Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Transkrypt

1 Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich lekcyjnych wpisnych w zkres podstwowy, jk też w rmch dodtkowych zjęć poszerzjących wiedzę uczniów, np. koł zinteresowń. Scenriusze wymgją zstosowni komputerów z dostępem do internetu. Tkie wyposżenie pozwoli n wykorzystnie środków dydktycznych przewidzinych w projekcie Nuki ścisłe priorytetem społeczeństw oprtego n wiedzy tkich jk moduły e-lerningowe: Elementy sttystyki i rchunek prwdopodobieństw, Funkcj kwdrtow, Równni i nierówności liniowe i kwdrtowe, Wielominy, gry strtegiczne Wyprw Nsreddin, Herbtk u królowej Anglii, Wyprw n grzyby, Mtemfi orz Międzykontynentln szkoł, pordniki Ciągi, Plnimetri, Trygonometri, Geometri nlityczn. Scenriusze mogą być relizowne n zjęcich lekcyjnych jko cłość lub nuczyciel dokonuje wyboru określonych mteriłów zgodnie z zplnownymi przez siebie temtmi zwiększ to elstyczność stosowni pkietu np. w sytucji brku zpewnieni w plcówce odpowiednich wrunków technicznych do relizcji mteriłu w oprciu o cły pkiet.

2 Stron Spis scenriuszy Wstęp... Scenriusz nr : Liczby rzeczywiste... Scenriusz nr : Pierwistki. Prw dziłń n pierwistkch Scenriusz nr : Potęgi o wykłdnikch wymiernych. Prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych Scenriusz nr 4: Logrytm liczby rzeczywistej. Logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym Scenriusz nr 5: Przybliżenie i zokrąglenie liczby rzeczywistej. Błąd przybliżeni.... Scenriusz nr 6: Zbiory liczbowe. Przedziły liczbowe i dziłni n nich Scenriusz nr 7: Wyrżeni rytmetyczne i ich wrtości liczbowe... 9 Scenriusz nr 8: Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Scenriusz nr 9: Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu Scenriusz nr 0: Procenty i punkty procentowe... 5 Scenriusz nr : Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn... 56

3 Stron Scenriusz nr : Liczby rzeczywiste Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Liczby rzeczywiste 90 min Treść zjęć Cel ogólny Ksztłcenie smodzielności prcy Rozwijnie umiejętności czytni ze zrozumieniem Ćwiczenie umiejętności wykonywni dziłń n liczbch rzeczywistych Cele szczegółowe Uczeń: oblicz potęgi o wykłdnikch nturlnych, cłkowitych i wymiernych; potrfi wykonywć dziłni n potęgch; potrfi obliczć pierwistki; zn dziłni n pierwistkch i potrfi je zstosowć; posługuje się pojęciem wrtości bezwzględnej i potrfi określić wrtość bezwzględną liczby; posługuje się pojęciem procentu, potrfi wyznczyć procent z liczby, oblicz liczbę gdy dny jest jej procent orz wyzncz procent; Formy i metody Prc w grupie 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków Lekcj jest prowdzon z wykorzystniem zdń z I i II poziomu gry Wyprw Nsreddin, które zostją przedstwione n tblicy interktywnej.

4 Stron 4 oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Wyjśnienie uczniom, że wszystkie zdni są zmknięte i w kżdym dokłdnie jedn odpowiedź jest poprwn. Wszystkim uczniom udostępnione będą tblice wzorów mtemtycznych, z których uczniowie mogą korzystć w czsie egzminu mturlnego z mtemtyki. DZIAŁANIA NA POTĘGACH Zdnie. Przedstw liczbę ( : ) 4 w postci potęgi liczby : A. 5 B. 9 C. D. Zdnie. Przedstw liczbę 8 : 4,5 w postci potęgi liczby : A. B. 4 C. D. 4 Zdnie. Liczb jest równ: A. 4 Zdnie 4. Liczb 4 9 jest równ: 4 A. B. 4 C. B. C D. 64 D. 7 Zdnie 5. Czwrt część liczby 4 98, to: A. 98 B C D. 99

5 Stron 5 PIERWIASTKI I DZIAŁANIA NA PIERWIASTKACH Zdnie 6. Liczbą wymierną jest: A. B. 7 C. 9 4 D Zdnie 7. Liczb jest równ: A. 9 B. 5 7 C. 7 5 D. 5 4 Zdnie 8. Jeżeli = 5 5 i b = 4 7, to: 8 7 A. = b B. < b C. i b są liczbmi niewymiernymi D. > b Zdnie 9. Ile liczb niewymiernych znjduje się w zbiorze liczb:, A. Jedn B. dwie C. trzy D. cztery Zdnie 0. Liczb 8 4 jest równ: A. 7 B. 7 C. 7 D. 7 LOGARYTMY Zdnie. Liczb log (log0 + log50) jest równ: A. 50 B. log 000 C. D. 0 Zdnie. Wrtość wyrżeni: log 5 + log 5 jest równ:, 75, 7 49, 5 5 :

6 Stron 6 A. log 5 4 B. log 5 4 C. log 5 6 D. log 5 Zdnie. Jeżeli x = log 8 4, to x wynosi: A. 64 B. C. 8 D. 5 Zdnie 4. Jeżeli x = log 7, y = log 7 7 7log 7 A. x < y < z B. z < x < y C. y < x < z D. z < y < x Zdnie 5. Przyjmij, że log 0,5 i log Wtedy liczb log 4 jest równ: 7 A. 0,7 B. 9,7 C. log 0,9 D. log8 log7 LICZBY NIEWYMIERNE Zdnie 6. Liczb 5 5 A. + 5 Zdnie 7. jest równ: B. C. + 5 D. Liczb jest: A. mniejsz od B. większ od C. wymiern D. niewymiern Zdnie 8. Liczb 5 A. odwrotnością liczby + 5 B. równ 5 + C. mniejsz od 5 D. równ 5

7 Stron 7 Zdnie 9. Liczb 6 to: A. 8 B. 6 C. 8 D. 6 6 Zdnie 0. Liczb jest równ: A. 0 B. 80 C. 00 D. 0 WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Zdnie. Liczb, (4) jest równ: A., (4) B., (4) + C., (4) + D., (4) Zdnie. Liczb 5 5 jest równ: A. + 5 B. - C. D. + 5 Zdnie. Liczb + + jest równ: A. B. C. D. Zdnie 4. Wrtość bezwzględn liczby 5+ 7 A. 7 5 Zdnie 5. B. 5 7 C D Liczb , to: A B. 8 7 C D

8 Stron 8 PROCENTY Zdnie 6. Liczb y to 50% liczby x. Wynik stąd, że: A. y = x + 0,5 B. y = x + 0,5x C. : x = y 0,5 D. : x = y 0,5y Zdnie 7. Liczb stnowi 40% liczby b. Wówczs: A. = b 0,6 B. b =,5 C. = b 0,4b D. b =,8 Zdnie 8. % liczby x = , to liczb: A.,6 B.,4 C. 55 D.,05 Zdnie 9. 8% liczby x = , , to liczb: A.,875 B.,75 C.,4 D. 0,4 Zdnie 0. 5% liczby x = 4 4 0,8, to liczb: 5 64 A. B. 9,8 C. D. 0, 5 OBLICZANIE PROCENTU Zdnie. Liczb (0,75) +(,5) stnowi x procent liczby,8. Wtedy: A. x = 400% B. x = 5% C. x = 75% D. x > 80% Zdnie. Cenę pewnego towru obniżono o 0%. O jki procent nleżłoby podwyższyć nową cenę, by towr kosztowł tyle smo co przed obniżką. A. 0% B. 5% C. 0% D. więcej niż 0%

