1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Transkrypt

1 1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej, wypełnionemu przez dowolną część rozważanego ośrodka materialnego; są one proporcjonalne do wielkości tego obszaru (addytywne) i zależą tylko od czasu (np.: masa i energia); lokalne (intensywne) przypisane punktom tego obszaru; zależą one zarówno od czasu, jak i położenia rozpatrywanego punktu w przestrzeni, nie zależą natomiast od wielkości obszaru zajętego przez rozważany ośrodek (np. temperatura, ciśnienie i wszelkiego rodzaju gęstości: masowe, objętościowe czy też powierzchniowe wielkości globalnych). Bilansować żemy tylko wielkości globalne, które z uwagi na przypisanie obszarom przestrzeni podlegają zasadzie superpozycji. Wielkości lokalne wprowadzamy w celu opisania rozkładu analizowanych wielkości globalnych w przestrzeni, gdzie tworzą pole. Pole zbiór wartości wielkości fizycznych danego rodzaju przypisanych punktom przestrzeni (np. pole temperatury, pole prędkości itp.).

2 Bilansowania globalnych wielkości fizycznych dokonujemy w obszarze bilansowania (obszarze o dowolnym kształcie myślowo wyodrębnionym z otaczającej nas przestrzeni fizycznej i całkowicie wypełnionym materią). W zagadnieniach fizyki budowli wykorzystuje się obszar kontrolny (ustalony i nieruchomy względem przyjętego układu odniesienia) Zamkniętą powierzchnię ograniczającą ten obszar (oddzielającą go od otoczenia) nazywamy jego brzegiem. Pozostałą część przestrzeni nazywamy otoczeniem * obszaru kontrolnego. Z punktu widzenia terdynamiki obszar kontrolny jest układem otwartym (wymieniający z otoczeniem energię i materię). W przypadku zagadnień mechaniki wykorzystuje się obszar materialny (ciało) B o brzegu B. Z punktu widzenia terdynamiki jest to układ zamknięty (wymieniający z otoczeniem tylko energię). Obszar kontrolny (układ otwarty) Obszar materialny ciało (układ zamknięty) B B Rys Obszar kontrolny i obszar materialny 2

3 1.1. OGÓLNE RÓWNANIE BILANSU Zmiana zasobu (akumulacja) przypisanej ośrodkowi materialnemu dowolnej globalnej wielkości fizycz- t że być spowodowana: nej ( ) wymianą (przepływem) między obszarem * a jego otoczeniem (ujmującą wpływ bądź też wypływ ); produkcją w obszarze (wyrażającą fakt powstawania lub zanikania wewnątrz ). Powyższy aksjomat bilansowy zapisujemy w postaci ogólnego równania bilansu wielkości d dt = Φ + Σ d dt szybkość zmiany zasobu (akumulacji) Φ ( t ) przepływ Σ t źródło ( ) Gdy d dt > 0 zasób rośnie, gdy d dt < 0 maleje. Powyższe równanie jest niezależne od rodzaju i od rodzaju ośrodka materialnego CAŁKOWE (GLOBALNE) RÓWNANIE BILANSU Dzieląc myślowo obszar na elementarne (infinitezymalne, nieskończenie małe) podobszary o ob- 3

4 jętości dv zaś jego brzeg na elementarne powierzchnie o polu da mażemy napisać, że (,t ) (,t ) d = dv dφ dσ = = da dv x gęstość (objętościowa), x gęstość (powierzchniowa) przepływu (strumień), ( x,t ) gęstość (objętościowa) źródła, x położenie (punkt przestrzeni), t czas. Wszystkie wielkości nieskończenie małe rozumiane są w sensie zdefiniowanym w analizie niestandardowej, czyli jako wielkości stałe, dowolnie bliskie zeru (a więc tak, jak rozumiał je LEIBNITZ). Całkując powyższe zależności odpowiednio po obszarze i jego brzegu dostajemy Φ Σ = = = dv da dv Podstawiając powyższe całki do ogólnego równania bilansu dostajemy 4

5 d dt t dv = dv = da + dv Strumień wielkości bilansowanej żna przedstawić w postaci ( ) n = x,t wektor gęstości strumienia, n wektor normalny do brzegu. Gdy n < 0 to następuje wpływ do, gdy n > 0 ma miejsce wypływ do otoczenia, natomiast gdy n = 0 przepływ zanika. Tak zdefiniowany strumień pozwala zapisać powyższe równanie w postaci t dv = nda + dv Z fizycznego punktu widzenia, wektor przedstawić w postaci sumy żemy = v + v wektor gęstości makroskopowego strumienia, wektor gęstości lekularnego strumienia (ruch cieplny), v wektor prędkości przepływu. 5

6 Fizyka pozwala także wyrazić gęstość źródła = + ex in jako ex gęstość zewnętrznego źródła (pole grawitacyjne, pole elektromagnetyczne), gęstość wewnętrznego źródła (reakcje in chemiczne, przemiany fazowe itp.). Podstawiając tak zdefiniowane zależności do powyższego równania otrzymujemy całkowe (globalne) równania bilansu wielkości ex in ( v + ) nda + ( ) dv = + t dv 1.3. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE BILANSU Z twierdzenia o dywergencji wynika, że n da = dv operator wektorowy nabla Pozwala to zapisać powyższe równanie bilansu w postaci t + ex in ( v + ) dv = 0 6

