Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny lot rys.. Mimo że trjektori lotu nie jest tką okrągłą strzłką tki sposó pokzni przemieszczeni jest rdzo wygodny. Rysunek włoskiej -letniej dziewczynki pokzuje skok przez przeszkodę. Z pomocą przerywnej linii dziewczynk pokzł że w njwyższym punkcie skoku prędkość jest poziom. Rysunek -letniego Kmil z Brzegu ilustruje zderzenie dwóch piłek. Mimo że n wykłdzie ył pokzny tylko eksperyment młody słuchcz pokzł zderzenie z pomocą strzłek. Dorosły student przypisły tym strzłkom znczenie pędu który wymieniją piłki w trkcie zderzeni. Niektóre wielkości fizyczne ( jest ich rdzo wiele) wrto opisć z pomocą tego rodzju strzłek. Wielkości te oprócz wrtości mją kierunek i punkt zczepieni n mpie połączeń lotniczych jest to punkt wylotu n rysunku skoku - środek ciężkości tlety. Dl ścisłości kierunkiem nzywmy kierunek zderzeni w pionie zwrotem zznczmy czy piłk odskoczył w górę czy w dół ( dl smolotu lot tm czy powrót ). Dl odminy słupek rtęci ( rczej lkoholu) w termometrze stoi zzwyczj nieruchomo (lu rośnie le powoli) więc nie zznczmy jego kierunku. Temperturę fizycy nzywją sklrem. Sklrem jest też ilość pieniędzy n koncie (lu deet). Resumując wektory w fizyce mją cztery wielkości: wrtość - kierunek - zwrot - punkt przyłożeni. Zdni:. Określ wrtość kierunek (kąt do poziomu) zwrot (np. w lewo w górę ) i punkt przyłożeni (współrzędne tego punktu) nieieskich wektorów n rysunkch. Jednostk miry jest podn n rysunkch.
. Sum wektorów Wektory się sumują le to sumownie musi uwzględnić ich kierunek i zwrot jk n przykłdzie dwóch sił poniżej. (Przykłdy z Toruńskiego poręcznik do fizyki UMK.) Rozwżmy inny przypdek dwóch holowników które ciągną ciężki tnkowiec (zo. rys..). Kżdy z holowników ciągnie w nieco innym kierunku le tnkowiec płynie prosto przed sieie. Dlczego? Mówimy że dwie siły się skłdją i dją siłę sumryczną zwną też po polsku wypdkową. F F w F Rys... Dw holowniki ciągną tnkowiec. Kżdy z holowników dził siłą o wrtości F (nieieskie strzłki) le nieco pod innym kątem od osi tnkowc. Z tego powodu wypdkow sił F w dziłjąc n tnkowiec zznczon kolorem czerwonym m wrtość nieco mniejszą od F. Wektorem jest również prędkość. Rozwżmy przykłd łódki płynącej w poprzek rzeki. Wioślrz wiosłuje ile sił le łódk i tk jest znoszon z prądem. Wypdkowy kierunek ruchu ędzie złożeniem prędkości włsnej łódki (to znczy prędkości jką miły łódk n stojącej wodzie) i prędkości prądu rzeki zocz rys..9. Mówimy że wypdkowy wektor prędkości jest sumą prędkości skłdowych. Sposó n sumownie wektorów jest pokzny n rysunkch...
. Wektor w ukłdzie współrzędnych Przykłd z rysunku. wskzuje że wygodnie jest przedstwić wektory w ukłdzie współrzędnych zznczjąc punkt początkowy np. o współrzędnych () i B (). Wektor nieieski n rysunku skierowny jest w lewo w górę. y opisć to mtemtycznie policzmy że wzdłuż osi OX jest to przesunięcie o w lewo (czyli o minus ) i + wzdłuż osi OY. Wektorowi B przypisujemy więc współrzędne [- ]. Jk oliczmy współrzędne wektor? Tk jk to zroiliśmy n rysunku powyżej: od współrzędnych końc wektor czyli punktu B() odejmujemy współrzędne początku wektor czyli () B = [- -]=[ -] Innymi słowy B= [ ] = [x B -x y B -y ].. Wektor swoodny Opisując wektor z pomocą jego współrzędnych dokonliśmy sporego uogólnieni: zpominmy że wektor m punkt zczepieni. Jest to rdzo przydtne również w fizyce. Prąd n Wiśle w Toruniu jest wszędzie tki sm: z lew n prwo (ptrząc ze Strego Mist). I mewy n krze i łódk znoszone są zwsze z tką smą prędkością dryfu. W dlszej części tego kursu ędziemy trktowć wektory jko wektory swoodne czyli po prostu uporządkowną prę licz. Pr t określ kierunek zwrot i wrtość wektor.
