Równanie konstytutywne opisujące sposób w jaki ciepło przepływa w materiale o danych właściwościach, prawo Fouriera Macierz konstytutywna (właściwości) materiału Wektor gradientu temperatury Wektor strumienia przepływu ciepła q i jego składowa normalna q n
Model matematyczny w sformułowaniu lokalnym: równanie Poissona Gdzie Q jest funkcją zadaną, opisującą ilość ciepła dostarczanego lub odbieranego z obszaru W, k=const D jest współczynnikiem przewodności cieplnej dla materiału jednorodnego i isotropowego. Rozwiązanie równania Poissona wymaga dołączenia odpowiednich warunków brzegowych
Skąd to równanie się wzięło? Z rozważania równania równowagi (bilansu cieplnego) dla problemu stacjonarnego (ustalonego) w dowolnym obszarze (załóżmy, że nasz obszar jest płaski i ma grubość t) Sumaryczna ilość ciepła dostarczonego/odebranego dla obszaru W Sumaryczna ilość ciepła dostarczonego/odebranego na brzegu G
Zastosowanie twierdzenia Gaussa o dywergencji do równania bilansu cieplnego
Równanie będzie spełnione jeśli wyrażenie pod całką będzie równe 0 Wprowadźmy do równania prawo fizyczne Fouriera Jeśli D = k=const (materiał jednorodny isotropowy) i t=const, otrzymujemy równanie w formie /tk
Przypomnijmy rozważany problem w sformułowaniu lokalnym gdzie:
Procedura rozwiązania MES Dyskretyzacja obszaru Słabe sformułowanie wariacyjne Bubnowa-Galerkina dla elementu skończonego Aproksymacja: funkcje kształtu Agregacja: budowa globalnego układu równań Rozwiązanie układu równań MES z uwzględnieniem warunków brzegowych Powrót do elementu skończonego Dyskretyzacja obszaru Do dyskretyzacji obszaru dwuwymiarowego możemy użyd elementów trójkątnych z trzema węzłami i/lub elementów czworokątnych z czterema węzłami
Słabe sformułowanie wariacyjne Bubnowa-Galerkina dla elementu skończonego Zgodnie z procedurą metody Bubnowa-Galerkina mnożymy rozważane równanie przez funkcję wagową v e i całkujemy w obszarze elementu skończonego W e v e T e x + T e y + Qe k e dxdy = 0 Uogólnionym twierdzeniem o całkowaniu przez części jest twierdzenie Greena-Gaussa = x y
Po wykorzystaniu twierdzenia Greena-Gaussa (dla = v e ), div(q) = T e otrzymujemy x + T e y Lub w zapisie macierzowym
Aproksymacja: funkcje kształtu Przyjmiemy, że obszar elementu skończonego W e będzie trójkątem, dalej że funkcje kształtu będą funkcjami bazowymi liniowej interpolacji Lagrange a a więc nasz element będzie opisany trzema węzłami z jednym stopniem swobody w węźle.
Funkcje kształtu Jak obliczyć funkcje kształtu N = a x + b y + c x y x y x y a b c = 0 0 a b c = x y x y x y 0 0 N = a x + b y + c x y x y x y a b c = 0 0 a b c = x y x y x y 0 0 a a a b b b = c c b x y x y x y N = a x + b y + c x y x y x y a b c = 0 0 a b c = x y x y x y 0 0
Aproksymacja T e (x, y) = N e (x, y)t e v e (x, y) = N e (x, y)c e
Pochodne (wektory gradientu) funkcji temperatury i funkcji wagowej = a a a b b b N = a x + b y + c N x = a N y = b N = a x + b y + c N x = a N y = b N = a x + b y + c N x = a N y = b
Wprowadzając aproksymacje funkcji T e i v e do równania wariacyjnego otrzymujemy układ równań MES dla elementu skończonego gdzie A e = x y x y x y Jeśli Q=const f e =
Agregacja: budowa globalnego układu równań Macierz topologii 5 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () 6 6 5 6 () () ()
Macierze i wektory Współrzędne węzłów 5 Węzeł x y 6 x y x y x y x y 5 x 5 y 5 6 x 6 y 6
Agregacja macierzy K = k k k k k k k k k 5 6 element Węzeł () Macierz topologii Węzeł () 6 5 6 Węzeł () 5 6 k k 0 k 0 0 k k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k 0 0 k 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0
