METODY NUMERYCZNE Wkłd. dr h.ż. Ktrz Zkrzewsk, prof.agh Met.Numer. wkłd Pl Aproksmc Iterpolc welomow Przkłd Met.Numer. wkłd Aproksmc Metod umercze zmuą sę rozwązwem zdń mtemtczch z pomocą dzłń rtmetczch. Zchodz ztem potrze przlż welkośc e rtmetczch welkoścm rtmetczm d łędów wwołch tkm przlżem. Wór przlże zleż od tego, którm z możlwch krterów posłużm sę w ocee skuteczośc dego przlże. Jk est dopuszczl łąd wku? Jk szko moż otrzmć rozwąze k est szkość zeżośc de metod, p. procesu tercego? Met.Numer. wkłd
Co to est terpolc? De są pukt,,,,.,. Zleźć ezą wrtość dl dowolego. Met.Numer. wkłd 4 Różc pomędz proksmcą terpolcą terpolc proksmc Met.Numer. wkłd 5 Aproksmc Chcem przlżć fukcę f komcą częśce lową fukc leżącch do pewe szczególe kls. Kls fukc: { },,... { },,... p {s,cos },,... dl N perwszch wrzów szeregu Tlor ogóle: p est welomem stop welom trgoometrcze Nwększe zczee posd proksmc welomow Met.Numer. wkłd 6
Aproksmc low fukc f kls fukc: współczk stłe: Aproksmc g g... mgm { g },,...,,..., m Przlże lowe stosue sę poewż de proksmc komcm elowm fukc przlżącch est rdzo trude k lz wększośc zgdeń elowch. Czsm stosue sę przlże wmere: g g... mgm g g... g Met.Numer. wkłd 7 k k Aproksmc Krter woru stłch współczków,,..., m Trz tp przlżeń o dużm zczeu przlżee terpolce współczk są tk dore, w puktch,,..., p fukc przlżąc wrz z e perwszm r pochodm r est lczą cłkowtą euemą ł zgod z f e pochodm z dokłdoścą do łędów zokrągleń Met.Numer. wkłd 8 Aproksmc Krter woru stłch współczków,,..., m przlżee średokwdrtowe szukm mmum wrże ędącego cłką z kwdrtu różc pomędz f e przlżeem w przedzle <, > lu sumą wżoą kwdrtów łędów rozcągętą zór dskret puktów z przedzłu <, > przlżee edoste zlezee meszego mksmum różc mędz f e przlżeem w przedzle <, > Met.Numer. wkłd 9
Metod meszch kwdrtów Regres low Postult metod 6 S [ ] m 4 f., -.8 f 4 6 8 4 6 Met.Numer. wkłd Metod meszch kwdrtów Regres low Wruek mmum fukc dwu zmech: S S Otrzmuem ukłd rówń lowch dl ewdomch Rozwązuąc te ukłd rówń uzskue sę wrże współczk szuke proste f Met.Numer. wkłd Metod meszch kwdrtów Regres low W W gdze: W wzczk głów ukłdu rówń wrż sę wzorem W Met.Numer. wkłd 4
Metod meszch kwdrtów Regres low Z prw sttstk moż wprowdzć wrże odchle stdrdowe u u ou prmetrów proste,: u u u S W Met.Numer. wkłd Aproksmc welomow Zstosowe w olczech welomów ko fukc przlżącch wąże sę z fktem, że msz cfrow wkoue w prktce dzł rtmetcze. Wspólą włścwoścą potęg zmee welomów trgoometrczch tkże fukc wkłdczch est to, że w przlżech korzstącch z kżde z tch kls przesuęce ukłdu współrzędch zme współczk, le e zme postc przlże. Jeżel P est welomem lu fukcą wmerą to Pα est róweż te postc, eśl T est lowm lu wmerm przlżeem zudowm z susów lu cosusów, to tke est róweż Tα. Met.Numer. wkłd 4 Aproksmc welomow Przlże fukcm { },,... mą tką zletę, że prz zme skl zmee zmeą sę tlko współczk, e zme sę ksztłt przlże. Przkłd: welom Pk est róweż welomem zmee. Te włsośc e mą przlże trgoometrcze, gdż dl ecłkowtego k ogół sk e est elemetem kls {s },,... Met.Numer. wkłd 5 5