9 Stron 9 Zdnie. W tbeli przedstwiono liczbę chłopców w 400 rodzinch mjących po troje dzieci. Liczb chłopców 0 Liczb rodzin Jki procent bdnych rodzin m wszystkie dzieci tej smej płci? A. 8,5% B.,75% C. 80% D. 0% Zdnie 4. Cen brutto komputer jest równ cenie netto plus % podtku VAT. Cen netto wynosi 500 zł. Jki procent ceny brutto stnowi podtek VAT? A. % B. 4% C. ok. 9% D. 77% Zdnie 5. Liczb 4 + 0,4 stnowi x procent liczby 8. Wtedy x wynosi: 4 5 A. 75% B. 5% C. % D. % OBLICZANIE LICZBY, GDY DANY JEST JEJ PROCENT Zdnie 6. Wskż liczbę, której 4% to liczb 8: A., B. C. 00 D. 00 Zdnie 7. Pn Artur i pn Mrcin kupili do spółki kosirkę do trwy. Pn Artur pokrył 55% kosztów zkupu. Pn Mrcin zpłcił 4,0 zł, więc kosirk kosztowł: A. 6 zł B. 5,8 zł C. 55,8 zł D. 50 zł Zdnie 8. Liczb, której 0,% wynosi, to: 5 A. 70 B. 0,08 C. 0,008 D. 700

10 Stron 0 Zdnie 9. Liczb, której 8% wynosi 5, to liczb: A. 400 B. 655,6 C D. 65,5 Zdnie 40. Liczb, której 5% jest równe, (0,9), to: 5 0, A. B. 48 C. D. 4 O ILE PROCENT WIĘCEJ, O ILE PROCENT MNIEJ? Zdnie 4. Cenę pewnego towru obniżono njpierw o 0%, nstępnie jeszcze o 0%. Ztem obniżk wyniosł: A. 50% B. 60% C. 56% D. 44% Zdnie 4. Wśród 00 psżerów Titnic, którzy płynęli r. do Nowego Jorku byli psżerowie I, II i III klsy orz złog. Digrm kołowy pokzuje procentowy skłd osobowy Titnic (z dokłdnością do %). O ile procent liczb podróżujących III klsą był większ od liczby członków złogi? % % 40% 5% psżźerowie I klsy psżerowie II klsy psżerowie III klsy złog A. 8% B. 5% C. 7% D. 5% Zdnie 4. W klsie jest 5 uczniów, w tym 5 dziewcząt. O ile procent więcej jest chłopców niż dziewcząt w tej

11 Stron klsie? A. o 5% B. około % C. około % D. około 57% Zdnie 44. Rd Polityki Pieniężnej podwyższył stopy procentowe z 8% n 9,5%. O ile procent wzrosł stop procentow? A. 8,75% B.,5% C. 84% D. 6% Zdnie 45. Cenę pewnego towru zwiększono o 0%. W nstępnym tygodniu obniżono ją o 0%, w kolejnym tygodniu obniżono o 0%. Ile wynosił cen początkow, jeżeli osttecznie wyniosł 058,40 zł? A. 400 zł B. 008 zł C. 500 zł D. 85 zł ZADANIA DOTYCZĄCE STĘŻEŃ PROCENTOWYCH Zdnie 46. Ile kilogrmów wody nleży odprowć z 5 kg roztworu % solnki, by otrzymć roztwór 6%? A. 8,75 kg B. 6, 5 kg C. 4 kg D. 5 kg Zdnie 47. Zmieszno kg stopu o zwrtości 5% miedzi z kg stopu o zwrtości miedzi 40%. W powstłym stopie znjduje się miedzi: A. 65% B.,5% C. 4% D. 7% Zdnie 48. Stężenie pewnego roztworu wodnego soli wynosi 5%. Ile kilogrmów czystej wody nleży dolć do 40 kg tego roztworu, by stężenie w otrzymnej mieszninie wynosiło %? A. kg B. 8 kg C. 00 kg D. 60 kg Zdnie 49. Ile soli nleży dosypć do 4 kg solnki dwuprocentowej, by otrzymć solnkę czteroprocentową? A. 0, kg B. 0,4 kg C. 0,5 kg D. 0,6 kg

12 Stron Zdnie 50. Z solnki 6% odprowno kg wody i otrzymno solnkę 8%. N początku był nstępując ilość solnki: A. 6 kg B. 8 kg C. 0 kg D. kg 7 Podsumownie zjęć Omówienie njczęściej występujących problemów i zgdnień sprwijących njwiększe trudności. 8 Uwgi metodyczne do relizcji

13 Stron Złączniki do scenriusz nr Zbiór testów do wydruku zl_liczby_rzeczywiste_scenriusz_nr

14 Stron 4 Scenriusz nr : Pierwistki. Prw dziłń n pierwistkch. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Pierwistki. Prw dziłń n pierwistkch. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących pojęci pierwistk rytmetycznego stopni n orz prw dziłń n pierwistkch Ksztłtownie umiejętności selekcjonowni i wykorzystni poznnych włsności dziłń n pierwistkch do rozwiązywni zdń Doskonlenie umiejętności wykonywni dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję pierwistk; zn i umie zstosowć prw dziłń n pierwistkch. Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków Złącznik Liczby rzeczywiste, tblic interktywn, komputer.

15 Stron 5 oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel omwi orgnizcję prcy n lekcji, zjęci przeznczone głównie dl uczniów kls mturlnych. Nuczyciel przypomin i uwrżliwi uczniów n kilk podstwowych zsd podczs rozwiązywni zdń (uwżne przeczytnie poleceni; nliz pojęć mtemtycznych, czy też informcji występujących w zdniu, zplnownie wykonywnych czynności, powołnie się n włściwe prw dziłń n pierwistkch, korzystnie z wzorów mtemtycznych, sprwdznie wyników, przypominnie, że pośpiech nie jest wskzny, dokłdność obliczeń jest brdzo istotn). N tblicy interktywnej wyświetlonych zostje kilk zsd, o których uczeń zwsze powinien pmiętć podczs rozwiązywni zdń: Podczs rozwiązywni zdń pmiętj o kilku podstwowych zsdch:. Przeczytj uwżnie kżde zdnie.. Dokonj nlizy informcji dostrczonych z tekstu.. Zplnuj rozwiąznie zdni. 4. Zpisuj potrzebne obliczeni w zeszycie. 5. Sprwdzj otrzymne wyniki. 6. Nie spiesz się, prcuj powoli i dokłdnie. W dlszej części lekcji uczniowie przypominją prw dziłń n pierwistkch korzystjąc z temtu nr 5 złącznik nr. Jeśli n i m są liczbmi nturlnymi większymi od orz 0 i b 0, to zchodzą nstępujące równości: n n n. b = b n. n =, b 0 n b b