Wektory możn zpisywć w postci stndrdowo stosownej w geometrii: OP =. Możn tkże używć zpisu mcierzowego: OP = =. Wektor jest wówczs trktowny jk mcierz skłdjąc się z jednej kolumny. Mcierzą nzywmy prostokątną tlicę o m wierszch i n kolumnch postci: n n m m mn gdzie ij nzywny elementem mcierzy jest liczą. Liczę wierszy m i liczę kolumn n mcierzy nzywmy jej wymirem i oznczmy mn. W przestrzeni trójwymirowej kżdy punkt opisywny jest z pomocą trzech współrzędnych. Ztem wektor w tkiej przestrzeni tkże opisny jest z pomocą trzech współrzędnych. Definicj. Wektorem w przestrzeni trójwymirowej nzywmy uporządkowną trójkę licz ( c). Liczy te nzywmy współrzędnymi wektor. Jeżeli początkiem wektor jest punkt O o współrzędnych (x y z ) końcem punkt P o współrzędnych (x y z ) to wektor możn zpisć w postci: = gdzie = x x = y y c = z z. c Definicj. Długością wektor nzywmy pierwistek z sumy kwdrtów jego współrzędnych. Długość wektor oznczmy symolem. W przypdku wektor n płszczyźnie wektor OP jest przeciwprostokątną trójkąt prostokątnego którego przyprostokątne mją długości odpowiednio i. Z twierdzeni Pitgors wynik więc że OP wektor w przestrzeni trójwymirowej. Przykłd. Oliczyć długości wektorów: ) =. Podoną zleżność możn wyprowdzić dl
) = 9 Rozwiąznie ) 9 ) ( ) 9 9 Przykłd. Dne są punkty P ( -) i P (- 7). Oliczyć współrzędne i długości wektorów P P orz P P. Rozwiąznie 9 ) ( 7 P P 9 9 ) ( P P 9 7 ) ( P P 9 9) ( ) ( P P
. Podstwowe dziłni n wektorch Podmy definicje i włsności dziłń n wektorch w przestrzeni dwuwymirowej. Dziłni w przestrzeni trójwymirowej definiowne są nlogicznie i mją nlogiczne włsności. Definicj. Mówimy że wektory o tych smych wymirch = n i = n są równe = wtedy i tylko wtedy gdy i = i dl i = n. Definicj. Sumą wektorów o tych smych wymirch = n i = n nzywmy wektor c tki że c = + = n n. Różnicą wektorów o tych smych wymirch = n i = n nzywmy wektor c tki że c = - = n n. Iloczynem wektor = n przez stłą k nzywmy wektor c tki że c = k = k n k. Definicj. n wymirowym wektorem zerowym nzywmy wektor =.
Definicj.7 Wektorem przeciwnym do wektor = n nzywmy wektor - = n. Zchodzą nstępujące włsności. ) + = + ) + ( + c) = ( + ) + c c) + = d) + (-) =. Definicj. Dw niezerowe wektory i mją ten sm kierunek jeśli istnieje tk niezerow licz k że = k. Jeśli pondto: k > to wektory te mją ten sm zwrot k < to wektory te mją zwrot przeciwny. Przykłd. Niech = =. Znjdź: ) + ) c) (/). Rozwiąznie ) ) ( ) 9 c) 9 Definicj.9 Wersorem nzywmy wektor którego długość jest równ.
