Procesy stochastyczne 2.

Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1

Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych, stacjonarnych. Proces {X t, t T } ma własność braku pamięci, jeżeli dla dowolnego n naturalnego, dla dowolnych t 1,..., t n, s T, t 1... t n s, B B R mamy P (X s B X t1,... X tn ) = P (X s B X tn ) p.n. Proces {X t, t T } ma przyrosty niezależne, jeżeli dla dowolnego n naturalnego, dla dowolnych t 1,..., t n T, t 1... t n, przyrosty X t2 X t1,..., X tn X tn 1 tworzą układ niezależnych zmiennych losowych. Proces {X t, t T } ma przyrosty stacjonarne (jednorodne), jeżeli dla dowolnych s, t T, s < t, rozkład przyrostu X t X s zależy tylko od różnicy t s (jest taki sam, jak rozkład X t s X, o ile, t s T ). Proces Poissona {N t, t } o intensywności λ > to proces o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, taki że N = p.n. oraz N t dla t> ma rozkład Poissona z parametrem λt. 1. Niech {N t, t } będzie procesem Poissona o intensywności λ. Określamy X t =( 1) Nt. (a) Czy proces {X t, t } ma przyrosty niezależne? stacjonarne? (b) Czy ma on własność braku pamięci? 2. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i niech {L t, t } będzie niemalejącym procesem o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, niezależnym od ciągu {X i }. Ponadto, zakładamy, że L t przyjmuje wartości naturalne, a L = p.n. Definiujemy dla t L t X i Z t = (przy czym n=1 X n = jako sumowanie po zbiorze pustym). (a) Sprawdź, że proces {Z t, t } ma stacjonarne i niezależne przyrosty. (b) Zauważmy, że jako proces liczący {L t } można przyjąć proces Poissona o intensywności λ. Wówczas {Z t } nazywany jest złożonym procesem Poissona. Pokaż, że gdy X i ma rozkład zero jedynkowy, P (X i =1)=1 P (X i =)=p, < p < 1, to złożony proces Poissona {Z t } jest procesem Poissona o intensywności λp. 3. Dla ciągu Y 1, Y 2,... dodatnich zmiennych losowych, takich że n=1 Y n = z prawd. 1, niech dla t M t = max(n : S n t), gdzie S =, S n = Y 1 +...+Y n dla n 1. Jeżeli tak utworzony proces {M t, t } ma przyrosty niezależne o rozkładzie Poissona, to nazywamy go uogólnionym procesem Poissona. (a) Zakładając, że f : [, ) na [, ) jest funkcją rosnącą oraz że {N t, t } jest zwykłym procesem Poissona, udowodnij, że {M t, t } := {N f(t), t } jest uogólnionym procesem Poissona. (b) Pokaż, że każdy uogólniony proces Poissona powstaje w sposób opisany w punkcie (a). 2

Lista 2: Stochastyczne równania różniczkowe. Równania liniowe. Lemat Itô: Jeśli proces stochastyczy {X t } spełnia stochastyczne równanie różniczkowe (SRR) dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t oraz rzeczywista funkcja f(t, x) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe f t, f x i f xx, wówczas proces {Y t }, gdzie Y t = f(t, X t ), spełnia następujące SRR ( dy t = f t + af x + 1 ) 2 b2 f xx (t,xt)dt + (bf x ) (t,xt) dw t. Wielowymiarowa formuła Itô: Załóżmy, że każdy z d procesów stochastycznych {X i t} (i = 1, 2,..., d) spełnia następujące SRR dx i t = a i (t, X i t)dt + b i (t, X i t)dw t oraz że rzeczywista funkcja f(t, x 1, x 2,..., x d ) jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe f t, f xi, f xi x k dla dowolnych i, k = 1, 2,..., d. Wówczas SRR dla procesu {Y t }, gdzie Y t = f(t, Xt 1,..., Xt d ), ma postać ( d dy t = f t + a i f xi + 1 2 d k=1 d b i b k f xi x k) (t,x 1 t,...,xd t ) dt + ( d b i f xi) (t,x 1 t,...,xd t ) dw t. 1. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {(W t ) n }. 2. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {exp(w t )}. Jakie SRR spełnia ten proces? 3. Niech X t = X t + t a(s)ds + t b(s)dw s. Znajdź różniczkę stochastyczną procesu {Y t }, gdzie Y t = exp(x t ). Jakie SRR spełnia proces {Y t }, jeśli założymy 2a(t) = b 2 (t)? Jakie jest rozwiązanie SRR dy t = Y t dw t, Y = 1? 4. Znajdź d(cos W t ) i d(sin W t ). Jaki układ SRR i jakie wektorowe SRR spełnia proces {Y t }, gdzie Y t = (cos W t, sin W t ) T, zwany procesem Wienera na okręgu jednostkowym? 5. Jakie wektorowe SRR spełnia proces {Y t }, gdzie Y t = (exp(w t ), W t exp(w t )) T? 3