16 Stron 6 m n m n. = n m n 4. ( ) m Nuczyciel n przykłdch ilustruje zstosownie tych prw. Przykłdy: 6 8 = 6 8 = 4 9 = 6 5 : 8 = 5 : 8 = 5 : =,5 ( ) = = 7 6 ( ) = W dlszej części uczniowie wykonują dziłni n pierwistkch, które zmieszczone zostły w przykłdch złącznik nr : Przykłd. Oblicz: = = = = = 0 5 = 0 ( )( ) Przykłd. W trójkącie prostokątnym jedn z przyprostokątnych m długość + 5, przeciwprostokątn m długość 5 +. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąt. Rozwiąznie: Niech x ozncz długość drugiej przyprostokątnej trójkąt. Wówczs z twierdzeni Pitgors w trójkącie prostokątnym o dnych długościch boków zchodzi związek: x + ( + 5) = ( 5 + ). Wyznczjąc x z tego równni mmy: =

17 Stron 7 x x = (9 + 6 =, x > ) x = 4 Odp. Długość drugiej przyprostokątnej jest równ 4. W dlszej części uczniowie rozwiązują smodzielnie zdni zproponowne przez nuczyciel: Zd.. Oblicz wrtość wyrżeni b dl = 5, b = 8 6. Zd.. Wykż, że odwrotnością liczby 0 jest liczb 0. Zd.. Oblicz: ) b) c) Uczniowie (chętni) prezentują n tblicy rozwiązni zdń, wspólnie dyskutujemy nd poprwnością tych rozwiązń. N zkończenie uczniowie rozwiązują jeden z wybrnych przez nuczyciel testów dołączonych do zbioru scenriuszy w złączniku nr. 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel oceni prcę uczniów n lekcji, ich ktywność; zwrc uwgę, by być czujnym i nie popełnić błędów, które zostły zuwżone podczs rozwiązywni zdń. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zdni zproponowne przez nuczyciel uczniowie mogą rozwiązywć indywidulnie lub w prch.

18 Stron 8 Scenriusz nr : Potęgi o wykłdnikch wymiernych. Prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Potęgi o wykłdnikch wymiernych. Prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących pojęci potęgi o wykłdniku wymiernym orz prw dziłń n nich. Doskonlenie umiejętności wykonywni dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję potęgi o wykłdniku wymiernym; zn i umie zstosowć prw dziłń n potęgch o wykłdniku wymiernym. Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków Komputer, tblic interktywn, gr Wyprw Nsreddin.

19 Stron 9 oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel n wstępie informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie korzystją z złącznik nr temt nr 4, przypominją część teoretyczną dotyczącą potęg orz nlizują przykłdy zmieszczone w temcie 4: Przypomnijmy podstwowe pojęci związne z potęgą o wykłdniku nturlnym. Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą. 0 Przyjmujemy, że: =, dl 0 = n =... n czynników Liczbę nzywmy podstwą potęgi, n jest wykłdnikiem potęgi. Dl dowolnej liczby różnej od zer orz dowolnej liczny nturlnej n zchodzi: n =. n Ztem rozszerzyliśmy pojęcie potęgi o wykłdniki cłkowite. Potęgę o wykłdniku wymiernym określmy nstępująco: m n m n n m =, dl 0 i m, n N + =, dl > 0 i m, n N n m + W szczególności zchodzi: n n =, dl 0 i m, n N + Prw dziłń n potęgch: Jeśli > 0 i b > 0 orz r, s R, to prwdziwe są nstępujące równości:

20 Stron 0 Nuki ścisłe priorytetem społeczeństw oprtego n wiedzy. s r s r + =. s r s r b = :. ( ) s r s r = 4. ( ) r r r b b = 5. ( ) r r r b b : : A terz kilk przykłdów ilustrujących wykorzystnie opisnych wcześniej pojęć: Uwg: poniższe przykłdy rozwiązne są jednym ze sposobów, co nie ozncz, że jest to tylko ten jeden możliwy! Zchęcm do rdosnej włsnej twórczości w tym zkresie. Przykłd. Oblicz: ( ) ( ) = = = = ) ( = = = = Przykłd. Zpisz wyrżenie w prostszej postci: ( ) ( ) = = = = y x y x y x y x y x y x x y x y x W dlszej części uczniowie rozwiązują zdni zproponowne przez nuczyciel (konieczne obliczeni wykonują n krtkch, nstępnie chętni uczniowie przedstwiją rozwiązni n tblicy interktywnej dyskutując nd poprwnością tych rozwiązń.

21 Stron Zd.. Przedstw liczbę 5 5 ( 5) 5 w postci n, gdzie jest liczbą nturlną. Zd.. Oblicz: Zd Wykż, że liczb jest wielokrotnością liczby 4. N zkończenie uczniowie rozwiązują testy z gry Wyprw Nsreddin n poziomie pierwszym, ćwicząc w ten sposób dziłni w zbiorze liczb rzeczywistych. W przypdku brku dostępu do gry rozwiązują zdni z złącznik do scenriusz. 7 Podsumownie zjęć Nuczycie oceni ktywność uczniów, wspólnie omwimy njczęściej popełnine błędy i usterki podczs rozwiązywni zdń. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zdni zproponowne przez nuczyciel uczniowie mogą rozwiązywć indywidulnie lub w prch.

22 Stron Złączniki do scenriusz nr Zdni:. Liczb jest równ: A. 0,075 B. 0,048 C. 0,75 D. 0,48. Ile liczb wymiernych nleży do zbioru 4 A = 4,4,4,4? A. Jedn B. dwie C. trzy D. cztery. Liczb : jest równ: A. B. C. 0,5 D. 0,5 5 ( ) W = 4 4. Po wykonniu dziłń w wyrżeniu ( ) otrzymmy A. 8 B. 9 C. D. 5. Czwrt cześć liczby 00 4 to: A. 00 B. 98 C D. 0 4

23 Stron 6. Liczbę możn zpisć w postci: A. 4 B. 7. Dne są liczby: = Prwdziw jest zleżność: C. ( ), b = D. i c = ( 4 ) A. < b < c B. c < b < C. b < < c D. b < c < ( 5 ) ( ) 8. Oblicz wrtość wyrżeni 5 :5 : 5 :5 9. Znjdź liczbę odwrotną do liczby ( 0,5 ) Uzsdnij, że liczb 6 0 = 5 jest 5 rzy mniejsz od liczby b = Dne są dwie liczby. Sprwdź, czy liczb 00 x = 9 i x =,5 ( 0,4 5 ) 5 00 y = 5. Sprwdź, któr liczb jest większ. jest liczbą nturlną?. Znjdź liczbę, której 4% jest równe liczbie =

24 Stron 4 4. Oblicz x = ( 7 ) 4. Wyzncz ( x ). 5. Podj njmniejsz liczbę cłkowitą spełnijącą nierówność 6 7 ( 4 ) x < ( 6) + x. 0,5

25 Stron 5 Scenriusz nr 4: Logrytm liczby rzeczywistej. Logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Logrytm liczby rzeczywistej. Logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących pojęci logrytmu liczby dodtniej orz przypomnienie prw dziłń n logrytmch (logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi) Doskonlenie umiejętności wykonywni dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję logrytmu liczby dodtniej; zn i umie zstosowć prw dziłń n logrytmch (logrytm iloczynu, logrytm ilorzu i logrytm potęgi). Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym Gr Wyprw Nsreddin, komputer, tblic interktywn.

