Wkłd 3: Kinemtk dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://ler.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/
Wstęp Opis ruchu KINEMATYKA Dlczego tki ruch? Przczn ruchu DYNAMIKA MECHANIKA
Podstwowe pojęci dl ruchu prostoliniowego i krzwoliniowego. r r ( t 1 ) r t ) ( przemieszczenie r r t ) r( ) tor ruchu ( t1 śr r ( t 1 ) r ( t ) r t ) ( r prędkość średni r r ( t t t t śr ) r ( t1) 1 gd t t 1 Δt to Δr dr dr prędkość chwilow 3
Prędkość chwilow jko grnic prędkości średniej lim0 t r t dr skoro r i ˆ + ˆj to Wektor prędkości chwilowej jest zwsze stczn do toru. dr d d iˆ + ˆj i ˆ + ˆj z d d dz 4
Przspieszenie Przspieszenie związne jest ze zminą wektor prędkości d Jeżeli d poniewż: d iˆ + ˆj i ˆ + const to 0 ˆj + t z d lim t 0 d dz d t Δt 0 Δ >0 <0 t d d 0 t 0 t więc 0 + t 5
Wzgledność ruchów Kżd ruch opisujem względem jkiegoś ukłdu odniesieni W chwili t 0 rusz smochód i zczn toczć się piłk - ob STOP A cił mją tką smą szbkość względem ukłdu A. Piłk względem ukłdu B jest nieruchom! B 6
Trnsformcj Glileuszzłożeni Przestrzeń jest euklidesow Przestrzeń jest izotropow Rozptrwne są ukłd inercjlne Prw ruchu Newton są słuszne w ukłdzie inercjlnm-n Ziemi Obowiązuje prwo powszechnego ciążeni 7
Trnsformcj Glileusz (1564-164) Ciło jest nieruchome w ukłdzie X Y Z, m w nim współrzędną Ukłd X Y Z porusz się względem ukłdu XYZ wzdłuż osi OX. Czs w obu ukłdch biegnie tk smo. Współrzędne cił widzine w ukłdzie XYZ: +vt z z t t Trnsformcj odwrotn: - vt z z t t Prz ruchu cił w X Y Z z szbkością u jego szbkość w ukłdzie XYZ: z v + u 8 Y Z Y v t Z u X X
Przkłd Podczs ćwiczeń rtownictw morskiego, jednm z zdń jkie mił wkonć smolot rtownicz bło zrzucenie młego pojemnik z trtwą rtunkową możliwie blisko wzwjącego pomoc rozbitk. W tm celu lecąc z szbkością 0 180 km/h smolot zszedł do lotu poziomego n wsokości h 100 m nd poziomem morz. 1. Jkim ruchem porusz się po opuszczeniu smolotu, pojemnik względem: pilot; rozbitk?. Npisz równni (n (t) i (t) ) opisujące położenie pojemnik względem: pilot; rozbitk; 3. Npisz równni opisujące prędkość ( (t) i (t) ) pojemnik względem: pilot; rozbitk; 4. W jkiej odległości od rozbitk nleż upuścić pojemnik z trtwą? W rozwżnich nleż pominąć opór powietrz. 5. Oblicz z jką szbkością pojemnik wpdnie do wod. 6. Oblicz pod jkim kątem pojemnik uderz w wodę. 9
Ruch krzwoliniow v 1 W ruchu krzwoliniowm wstępuje zmin wektor prędkości. v 1 v v Konsekwencją tego jest wstępownie przspieszeni pomimo stłej wrtości prędkości 10
Przspieszenie stczne i normlne Ruch jednostjn S t S r ds r S d ds r d 1 r ds r d czli r 11
Związek pomiędz prędkością liniową i kątową z r r ˆ w ruchu jednostjnm po okręgu, wektor prędkości kątowej jest stł reguł śrub!! 1
Ruch niejednostjn po okręgu dl współrzędnej : r sin ( t) r (t) d r d cos ( t) d r d cos r sin 13
r sin ( t) r d cos r sin skoro: d d d i to r cos orz r cos czli 14
mm: nlogicznie r cos ( t) r sin Skoro i ˆ + ˆj to iˆ iˆ ˆ j + ˆ j ˆ (ˆ i + j) (ˆ i + ˆj ) r osttecznie: przspieszenie stczne przspieszenie dośrodkowe 15
Wnioski: - kied mleje skłdow prędkości, to rośnie skłdow - przspieszenie dośrodkowe skierowne jest wzdłuż promieni, do środk okręgu - wrtość przspieszeni dośrodkowego jest równ: n r 16
