Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla dowolnych a 1,..., a n B, o(a 1,..., a n ) B, czyli gdy obciȩcie o B n operacji o do zbioru B n jest operacj a n-argumentow a na zbiorze B (oczywiście B jest zamkniȩty na 0-argumentow a operacjȩ o na zbiorze A, gdy o B). Gdy A = (A, o 1,..., o m ) jest algebr a oraz zbiór = B A jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, to ci ag (B, o 1,..., o m ), gdzie każda funkcja o i, i = 1,..., m jest postrzegana jako obciȩta do zbioru B τ(oi), jest naturalnie algebr a (tego samego typu co A), zwan a podalgebr a algebry A. Oczywiście algebra A jest podalgebr a samej siebie. Twierdzenie 3.1: Dla dowolnej klasy {(B j, o 1,..., o m ) : j J} podalgebr algebry A zbiór {B j : j J}, o ile jest niepusty, jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, tzn. ( {B j : j J}, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A. Dowód: oczywisty. Definicja. Wobec Tw.3.1, dla dowolnej algebry A = (A, o 1,..., o m ), dla dowolnego niepustego zbioru B A, istnieje najmniejszy (wzglȩdem inkluzji) ze wszystkich podzbiorów zbioru A zawieraj acych zbiór B i zamkniȩtych na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m. Jest nim zbiór C = {X A : B X i i {1,..., m}, X jest zamkniȩty na o i }. Podalgebra (C, o 1,..., o m ) algebry A jest nazywana podalgebr a generowan a przez zbiór B, zaś B nazywamy zbiorem generatorów tej podalgebry. Innymi s lowy, podalgebra algebry A generowana przez zbiór B A jest najmniejsz a spośród wszystkich podalgebr algebry A zawieraj acych B. Mówimy, że algebra A jest generowana przez zbiór niepusty B A, gdy jej podalgebr a generowan a przez B jest ona sama. Definicja. Niech A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o m) bȩd a algebrami podobnymi. Dowoln a funkcjȩ h : A B tak a, że dla każdego i {1,..., m} oraz dowolnych a 1,..., a τ(oi) A, gdy τ(o i ) 1: h(o i (a 1,..., a τ(oi))) = o i (h(a 1),..., h(a τ(oi))), oraz gdy τ(o i ) = 0, h(o i ) = o i, nazywamy homomorfizmem przekszta lcaj acym algebrȩ A w algebrȩ B. Symbolem Hom(A, B) bȩdziemy oznaczać klasȩ wszystkich homomorfizmów przekszta lcaj acych algebrȩ A w B.
1. Podalgebry, homomorfizmy 2 Gdy C = (C, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A oraz h Hom(A, B), to oczywiście obciȩcie: h C jest elementem Hom(C, B). Definicja. Gdy h Hom(A, B) jest funkcj a przekszta lcaj ac a zbiór A na zbiór B, to h nazywany jest epimorfizmem. Gdy ponadto homomorfizm h jest funkcj a różnowartościow a, to nazywany jest izomorfizmem algebr A, B. Algebry, dla których istnieje izomorfizm przekszta lcaj acy jedn a na drug a (wszystko jedno któr a na któr a, bo funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem), nazywamy izomorficznymi. Dowolny homomorfizm h Hom(A, A) nazywamy endomorfizmem algebry A. Algebry izomorficzne s a nieodróżnialne pod wzglȩdem w lasności algebraicznych (odpowiadaj ace sobie w obu algebrach operacje dzia laj a identycznie na odpowiadaj acych sobie wed lug izomorfizmu elementach). Twierdzenie 3.2: Funkcja h : A A przekszta lcaj aca zbiór A na zbiór A jest izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) wtw a, b A (a b wtw h(a) h(b)). Dowód: Niech h bȩdzie funkcj a przekszta lcaj ac a A na A. ( ): Za lóżmy, że h jest izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ). Niech ponadto dla a, b A bȩdzie: a b. Wówczas a b = a, zatem h(a b) = h(a), tzn. z za lożenia: h(a) h(b) = h(a), co implikuje: h(a) h(b). W drug a stronȩ, niech h(a) h(b). St ad h(a) h(b) = h(a), czyli h(a b) = h(a), co wobec faktu, że h jest funkcj a różnowartościow a, poci aga: a b = a, zatem a b. ( ): Za lóżmy, że a, b A (a b wtw