26 Stron 6 wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie korzystją z gry Wyprw Nsreddin poziom, przypominją pojęcie logrytmu liczby rzeczywistej: Logrytm związny jest z potęgą. Logrytmem liczby dodtniej b przy podstwie nzywmy wykłdnik x potęgi, do której nleży podnieść liczbę, by otrzymć liczbę b: x = b. Zpisujemy: x log b = x = b przy czym podstw jest liczbą dodtnią różną od jedności ( > 0 i ), zś liczb logrytmown b jest dodtni ( b > 0, jk wynik z wcześniejszego określeni). Zpmiętj! Logrytmowć możn tylko liczby dodtnie, podstw jest liczbą dodtnią różną od jedności!!! Logrytmownie jest opercją odwrotną do potęgowni (podobnie jk pierwistkownie) Przykłdy: 5 log = 5 bo = log = bo = 0 log = 0 bo ( ) = Zpmiętj! Dl > 0 i orz b > 0 zchodzą równości:

27 Stron 7 log = bo = np. log = log = 0 0 bo = np. log = 0 log = bo = np. log 6 = 6 b b b 6 log = b bo = np. log = 6 Szczególny logrytm to logrytm dziesiętny (logrytm przy podstwie 0): wówczs zmist log 0 b piszemy log b. Niech > 0 i, x > 0, y > 0, n N +. Wówczs prwdziwe są nstępujące włsności logrytmów:. Logrytm iloczynu log ( x y) = log x + log y Przykłd: log 4 + log = log (4 ) = log = Logrytm ilorzu x log = log x log y y 4 Przykłd: log5 4 log5 0 = log5 = log5 = 0 5. Logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym n log ( b ) = n log b 9 Przykłd: log 4 4 = 9log 4 4 = 9 = 9 Przykłd : Oblicz wrtość wyrżeni = log log9. 7 Rozwiąznie: Obliczmy oddzielnie kżdy czynnik. I tk:

28 Stron 8 log = log = orz 7 x log 9 = x 9 = x Obliczmy wrtość wyrżeni = x =, stąd = x = = ( =, 5 ). Przykłd : Oblicz b, wiedząc, że log = 5 orz log b =. Rozwiąznie: Z dnych informcji njpierw obliczymy- korzystjąc z definicji logrytmu - orz b. 5 log = 5 = log b = b = Ztem mmy: 5 6 b = = = ( ) = = 8 W dlszej części zjęć uczniowie indywidulnie rozwiązują wskzne przez nuczyciel testy dołączone do scenriusz. Stnowią one doskonłe ćwiczenie utrwljące dziłni w zbiorze liczb rzeczywistych. 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel n zkończenie podsumowuje prcę uczniów, omwi wyniki testów. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zjęci przeznczone głównie dl uczniów kls mturlnych.

29 Stron 9 Złączniki do scenriusz nr 4 Zdni. Jeżeli log m =, to A. m = - B. m = C. m = D. m =. Jeżeli log p = i log q =, to liczb p + q jest równ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8. Liczb log 0, + log 0, 5 jest równ A. - B. - C. - D. 4. Liczb log 5 + log 5 nie jest A. niewymiern B. wymiern C. dodtni D. mniejsz od 5 5. Prwdziw jest równość: A. log 6 8 = + log 6 B. log 6 = + log 6 C. log 6 7 = + log 6 D. log 6 44 = + log Liczb log 500 log jest równ A. log 50 B. log 50 C. log 5 D. log 50

30 Stron 0 7. Liczb log6 log jest równ A. 9 log B. log 0 C. ( ) 8. Jeżeli log = i log 5 = b, to liczb log 45 jest równ log D. 0log A. b B. + b C. + b D. b 9. Oblicz średnią rytmetyczną liczb: log 4, log 4,. 0. Uzsdnij, że liczb log log 7) + (log 6 log ) jest liczb wymierną. ( 0, 0, 0, 0,. Któr z liczb, b, c jest njwiększ? log 0, =,. Niech = log. Uzsdnij równość log 8 = +. log, 5 =, b c = log. Znjdź wszystkie liczby rzeczywiste p spełnijące równość 9 ( p) log = O ile procent liczb log 8 jest mniejsz od liczby log 4 + log 5 log 4? 5. Wykż, że równnie x + log x + log 6 = 0 nie m rozwiązń.

31 Stron Scenriusz nr 5: Przybliżenie i zokrąglenie liczby rzeczywistej. Błąd przybliżeni. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Przybliżenie i zokrąglenie liczby rzeczywistej. Błąd przybliżeni. Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Ksztłcenie umiejętności logicznego wnioskowni Ćwiczenie sprwności językowej Cele szczegółowe Uczeń: poprwnie wyzncz przybliżenie dowolnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością; poprwnie oblicz błąd przybliżeni; rozpoznje błąd względny i błąd bezwzględny. Formy i metody Dyskusj kierown z wykorzystniem złącznik nr Ćwiczeni Prc z cłą grupą Prc w prch 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, Komputer, tblic interktywn, klkultory.

32 Stron gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje co będzie przedmiotem zjęć, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie zpoznją się z mteriłem, dotyczącym zokrągleni liczby rzeczywistej, nlizują przykłdy zmieszczone w lekcji. W zeszycie przedmiotowym zpisują włsny przykłd zokrągleni liczby, nuczyciel prosi o przeczytnie tych przykłdów kilku uczniów. W życiu codziennym brdzo często używmy zokrągleń. Są one istotne w pomirch różnych wielkości fizycznych czy chemicznych. Jeśli chcemy zokrąglić pewien ułmek dziesiętny, to odrzucmy pewną liczbę cyfr końcowych i stosujemy poniższe zsdy:. jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest którś z cyfr od 0 do 4, to zokrąglmy z niedomirem (czyli pozostwimy bez zmin). ntomist jeśli pierwsz odrzucn jest którąś z cyfr od 5 do 9, to zokrąglmy z ndmirem. Często zokrągljąc liczbę określmy jej rząd. I tk np.: Zokrągleni do tysięcy: Zokrągleni do setek: ,0487 7, ,95, ,4988 6,50 W dlszej części uczniowie poznją pojęcie błędu (z ndmirem i niedomirem), błędu względnego i błędu bezwzględnego. Jeżeli zkupimy np. odkurzcz z 98, 90 zł, to powiemy, że zkupiliśmy go z ok 400 zł lub z około 90 zł uznjąc, że nie popełniliśmy istotnego błędu. Klkultor wynik dziłni : przedstwi z dokłdnością do więcej niż dwóch miejsc po przecinku. I tk mmy np.: = 0,

33 Stron Liczb t w przybliżeniu będzie równ 0,666 (z niedomirem) lub 0,667 (z ndmirem). Aby obliczyć błąd przybliżeni pewnej liczby x odejmujemy przybliżenie tej liczby od nszej liczby czyli: x. Błędem bezwględnym przybliżeni nzywmy wrtość bezwzględną różnicy liczby x i jej przybliżeni, czyli: x. Błędem względnym przybliżeni nzywmy stosunek błędu bezwzględnego do wrtości bezwzględnej x liczby x, czyli:. x N zkończenie zjęć uczniowie rozwiązują dw zdni. Jedno z nich zmieszczone jest w złączniku nr, treść drugiego nuczyciel wyświetl n tblicy. Uczniowie rozwiązują w prch, nstępnie prezentują odpowiedzi n tblicy. Zdnie : Dne liczby 0,487 ; 5,078 ; 4,998 zokrąglij z dokłdnością do: ) jednego miejsc po przecinku b) dwóch miejsc po przecinku c) trzech miejsc po przecinku Zdnie : Liczb 50 jest przybliżeniem pewnej liczby z niedomirem. Błąd bezwzględny tego przybliżeni jest równy 4,5. Oblicz błąd względny tego przybliżeni i wyrź go w procentch. 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel prosi uczniów o przypomnienie poznnych pojęć, oceni ktywność uczniów n lekcji. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zjęci możn przeprowdzić jko lekcj wprowdzjąc pojęci błędu, jk również powtórzeniow w klsie czwrtej.