Szczególnie przydtne w dziłnich n wektorch są wersory związne z osimi krtezjńskiego ukłdu współrzędnych. W przestrzeni dwuwymirowej są to wektory i orz j ntomist w przestrzeni trójwymirowej i j orz k. Kżdy wektor możn przedstwić w postci komincji liniowej odpowiednich wersorów. Przykłd. Zpisć wektory i w postci komincji liniowej odpowiednich wersorów. j i k j i Widć stąd że współrzędne wektor są zrzem współczynnikmi tworzącej ten wektor komincji liniowej wersorów.. Iloczyn sklrny wektorów. Definicj. Niech = n i = n. Iloczynem sklrnym wektorów i o tych smych wymirch nzywmy: = t = n n = + + + n n. Z powyższej definicji wynik że iloczyn sklrny dwóch wektorów jest liczą.
Niektóre włsności iloczynu sklrnego: Niech i c ędą wektormi i niech k ędzie liczą. Zchodzą nstępujące włsności: ) = ) = c) ( + c) = + c d) (k ) = k ( ) = (k) e) = = Iloczyn sklrny jest często wykorzystywny do znjdowni kąt zwrtego miedzy wektormi. y Definicj. Niech i ędą wektormi niezerowymi zczepionymi w jednym punkcie. Kątem między wektormi i nzywmy mniejszy z kątów wyznczonych przez te wektory. (x y ) B(x y ) N rysunku. kąt miedzy wektormi i oznczony jest symolem. O Rys.. x Twierdzenie. Jeśli jest kątem miedzy niezerowymi wektormi i to: = cos Dowód: Jeśli k o znczy jeśli wektory i nie są równoległe to mmy sytucję przedstwioną n rys... Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąt OB otrzymujemy: B = + - cos. Ztem podstwijąc współrzędne poszczególnych wektorów otrzymujemy: (x x ) + (y y ) = x + y + x + y - cos. Po podniesieniu nwisów do kwdrtu i zredukowniu mmy: - x x - y y = - cos co po podzieleniu przez (-) dje udowdniną równość. Z powyższego twierdzeni wynikją wżne wnioski.
Wniosek. Jeśli jest kątem miedzy niezerowymi wektormi i to: cos Wniosek. Dw niezerowe wektory i są ortogonlne wtedy i tylko wtedy gdy =. Przykłd. Sprwdzić ortogonlność wektorów: ) i ) i 7 Rozwiąznie ) = + (-) (-) = + =. Wektory nie są ortogonlne. ) = (-) + + (-7) = - + =. Wektory są ortogonlne. Q Q S P R P S R Rys.. Jeśli wektory PQ i PR są zczepione w tym smym punkcie i jeśli punkt S jest rzutem ortogonlnym punktu Q n prostą wyznczoną przez punkty P i R to sklr PQ cos
ędziemy nzywli komponentem wektor PQ wzdłuż PR. Zuwżmy że PQ cos jest dodtni jeśli < / lu ujemny jeśli / <. Dl = / komponent jest równy. Zuwżmy że PQ PR PQ cos Wzór ten możn zstosowć do oliczni wrtości PR prcy wykonnej przez siłę dziłjącą pod kątem do kierunku ruchu przesuwnego cił. Złóżmy że mmy do czynieni z sytucją przedstwioną w pierwszej części rysunku. tzn. sił PQ przyłożon jest w punkcie P i powoduje przesunięcie tego punktu o wektor PR. Wektor PQ jest sumą wektorów PS i SQ wektor SQ jko prostopdły do kierunku przesunięci nie wpływ n przesunięcie punktu P. Wykonn prc może więc yć zpisn w postci : W = gdzie PS PR PS PQ cos. Stąd W Ztem PQ PR cos PQ PR Twierdzenie. Prc wykonn przez stłą siłę PQ któr spowodowł przesunięcie punktu przyłożeni siły o wektor PR jest równ iloczynowi sklrnemu wektorów PQ i PR W PQ PR. Przykłd... Oliczyć prcę wykonną przez tę siłę podczs przesuwni pewnego cił z punktu P( - ) do punktu R( -). Wrtość i kierunek stłej siły wyrżone są z pomocą wektor t Rozwiąznie. Njpierw oliczmy współrzędn wektor PR. Otrzymujemy PR = [ -] t. Zgodnie z twierdzeniem. wrtością prcy jest: PR = + + (-) =. Jeśli przesunięcie wyrżone yło w metrch sił w niutonch to jednostką prcy jest dżul. Możemy więc powiedzieć że wykonn zostł prc W = J.