h(a) h(b)). Wówczas h jest różnowartościowa. Niech bowiem h(a) = h(b), dla jakichś a, b A. Wtedy h(a) h(b) oraz h(b) h(a). Dlatego z za lożenia: a b oraz b a, zatem a = b. Niech teraz a, b A. Ponieważ a a b oraz b a b, wiȩc z za lożenia: h(a) h(a b), h(b) h(a b). St ad, h(a) h(b) h(a b). Z drugiej strony, ponieważ h jest funkcj a na, wiȩc h(a) h(b) = h(c) dla pewnego c A. Zatem h(a) h(c) oraz h(b) h(c). Dlatego na mocy za lożenia: a c i b c, czyli a b c, a st ad i znowu z za lożenia otrzymujemy: h(a b) h(c) = h(a) h(b). Ostatecznie, h(a b) = h(a) h(b). Analogicznie dla operacji kresu dolnego. Twierdzenie 3.3: Niech h : A A bȩdzie izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) oraz odpowiednio, ich kratowymi porz adkami. Jeżeli <A, > jest krat a zupe ln a, to < A, > jest również krat a zupe ln a oraz dla dowolnego X A : h(infx) = inf h(x), h(supx) = sup h(x). Dowód: Niech h bȩdzie izomorfizmem krat (A,, ), (A,, ) i < A, > bȩdzie krat a zupe ln a oraz X A. Ponieważ x X : infx x, wiȩc na
1. Podalgebry, homomorfizmy 3 mocy Tw.3.2: x X : h(infx) h(x), zatem h(infx) jest ograniczeniem dolnym zbioru h (X) w zbiorze cz. up. < A, >. Niech teraz a A bȩdzie taki, że x X : a h(x). Oczywiście a = h(b) dla pewnego b A. Zatem x X : h(b) h(x). Czyli, wed lug Tw.3.2: x X : b x. Dlatego b jest ograniczeniem dolnym zbioru X w kracie < A, >, zatem b infx. Wobec Tw.3.2: h(b) h(infx), tzn. a h(infx), ostatecznie, h(infx) = inf h(x). Analogicznie wykazuje siȩ, że h(supx) = sup h(x). Weźmy pod uwagȩ dowolny Y A. Wówczas istnieje X A taki, że Y = h (X). Zatem inf Y = h(infx) oraz sup Y = h(supx), tzn. zbiór cz. up. < A, > jest krat a zupe ln a. Twierdzenie 3.4: Jeśli h Hom(A, B) oraz g Hom(B, C), to z lożenie h g, czyli funkcja przekszta lcaj aca zbiór A w zbiór C taka, że dla dowolnego a A, (h g)(a) = g(h(a)), jest homomorfizmem przekszta lcaj acym algebrȩ A w algebrȩ C. Dowód: Niech o A, o B, o C bȩd a odpowiadaj acymi sobie operacjami n-argumentowymi odpowiednio w algebrach A, B, C. Wówczas dla dowolnych a 1,..., a n A : (h g)(o A (a 1,..., a n )) = g(h(o A (a 1,..., a n ))) = g(o B (h(a 1 ),..., h(a n ))) = o C (g(h(a 1 )),..., g(h(a n ))) = o C ((h g)(a 1 ),..., (h g)(a n )). Twierdzenie 3.5: Niech h bȩdzie homomorfizmem algebr A = (A, o 1,..., o m ), B = (B, o 1,..., o m). Wówczas obraz h (A) zbioru A wed lug homomorfizmu h jest zamkniȩty na operacje o 1,..., o m, tzn., ( h (A), o 1,..., o m) jest podalgebr a algebry B. Ponadto, jeśli A jest zbiorem generatorów algebry A, to h(a ) jest zbiorem generatorów algebry ( h(a), o 1,..., o m). Dowód: Wybierzmy i {1,..., m} i za lóżmy, że operacja o i jest n-argumentowa. Wówczas dla dowolnych b 1,..., b n h(a) istniej a a 1,..., a n A takie, że o i (b 1,..., b n ) = o i (h(a 1),..., h(a n )) = h(o i (a 1,..., a n )), zatem o i (b 1,..., b n ) h(a). Twierdzenie 3.6: Dowolny homomorfizm h Hom(A, B) jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wartości na zbiorze generatorów algebry A. Dowód: Niech zbiór A A bȩdzie zbiorem generatorów algebry A oraz niech dla h, g Hom(A, B) zachodzi: h(a) = g(a), dla każdego a A. Zbiór {x A : h(x) = g(x)} jest zamkniȩty na każd a operacjȩ o i, i = 1,..., m, algebry A. Za lóżmy bowiem, że wybrana operacja o i jest n-argumentowa. Wówczas dla dowolnych x 1,..., x n A takich, że h(x j ) = g(x j ), j = 1,..., n, h(o i (x 1,..., x n )) = o i (h(x 1),..., h(x n )) = o i (g(x 1),..., g(x n )) = g(o i (x 1,..., x n )). Zatem ({x A : h(x) = g(x)}, o 1,..., o m ) jest podalgebr a algebry A zawieraj ac a zbiór A, czyli, wobec za lożenia, iż A jest generowana przez A, otrzymujemy: {x A : h(x) = g(x)} = A. Ostatecznie, h = g.
