 1) = 0 (brak autokorelacj rzędu perwszego), H1 : Cov( εt, εt 1) > 0 (dodata autokorelacja rzędu perwszego). DW = 0,97 < d l = 1,41 odrzucamy hpotezę zerową, węc występuje autokorelacja dodata perwszego rzędu; Test BG (hpoteza zerowa: brak korelacj; hpoteza alteratywa: występuje korelacja) Wartość statystyk testowej wyos ch(4) = 4.4 oraz p-value = 0,0001 < 0,05, czyl odrzucamy hpotezę zerową, występuje autokorelacja zaburzea losowego. 8. Normalość zaburzea losowego testujemy za pomocą testu Jarque-Bera (hpoteza zerowa: zaburzee losowe ma rozkład ormaly; hpoteza alteratywa: zaburzee losowe e ma rozkładu ormalego). Wartość statystyk testowej wyos ch() = 0.1 oraz p-value = 0,9438 > 0,05, czyl brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej zakładającej ormalość zaburzea losowego. prce 6

7 9. Poprawość przyjętej formy fukcyjej modelu testujemy za pomocą testu RESET (hpoteza zerowa: przyjęta postać fukcyja modelu jest prawdłowa; hpoteza alteratywa: przyjęta postać fukcyja modelu jest epoprawa). Wartość statystyk testowej F(3, 51) = 3.45 p-value = 0,031 < 0,05, węc odrzucamy hpotezę zerową zakładającą poprawość przyjętej formy fukcyjej. 10. a) Ne jest spełoe założee o braku autokorelacj zaburzea losowego oraz założee o sposobe geerowaa daych : y = β1 + βx βk xk + ε (czyl założee o lowej zależośc mędzy zmeą zależą zmeym ezależym). b) W przypadku e spełea założea o braku autokorelacj zaburzea losowego, estymator b jest co prawda eobcążoy zgody ale eefektywy. Estymator macerzy waracj-kowaracj b jest już obcążoy ezgody. Macerz waracj-kowaracj jest wykorzystywaa do testowaa hpotez a temat stotośc zmeych, węc poprawość woskowaa statystyczego jest podważoa. Odrzucee hpotezy o poprawośc przyjętej formy fukcyjej podważa terpretację ekoomczą modelu (terpretacja oszacowaych parametrów). Take własośc jak eobcążoość czy efektywość estymatora MNK są wyprowadzae przy założeu prawdzwośc przyjętej formy fukcyjej modelu. c) Nepoprawa forma fukcyja: możemy próbować poprawć formę fukcyją modelu wprowadzając do modelu terakcje mędzy zmeym, dokoać przekształceń zmeych (p. przekształcee Boxa-Coxa), zastosować model welomaowy, schodkowy lub krzywej łamaej. Problem autokorelacj moża rozwązać za pomocą Stosowalej UMNK lub odporego estymatora Newey a-westa macerzy waracj kowaracj. 7

8 4 stycza 008 Zadae 1 a) Mamy astępujący model ze stałą jedą zmeą objaśającą: y = β + β x + ε gdze E( ε ) = 0 Var( ε ) = 1, σ I Wyzaczyć cov( b1, b ), gdze b 1 b są estymatoram parametrów uzyskaym Metodą Najmejszych Kwadratów. b) Oszacowao regresję y β x ε, x = x x uzyskao estymator b. Utworzoo owe zmee: = + gdze [ 1 k ] * * y = cy oraz [ ] a 0 c 0. Oszacowao regresję muszą spełać stałe a c aby b = ˆ γ? y x = ax ax = ax gdze a, c R oraz 1 k, = γ x + ε uzyskao estymator ˆ. γ Jak waruek * * Rozwązae: a) W trakce kolokwum zostało doprecyzowae co ależy pokazać: σ x = 1 1 = x 1 x = = 1 cov( b, b ). ( ) Postać macerzy waracj-kowaracj estymatora b w przypadku sferyczośc zaburzea 1 losowego wyos Var( b) = σ ( X X ). W modelu ze stałą jedą zmeą objaśającą: 1 x1 1 1 x 1 X X = = x 1 x = 1 x x 1 x 1 = = Wzór a odwrotość macerzy x: a b 1 d b 1 A = c d det( A) 0, to A = det( A) c a Zakładając, że macerz X ma pełe rząd kolumowy (wystarczy, że steją take j, że x x ): j ( X X ) Czyl 1 1 x 1 x = = 1 x x 1 x 1 1 = = = = Var( b) oraz ( ) 1 σ x 1 x = = 1 = σ ( X X ) = x x 1 x 1 1 = = = σ x = 1 1 = x 1 x = = 1 cov( b, b ) b) Nech * y = cy ( ) ( ) * X = ax. Wówczas: c ˆ γ = ( X X ) X y = (( ax ) ax ) ( ax ) cy = ca( a X X ) X y = ca ( X X ) X y = b * * 1 * * a Czyl mus zachodzć, że c = a. a 8