. Iloczyn wektorowy. Definicj. Niech i j orz k. Iloczynem wektorowym wektorów = i + j + k orz = i + j + k nzywmy wektor k j i.= ( )i ( )j + ( )k Skrótowo możn iloczyn wektorowy zpisć w postci wyzncznik: k j i. Poniżej podno też metodę Srrus oliczeni tkiego wyzncznik. Prktyczne zstosownie w rozwiązniu zdni n str.. Przykłd. Znleźć jeśli = [ - ] t i = [- ] t. Rozwiąznie k j i k j i = (- )i - ( + )j + ( )k = -i j + 7k = [- - 7] t. Metod Srrus Wyzncznik trzeciego stopni możn oliczyć stosując skróconą metodę zwną metodą (regułą) Srrus. Metod t odnosi się tylko i wyłącznie do wyznczników stopni trzeciego. Poleg on n dopisniu pod odpowidjącą olicznemu wyzncznikowi mcierzą pierwszy potem drugi wiersz (lterntywą jest dopisnie po prwej stronie pierwszej nstępnie drugiej kolumny) przez co otrzymujemy nstępujący schemt: + + + _ =
Twierdzenie. Wektor jest ortogonlny do wektorów i. Dowód: Wystrczy wykzć że ( ) = orz ( ) =. ( ) = ( ) - ( ) + ( ) = = - - + + - =. Podonie dowodzimy że ( ) =. W interpretcji geometrycznej rys.. twierdzenie. pokzuje że jeśli wektory i zczepione są w jednym punkcie to iloczyn wektorowy jest wektorem prostopdłym do płszczyzny wyznczonej przez i. Jego zwrot wyznczony jest z pomocą reguły śruy prwoskrętnej: orcjąc wektor w stronę wektor zgodnie ze strzłką wyiermy zwrot wektor wskzny przez wkręcnie się śruy prwoskrętnej. Iloczyn wektorowy podonie jk sklrny może yć użyty do wyznczni kąt między wektormi. / Rys.. / Twierdzenie. Jeśli jest kątem między dwom niezerowymi wektormi i to = sin Z powyższego twierdzeni orz z włsności sin = wynik nstępujący wniosek. Wniosek. Niezerowe wektory i są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy = Iloczyn wektorowy m nstępujące włsności. Twierdzenie. Jeśli i c są dowolnymi wektormi jest wektorem zerowym m jest sklrem to: ) = = ) = - c) (m) = m( ) = (m) d) ( + c) = ( ) + ( c) e) ( + ) c = ( c) + ( c) f) ( ) c = ( c) g) ( c) = ( c) ( )c.
Zstosowni. Twierdzenie. Pole równoległooku którego przyległymi okmi są wektory i jest równe P =. Dowód. Niech i ędą przyległymi okmi równoległooku niech ędzie kątem między nimi rys..7. Ze wzoru n pole równoległooku mmy: P = sin. Ztem zgodnie z twierdzeniem. y sin P =. Przykłd. Rys..7 x Oliczyć pole równoległooku którego kolejnymi wierzchołkmi są punkty o współrzędnych ( ) ( - ) i ( ). Rozwiąznie Mjąc trzy kolejne wierzchołki możemy utworzyć trzy równoległooki. Poniewż pole kżdego równoległooku jest równe podwojonemu polu trójkąt utworzonego przez trzy kolejne wierzchołki ztem pol tych równoległooków ędą jednkowe. Wystrczy wyliczyć pole jednego z nich np. równoległooku którego przyległymi okmi są wektory o początku w punkcie ( - ) i końcu w punkcie ( ) orz o początku w punkcie ( - ) i końcu w punkcie ( ). Wektory te mj nstępujące współrzędne. = ( - )i + ( + )j + ( - )k = i + j = ( - )i + ( + )j + ( - )k = i + j k. Ztem i j k i - j - k = -i + j -9k. Ztem P = = ( ) ( 9) 9.