2. Relacje kongruencji 4 Definicja. Niech K bȩdzie dowoln a klas a algebr podobnych oraz A K. Mówimy, że algebra A jest wolna w klasie K, gdy istnieje taki zbiór A jej generatorów, że dla dowolnej algebry B = (B, o 1,..., o m) K oraz dowolnej funkcji v : A B, istnieje h Hom(A, B) taki, że h A = v. Każdy element z takiego zbioru generatorów A nazywany jest wolnym generatorem algebry A. Gdy algebra A jest wolna w klasie wszystkich algebr do niej podobnych, to nazywamy j a absolutnie woln a. Oczywiście, gdy A jest wolna w klasie K, to dla dowolnej B K, zgodnie z Tw.3.6, ów homomorfizm h Hom(A, B), o którym mowa w definicji, bȩd ac rozszerzeniem funkcji v określonej na zbiorze wolnych generatorów, jest dok ladnie jeden. 2. Relacje kongruencji Definicja. Dla danej algebry A = (A, o 1,..., o m ) dowoln a relacjȩ równoważności na zbiorze A (tzn. binarn a relacjȩ A A spe lniaj ac a warunki zwrotności, symetrii i przechodniości, czyli odpowiednio, dla dowolnych a, b, c A, a a, a b b a, (a b i b c) a c) nazywamy relacj a kongruencji algebry A, gdy dla każdego i {1,..., m} takiego, że τ(o i ) 1 oraz dowolnych a 1,..., a τ(oi), b 1,..., b τ(oi) A, ( j {1,..., τ(o i )}, a j b j ) o i (a 1,..., a τ(oi)) o i (b 1,..., b τ(oi)). Twierdzenie 3.7: Niech Cong(A) bȩdzie rodzin a wszystkich relacji kongruencji algebry A. Zbiór cz. up. < Cong(A), > jest krat a zupe ln a. Dowód: Rozważmy dowolny niepusty C Cong(A). Wówczas bardzo latwo wykazać, że C Cong(A), co oznacza, że C = infc (bo θ C : C θ oraz dla dowolnej relacji Cong(A), jeśli θ C : θ, to C). Ponadto, zbiór cz. up. < Cong(A), > posiada element najwiȩkszy: A A. Zatem zgodnie z Tw.1.11(1): inf = A A. Ostatecznie, na mocy Tw.1.14, < Cong(A), > jest krat a zupe ln a. W ogólności nie jest tak, że dla dowolnego C Cong(A), supc = C. Już w przypadku C =, oczywiście supc C, bo sup = id A, gdzie id A jest relacj a identycznościow a na zbiorze A (id A jest elementem najmniejszym w < Cong(A), >); tymczasem =. Lecz również w przypadku C, na ogó l sup C C, ponieważ nie dla każdego C Cong(A), C jest relacj a równoważności, skoro C na ogó l nie jest relacj a przechodni a. Wykażemy, że supc, gdy C, jest tranzytywnym domkniȩciem relacji binarnej C, tzn. supc = ρ, gdzie relacja ρ jest określona nastȩpuj aco: dla dowolnych x, y A, < x, y > ρ wtw dla pewnego n 2 istniej a z 1, z 2,..., z n A oraz θ 1, θ 2,, θ n 1 C (niekoniecznie różne) takie, że x = z 1, <z 1, z 2 > θ 1, <z 2, z 3 > θ 2,..., <z n 1, z n > θ n 1, z n = y.