34 Stron 4 Scenriusz nr 6: Zbiory liczbowe. Przedziły liczbowe i dziłni n nich. Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Zbiory liczbowe. Przedziły liczbowe i dziłni n nich. Liczby rzeczywiste Kls I (IV etp edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących dziłń n zbiorch, w szczególności n przedziłch liczbowych Doskonlenie rozumieni pojęci zbioru, podzbioru Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie wyznczyć sumę, iloczyn i różnicę zbiorów; zn i rozumie określenie przedziłu liczbowego; wykonuje dziłni n przedziłch liczbowych; dostrzeg, formułuje i zpisuje wrunki definiujące odpowiednie przedziły. Formy i metody Rozmow dydktyczn Ćwiczeni Prc z klsą lub indywiduln 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w Komputer, tblic interktywn.

35 Stron 5 projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, prosi o podnie przykłdu zbioru orz zwrc uwgę n to iż zbiór jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Nstępnie wskzuje n szczególny rodzj zbiorów tj. n przedziły liczbowe. W dlszej części lekcji nuczyciel skupi się n rozróżniniu przedziłów liczbowych i dziłnich n nich wykorzystując do tego celu złącznik nr Liczby rzeczywiste temt nr 7. Wrz z ucznimi nlizują część teoretyczną orz zmieszczone w złączniku nr ćwiczeni: Oś liczbow to prost, n której zznczono zwrot dodtni, punkt zerowy i jednostkę: 0 Przedziły liczbowe to szczególne podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Dzielimy je n przedziły ogrniczone i nieogrniczone (nieskończone). Niech, b R i < b. Wówczs: ( ; b) = x R : < x < b - przedził ogrniczony, obustronnie otwrty { } b = { x R : x b} b ; - przedził ogrniczony, obustronnie domknięty (zmknięty) ; b = { x R : x b} b ( - przedził nieogrniczony domknięty od minus nieskończoności b

36 Stron 6 ; + ) = { x R : x > } ( - przedził nieogrniczony otwrty od do plus nieskończoności (- ; + ) = R cł oś liczbow. Zwróćmy uwgę n równowżne zpisy: x > x ( ; b) < x < b x > i x < b x < b Skoro przedziły są podzbiormi zbioru liczb rzeczywistych, to możn n nich wykonywć dziłni jk n zbiorch. Brdzo pomocne jest przedstwienie przedziłów n osi liczbowej i wyzncznie ich sumy, części wspólnej i różnicy. Przykłd : Wyzncz zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, gdy A = ;), B = (0;4). Rozwiąznie: Wykorzystjmy ilustrcję grficzną dnych przedziłów liczbowych: A B Mmy wówczs: A B =,4) A B = (0,) A \ B =, 0 B \ A =,4). Przykłd : Rozwżmy dw zbiory: A- zbiór dzielników nturlnych liczby 6 B- zbiór liczb pierwszych mniejszych od 6 Wypisz wszystkie elementy zbiorów: A B; A B; A \ B.

37 Stron 7 Rozwiąznie: Wypiszmy elementy zbiorów A i B. Mmy ztem: A = {,,4,8,6} orz B = {,,5,7,,} Wówczs: A B = {,,,4,5,7,8,,,6} A B = { } A \ B = {,4,8,6} N zkończenie uczniowie smodzielnie rozwiązują zdni (z wykorzystniem tblicy interktywnej) przygotowne przez nuczyciel: Zdnie. Uzupełnij tbelkę podjąc włsny przykłd dnego przedziłu: Nzw przedziłu Zpis symboliczny Wrunek definiujący Ilustrcj n osi liczbowej Ogrniczony, obustronnie otwrty Ogrniczony, obustronnie domknięty Ogrniczony, lewostronnie domknięty Nieogrniczony otwrty od minus nieskończoności Nieogrniczony zmknięty do plus nieskończoności

38 Stron 8 Zdnie. Dne są zbiory A i B. Wyzncz A B, A B, A \ B, B \ A jeśli A = (, 6, B = 4,8). Część końcow: Uczniowie prezentują wyniki swojej prcy, nuczyciel omwi poprwność rozwiązń i oceni prcę uczniów n lekcji. 7 Podsumownie zjęć Uczniowie prezentują wyniki swojej prcy, nuczyciel omwi poprwność rozwiązń i oceni prcę uczniów n lekcji. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Zjęci możn przeprowdzić w klsie I technikum lub liceum, tkże jko lekcj powtórzeniow w klsie kończącej nukę.

39 Stron 9 Scenriusz nr 7: Wyrżeni rytmetyczne i ich wrtości liczbowe Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Wyrżeni rytmetyczne i ich wrtości liczbowe Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Utrwlenie widomości i umiejętności związnych z wyrżenimi lgebricznymi Cele szczegółowe Uczeń: podstwi do dnego wyrżeni lgebricznego w miejsce zmiennych ich wrtości liczbowe; uprszcz wyrżeni lgebriczne; stosuje prw dziłń i kolejność wykonywnych dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych; prowdzi proste rozumownie mtemtyczne. Formy i metody Pogdnk powtórzeniow z wykorzystniem złącznik nr Ćwiczeni utrwljące Prc z cłą grupą Prc indywiduln 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, Złącznik nr Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

40 Stron 40 gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje co będzie przedmiotem zjęć, omwi orgnizcję prcy n lekcji, wprowdz w pojęcie wyrżeni lgebricznego. Uczniowie zpoznją się z lekcją nr złącznik nr Wyrżeni lgebriczne i ich wrtości liczbowe, nlizują przykłdy zmieszczone w lekcji. W zeszycie przedmiotowym rozwiązują smodzielnie zdni z lekcji nr, nstępnie sprwdzją poprwność rozwiązni: nuczyciel udostępni rozwiązni zmieszczone w złączniku. Tok lekcji jest zgodny z treścią lekcji nr złącznik nr : Njczęściej w zdnich mtemtycznych pojwi się pojęcie wyrżeni lgebricznego rozuminego jko wyrżeni, w którym występują liczby i litery połączone znkmi dziłń mtemtycznych np. b x + y, 7b,, x 5y +, d. c + d Litery w wyrżenich lgebricznych nzywmy zmiennymi. Jeżeli w miejsce liter podstwimy odpowiednie liczby i wykonmy wskzne dziłni, to otrzymmy liczbę określną jko wrtość liczbow wyrżeni lgebricznego. Wyrżenie rytmetyczne jest często utożsmine z wyrżeniem lgebricznym. Przy obliczniu wrtości wyrżeń lgebricznych pmiętjmy o kolejności wykonywnych dziłń, stosowniu wzorów skróconego mnożeni i bądźmy brdzo uwżni jeśli chodzi o znki liczb! Przykłd. Oblicz wrtość liczbową wyrżeni: x y ) dl x =,5; y = 0,5; z = 6 x + z,5 ( 0,5) 7,5 0,5 7,5 0,5 Rozwiąznie: = = =,5 + ( 6),5 6,5 Uwg! 7,5 =