6. Niech dx t = m(t, X t )dt+σ(t, X t )dw t. Podstawiając Z t = f(t, X t ) możemy zamienić postać równania na dz t = m 1 (t, Z t )dt + σ 1 (t, Z t )dw t (zakładamy, że f jest ściśle monotoniczna względem x, ciągła, o ciągłych pochodnych cząstkowych f x, f xx oraz f t ). (a) Znajdź postać m 1, σ 1. (b) Dla jakiej funkcji f równanie redukuje się do: i. σ 1 (t, x) 1; ii. m 1 (t, x). 7. Przypuśćmy, że {X t } spełnia równanie X t = 1 + t X s σ(s)dw s. Rozpatrując f(x t ) = ln X t i korzystając z reguły Itô wykaż, że X t dany jest wzorem ( t X t = exp σ(s)dw s 1 t ) σ 2 (s)ds. 2 Czy umiesz uzasadnić na podstawie zadania 6 pomysł z f = ln? 8. Niech {X t } spełnia SRR dx t = X t (m(t)dt + σ(t)dw t ), t >, gdzie m i σ są nielosowe. Pokaż, że X t ma postać i znajdź postać funkcji g. ( t t ) X t = X exp σ(s)dw s + g(s)ds, 9. Pokaż, że ogólną postacią rozwiązania liniowego SRR (w ścisłym sensie) dx t = (a 1 (t)x t + a 2 (t))dt + b(t)dw t jest ( ) t dla φ(t) = exp a 1 (s)ds. t Wsk. Wyznacz d(x t /φ(t)). X t = φ(t) X t + t a 2 (s) t φ(s) ds + b(s) φ(s) dw s 4

1. Rozwiąż równanie Langevina z szumem addytywnym dx t = ax t dt + bdw t, =. 11. Rozwiąż liniowe SRR z szumem addytywnym dx t = z warunkiem początkowym X = 1. ( ) 2 1 + t X t + b(1 + t) 2 dt + b(1 + t) 2 dw t 12. Rozwiąż liniowe SRR z szumem addytywnym z warunkiem początkowym X = 1. dx t = b X t T t dt + dw t, t < T, 13. Rozwiąż równanie Langevina z szumem multiplikatywnym dx t = ax t dt + bx t dw t. 14. Znajdź rozwiązanie ogólnego liniowego SRR dx t = (a 1 (t)x t + a 2 (t))dt + (b 1 (t)x t + b 2 (t))dw t. Wsk. Wyznacz d(x t /Y t ), gdzie dy t = Y t (a 1 (t)dt + b 1 (t)dw t ), Y t = 1. *Uzasadnij jednoznaczność rozwiązania. 15. Rozwiąż liniowe SRR z szumem multiplikatywnym dx t = (ax t + c)dt + (bx t + d)dw t. K.Sobczyk, Stochastic Differential Equations With Applications to Physics and Engineering, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991) P.E.Kloeden, E.Platen Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, (Springer, Berlin, 1992). 5

Lista 3: Stochastyczne równania różniczkowe Stratonowicza. Związek między całką Stratonowicza T h(w t ) dw t i całką Itô T h(w t )dw t dla funkcji h klasy C 1 : T h(w t ) dw t = T h(w t )dw t + 1 2 T h (W t )dt. Rozwiązania SRR Stratonowicza spełniają SRR Itô (i na odwrót) dx t = a S (t, X t )dt + b(t, X t ) dw t z a I (t, x) = a S (t, x) + 1 2 dx t = a I (t, X t )dt + b(t, X t )dw t b b(t, x) (t, x). x 1. Pokaż, że T h(w t ) dw t = H(W T ) H(W ), gdzie H (x) = h(x). Wsk. Zastosuj regułę Itô do Y t = H(W t ). 2. Pokaż, że równanie Stratonowicza równoważne równaniu Langevina z szumem addytywnym (z zadania 1 z listy 2) ma identyczną postać. 3. Pokaż, że dx t = 2X t dw t oraz dx t = 2X t dt + 2X t dw t mają to samo rozwiązanie. Znajdź to rozwiązanie. 4. Pokaż, że SRR Itô postaci dx t = 1 2 b(x t)b (X t )dt + b(x t )dw t dla dowolnej różniczkowalnej funkcji b jest równoważne SRR Stratonowicza dx t = b(x t ) dw t. Znajdź rozwiązanie tego równania. 5. Rozwiąż SRR Stratonowicza dy t = exp( Y t ) dw t, Y =, a następnie określ SRR Itô, jakie spełnia to rozwiązanie. 6

6. Rozwiąż następujące SRR (a) dx t = 1 a(a 1)X1 2/a 2 t dt + ax 1 1/a t dw t, a ; (b) dx t = 1(ln 2 a)2 X t dt + ln ax t dw t, a >, a 1; (c) dx t = 1 2 a2 X t dt + a 1 Xt 2 dw t, a ; (d) dx t = a 2 X t (1 + X 2 t )dt + a(1 + X 2 t )dw t, a ; (e) dx t = 1 2 a2 tgx t sec 2 X t dt + a secx t dw t, a (sec(x) = 1/ cos(x)); (f) dx t = a 2 sin X t cos 3 X t dt + a cos 2 X t dw t, a ; (g) dx t = 1dt + 2 X t dw t ; (h) dx t = X t (2 ln X t + 1)dt 2X t ln Xt dw t ; (i) dx t = 1 2 a2 mx 2m 1 t dt + ax m t dw t, m 1, a ; (j) dx t = 1 3 X1/3 t dt + X 2/3 t dw t. K.Sobczyk, Stochastic Differential Equations With Applications to Physics and Engineering, (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991) P.E.Kloeden, E.Platen Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, (Springer, Berlin, 1992). 7