Przkłd 1. Pjąk porusz się po torze krzwoliniowm, którego ct długość opisn jest równniem: S( t) S0e gdzie S 0 i c to stłe. Wektor przspieszeni pjąk tworz w kżdm punkcie toru stł kąt φ ze stczną do jego toru. Obliczć wrtość: ) przspieszeni stcznego, b) przspieszeni normlnego, c) promieni krzwizn toru jko funkcji długości łuku krzwej. ROZWIĄZANIE: ) przspieszenie stczne stąd s c S0 e ct d s d S ds c S0 ct e 17
b) przspieszenie normlne: z rsunku wnik że stąd tg n s s n S( t) S0e ct n tg c S e tg s 0 ct c) promień krzwizn toru jko funkcj długości łuku krzwej: z innej definicji przspieszeni dośrodkowego (normlnego): stąd podstwijąc wliczone wcześniej : r n c S0 e ct r n c c S S 0 0 e ct ( e ) ct tg S 0 e ct ctg S ctg 18
. Punkt mteriln porusz się po ćwirtce elips o równniu: /c + /b 1 prz czm > 0, > 0, (0) 0, (0) b, v(0) (v 0,0). Wiedząc, że wektor przspieszeni punktu -(t)j znleźć: ) równni ruchu punktu, b) oblicz po jkim czsie punkt mteriln znjdzie się w położeniu (c, 0), c) podj wektor prędkości punktu, d) oblicz prędkość punktu mterilnego w punkcie (c, 0). 19
3. Punkt mteriln porusz się po okręgu o promieniu R 3,6 m. W pewnej chwili n cząsteczkę zczn dziłć przspieszenie o wrtości 0,1g, tworzące w kżdm punkcie okręgu po jkim ndl porusz się cząsteczk, stł kąt 30 0 ze stczną do jego toru. Obliczć: ) szbkość cząsteczki w momencie zdziłni przspieszeni, b) szbkość cząsteczki w dwie sekund później. 0
Inne ruch krzwoliniowe Rzut ukośn jest to złożenie dwóch niezleżnch ruchów- - ruchu jednostjnego (poziomo) - ruchu jednostjnie zmiennego (pionowo) 1
Oś : F 0; 0, ruch jednostjn HRW,1 Oś : F mg; g, ruch jednostjnie zmienn
Oś : v v 0 v t const g gj ˆ HRW,1 Oś : v v 0 gt v 0 t gt (tgθ 0 ) (v 0 g cos θ 0 ) równnie toru - prbol 3
.. tk jest nprwdę: Sił oporu powietrz wpłw n tor rzutu ukośnego! Piłk do gr w bsebll rzucon pod kątem 45 z prędkością v 50 m/s osiąg: bez oporu powietrz - - wsokość 63 m, - zsięg 54 m, z oporem powietrz - - wsokość 31 m, - zsięg 1 m tor w powietrzu tor w próżni optmln kąt rzutu wnosi: 0 o - 30 o 45 o 4
Rzut poziom Dl osi OX Dl osi OY 0 const ruch jednostjn X(t) t t 0 ruch jednostjnie przspieszon gt Y( t) H ( t) H g 0 H g 0 Równnie toru prbol tpu: (t) -b ( t) + ( t) 0 + gt 5
Przkłd Piłkę wrzucono ukośnie w górę pod kątem 45 0 z prędkością początkową 0 1 m/s. W odległości 1 m od miejsc wrzutu stoi pionow ścin. Oblicz: 1. czs t t po którm piłk trfi w ścinę,. skłdowe prędkości piłki i w momencie trfieni i szbkość wpdkową, 3. kąt pod jkim piłk trfi w ścinę, 4. mksmlną wsokość H n jką wzniesie się piłk, 5. wsokość od podstw ścin h n jkiej piłk w nią uderz, 6. w jkiej odległości X od ścin piłk po sprężstm od niej odbiciu uderz w ziemię. 6
Zdnie domowe: Wspincze utknęli n szczcie skł wznoszącej się 50 m nd poziomem ziemi. Smolot mjąc dostrczć zoptrzenie leci poziomo n wsokości 00 m pond wspinczmi, z szbkością 50 km/h. Gd znjduje się w pewnej odległości od szcztu skł nstępuje wrzut zsobnik. 1. W jkiej odległości od celu zsobnik powinien zostć upuszczon z smolotu?. Jeżeli smolot zbliż się n odległość 400 m, to z jką szbkością pionową (w górę cz w dół?) zsobnik musi bć wrzucon b trfił w cel? 3. Z jką szbkością uderz on w szczt skł? 7