41 Stron 4 Oczywiście powyższe obliczeni uczeń mógłby wykonć zncznie szybciej, niemniej jednk pośpiech nie jest wskzny, gdyż njdrobniejsz pomyłk może trochę kosztowć. Niech kżdy sm odpowie sobie n pytnie, czy liczę w pmięci wykonując kilk dziłń jednocześnie, czy powoli i dokłdnie wykonm to zdnie. x y b) dl x = ; y = 4 + ( ) ( 4 + ) Rozwiąznie: = = = c) + 4 dl x =. Wynik przedstw w postci + b, gdzie, b R. x + + ( + ) = = = = ( ) Rozwiąznie: ( )( ) Przykłd. * Uprość i oblicz wrtość otrzymnego wyrżeni: ) ( ) ) x + ( x + )( x x + ) x( x )( x + dl Rozwiąznie: ( x ) + ( x + )( x x + ) x( x )( x + ) = x x = x x + x + x + x + x = x + 6x + dl x = mmy: b b) dl = sin 0 0, b = + b + b x = + x + ( x + ) x( x ) =

42 Stron 4 Rozwiąznie: b = + b + b ( b)( + b + b ) = b + b + b 0 Dl = sin 0 = = orz b = = = = mmy: 4 7 b = = = = Przykłd. Oblicz wrtość wyrżeni: ( + + )( +) dl = 5 Rozwiąznie: ( + + )( + ) = ( + ) = ( 5) ( 5) = = Dl = 5 mmy: N zkończenie uczniowie rozwiązują zdni zmieszczone n końcu lekcji nr : Zdnie : + Dne są liczby: x =, y =. 4 ) Sprwdź, czy x y =. 9 x b) Oblicz 7. y Zdnie : Wykż, że wrtość wyrżeni ( )( ) ( ) ( ) dodtnią dl ( ) = 0,5 jest liczbą

43 Stron 4 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel oceni ktywność uczniów n lekcji, wskzuje n konieczność elimincji njczęściej popełninych błędów, zchęc do uwżnych dziłń w zbiorze liczb rzeczywistych. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Lekcj typowo powtórzeniow, szczególnie polecn do relizcj w klsch kończących nukę.

44 Stron 44 Scenriusz nr 8: Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 45 minut Treść zjęć Cel ogólny Doskonlenie umiejętności związnych z rozróżniniem podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych Wyrbinie umiejętności rozróżnini liczb wymiernych i niewymiernych n podstwie rozwinięci dziesiętnego liczby rzeczywistej Rozwijnie zdolności bstrkcyjnego myśleni i kojrzeni Cele szczegółowe Uczeń: zn i rozróżni liczby nturlne, cłkowite, wymierne, niewymierne; zn i stosuje w zdnich pojęcie liczby nieprzystej, przystej; wskzuje liczby przeciwne i odwrotne do dnej; sprwnie wykonuje dziłni w zbiorze liczb wymiernych. Formy i metody Pogdnk powtórzeniow z wykorzystniem złącznik nr, Ćwiczeni utrwljące Prc z cłą grupą Prc indywiduln lub w prch 4 Środki dydktyczne Złącznik Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

45 Stron 45 (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje co będzie przedmiotem zjęć, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Nuczyciel wspólnie z ucznimi w oprciu o treści zwrte w złączniku nr Liczby rzeczywiste temt nr, systemtyzuje wiedzę i umiejętności związne z podzbiormi zbioru R, wskzuje n wzjemną relcję między nimi (inkluzj zbiorów), zwrc uwgę n rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej. Tok lekcji przebieg zgodnie z zpismi w złączniku nr, lekcji nr : Liczby rzeczywiste to jeden z njwżniejszych zbiorów w cłej mtemtyce. Zbiór liczb rzeczywistych (R) jest sumą zbioru liczb wymiernych (W) orz zbioru licz niewymiernych (NW), co zpisujemy: R = W NW. Szczególne miejsce zjmują liczby nturlne, o których się mówi, że stworzył je sm Pn Bóg do liczeni kmieni. Przyjmujemy oznczeni: N zbiór liczb nturlnych C zbiór liczb wymiernych W zbiór liczb wymiernych NW zbiór liczb niewymiernych Elementy zbioru N oznczmy młą literą n. Mmy ztem: n N, N = { 0,,,,... } Liczbą pierwszą nzywmy kżdą liczbę nturlną większą od podzielną przez i smą siebie. Liczbą złożoną nzywmy liczbę nturlną większą od, któr nie jest liczbą pierwszą. Liczby: 0 orz nie są ni pierwsze ni złożone. Liczby nturlne wrz z liczbmi do nich przeciwnymi tworzą zbiór liczb cłkowitych, czyli C =...,,,0,,,... { }

46 Stron 46 Liczbą przystą nzywmy kżdą liczbę cłkowitą podzielną przez, ntomist liczby nieprzyste to liczby cłkowite, które nie są podzielne przez. Liczb 0 jest liczbą przystą. Liczbą wymierną nzywmy liczbę, którą możn przedstwić w postci ilorzu dwóch liczb cłkowitych, m tzn. w postci, gdzie m, n C i n 0. Pozostłe liczby to liczby niewymierne. n Kżd liczb rzeczywist m rozwinięcie dziesiętne: skończone lub nieskończone okresowe, gdy jest liczbą wymierną, lub nieskończone nieokresowe, gdy jest liczbą niewymierną Liczbą przeciwną do nzywmy liczbę. Zchodzi wówczs: +(-) = 0 Odwrotnością liczby różnej od zer jest liczb. Zchodzi wówczs: =. Pomiędzy liczbmi nturlnymi, cłkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi możn zuwżyć nstępujące związki: N C W R NW Zpis: N C czytmy: Zbiór liczb nturlnych jest podzbiorem zbioru liczb cłkowitych lub Zbiór liczb nturlnych zwier się w zbiorze liczb cłkowitych. NW C N W R Po części teoretycznej, przypomnieniu i usystemtyzowniu widomości o podzbiorch zbioru R, uczniowie w prch lub indywidulnie rozwiązują dw zdni zmieszczone n końcu lekcji nr

47 Stron 47 (zdnie, ) orz zdni zproponowne przez nuczyciel (zdnie,4): Zdnie. Ze zbioru = π Z, 8,,, 8,0;,(7); wybierz liczby 4 ) nturlne b) cłkowite c) wymierne d) niewymierne. Zdnie. Wyzncz wszystkie liczby cłkowite, które spełniją wrunek: 5 < < 5. Zdnie : Oblicz wrtość wyrżeni: + 4 wynik jest liczbą wymierną czy niewymierną. Zdnie 4: : 4,5 4, dl =, nstępnie oceń, czy otrzymny 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel oceni prcę uczniów n lekcji, ich zngżownie, zwrc uwgę n istotne elementy lekcji. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

48 Stron 48 Scenriusz nr 9: Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu Liczby rzeczywiste Kls I (IV poziom edukcyjny) 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących logrytmu Rozwijnie umiejętności logicznego rozumowni i twórczego myśleni Ćwiczenie jednozncznego, jsnego formułowni myśli Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie stosowć w obliczenich definicję logrytmu, wzory n logrytm potęgi orz wzór n zminę podstwy logrytmu. Formy i metody Dyskusj kierown Ćwiczeni Prc indywiduln lub prmi 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, Złącznik Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