Zd. Czy wektory [] [] i [] są liniowo niezleżne? Wektory... n są liniowo niezleżne jeśli żden z nich nie jest komincją liniową pozostłych to znczy nie istnieje tki zestw licz... n że n j j j i gdzie j i. Dl podnych trzech wektorów widć że nie są one liniowo niezleżne: pierwszy wektor jest sumą drugiego i trzeciego. Wektory są liniowo niezleżne gdy wyzncznik mcierzy z nich utworzonej jest różny od zer. Sprwdźmy że Przedstw wektor w=[] w postci komincji liniowej wektorów =[] =[] i c=[] Sprwdźmy czy podne trzy wektory są liniowo niezleżne czyli te wektory są liniowo niezleżne Szukmy licz c tkich że + + cc = w czyli c Jest to ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi c. Możemy go zpisć jko + c = = (*) + = skąd otrzymujemy = = c =. Sprwdzmy: Z pomocą komincji liniowej podnych tu wektorów c możn przedstwić dowolny wektor w przestrzeni trójwymirowej mogą więc one stnowić zę w tkiej przestrzeni.
Zd. Dl wektor w = [- ] znleźć skłdową równoległą i prostopdłą do wektor = [] w w w w Długość skłdowej równoległej w znjdziemy z definicji iloczynu sklrnego. Przypominmy φ = cos φ Zuwżmy że cos φ to rzut wektor n wektor czyli cos φ= ( )/ (*) Oliczmy dl podnych wektorów długość wektor = ( + ) = Iloczyn sklrny wektor w [- ] i wektor [ ] wynosi -+ = 9 czyli długość rzutu wektor w n wektor wynosi ze wzoru (*) w =9/. Wektor w znjdziemy mnożąc tę długość przez wersor (czyli wektor o długości ) równoległy do wektor w = w / = 9/ [] = [7/ /] (porównj n rysunku) Ogólnie wzór n wektor ędący skłdową wektor równoległą do wektor wynosi Skłdową prostopdłą do wektor znjdziemy jko różnicę między wektorem w i w w = w - w = [- ] - [7/ /] = [ -/ 9/] (porównj n rysunku) Sprwdźmy jeszcze czy wektory w i w są prostopdłe czyli w w = 7 9
Inne rozwiązni zdń z lgery Zd. Sprwdź czy relcj R N N (N-ziór licz nturlnych) określon przez mrn (n + m) jest relcją równowżności. Jeśli tk to znjdź ziór ilorzowy. Rozwiąznie: Musimy sprwdzić czy relcj R jest zwrotn symetryczn i przechodni: zwrotność " xîn : xrx Relcj jest zwrotn poniewż dl dowolnej liczy nturlnej zchodzi (x + x). symetryczność " xyîn : xry Þ yrx Relcj jest symetryczn poniewż dl dowolnej pry licz nturlnych z prw przemienności dodwni wynik że jeżeli zchodzi relcj xry = (x + y) to również musi zchodzić relcj yrx = (y + x). przechodniość " xyzîn : xryù yrzþ xrz Jeżeli zchodzą xry = (x + y) orz yrz = (y + z) to x + y = k y + z = l dl pewnych kl ÎN. Stąd wynik że (x + z) = (k + l y) czyli zchodzi również xrz= (x + z). Ztem relcj R jest przechodni. Klsą strkcji dowolnego elementu ÎN względem relcji R jest ziór [] R wszystkich licz nturlnych o tej smej przystości co. Możemy ztem wyodręnić dwie klsy strkcji dl dnej relcji R: K = éë R = éë R = éë R =... = { x: x = n nîn } - liczy nturlne przyste K = éë R = éë R = éë R =... = x: x = n+ nîn { } - liczy nturlne nieprzyste Ziór ilorzowy to ziór wszystkich kls strkcji dnej relcji równowżności: N R= { K K }. Zd. Korzystjąc z tw. Kronecker-Cpellego sprwdź ile rozwiązń m ukłd równń: { x y + z + t = x y z + t = x y z t =