2. Relacje kongruencji 5 Wykazujemy najpierw, że relacja ρ jest kongruencj a algebry A. Naturalnie dla dowolnego x A : < x, x > ρ, bo < x, x > θ (n = 2) dla jakiejkolwiek θ C. Zatem ρ jest zwrotna. Aby wykazać jej symetriȩ za lóżmy, że <x, y > ρ, tzn., < x, z 2 > θ 1, < z 2, z 3 > θ 2,..., < z n 1, y > θ n 1 dla pewnego n 2, dla pewnych z 2, z 3,..., z n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C. Wówczas naturalnie, na podstawie symetrii każdej z relacji: θ 1, θ 2,..., θ n 1, zachodzi: < y, z n 1 > θ n 1,..., < z 3, z 2 > θ 2, < z 2, x > θ 1, zatem < y, x > ρ. W celu wykazania przechodniości za lóżmy, że < x, y >, < y, z > ρ. Zatem dla pewnych n 2, a 2, a 3,..., a n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C zachodzi: < x, a 2 > θ 1, < a 2, a 3 > θ 2,..., < a n 1, y > θ n 1, oraz dla pewnych m 2, b 2, b 3,..., b m 1 A, η 1, η 2,..., η m 1 C zachodzi: < y, b 2 > η 1, < b 2, b 3 > η 2,..., < b m 1, z > η m 1. Zatem < x, z > ρ. Niech teraz o bȩdzie n-argumentow a (n 1) operacj a algebry A. Aby wykazać, że relacja równoważności ρ jest kongruencj a za lóżmy, że i {1,..., n} : < x i, y i > ρ. Zatem dla każdego i {1,..., n} mamy: <x i, a 2 i > θ1 i, <a2 i, a3 i > θ2 i,...,, y i > θ mi 1 i, dla pewnych a 2 i, a3 i,..., ami 1 i C. W ten sposób ci ag: <a mi 1 i <o(x 1, x 2, x 3,..., x n ), o(a 2 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ 1 1, <o(a 2 1, x 2, x 3,..., x n ), o(a 3 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ 2 1,..., <o(a m1 1 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, x 2, x 3,..., x n ) > θ m1 1 1, <o(y 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, a 2 2, x 3,..., x n ) > θ 1 2, <o(y 1, a 2 2, x 3,..., x n ), o(y 1, a 3 2, x 3,..., x n ) > θ 2 2,..., A oraz θ 1 i, θ2 i,..., θmi 1 i <o(y 1, a m2 1 2, x 3,..., x n ), o(y 1, y 2, x 3,..., x n ) > θ m2 1 2,..., <o(y 1, y 2,..., y n 1, x n ), o(y 1, y 2,..., y n 1, a 2 n) > θ 1 n, <o(y 1, y 2,..., y n 1, a 2 n), o(y 1, y 2,..., y n 1, a 3 n) > θ 2 n,..., <o(y 1, y 2,..., y n 1, an mn 1 ), o(y 1, y 2,..., y n 1, y n ) > θn mn 1, świadczy o tym, iż < o(x 1, x 2, x 3,..., x n ), o(y 1, y 2, y 3,..., y n ) > ρ, zatem ρ Cong(A). Ponadto, kongruencja ρ jest ograniczeniem górnym zbioru C: gdy dla x, y A jest: < x, y > θ, dla dowolnie wybranej θ C, to mamy: n = 2, z 1 = x, z 2 = y, θ 1 = θ takie, że < z 1, z 2 > θ 1, zatem < x, y > ρ. Niech teraz Cong(A) bȩdzie ograniczeniem górnym zbioru C, tzn., θ C, θ. Za lóżmy, że < x, y > ρ. Wówczas mamy ci ag: < x, z 2 > θ 1, <z 2, z 3 > θ 2,..., <z n 1, y > θ n 1 dla pewnych z 2, z 3,..., z n 1 A oraz θ 1, θ 2,..., θ n 1 C. Dlatego: < x, z 2 >, <z 2, z 3 >,..., <z n 1, y >, co na mocy przechodniości relacji implikuje: <x, y >. Ostatecznie, ρ, co dowodzi, że ρ = supc.