49 Stron 49 gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel wprowdz do temtyki zjęć, może nwiązć do temtu nr 9 złącznik. Uczniowie przypominją widomości związne z pojęciem logrytmu liczby dodtniej orz przypominją wzory n logrytm iloczynu orz logrytm ilorzu. Możn w tym celu wykorzystć przykłdy z lekcji nr 9 złcznik lub wykonć kilk przykłdów podnych przez nuczyciel: Oblicz: ) log 8 8 =... b) log 7 8 =... c) log =... W dlszej części lekcji uczniowie prcują wykorzystując temt nr 0 złcznik nr Logrytm potęgi i wzór n zminę podstwy logrytmu : W temcie 9 poznliśmy wzór n logrytm potęgi o wykłdniku nturlnym. Wzór ten jest prwdziwy tkże w przypdku logrytmu potęgo o dowolnym wykłdniku rzeczywistym: c log b = c log b, gdzie > 0 i, b > 0, c R Przykłd : Ustl, wykonując odpowiednie obliczeni, któr z liczb czy b mniejsz, któr większ, jeśli: = log 5 5, b = log 4 00 Rozwiąznie: 5 = = log 5 = log5 5 = 4 4 b = log00 = log(0 ) = log0 = log0 =

50 Stron 50 Stąd < b, bo <. I jeszcze zdnie utrwljące poznne wcześniej włsności logrytmów: Zdnie: Niech log 4 =. Oblicz wrtość wyrżeni: log 6. 4 W niektórych sytucjch istnieje potrzeb zminy podstwy logrytmu. Zwrcmy uwgę, iż wzory n sumę i różnicę logrytmów wymgją, by logrytmy miły tę smą podstwę! Korzystmy z dlszej części temtu nr 0 złącznik nr poznjąc przydtne wzory: logb x I. log x = logb II. log b = logb dl > 0 i, b > 0 i b orz x > 0. Przykłd : Oblicz: ) log 6 64 b) log (log 6 log 4) Rozwiąznie: Ad ) zuwżmy, że liczby 6 i 64 są potęgmi liczby 4. Możemy ztem zpisć korzystjąc ze wzoru n zminę podstwy logrytmu: log 4 64 log6 64 = = log log 4 Ad b) log (log 6 log 4) = log log = log log 4 = log 4 = = log 4 = 4 log log

51 Stron 5 Po dokłdnym przenlizowniu rozwiązń przedstwionych w złączniku nr zdń, uczniowie otrzymują krtę prcy z zdnimi wykorzystującymi poznne wzory: (Uczniowie prcują indywidulnie lub w prch, nuczyciel oceni poprwność rozwiąznych zdń po zprezentowniu ich n tblicy) Krt prcy uczni Zd.. Oblicz: log 9 7 (Odp. ). Zd.. Oblicz: Zd.. Oblicz: log log log (Odp. ) 8 log 8 7 (Odp. ) 7 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel podsumowuje prcę uczniów n lekcji, oceni ich zngżownie, zwrc uwgę n istotne frgmenty rozwiązywnych zdń. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

52 Stron 5 Scenriusz nr 0: Procenty i punkty procentowe Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Procenty i punkty procentowe Liczby rzeczywiste IV poziom edukcyjny 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Usystemtyzownie widomości dotyczących obliczeń procentowych Wyrbinie umiejętności sprwnego wykonywni obliczeń procentowych Ksztłtownie umiejętności korzystni z progrmów multimedilnych Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć trzy typy obliczeń procentowych; odróżni zminy wyrżone w punktch procentowych od zmin wyrżonych w procentch; rozwiązuje zdni wykorzystujące obliczeni procentowe w życiu codziennym. Formy i metody Pogdnk dydktyczn Ćwiczeni Prc indywiduln Prc z cłą klsą 4 Środki dydktyczne (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w Złącznik nr Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

53 Stron 5 projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji. Uczniowie przypominją pojęcie procentu, punktu procentowego, nlizują zmieszczone tm przykłdy, korzystjąc z złącznik nr temt nr 6: Niezwykle wżną umiejętnością współczesnego człowiek jest posługiwnie się procentmi, od polityków czy ekonomistów słyszymy o punktch procentowych. Procent p % pewnej wielkości to setn część tej wielkości, ztem p% liczby to. 00 Punkt procentowy to różnic między dwiem wrtościmi jednej wielkości podnymi w procentch. Przykłd : Jeśli nstąpił wzrost jkiejś wielkości z 0% do 5% to wielkość t wzrosł o 5 punktów procentowych. Przykłd : Jeśli bnk podniósł oprocentownie kredytu z 8% n 0% to podniósł o punkty procentowe. Jednocześnie wysokość oprocentowni wzrosł o 5% (z podstwę przyjmujemy wysokość przed podwyżką ( 00% = 5% ) 8 Uczniowie zgdnieni związne z obliczenimi procentowymi znją ( przynjmniej powinni znć) z wcześniejszych etpów edukcyjnych. Niemniej jednk nleży dążyć do tego, by obliczeni te były wykonywne brdzo sprwnie, szczególnie w kontekście umiejętności prktycznych. W dlszej części lekcji uczniowie utrwlją zgdnieni związne z obliczenimi procentowymi i punktmi procentowymi rozwiązując indywidulnie zdni przygotowne przez nuczyciel:

54 Stron 54 Krt prcy uczni zdni utrwljące związne z obliczenimi procentowymi Zdnie.. Zosi n koniec roku szkolnego w klsie I mił średnią ocen,45 n koniec klsy II poprwił tę średnią n,80. Ani zś poprwił swoją średnią z klsy I n koniec roku szkolnego z 4,60 n 5,05 w klsie drugiej. Któr z dziewcząt procentowo poprwił brdziej swoje oceny i o ile? Zdnie.. Globlny wskźnik lfbetyzcji (umiejętności czytni i pisni ze zrozumieniem) wzrósł z 76% w ltch do 84% w ltch ) O ile punktów procentowych wzrósł wskźnik lfbetyzcji? b) O ile procent wzrósł ten wskźnik? Zdnie. N lekcji mtemtyki 8% uczniów nie rozwiązło zdni, 4% uczniów rozwiązło je błędmi, 7 uczniów rozwiązło zdnie poprwnie. Ilu uczniów było w klsie? Zdnie 4. Cenę pewnego towru obniżono o x %. O ile procent nleży podwyższyć nową cenę, by cen końcow był równ cenie początkowej? Zdnie 5. W czsie suszy poziom strumyk o głębokości m obniżył się o 5 cm, poziom rzeki o głębokości 5 m obniżył się o m. Który spdek poziomu wody, wyrżony w procentch, jest większy? Odpowiedzi do zdń z Krty prcy uczni: Zd. 0,5 Przyrost ocen Zosi: 0,5; procentowy przyrost: 00% 0,%,45 0,45 Przyrost ocen Ani: 0,45; procentowy przyrost: 00% 9,8% 4,60 Odp. Zosi brdziej poprwił swoje oceny końcowe w klsie drugiej niż Zosi, więcej o około 0,%.

