T O P O L O G I A O G Ó L N A WPPT WYK LAD 14 Topologie w przestrzeniach funkcji ci ag lych, Twierdzenie Stone a Weierstrassa Niech X i Y oznaczaj a przestrzenie topologiczne, zaś C(X,Y) bȩdzie zbiorem wszystkich funkcji ci ag lych z X w Y. W zbiorze tym mamy do czynienia z kilkoma naturalnymi topologiami, które w tym wyk ladzie omówimy. Topologia zbieżności punktowej. Oczywiście C(X, Y) jest podzbiorem zbioru wszystkich funkcji z X w Y, czyli przestrzeni produktowej x X Y x, Y x = Y dla wszystkich x X, któr a też zapisuje siȩ jako Y X. Zatem mamy tu topologiȩ Tichonowa, w której, jak wiemy, zbieżność (ci agów, lub ogólniej netów, funkcji) odpowiada zbieżności punktowej. Dlatego stosujemy alternatywnie nazwȩ topologia zbieżności punktowej. Na potrzeby tego wyk ladu topologiȩ tȩ oznaczymy przez T p. JeśliY jestzwarta, toca ley X teżjestzwarte, jednakzbiórfunkcjici ag lychc(x,y) na ogó l zwarty (czyli domkniȩty) w tej topologii nie jest. Latwo bowiem o przyk lad ci agu funkcji ci ag lych zbieżnego punktowo do funkcji nieci ag lej. Topologia zbieżności jednostajnej. Teraz wymagane jest, aby Y by la przestrzeni a metryczn a (metrykȩ oznaczymy tradycyjnie przez d). Wtedy w C(X, Y) można wprowadzić metrykȩ (dobrze już znan a) d sup (f,g) = sup d(f(x),f(y)). x X Baz a otoczeń w punkcie (funkcji) f jest rodzina kul B sup (f,ǫ) = {g C(X,Y) : x X d(f(x),g(x)) < ǫ}. Zbieżność(ci agulubnetuf κ, ależejesteśmywprzestrzenimetrycznej, wwiȩkszości zagadnień wystarczy rozważać ci agi) w tej metryce określamy mianem zbieżności jednostajnej i oznaczamy symbolem f κ f. Podobnie jak poprzednio, metrykȩ (i topologiȩ) można rozszerzyć na zbiór wszystkich funkcji z X w Y. Topologiȩ tȩ oznaczymy przez T j. Tym razem, nawet jeśli X i Y s a zwarte, przestrzeń X Y na ogó l nie jest zwarta w tej topologii. Podobnie zwarta nie jest C(X,Y). Kryterium zwartości pozbioru F C(X, Y) dostarcza znane twierdzenie Arzeli Ascoliego. Twierdzenie (Arzelà Ascoli). Zbiór F C(X, Y) funkcji ci ag lych z przestrzeni zwartej X w przestrzeń metryczn a Y jest warunkowo zwarty (czyli ca lkowicie ograniczony) w metryce supremum, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego elementy (funkcje) s a wspólnie ograniczone i jednakowo ci ag le. (Jednakowa ci ag lość oznacza istnienie, dla każdego x X i ǫ > 0, otoczenia punktu x X, na którym każda z funkcji f F waha siȩ o nie wiȩcej niż ǫ.) Dowód pomijamy jest on taki sam jak na podstawowym kursie z Analizy. Prost a obserwacj a jest, że ci ag (lub net) zbieżny jednostajnie jest też zbieżny punktowo, oczywiście do tej samej granicy (dotyczy to nie tylko funkcji ci ag lych, ale dowolnych). To oznacza, że topologia zbieżności punktowej jest s labsza od topologii zbieżności jednostajnej (przypomnijmy, oznacza to, że T p T j ). Można siȩ też o tym przekonać bezpośrednio, sprawdzaj ac (co nie jest trudne), że każdy cylinder
