Rozkład wykładniczy. Proces Poissona.

Transkrypt

1 Wykład 3 Rozkład wykładniczy. Proces Poissona. 3.1 Własności rozkładu wykładniczego Rozkład geometryczny: Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p (, 1) jeśli P(Xi)p(1 p) i 1 ;i1,2,... Łatwo zauważyć supp(x) N. Interpretacja. Wyobraźmy sobie ciag jednorodnych niezależnych doświadczeń Bernoulliego. Załóżmy, że prawdopodobieństwo sukcesu p jest większe od zera. Oznaczmy przez X numer pierwszego sukcesu. Oczywiście zdarzenie{x i} znaczy,żeprzedpierwszymsukcesem(któryzdarzył sięwmomencie i)było i 1porażek. CzyliP(Xi)p(1 p) i 1 awięcxmarozkładgeometryczny. Okazuje się, że rozkład geometryczny jest stosowany także w teorii niezawodności do modelowania tzw. czasów życia czyli okresów czasu do pierwszych uszkodzeń różnych urzadzeń. Z punktu widzenia tych zastosowań niesłychanie ważna jest następujaca własność rozkładu geometrycznego zwana brakiem pamięci: n,k N:P(X>n+k X>n)(1 p) k (3.1.1) nie zależy od n!!!. Zatem procesy starzenia się nie wpływałyby w sposób istotny na urz adzenie o takim czasie życia. Uszkadzałoby się ono na skutek działania czynników zewnętrznych. Dowód. tej własności jest bardzo prosty. Zauważmy po pierwsze, że P(X > n+k X >n) P(X>n+k).PozostajewięcobliczyćP(X >m)dladowolnych P(X>n) m. MamyP(X>m) im+1 p(1 p)i 1 p(1 p) m i (1 p)i (1 p) m. St ad już bardzo łatwo otrzymać formułę(3.1.1) Rozkład wykładniczy: Ci agł awersj a rozkładu geometrycznego jest tzw. rozkład wykładniczy określony wnastępuj acysposób. Niecha R,λ R +. Gęstośćtegorozkładudanajest wzorem: 15

2 16 WYKŁAD 3. ROZKŁAD WYKŁADNICZY. PROCES POISSONA. 1. f() { λep( λ( a) dla a dla <a zaśnośnikiemjestzbiór<a, ). Jeśli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrami a i λ, piszemy wówczas: X Ep(a,λ). Jeśli zaś a to piszemy po prostu: X Ep(λ). Wykresygęstościtegorozkładudlawartościparametrówa 1,a,a2 iλ.5,λ1,λ2. y Momenty NiechX Ep(λ).WówczasgęstośćX jestrówna { λep( λ) dla f() dla <, dystrybuanta zaś jest równa: { 1 ep( λ) dla > F() dla. Funkcja generujaca momenty wynosi: g(t) E(ep(tX))λ λ λ t dlat<λ. ep(t λ)d St ad można otrzymać wszystkie momenty. I tak np. mamy: EX dg(t) dt 1 t λ, EX 2 d2 g(t) dt 2 2 t λ 2. Awięc var(x) 2 λ 2 ( 1 λ ) 2 1 λ 2.