Macierz topologii K = k k k k k k k k k element Węzeł () Węzeł () Węzeł () 6 5 6 5 6 k +k k k k +k 0 0 k k 0 0 0 0 k 0 k k 0 0 k +k 0 k k +k 0 0 5 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0
Macierz topologii K = k k k k k k k k k 6 5 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () 6 5 6 5 6 5 6 k +k k k k +k 0 0 k k 0 0 0 0 k 0 k k 0 0 k +k 0 k k +k +k k k 5 0 0 0 k k k 6 0 0 0 k k k
Macierz topologii K = k k k k k k k k k 6 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () 6 6 5 6 5 6 k +k k k k +k 0 0 k k 0 0 0 0 k 0 k +k k +k 0 k k +k 0 k +k k +k +k +k k k +k 5 0 0 0 k k k 6 0 0 k k +k k k + k
Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F F = F F F F 0 F 5 0 6 0
Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F +F F = F F F F F F +F 5 0 6 0
Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F +F F = F F F 6 5 F F F +F +F 5 F 6 F
Agregacja wektora 5 Macierz topologii 6 element Węzeł () Węzeł () 6 5 Węzeł () 6 F +F F = F F F 6 F F +F F +F +F +F 5 F 6 F +F
Globalny układ równań MES k +k k k k +k 0 0 k k 0 0 0 0 k 0 k +k k +k 0 k k +k 0 k +k k +k +k +k k k +k 0 0 0 k k k 0 0 k k +k k k + k T T T * = T T 5 T 6 F +F F F +F F +F +F +F F F +F
Uwzględnienie warunków brzegowych 5 6 Na tym brzegu dana jest wartość przepływu ciepła q n. A więc dla węzłów należących do brzegu wyznaczane są równoważniki z: Uwaga: całkujemy po brzegu!!! Sprawa jest nieco łatwiejsza jeśli brzeg elementu jest linią równoległą do którejś z osi współrzędnych. P b = P P 6 P b = P 5 P P 0 6
Uwzględnienie warunków brzegowych 5 6 Dla węzłów brzegowych i wartości wektora P b nie są znane i będą podlegać wyznaczeniu. Uwaga: w tym przykładzie nie ma węzłów wewnątrz obszaru. Dla takich węzłów składowe wektora P b byłyby równe zero. Po agregacji otrzymujemy wektor globalny ze znanymi wartościami P, P, P 5, P 6 i z P nieznanymi P i P. P P b P = P P 5 P 6
Uwzględnienie warunków brzegowych 5 6 W przypadku brzegu na którym zadana jest wartość temperatury wektor będzie zawierał dwie znane wartości T i T i cztery nieznane T, T, T 5 i T 6. T = T T T T T 5 T 6
Globalny układ równań MES po uwzględnienie warunków brzegowych k k k k k 0 k 0 k k 0 k 0 0 0 0 0 k 6 k 0 0 0 0 0 k 0 k 6 k k 5 k 6 k 5 k 55 k 56 k 6 k 65 k 66 T T T T T 5 T 6 = f f f f f 5 f 6 + P P P P P 5 P 6 Niewiadome pierwotne Niewiadome wtórne
Powrót do elementu skończonego y p 5 6 Jaka jest wartość temperatury w wybranym punkcie o współrzędnych (x p,y p ). Punkt należy do elementu. Rozwiązaniem są wartości temperatury w węzłach siatki skończenie elementowej T T T T = T T 5 T 6 x p
Powrót do elementu skończonego Macierz topologii 5 element Węzeł () Węzeł () Węzeł () y p 6 6 5 6 Z macierzy topologii odczytujemy, które wartości z wektora temperatury należą do elementu x p T = T T T
Powrót do elementu skończonego 5 y p 6 Wartość temperatury w punkcie obliczamy z użytej aproksymacji podstawiając za x=x p i y=y p oraz funkcje kształtu obliczone dla elementu T e (x, y) = N e (x, y)t e T (x, y) = N (x, y) N (x, y) N (x, y) T T T x p
Powrót do elementu skończonego 5 y p 6 Tak samo możemy znaleźć wektor strumienia przepływu ciepła podstawiając za x=x p i y=y p oraz pochodne funkcji kształtu obliczone dla elementu q x, y = kb T T T x p
Zadanie obliczeniowe
Dyskretyzacja Węzeł x y 0 0 0 0
Obliczenia
Obliczenia
Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rozwiązanie ABAQUS
Rozwiązanie ABAQUS q x (x,y) T(x,y) q y (x,y)