z pó lbazy topologii produktowej, który jest postaci C({x}, U), jest sum a wszystkich kul B sup (f,ǫ), takich że B(f(x),ǫ) (kula w Y) jest zawarta w U. A wiȩc C({x},U) T j, co implikuje dyskutowan a inkluzjȩ topologii. Oczywiście równości miȩdzy tymi topologiami na ogó l nie ma, gdyż latwo o przyk lad ci agu funkcji zbieżnego punktowo ale nie jednostajnie. Topologia zwarto-otwarta. Teraz zak ladamy, że X jest przestrzeni a Hausdorffa (i chwilowo nic wiȩcej). Wprowadzimy topologiȩ poprzez wskazanie pó lbazy (znowu można tȩ topologiȩ określić w ca lej przestrzeni produktowej Y X, jednak my ograniczymy siȩ do badania jej w lasności na C(X, Y)). Otóż elementami pó lbazy bȩd a zbiory C(A,U) = {f C(X,Y) : f(a) U}, gdzie A jest zwartym podzbiorem X, zaś U jest otwartym podzbiorem Y. Wystarczy wzi ać za U raz Y raz (i wszystko jedno jaki A), aby w pó lbazie znaleźć ca l a przestrzeń C(X, Y) oraz zbiór pusty. Zatem jest to pó lbaza. Bazȩ definiowanej topologii zwarto-otwartej stanowi a skończone przekroje zbiorów postaci C(A,U), które możemy oznaczać jako C(A 1,...,A n, U 1,...,U n ) (jest to zgodne z wcześniejszym oznaczeniem cylindrów nad skończonym zbiorem wspó lrzȩdnych). Topologiȩ tȩ oznaczymy przez T z-o. Fakt. Topologia zbieżności punktowej jest s labsza od topologii zwarto-otwartej, która z kolei (w przypadku, gdy Y jest przestrzeni a metryczn a) jest s labsza od topologii zbieżności jednostajnej: T p T z-o T j. Dowód. Pierwsza inkluzja wynika z tego, że cylindry C(x 1,...,x n,u 1,...,U n ) pó lbazydlat p s aelementamipó lbazydlat z-o, oiletylkozbioryjednoelementowes a zwarte w X. To sobie zapewniliśmy zak ladaj ac, że X jest przestrzeni a Hausdorffa. Druga inkluzja wyniknie natychmiast z twierdzenia podanego poniżej. Twierdzenie. Niech Y bȩdzie przestrzeni a metryczn a. Wtedy net funkcji (f κ ) κ K elementów przestrzeni C(X,Y) zbiega do f C(X,Y) w topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega on do f niemal jednostajnie, to znaczy na każdym zbiorzezwartyma X mamyzbieżnośćjednostajn af κ A f A. (Wszczególności zbieżność w T j implikuje zbieżność w T z-o ). Dowód: Niech net (f κ ) zbiega niemal jednostajnie do f. Pokażemy zbieżność w T z-o. Ustalmy otoczenie f w tej topologii, a w nim zawarte otoczenie bazowe C(A 1,...,A n, U 1,...,U n ). Każdy ze zbiorów f(a i ) jest zwarty, wiȩc siedzi w otwartym zbiorze U i z pewnym swoim ǫ i -otoczeniem. Niech ǫ = min{ǫ 1,...,ǫ n }. Zbiór A = n i=1 A i jest zwarty, zatem zachodzi na nim jednostajna zbieżność f κ A f A, co oznacza, że od pewnego indeksu κ 0 wszystkie funkcje f κ różni a siȩ na A od f o mniej niż ǫ, co implikuje, że f κ (A i ) U i dla każdego i {1,...,n}. Czyli f κ C(A 1,...,A n, U 1,...,U n ), co dowodzi, że nasz net (f κ ) zbiega do f w topologii T z-o. Na odwrót, niech (f κ ) zbiega do f w T z-o. Ustalmy zbiór zwarty A i ǫ > 0. Mamy pokazać, że powyżej pewnego indeksu κ 0 zachodzi d(f κ (x),f(x)) < ǫ, dla wszystkich x A. Każdy punkt x A posiada otoczenie U x, takie że w każdym punkcie x U x mamy d(f(x),f(x )) < ǫ. Zbiory U x pokrywaj a A, wiȩc istnieje wybrane z nich podpokrycie skończone {U x1,...,u xn }. Zbiory A i = U xi A s a zwarte, st ad zbiór C(A 1,...,A n, B(f(x 1 ), ǫ ),...,B(f(x n), ǫ )) jest bazowym otoczeniem f w topologii T z-o. Zatem powyżej pewnego indeksu κ 0, wszystkie funkcje f κ wpadaj a do tego zbioru. Niech κ κ 0 i rozważmy dowolny punkt x A. Punkt ten należy do któregoś ze zbiorów U i, co implikuje d(f(x i ),f(x)) < ǫ. Oczywiście x