3 3.1. WŁASNOŚCI ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 17 Własność braku pamięci rozkładu wykładniczego NiechX Ep(λ)obliczmy: P(X +y X )dla,y. Zauważmy, że P(X +y X ) P(X +y) P(X ). Pozostaje więc, jak wypadku rozkładu geometrycznego, obliczyćp(x ). Mamy : P(X ) λep( λy)dy ep( λ).awięc:,y>:p(x +y X )ep( λy). Znów wielkość ta nie zależy od dotychczasowego czasu życia równego. Mamy także następujace stwierdzenie: Stwierdzenie Jedynym rozkładem F spełniajacym warunek,y R + : F(+y) F() F(y), gdzie F() P(X ) 1 F(), jest rozkład wykładniczy, czyli F() ep( λ)dla. Uwaga 3.1.2(dygresja o teorii niezawodności) Okazuje się, że rozważania te można uogólníc i wskazać na zastosowania rozkładu wykładniczego w teorii niezawodności. Niech X będzie zmiennatypuci agłego o gęstości f(). Załóżmy ponadto, żep(x )1.(Możnainterpretowaćtegotypu zmiennejakotzw. czasy życia). Obliczmy: lim P(X <,+δ) X )/δ. δ Zauważmy, że P(X <,+δ) X ) jest prawdopodobieństwem zdarzenia polegajacegonatym,żeurz adzenieuszkodzisięwkrótce(tj. wci agu najbliższych δjednostekczasu)pochwili,jeśliwiadomo,żedomomentuniebyłouszkodzenia f() urz adzenia. Łatwo zauważyć, że, jeśli granica ta istnieje, to równa się P(X ) bo przecieżp(x (,+δ) X ) P(X <,+δ)) P(X ) ip(x <,+δ)) f()δ. Oznaczmy tę granicę przez r()( w teorii niezawodności nazywa się ona intensywnościauszkodzeń,zaśp(x ) f(y)dyn()nazywasięniezawodnościa). Zauważmy,żefunkcjar()określafunkcjęN(),bo: N()ep( r(y)dy). (3.1.2) Typowy wykres funkcji r() przedstawiony jest poniżej:jednym słowem da się wyróżníc trzy typowe zakresy zmienności funkcji r(). Wstępny poczatkowy, gdy r() maleje. Zakres stałej w przybliżeniu wartości r() i zakres rosnacej intensywności uszkodzeń. Zwykłe porównanie wykresu tej funkcji do własnego życia lub życia typowego samochodu lub telewizora (jeśli przez czas życia rozumieć okres czasu między chorobami lub uszkodzeniami) potwierdza powyższauwagęo typowym przebiegu funkcji r(). Uwaga Nietrudno zauważyć(oczywíscie posługujac się wzorem(3.1.2)), żegdyr()jestfunkcj astał atox marozkładwykładniczyinaodwrót! Mamy także następuj ace reguły dodawania zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych.

4 18 WYKŁAD 3. ROZKŁAD WYKŁADNICZY. PROCES POISSONA Rysunek 3.1: Stwierdzenie Niech X 1,...,X n będ a ci agiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach wykładniczych Ep(λ). Wówczas gęstość sumyx X n wynosi: dlat. f X1+...+X n (t) λn t n 1 (n 1)! ep( λt), Dowód. Postępujemy indukcyjnie. Dla n 1 wzór jest prawdziwy. Załóżmy więc, że jest prawdziwy dla n k 1. Mamy więc dalej ze wzoru na gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych: : f X1+...+X k (t) f Xn (t s)f X1+...+X k 1 (s)ds λep( λ(t s)) λk 1 s k 2 ep( λs)ds (k 2)! λ k ep( λt) s k 2 (k 2)! ds λk t k 1 (k 1)! ep( λt). Uwaga3.1.5 JesttogęstośćrozkładuΓoparametrachn,λ.Zaśwprowadzaj ac nowy parametr l λ/n dostaniemy tzw. rozkład Erlanga wstępujacy często w opisie systemów masowej obsługi. Stwierdzenie NiechX 1 ix 2 będ a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładachodpowiednioep( )iep(λ 2 ).Wówczas: dlat. P(X 1 < X 2 ) +λ 2, f X1+X 2 (t) λ 2 λ 2 ep( λ 2 t)+ λ 2 λ 2 ep( t),

5 3.1. WŁASNOŚCI ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 19 Dowód. Mamy P(X 1 <X 2 ) λ 2 ep( λ 2 y) ep( )dyd ep( )ep( λ 2 )d +λ 2. f X1+X 2 (t) f X1 (s)f X2 (t s)ds λ 2 ep( s)ep( λ 2 (t s))ds λ 2 ep( λ 2 t) ep( ( λ 2 )s)ds λ 2 ep( λ 2 t)(1 ep( ( λ 2 )t)) λ 2 λ 2 ep( λ 2 t)+ λ 2 ep( t). λ 2 λ 2