9 Zadae Dyspoujemy próbą dla Staów Zjedoczoych z roku 1988 dotyczącą kobet: l_wage logarytm zarobków; age wek w latach; age_ wek podesoy do kwadratu; race rasa, 1 bały, 0 w pozostałych przypadkach; srede 1 osoba ma PRZYNAJMNIEJ wykształcee średe (czyl średe lub wyższe), 0 w pozostałych przypadkach; wyzsze 1 osoba ma wykształcee wyższe, 0 w pozostałych przypadkach srede_race terakcja mędzy zmeą srede a race; wyzsze_race terakcja mędzy zmeą wyzsze a race. Pożej zajdują sę oszacowaa regresj, w której zmeą zależą jest l_wage, atomast zmee ezależe to age, age_, race, srede, wyzsze, srede_race wyzsze_race. Source SS df MS Number of obs = F( 7, 50) = Model Prob > F = Resdual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = l_wage Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] age age_ srede wyzsze race srede_race wyzsze_race _cos Dlaczego wprowadzoo do modelu terakcje mędzy wykształceem a rasą?. W jakm celu umeszczoo w modelu zmeą wek podesoą do kwadratu? W jak sposób ależałoby przetestować hpotezę, że wek e wpływa a pozom dochodu? 3. Postaowoo wprowadzć do wyżej zaprezetowaej regresj zmeą wykształcee, która ozacza lczbę lat auk w latach. Jak problem może wystąpć w owej regresj (w modelu z dołączoą zmeą wykształcee)? (odpowedź ależy dokłade uzasadć) 4. Zdefowao ową zmeą srede_1, która przyjmuje wartość 1, jeżel ajwyższym ukończoym pozomem wykształcea jest wykształcee średe oraz 0 w pozostałych przypadkach. Jeżel zdecydujemy sę umeścć tę zmeą w modelu, to jak problem ekoometryczy wystąp? (odpowedź ależy dokłade uzasadć) 5. Dokoaj terpretacj parametrów. 6. Przetestuj hpotezę, że zarobk kobet o wykształceu podstawowym rase ej ż bała są ższe o 40% ż kobet o wykształceu średm rase ej ż bała. 7. Chcemy przetestować hpotezę, że kobety z wykształceem wyższym rasy bałej rasy ej ż bała zarabają tyle samo. Zapsać hpotezę zerową za pomocą macerzy: HB = h oraz wyjaść jak moża ją testować (podać wzór a statystykę testową). Przy testowau hpotez proszę przyjąć pozom stotośc Do testowaa hpotez mogą przydać sę astępujące kwatyle: t 50,0.95 = , t 50,0.975 = Rozwązaa: 1. Postać modelu bez terakcj: 9

10 E(l_ wage) = β0 + β1srede + βwyzsze + β3race Wartość oczekwaa w rozbcu a podpróby: E(l_ wage) = β - kobeta rasy ej ż bała o wykształceu podstawowym; 0 E(l_ wage) = β + β - kobeta rasy bałej o wykształceu podstawowym 0 3 E(l_ wage) = β + β - kobeta rasy ej ż bała o wykształceu średm; 0 1 E(l_ wage) = β + β + β - kobeta rasy bałej o wykształceu średm; E(l_ wage) = β + β + β - kobeta rasy ej ż bała o wykształceu wyższym; 0 1 E(l_ wage) = β0 + β1 + β + β3 - kobeta rasy bałej o wykształceu wyższym. Postać modelu z terakcjam: E(l_ wage) = β0 + β1srede + βwyzsze + β3race + β4srede _ race + β5wyzsze _ race Wartość oczekwaa w rozbcu a podpróby: E(l_ wage) = β - kobeta rasy ej ż bała o wykształceu podstawowym; 0 E(l_ wage) = β + β - kobeta rasy bałej o wykształceu podstawowym; 0 3 E(l_ wage) = β + β - kobeta rasy ej ż bała o wykształceu średm; 0 1 E(l_ wage) = β + β + β + β - kobeta rasy bałej o wykształceu średm; E(l_ wage) = β + β + β - kobeta rasy ej ż bała o wykształceu wyższym; 0 1 E(l_ wage) = β0 + β1 + β + β3 + β4 + β5 - kobeta rasy bałej o wykształceu wyższym. Model bez terakcj: β - prema za uzyskae wykształcea wyższego dla kobety rasy bałej (przejśce z wykształcea średego a wyższe); β - prema za uzyskae wykształcea wyższego dla kobety rasy ej ż bała (przejśce z wykształcea średego a wyższe); Prema jest taka sama, ezależe od rasy. Model z terakcjam: β + β5 - prema za uzyskae wykształcea wyższego dla kobety rasy bałej (przejśce z wykształcea średego a wyższe); β - prema za uzyskae wykształcea wyższego dla kobety rasy ej ż bała (przejśce z wykształcea średego a wyższe); W tym wypadku prema zależy od rasy. Wosek: wprowadzee do modelu terakcj umożlwa uchwycee różych prem uzyskwaych przez kobety o ej rase za wykształcee.. W modelu umeszczoo zmeą wek podesoą do kwadratu, poeważ spodzewao sę, że zależość mędzy płacą a wekem e jest lowa. Dochód rośe z wekem, ale coraz wolej od pewego mometu zaczya spadać. H : β = β = 0 - wek e wpływa a dochód; hpotezę tę moża przetestować za 0 age age _ pomocą statystyk F (model z ograczeam otrzymamy usuwając z wyjścowej regresj wek wek podesoy do kwadratu). 3. Zmea wykształcee będze skorelowaa ze zmeym zerojedykowym dotyczącym wykształcea. Najprawdopodobej wystąp problem współlowośc. 4. Dla każdej obserwacj zachodz: srede _1 + wyzsze = srede. Po dodau do modelu zmeej srede_1 macerz X e będze mała pełego rzędu kolumowego (bo kolumy będą lowo zależe), czyl e będze moża odwrócć macerzy X X tym samym dokoać estymacj takej regresj. Wystąp problem dokładej współlowośc. 10