3 należy też do A i, co z kolei implikuje f κ (x) B(f(x i ), ǫ ), czyli d(f κ(x),f(x i )) < ǫ. Ostatecznie wiȩc d(f κ (x),f(x)) d(f κ (x),f(x i ))+d(f(x i ),f(x)) < ǫ. Wniosek. Jeśli X jest przestrzeni a zwart a Hausdorffa (a Y przestrzeni a metryczn a), to ponieważ na zbiorze zwartym zbieżność niemal jednostajna jest jednostajna, przeto topologie zwarto-owarta i zbieżności jednostajnej s a tożsame. Zadanie. Sprawdź, że baz a w punkcie f C(X,Y) topologii zbieżności niemal jednostajnej s a zbiory B(f,A,ǫ) = {g C(X,Y) : x A d(f(x),g(x)) < ǫ}, gdzie ǫ > 0, a A jest zwartym podzbiorem X. Przez C(X) oznaczać bȩdziemy przestrzeń rzeczywistych (lub, jeśli kto woli, zespolonych) funkcji ci ag lych na przestrzeni topologicznej X (czyli C(X, R) lub C(X, C)). Rodzinȩ funkcji A C(X) nazwiemy algebr a, jeśli jest ona przestrzeni a liniow a (nad R lub, jeśli kto woli, nad C) i dodatkowo jest zamkniȩta na mnożenie funkcji przez siebie. Jeśli D jest podzbiorem C(X), to przez A(D) oznaczać bȩdziemy najmniejsz a algebrȩ zawieraj ac a D (jest ona uzyskana jako przekrój wszystkich algebr zawieraj acych D w najgorszym razie jest to ca le C(X)). Przez A (D) oznaczymy algebrȩ symetryczn a generowan a przez D, to znaczy najmniejsz a algebrȩ zawieraj ac a D i zamkniȩt a na branie sprzȩżenia zespolonego. De facto A (D) = A(D D), gdzie D = {f : f D}. W przypadku rzeczywistym A (D) = A(D). Powiemy, że zbiór D C(X) rozdziela punkty, jeśli dla dowolnych x,y X, x y istnieje f D, taka że f(x) f(y). Twierdzenie Stone a Weierstrassa(wersja ogólna). Niech X bȩdzie przestrzeni a Hausdorffa (nie koniecznie zwart a). Niech D C(X). Jeśli D rozdziela punkty i zawiera przynajmniej jedn a niezerow a funkcjȩ sta l a, to A (D) jest gȩsta w C(X) w topologii zwarto-otwartej. Dowód: Zaczniemy od dwóch lematów. Lemat. Funkcja rzeczywista y określona na [0,1] wzorem y (x) = x jest na tym przedziale jednostajn a granic a ci agu wielomianów rzeczywistych. Dowód: Skorzystamy z twierdzenia Diniego, które mówi, że ci ag funkcji ci ag lych zbieżny (punktowo) monotonicznie do funkcji ci ag lej zbiega do niej jednostajnie. Na [0,1] określmy rekurencyjnie ci ag funkcji: y 0 0 oraz, dla n 0, y n+1 (x) = y n (x)+ x (yn(x)). Pokażemy, że (na [0, 1]) ci ag ten jest niemalej acy i ograniczony z góry przez funkcjȩ y. Mianowicie mamy y 1 (x) = x, zatem (*) y 0 (x) y 1 (x) y (x). A dalej widzimy, że przy ustalonym x funkcja kwadratowa Ψ x (y) = y + x y jest niemalej aca na [0,1] (sprawdzić pochodn a). Widać też, że Ψ x (y (x)) = y (x). Nak ladaj ac funkcjȩ Ψ x na nierówności (*) dostaniemy y 1 (x) y (x) y (x),
4 a nak ladaj ac j a ponownie wiele razy, dostaniemy y n (x) y n+1 (x) y (x). Z wykazanej monotoniczności i ograniczoności wynika, że ci ag funkcji y n zbiega punktowo do jakiejś funkcji granicznej g. Ponieważ dla każdego x [0,1] funkcja Ψ x jest ci ag la, wartość graniczna g(x) musi być punktem sta lym dla Ψ x, a jedynym takim punktem jest y (x) = x. To determinuje, że ci ag (y n ) zbiega do y. Ponieważ funkcja graniczna jest ci ag la, twierdzenie Diniego daje zbieżność jednostajn a. Lemat. Niech A C(X) bȩdzie algebr a funkcji rzeczywistych zawieraj ac a funkcje sta le. Wtedy dla dowolnych funkcji f,g A mamy f,f g,f g A, gdzie domkniȩcie jest w topologii zwarto-otwartej. Dowód: Ustalmy f A, zbiór zwarty A X i ǫ > 0. Funkcja ci ag la jest na zbiorze zwartym ograniczona, zatem istnieje dodatnie M, takie że ( 1 M f) przyjmuje na A wartości w [0, 1]. Zatem, z poprzedniego