7 Z powyższego równania dostajemy różniczkowe (lokalne) równanie bilansu wielkości t + v = + ex + in W powyższym równaniu należy określić postać,, in oraz ex. Jeśli jest skalarem, to skalarami, a in oraz jest wektorem. Jeśli jest wektorem, to wektorami, a in oraz jest tensorem. ex są również ex są również W przypadku procesów stacjonarnych albo ustalonych t = 0 i powyższe równanie przyjmuje postać ex in ( v + ) = WIELKOŚCI ZACHOWAWCZE Bilansowana wielkość zachowawcza, czyli spełniająca zasadę zachowania (np. masa, czy też energia), nie że ani powstawać, ani znikać w żadnej dowolnie małej części ośrodka materialnego. 7

8 Wynika z tego, że w każdym punkcie obszaru = 0 Zasada zachowania ma charakter lokalny; nie dopuszcza żliwości powstawania (źródło dodatnie) i zanikania (źródło ujemne) wielkości bilansowanej w różnych punktach rozpatrywanego obszaru, przy znikaniu jej źródła globalnego Σ. Jedyną żliwą przyczyną zmiany zasobu wielkości zachowawczej w obszarze bilansowania jest jej wymiana z otoczeniem RÓWNANIA FIZYCZNE Występujący w równaniach bilansowych wektor musi być określony dodatkowymi zależnościami, zwanymi równaniami materiałowymi, fizycznymi bądź też konstytutywnymi. Równania fizyczne (np. prawo FOURIERA, czy też FICKA) zależą od rodzaju materiału, z którego zbudowany jest rozważany ośrodek materialny i muszą być wyznaczone eksperymentalnie (co jest zazwyczaj trudne i kosztowne). W najprostszym przypadku równanie fizyczne żemy przyjąć w następującej, ogólnej postaci: = k gradient wielkości, k współczynnik materiałowy. 8

9 Z powyższej zależności wynika, że wektor jest skierowany przeciwnie do gradientu wielkości bilansowanej (np. ciepło płynie przeciwnie do gradientu temperatury, zaś dyfundujące cząsteczki pary wodnej przeciwnie do gradientu ich koncentracji). W odróżnieniu od prostej teorii równań bilansowych, teoria równań konstytutywnych jest w przypadku ogólnym złożona i trudna WARUNKI POCZĄTKOWE I BRZEGOWE Określenie czasoprzestrzennych zmian gęstości wielkości bilansowanej w obszarze sprowadza się do rozwiązania problemu matematycznego określonego równaniem bilansowym oraz równaniem fizycznym. Rozwiązanie tego problemu polega na określeniu postaci funkcji ( x,t ), spełniającej dodatkowe warunki początkowe i brzegowe. Warunek początkowy określa stan rozważanego procesu wewnątrz obszaru w pewnej dowolnie ustalonej chwili czasu t 0 (zazwyczaj przyjmujemy t 0 ) 0 = ( x) =, t = 0 t 0 0 zadana funkcja (np. temperatura początkowa) Warunek brzegowy charakteryzuje wzajemne oddziaływanie między rozpatrywanym obszarem a ego otoczeniem przez brzeg. 9

10 Brzeg obszaru traktowany jest jako powierzchnia geometryczna (idealna), na której nie że występować ani akumulacja, ani produkcja żadnej bilansowanej wielkości. Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje warunków brzegowych: Warunek brzegowy I rodzaju (DIRICHLETA) ( x,t ) =, x = x, t > 0 zadana funkcja (np. temperatura powierzchni ściany) Warunek brzegowy II rodzaju (NEUMANNA) ( x,t ) n =, x = x, t > 0 ϕ zadana funkcja (w zagadnieniach fizyki budowli warunek ten praktycznie nie występuje). Powyższy warunek żemy zapisać w postaci k n = ϕ, x = x, t > 0 n pochodna normalna. W przypadku brzegu izolowanego (nie przepuszczającego wielkości bilansowanej) powyższy warunek przyjmuje postać n = 0, x =, t > 0 x 10

11 Jeśli brzeg rozpatrywanego obszaru omywany jest płynem (np. powierzchnia ściany powietrzem unoszonym w ruchu konwekcyjnym), to warunek brzegowy drugiego rodzaju zapisujemy w postaci warunku brzegowego III rodzaju k n = h a ( ), x = x, t > 0 a h a współczynnik przejwania wielkości a funkcja zadana w otoczeniu obszaru bilansowania (np. temperatura powietrza z dala od powierzchni ściany) W przypadku przenoszenia wielkości przez powierzchnię dzielącą dwa ośrodki materialne A i B, (np. powierzchnię między cegłą a tynkiem), wykorzystuje się warunek brzegowy IV rodzaju k A A n A = = k B B n B, x = x AB, t > 0 Sprowadzając wyjściowe zagadnienie fizyczne do zagadnienia matematycznego, zwanego zagadnieniem początkowo-brzegowym, musimy sprecyzować wszystkie informacje użliwiające jego rozwiązanie, czyli: określić obszar bilansowania, podać postać równań bilansowych i fizycznych, określić warunki początkowe i brzegowe. Po rozwiązaniu zagadnienia matematycznego żemy określić przebieg procesów występujących 11

12 w rozpatrywanym ośrodku materialnym (np. zmiany temperatury przegrody budowlanej). 12