Przypomnienie: Twierdzenie Kronecker-Cpellego: Niech dny ędzie ukłd równń liniowych X=B gdzie rząd mcierzy typu m x n (co ozncz że n jest liczą niewidomych m określ liczę równń) wynosi r rząd mcierzy rozszerzonej ukłdu U = [ B] wynosi s. Ukłd ten m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy gdy r = s. Z twierdzeni wynik że: jeżeli r = s = n rozwiąznie ukłdu wyznczone jest jednozncznie. Tki ukłd nzywmy oznczonym. jeżeli r = s < n ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od n - r prmetrów. Tki ukłd nzywmy nieoznczonym. ukłd nie m rozwiązń kiedy rząd mcierzy głównej nie jest równy rzędowi mcierzy rozszerzonej. Tki ukłd nzywmy sprzecznym. Rozwiąznie: Zpisujemy rozptrywny ukłd równń w postci mcierzowej X=B: é é - - x ú é ú - - y ú = ú ú z ú ú ë - - - ú ú ë - ú ë t Licz równń m = licz niewidomych n =. Tworzymy mcierz rozszerzoną U = [ B]: é U = ë - - - - - - - - ú ú ú Wykonując opercje elementrne n wierszch mcierzy U sprowdzmy ją do postci schodkowej w celu wyznczeni jednocześnie rzędów mcierzy i U: Do wiersz drugiego dodjemy wiersz pierwszy: é w +w - - U - ë - - - - ú ú ú
Do wiersz trzeciego dodjemy wiersz pierwszy: é w +w - - ú - ú ë - - ú Od wiersz trzeciego odejmujemy wiersz drugi: é w -w - - ú - ú ë - - ú Uzyskn mcierz schodkow m trzy niezerowe wiersze w części. Czyli rząd mcierzy jest równy rzędowi mcierzy U: r = s =. Ztem ukłd m rozwiązni. Poniewż r = s < n ukłd jest nieoznczony i m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od jednego prmetru (n - r = - = ). Przepisujemy ukłd równń korzystjąc ze schodkowej postci mcierzy i U: é x é - - ú é ú - y ú = ú ú z ú ú ë - ú ú ë - ú ë t Otrzymujemy: x y + z + t = { y + t = t = Rozwiązując osttni ukłd przez podstwienie i trktując x jko prmetr otrzymmy nstępujące rozwiąznie: y = { z = + x t = Możn sprwdzić dl kilku dowolnych wrtości x że powyższy wynik zwsze ędzie rozwiązniem rozptrywnego ukłdu równń.
Zd. Olicz wyzncznik mcierzy wykorzystując rozwinięcie Lplce. é 7 ë ú ú ú ú Przypomnienie: Zgodnie z rozwinięciem Lplce wyzncznik mcierzy kwdrtowej = [ ij ] stopni n jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersz lu j-tej kolumny i ich dopełnień lgericznych: det = i D i + i D i +...+ in D in dl rozwinięci względem i-tego wiersz det = j D j + j D j +...+ ni D ni dl rozwinięci względem j-tej kolumny gdzie D ij to dopełnienie lgericzne elementu ij powstłe z przemnożeni czynnik (-) i+j przez minor elementu ij. Rozwiąznie: Wyiermy liczę wierzy lu kolumn z njwiększą ilością zer w tym przypdku jest to trzeci kolumn. Dokonujemy rozwinięci Lplce wyzncznik względem niezerowych elementów trzeciej kolumny: 7 ( ) + 7 = - ( ) + + - Wyznczniki mcierzy dopełnień (minory o wymirch x ) liczymy metodą Srrus: 7 = ( + + ) - ( + + ) = 7 - = = (+ + ) - ( + + ) = - = Po podstwieniu do rozwinięci Lplce i kilku elementrnych oliczenich dostjemy szukny wyzncznik: 7 = (-) + + (-) + = -9 + = -7