lematu, funkcjȩ f = M ( 1 M f) można przybliżyć na A jednostajnie z dok ladności a do ǫ wielomianem na lożonym na ( 1 M f), który jest de facto wielomianem na lożonym na f. Ponieważ algebra A zawiera sta le, to każdy wielomian na lożony na f jest funkcj a z A. Czyli wykazaliśmy, że f można na A przybliżyć jednostajnie z dok ladności a do ǫ funkcj a z A. Innymi s lowy A kroi siȩ niepusto z dowolnym otoczeniem bazowym B( f,a,ǫ) funkcji f (zob. zadanie powyżej) topologii zbieżności jednostajnej. Oznacza to, że f A w topologii zbieżności niemal jednostajnej, czyli w topologii zwarto-otwartej. Przynależność funkcji f g i f g do A (gdy f,g A) wynika teraz natychmiast z faktu, że A jest przestrzeni a liniow aoraz z równości f g = 1 (f +g + f g ) i f g = 1 (f +g f g ). Dowód twierdzenia Stone a Weierstrassa: Najpierw pokażemy, że dla każdych x y w X i s,t R istnieje f 0 A (D) rzeczywista, taka że f 0 (x) = s, f 0 (y) = t. Trzeba najpierw wzi ać funkcjȩ (być może zespolon a) g D, która rozdziela x i y. Przynajmniej jedna z funkcji rzeczywistych f + f = Re(f) lub f f = Im(f) je też rodziela, a obie te funkcje należ a do A (D). Tak oto znaleźliśmy funkcjȩ rzeczywist a (powiedzmy h) rozdzielaj ac a x i y. Nak ladamy na ni a funkcjȩ linow a (rzeczywist a), której wykres przechodzi przez punkty (h(x), s) i (h(y), t). Takie na lożenie nadal należy do A (D) i spe lnia wymogi na f 0. Ustalmy dowoln a funkcjȩ rzeczywist a f C(X), zbiór zwarty A X, punkt x A oraz ǫ > 0. Skonstruujemy funkcjȩ rzeczywist a g x A (D), tak a że g x (x) = f(x) oraz g x < f +ǫ na A. Z poprzedniego akapitu, dla każdego y A mamy w A (D) funkcjȩ rzeczywist a g x,y tak a, że g x,y (x) = f(x) oraz g x,y (y) = f(y) (dla x = y za g x,y można wzi ać g x,y dla jakiegokolwiek innego y ). Os labmy drug a równość pisz ac tylko g x,y (y) < f(y)+ǫ. Ponieważ obie funkcje s a ci ag le, wiȩc ta nierówność zachodzi na pewnym otoczeniu U y punktu y. Otoczenia te pokrywaj a zbiór zwarty A, wiȩc można z nich wybrać podpokrycie skończone {U y1,...,u yn }. Teraz widać, że funkcja g x = g x,y1 g x,y g x,yn, która na mocy drugiego lematu należy do A (D), spe lnia ż adane wymogi. Os labmy równość g x (x) = f(x) pisz ac g x (x) > f(x) ǫ. Taka nierówność zachodzi na otoczeniu V x punktu x. Teraz,,uzmienniamy punkt x (to znaczy w każdym punkcie x mamy skonstruowan a funkcjȩ g x i otoczenie V x ). Otoczenia te stanowi a pokrycie zbioru zwartego A, wiȩc ma ono podpokrycie skończone {V x1,...,v xm }. Funkcja g = g x1 g x g xm spe lnia nierówności g < f +ǫ oraz g > f ǫ na ca lym zbiorze A. W ten sposób przybliżyliśmy funkcjȩ f na zbiorze A, jednostajnie z dok ladności a do ǫ, funkcj a z A (D). To dowodzi, że f należy do domkniȩcia (w
topologii niemal jednostajnej zbieżności, czyli zwarto-otwartej) tej algebry, ale że ona już jest domkniȩta, to f należy bezpośrednio do niej. Ostatni krok, to obserwacja, że w przypadku zespolonym każda funkcja f C(X) rozk lada siȩ na sumȩ czȩści rzeczywistej i urojonej pomnożonej przez i. Każda z tych czȩści należy do A (D), bo to pokazaliśmy już dla funkcji rzeczywistych. W przypadku zespolonym A (D) jest przestrzeni a liniow a zespolon a, wiȩc można w niej mnożyć przez i. Zatem f A (D). Wykazaliśmy, że C(X) = A (D), co kończy dowód. 5 Tomasz Downarowicz