2. Relacje kongruencji 6 W przypadku, gdy dana relacja równoważności na zbiorze A jest relacj a kongruencji algebry (A, o 1,..., o m ), zbiór ilorazowy A/ = {[a] : a A} (gdzie dla dowolnego a A, klasa abstrakcji elementu a wzglȩdem jest postaci: [a] = {x A : a x}), wyposaża siȩ w nastȩpuj ace operacje o i, i = 1,..., m, uzyskuj ac algebrȩ podobn a do (A, o 1,..., o m ): dla dowolnych a 1,..., a τ(oi) A, gdy τ(o i ) 1, o i ([a 1],..., [a τ(oi)] ) = [o i (a 1,..., a τ(oi))], oraz gdy τ(o i ) = 0, o i = [o i]. Jeśli [a j ] = [b j ] dla j = 1,..., τ(o i ), to wówczas a j b j, j = 1,..., τ(o i ), zatem o i (a 1,..., a τ(oi)) o i (b 1,..., b τ(oi)), czyli [o i (a 1,..., a τ(oi))] = [o i (b 1,..., b τ(oi))], co oznacza, iż rzeczywiście powyżej zdefiniowano funkcjȩ o i. Definicja. Algebra A/ = (A/, o 1,..., o m) jest zwana algebr a ilorazow a algebry A wzglȩdem relacji kongruencji. Twierdzenie 3.8: Algebra ilorazowa danej algebry wzglȩdem relacji kongruencji jest homomorficznym obrazem owej danej algebry wed lug homomorfizmu k określonego nastȩpuj aco: a A, k (a) = [a]. Dowód: Rzeczywiście tak określona funkcja k : A A/ jest homomorfizmem: k (o i (a 1,..., a τ(oi))) = [o i (a 1,..., a τ(oi))] = o i ([a 1],..., [a τ(oi)] ) = o i (k (a 1 ),..., k (a τ(oi))). Jest oczywiste, że A/ = h(a). Homomorfizm, o którym mowa w Tw.3.8 nazywa siȩ zwykle kanonicznym lub naturalnym. W ogólności, każda algebra bȩd aca homomorficznym obrazem algebry A, może być utożsamiona z pewn a algebr a ilorazow a algebry A jako, że jest z ni a izomorficzna, jak g losi: Twierdzenie o homomorfiźmie. Niech h Hom(A, B) bȩdzie epimorfizmem. Wówczas relacja równoważności określona na zbiorze A przez homomorfizm h : a b wtw h(a) = h(b), jest relacj a kongruencji algebry A oraz funkcja Φ : A/ B określona nastȩpuj aco: dla dowolnego a A, Φ([a] ) = h(a), jest izomorfizmem algebr A/, B. Ponadto, k Φ = h. Dowód: Jest oczywiste, że relacja zdefiniowana w twierdzeniu, jest równoważnościowa. Aby wykazać, że jest ona kongruencj a algebry A, za lóżmy, że o, o s a odpowiadaj acymi sobie n-argumentowymi operacjami odpowiednio w algebrach A, B oraz a i b i, a i, b i A, i = 1,..., n. Zatem, h(a i ) = h(b i ), i = 1,..., n, czyli h(o(a 1,..., a n )) = o (h(a 1 ),..., h(a n )) = o (h(b 1 ),..., h(b n )) = h(o(b 1,..., b n )), co oznacza, że o(a 1,..., a n ) o(b 1,..., b n ). Wykażmy teraz, że Φ jest rzeczywiście funkcj a: jeśli dla jakichś a, b A, [a] = [b], to a b, zatem h(a) = h(b), czyli Φ([a] ) = Φ([b] ). Φ jest różnowartościowa: gdy Φ([a] ) = Φ([b] ), to z określenia funkcji Φ
2. Relacje kongruencji 7 mamy: h(a) = h(b), zatem a b, czyli [a] = [b]. Naturalnie Φ przekszta lca zbiór A/ na zbiór B: dla b B istnieje a A taki, że b = h(a), bo z za lożenia h jest epimorfizmem; zatem b = Φ([a] ). Wreszcie, Φ zachowuje operacje algebry ilorazowej: niech o bȩdzie n-argumentow a operacj a w A/ odpowiadaj ac a operacji o w algebrze A oraz operacji o w B. Wówczas dla dowolnych a 1,..., a n A : Φ(o ([a 1 ],..., [a n ] )) = Φ([o(a 1,..., a n )] ) = h(o(a 1,..., a n )) = o (h(a 1 ),..., h(a n )) = o (Φ([a 1 ] ),..., Φ([a n ] )). Równość: k Φ = h jest oczywista.