11 5. Parametrów przy zmeych age age_ e możemy terpretować w stadardowy sposób. Parametry terpretujemy zakładając, że zmea sę wartość dokłade jedej zmeej objaśającej o jedostkę (lub o 1%), a pozostałe zmee ezależe pozostają a tym samym pozome. Jeżel zmea age zmea sę o 1 rok, to róweż zme sę wartość zmeej age_. Możemy jedak wyzaczyć werzchołek parabol: /( ( )) dochód rośe wraz z wekem aż do osągęca 38 lat a astępe zaczya maleć. Pozostałe parametry terpretujemy jako semelastyczośc: Kobeta rasy ej ż bała o wykształceu średm zaraba o 39,53% węcej ż kobeta rasy ej ż bała o wykształceu podstawowym. Kobeta rasy bałej o wykształceu podstawowym zaraba o,76% węcej ż kobeta rasy ej ż bała o wykształceu podstawowym. Kobeta rasy bałej o wykształceu średm zaraba o 15,71% ( ( β3 + β4)*100% ) węcej ż kobeta ej rasy ż bała o wykształceu średm. Kobeta rasy ej ż bała o wykształceu wyższym zaraba o 56,6% węcej ż kobeta rasy ej ż bała o wykształceu średm. Kobeta rasy bałej o wykształceu wyższym zaraba o 37,51% ( ( β + β5)*100% ) węcej ż kobeta rasy bałej o wykształceu średm. 6. Należy przetestować H0 : β 1 = 0, ) Statystyka testowa: t = ) W = ( ; ] [ ; ) 3) t W brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. 7. Należy przetestować H0 : β3 + β4 + β5 = 0. E(l_ wage) = β + β srede + β wyzsze + β race + β srede _ race + β wyzsze _ race + β6age + β7age _ Zaps macerzowy: β 0 = β [ ] [ 0] 7 Hpotezę testujemy za pomocą statystyk F = ( er er e e)/ g e e /( N K ). 11

12 Zadae 3 RESET F(3, 3) = 1.07 [0.385] Durb-Watso (6,60) =.78 Breusch-Godfrey ch(4) = 4.4 [0.000] Jarque-Bera ch() = 1.4 [0.538] Breusch-Paga ch() = 9.4 [0.009] Chow (k = ) F(6,1) = 8.38 [0.001] Testowae hpotez ależy przeprowadzć a pozome stotośc α = 0, 01. Każdą z odpowedz ależy uzasadć odpowedm wartoścam statystyk testowych p-value. Wartośc krytycze d l d u dla testu DW przy 3 obserwacjach 5 zmeych stałej a pozome stotośc 0,01 wyoszą odpowedo Określć, czy model jest dobrze dopasoway do daych oraz czy zbór zmeych ezależych stote objaśa zmeą zależą.. Podać, które zmee w modelu są stote. 3. Zbadać, czy w modelu występuje heteroscedastyczość. 4. Zbadać, czy w modelu występuje autokorelacja. 5. Zbadać, czy zaburzee losowe ma rozkład ormaly. 6. Sprawdzć, czy forma fukcyja modelu jest prawdłowa. 7. Sprawdzć, czy parametry modelu są stable. 8. Jeżel model e speła założeń KMRL określć: a) które założee e jest spełoe? b) jake ma to kosekwecje dla woskowaa statystyczego? c) w jak sposób moża rozwązać problemy zasygalzowae przez wyk testów? Rozwązae: 1. R = 0, 630, czyl 6,3% zmeośc stopy wzrostu akładów zostało objaśoe przez zmeość zmeych ezależych. Wartość statystyk testowej w teśce a łączą stotość zmeych ezależych: F = 8, 59 ( p value = 0,0001 < 0,01). Poeważ p-value jest 1