55 Stron 55 Zd.. ) Wskźnik lfbetyzcji wzrósł o 84-76=8 punktów procentowych 8 b) Wskźnik ten wzrósł o około 0,5% ( 00% 0,5% ). 76 Zd.. Odp. 5 uczniów Zd x Odp. Cenę nleży podwyższyć o %. 00 x Zd.5. Odp. Większy jest spdek wody w strumyku (5%) niż w rzece (0%). Chętne osoby przedstwiją swoje rozwiązni n tblicy interktywnej. Nuczyciel wybier wśród rozwiązń różne sposoby zproponowne przez uczniów, przedstwine są n dwudzielnej tblicy interktywnej. (istnieje wówczs możliwość porównni różnych sposobów rozwiązń). 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel podsumowuje prcę uczniów n lekcji, zwrc uwgę n istotne zgdnieni, szczególnie jeśli chodzi o zstosownie obliczeń procentowych w życiu codziennym. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg

56 Stron 56 Scenriusz nr : Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn Temt zjęć Dził Kls (poziom edukcyjny) Czs trwni zjęć Element Lp. scenriusz Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn Liczby rzeczywiste IV poziom edukcyjny 90 minut Treść zjęć Cel ogólny Ksztłtownie pojęci wrtości bezwzględnej liczby i jej interpretcji geometrycznej Ksztłcenie logicznego myśleni Formułownie definicji i włsności wrtości bezwzględnej n podstwie przykłdów Cele szczegółowe Uczeń: zn i umie zstosowć definicję wrtości bezwzględnej liczby rzeczywistej; zn i umie zstosowć włsności wrtości bezwzględnej; potrfi rozróżnić pojęci wrtość bezwzględn i liczb przeciwn ; umie opisywć i zznczć zbiory z użyciem wrtości bezwzględnej. Formy i metody Dyskusj kierown Rozwiązywnie zdń problemowych Ćwiczeni Prc z cłą klsą Prc indywiduln 4 Środki dydktyczne Złącznik nr Liczby rzeczywiste, komputer, tblic interktywn.

57 Stron 57 (ze szczegółowym wskzniem środków oprcownych w projekcie np. moduł, gr) 5 Wprowdzenie do zjęć 6 Przebieg zjęć (pełn wersj) Nuczyciel informuje o celch lekcji, omwi orgnizcję prcy n lekcji, wprowdz do pojęci odległości n osi liczbowej. Uczniowie korzystją z złącznik nr temt nr 8 Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej i jej interpretcj geometryczn. Zpoznją się z temtem nlizując przedstwione treści mtemtyczne, nlizują przykłdy orz rozwiązują zproponowne przez nuczyciel zdni. Czy wiesz, drogi Uczniu, jk jest odległość liczby 5 od zer? A jk jest odległość liczby (-4) od zer? Jk jest odległość zer od zer? Zpewne bez problemu bezbłędnie odpowiesz n te pytni. A terz przedstwimy dne zgdnienie brdziej profesjonlnie wykorzystując do tego celu oś liczbową Wrtość bezwzględn liczby rzeczywistej (nzywn tkże modułem liczby) w interpretcji geometrycznej jest jej odległością od punktu zerowego. Zpmiętj! Skoro wrtość bezwzględną trktujemy jko odległość, ztem dl kżdej liczby rzeczywistej jej wrtość bezwzględn jest liczbą nieujemną! Kilk wżnych włsności wrtości bezwzględnej: Dl dowolnych liczb rzeczywistych x, y zchodzi:. x 0

58 Stron 58. x = x. x = x 4. x y = x y ; zuwż, że dl x 0 zchodzi: ( x ) = x 5. x x =, y 0 y y Algebricznie wrtość bezwzględną definiujemy nstępująco: x, dl x 0 x = x dl x < 0 Czyli dl liczb nieujemnych moduł liczby jest tą smą liczbą, zś dl liczb ujemnych liczbą do niej przeciwną. Przykłd : Zpisz bez użyci symbolu wrtości bezwzględnej: ) 5 b) Rozwiąznie: Ad ) zuwżmy, że 5 0, ztem 5 = 5 (jest tą smą liczbą) Ad b) zuwżmy, że < 0, czyli = ( ) = (jest liczbą przeciwną do niej) Przykłd : Oblicz ( 4 7)

59 Stron 59 Rozwiąznie: Z włsności ) mmy: (4 7) = 4 7 = (4 7) = 7 4, bo 4 7 < 0 Nstępny problem: Jkie liczby rzeczywiste są odległe od liczby o 6 jednostek? Jkie liczby rzeczywiste są odległe od liczby (-) o 4 jednostki? Szukjąc odpowiedzi n te pytni zilustrujemy sytucje n osi liczbowej Ztem od liczby o sześć jednostek odległe są dwie liczby: (-) orz 9. Zpiszemy wówczs: x = 6 (zbiór liczb rzeczywistych x, których odległość n osi liczbowej od liczby jest równ 6) Od liczby (-) odległe o cztery jednostki są dwie liczby: (-5) orz. Zpiszemy wówczs: x + = 4 (zbiór liczb rzeczywistych x, których odległość n osi liczbowej od liczby (-) jest równ 4).

60 Stron 60 Uogólnijmy: Zpis: x = r w interpretcji geometrycznej ozncz zbiór liczb rzeczywistych, których odległość od liczby jest równ r. -r +r -r +r Terz z łtwością zinterpretujemy nierówności: x r ozncz zbiór liczb, których odległość n osi liczbowej od liczby jest nie większ niż r x -r +r x > r ozncz zbiór liczb, których odległość n osi liczbowej od liczby jest większ niż r x -r +r Przykłd : Zbiorem liczb spełnijących nierówność x 4 < jest przedził liczbowy: A. (-,) B. (,7) C. (,5) D. (-4,) Rozwiąznie: W powyższej nierówności = 4 orz r =. Wykorzystując omówioną wcześniej geometryczną tego typu nierówności otrzymujemy: interpretcję

61 Stron Ztem dną nierówność spełniją liczby z przedziłu (,7). Odp. B. Przykłd 4: Zbiór liczb rzeczywistych x przedstwiony poniżej n osi liczbowej jest zbiorem rozwiązń nierówności: - 7 A. x 5 B. x + 5 C. x 5 D. x 5 Rozwiąznie: Nleży zuwżyć, że liczb (-) jest odległ od liczby (-7) orz od liczby o pięć jednostek. N osi liczbowej zznczono liczny rzeczywiste, które są w odległości niemniejszej niż pięć od liczby (-), ztem są to liczby spełnijące wrunek: x 5. Odp. D. N zkończenie proponuję zdni utrwljące: Zd.. Używjąc symbolu wrtości bezwzględnej zpisz nstępujące zbiory: A =,, B = (, 4) ( 4, + ), C = (,7) Zd.. Przedstw n osi liczbowej orz zpisz w postci przedziłu lub sumy przedziłów zbiór rozwiązń równni lub nierówności:

62 Stron 6 ) x + = 6 b) x < c) x + 5 d) x = 6 7 Podsumownie zjęć Nuczyciel podsumowuje prcę uczniów n lekcji, oceni ich zngżownie, podkreśl jkie istotne umiejętności związne z wrtością bezwzględną są niezbędne do dlszego ksztłceni mtemtycznego, szczególnie przydtne w kontynuowniu tego temtu n poziomie rozszerzonym. 8 Uwgi metodyczne do relizcji Bez uwg