Zd. W zleżności od wrtości prmetru rozwiązć ukłd równń: { x + y z = x + y + z = x + y + z = Rozwiąznie Jest to ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi x y i z orz prmetrem. Do jego rozwiązni możemy posłużyć się np. metodą wyznczników (wzory Crmer). Oliczmy wyzncznik główny: W = = - + +. Ukłd posid jedno rozwiąznie gdy wyzncznik główny jest różny od zer tj. (po otrzymniu rozwiązń równni kwdrtowego - + + = ) dl - i. Oliczmy terz dlsze wyznczniki (kolumnę współczynników kolejno przy x y i z zstępujemy kolumną wyrzów wolnych z prwej strony ukłdu równń): W x = = - W y = = - - + + W z = = - +. Mmy tym smym określoną postć rozwiązni dl przypdków - i (zgodnie z Wx Wy Wz wzormi Crmer): x y z. W W W Pozostje nm sprwdzić dw inne przypdki: ) Ukłd nieoznczony (nieskończenie wiele rozwiązń) mieliyśmy wtedy gdy wszystkie cztery wyznczniki się zerują. Poniewż wiemy już że dl głównego wyzncznik jest to możliwe jedynie dl = - lu = łtwo sprwdzić że dl żdnej z tych dwóch licz nie otrzymmy wszystkich wyznczników równych zero. Nie jest ztem możliwe y ukłd ył nieoznczony. ) Sprwdzjąc wrtości wyznczników dl = - lu = zpewne zuwżyliście że w pierwszym przypdku ( = -) otrzymmy W y = le przy niezerowych pozostłych dwóch wyzncznikch zś w drugim ( = ) mmy co prwd W z = le pozostłe dw są różne od zer. Jest to cechą ukłdu sprzecznego (rk rozwiązń). Podsumowując powiemy że rozwżny ukłd m jedno rozwiąznie dl - i orz jest ukłdem sprzecznym (nie m rozwiązń) przy = - lu =.
Zd. Sprwdź czy podne mcierze są do sieie wzjemnie odwrotne: B 7 B Krótkie wyjśnienie Złóżmy że mcierz jest mcierzą kwdrtową stopni n. Mówimy że mcierz B tego smego wymiru jest mcierzą odwrotną do jeżeli spełnion jest równość: I B B. Uwg: Mcierz jest odwrcln czyli posid mcierz odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy jej wyzncznik jest różny od zer czyli jest on tzw. mcierzą nieosoliwą. Rozwiąznie: ) Oliczymy iloczyn B: B czyli B I więc podne mcierze nie są do sieie wzjemnie odwrotne. Oczywiście nie musimy już oliczć drugiego z iloczynów podnych w definicji mcierzy odwrotnej. ) Podonie jk powyżej oliczymy iloczyn: 7 9 7 B 7 B ztem podne mcierze są do sieie wzjemnie odwrotne.
Zd. Wyzncz mcierz odwrotną: ) ) Krótkie wyjśnienie y wyznczyć mcierz odwrotną do wykonujemy nstępujące czynności: ) Oliczmy wyzncznik mcierzy ; jeśli det = to mcierz odwrotn nie istnieje ) Jeśli det to oliczmy dopełnieni lgericzne wszystkich wyrzów mcierzy (dopełnieniem lgericznym wyrzu ij mcierzy nzywmy wyzncznik podmcierzy powstłej z przez wykreślenie i-tego wiersz i j-tej kolumny pomnożony przez liczę (-) i+j ) dopełnienie lgericzne wyrzu ij ędziemy oznczć przez ij. ) Tworzymy mcierz dopełnień: D ij i j... n ) Wyznczmy mcierz trnsponowną do D ) Mcierzą odwrotną do jest mcierz Rozwiąznie: D det T ) Njpierw oliczymy wyzncznik mcierzy : ztem jest odwrcln. Oliczymy terz dopełnieni lgericzne wszystkich wyrzów tej mcierzy:
. Zuwżmy że w tym przypdku dopełnieni lgericzne wyrzów są wyzncznikmi mcierzy wymiru czyli zwierjącej tylko jeden wyrz. Tki wyzncznik jest równy temu wyrzowi. Mcierz D m więc postć : D ztem T D i otrzymujemy wreszcie mcierz. y sprwdzić poprwność wykonnych oliczeń możemy oliczyć odpowiednie iloczyny: ztem otrzymliśmy poprwny wynik.
) det Ztem istnieje mcierz odwrotn do. Oliczymy dopełnieni lgericzne wszystkich wyrzów mcierzy : 7. Otrzymujemy stąd mcierz 7 D
nstępnie 7 T D i wreszcie 7. Wykonmy jeszcze sprwdzenie: I 7 9 7 I 7 7 9 ztem wykonliśmy poprwne oliczeni.