13 mejsze od przyjętego pozomu stotośc, to odrzucamy hpotezę zerową zakładającą łączą estotość zmeych objaśających.. W modelu stote są te zmee, dla których p-value jest mejsze od 0,01 (wówczas odrzucamy hpotezę zerową zakładającą estotość daej zmeej). Węc stote zmee to stopa f. Pozostałe zmee oraz stała są estote. 3. Występowae heteroscedastyczośc testujemy za pomocą testu Breuscha-Pagaa (hpoteza zerowa: homoscedastyczość; hpoteza alteratywa: heteroscedastyczość). Wartość statystyk testowej wyos ch() = 9.4 oraz p-value = 0,009 < 0,01, węc odrzucamy hpotezę zerową zakładającą homoscedastyczość. 4. Autokorelację testujemy za pomocą testu Durba-Watsoa Breuscha-Godfreya. Test DW Poeważ DW = 0,78 <, węc testujemy zestaw hpotez: H0 : Cov( ε t, ε t 1) = 0 (brak autokorelacj rzędu perwszego), H1 : Cov( εt, εt 1) > 0 (dodata autokorelacja rzędu perwszego). DW = 0,78 < d l = 0,917 odrzucamy hpotezę zerową, węc występuje autokorelacja dodata perwszego rzędu; Test BG (hpoteza zerowa: brak korelacj; hpoteza alteratywa: występuje korelacja) Wartość statystyk testowej wyos ch(4) = 4.4 oraz p-value = 0,000 < 0,01, czyl odrzucamy hpotezę zerową, występuje autokorelacja zaburzea losowego. 5. Normalość zaburzea losowego testujemy za pomocą testu Jarque-Bera (hpoteza zerowa: zaburzee losowe ma rozkład ormaly; hpoteza alteratywa: zaburzee losowe e ma rozkładu ormalego). Wartość statystyk testowej wyos ch() = 1.4 oraz p-value = 0,538 > 0,01, czyl brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej zakładającej ormalość zaburzea losowego. 6. Poprawość przyjętej formy fukcyjej modelu testujemy za pomocą testu RESET (hpoteza zerowa: przyjęta postać fukcyja modelu jest prawdłowa; hpoteza alteratywa: przyjęta postać fukcyja modelu jest epoprawa). Wartość statystyk testowej F(3, 3) = 1.07 p-value = 0,385 > 0,01, węc brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej. 7. Stablość parametrów testujemy za pomocą testu Chowa (hpoteza zerowa: parametry są take same w wyodręboych próbach; hpoteza alteratywa: parametry są róże w wyodręboych próbach). Próba została w tym wypadku podzeloa a dwa okresy: I kwartał IV kwartał 1998, I kwartał 1999 IV 00. Wartość statystyk testowej F(6,1)= 8.38 oraz p-value = 0,001 < 0,01, czyl odrzucamy hpotezę zerową zakładającą rówość parametrów w wyodręboych próbach. 8. a) Ne jest spełoe założee o braku autokorelacj homoscedastyczośc zaburzea losowego (czyl zaburzee losowe jest esferycze) oraz założee o sposobe geerowaa daych : y = β1 + βx β K xk + ε dla = 1,,...,. Mechazm geerowaa daych e jest tak sam w okresach I kwartał IV kwartał 1998 I kwartał 1999 IV 00. b) W przypadku e spełea założea o sferyczośc zaburzea losowego, estymator b jest co prawda eobcążoy zgody ale eefektywy. Estymator macerzy waracjkowaracj b jest już obcążoy ezgody. Macerz waracj-kowaracj jest wykorzystywaa do testowaa hpotez a temat stotośc zmeych, węc poprawość woskowaa statystyczego jest podważoa. Odrzucee hpotezy o stablośc parametrów podważa terpretacją ekoomczą modelu (terpretacja oszacowaych parametrów). Take 13

14 własośc jak eobcążoość czy efektywość estymatora MNK są wyprowadzae przy założeu takego samego mechazmu geerowaa daych w całym okrese badaa. c) Problem autokorelacj heteroscedastyczośc moża rozwązać za pomocą Stosowalej UMNK. Problem establośc parametrów moża rozwązać poprzez estymacje dwóch osobych regresj a wyodręboych próbach. 14