Aproksmc welomow Nczęśce wer sę welom gdż moż łtwo: olczć ch wrtośc różczkowć cłkowć Met.Numer. wkłd 6 Aproksmc welomow Z przlżeń welomowch wwodzą sę metod: terpolc ekstrpolc różczkow umerczego kwdrtur rozwązw umerczego rówń różczkowch zwczch Powąz pomędz tm metodm są łtwo dostrzegle, gdż metod terpolce są podstwą wzorów różczkow umerczego, kwdrtur rozwązw umerczego rówń różczkowch. Met.Numer. wkłd 7 INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Złożee: W przedzle [,] dch est różch puktów,,,, które zwm węzłm terpolc, orz wrtośc pewe fukc f w tch puktch: f dl,,...,. terpolc Met.Numer. wkłd 8 6
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA Zde terpolc: Wzczee przlżoch wrtośc fukc w puktch e ędącch węzłm orz oszcowe łędu tch przlżoch wrtośc.. W tm celu leż zleźć fukcę F, zwą fukcą terpoluącą, któr ędze przlżć fukcę f w przedzle [,].. Fukc F w węzłch terpolc przmue tke sme wrtośc co fukc f.. W zgdeu terpolc welomowe fukc F est welomem stop co wże. Twerdzee Istee dokłde ede welom terpolc stop co wże, któr w puktch,,, przmue wrtośc,,,. Met.Numer. wkłd 9 Iterpolc - metod ezpośred Przez puktów,,,,., przechodz dokłde ede welom stop....... gdze,,. są stłm współczkm R Ułożć rówń zleźć stłch Podstwć wrtość do welomu, zleźć Met.Numer. wkłd Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s 7.4 5 6.78 57.5.5 6.97 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 de 5 5 5 czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę ezpośredą dl dwóch puktów Met.Numer. wkłd 7
Ne moż oece wśwetlć tego orzu. Iterpolc low t t v 5 6. 78 v 5, 57. 5 v Rozwąze ukłdu rówń.9.94, f A ztem v t.9.94t, 5 t 6.9.94 6 9.7 m/s v Met.Numer. wkłd Iterpolc kwdrtow t t v t, v 7. 4 v 5 5 5 6. 78 v 57. 5, f Rozwąze ukłdu rówń.5 7. 7. 766 v t.5 7.7t.766t, t 6.5 7.7 6.766 6 v 9.9 m/s, Met.Numer. wkłd Iterpolc kwdrtow v t.5 7.7t.766t, t 6 9.9m s v / Błąd względ 8 9.9 9.7 9.9.84% Vm/s 6 4 5 5 5 ts Met.Numer. wkłd 4 8
Iterpolc sześce t t t v t,,,, v 7.4 v 5 6.78 5 5 5 v 57.5 v.5 6.97.5.5. 5 f Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc sześce Zde domowe Rozwązć ukłd rówń: 7.4 5 5 75 6.78 4 8 57.5.5 56.5 9.65 6.97 Podć rsowć vt Met.Numer. wkłd 6 Iterpolc sześce -rozwąze 4.54.66.4.5447 t. 5 t 4.54.66t.4t.5447t, v 6 9.6 m s v / Błąd względ 9.6 9.9 9.6.69 % Met.Numer. wkłd 7 9
Porówe Rząd welomu v t 6m/s 9.7 9.9 9.6 łąd względ ----------.84 %.69 % Met.Numer. wkłd 8 Olcze przemeszcze v od ts do t6s t 4.54.66t.4t.5447t, t. 5 6 6 s v t s 6 dt 4.54.66t.4t.5447t 4 t t t 4.54t.66.4.5447 4 65 m dt 6 Met.Numer. wkłd 9 ν t 4.54.66t.4.5447 t, t. 5 d dt d dt t v t 4.54.66 t.4 t.5447 t.66.648 t.64 t, t.5 Olcze przspesze 6.66.648 6.64 6 9.665 m/s Met.Numer. wkłd
Wzór terpolc Newto Iterpolc low: de są pukt,,,, szukm f f f f Met.Numer. wkłd Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s 7.4 5 6.78 57.5.5 6.97 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 de 5 5 5 czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę Newto Met.Numer. wkłd Wdomo, że: t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 Iterpolc low v t t t A ztem: Zduem: v t 6.78 v t v t t t v t t t 6.78.94 t 5, 5 t.94 Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede Met.Numer. wkłd
Iterpolc low v t t t Szuk prędkość w chwl t6 s wos: v t t t 5 6.78.946 5 9.69 m / s 5 48 de 46 vm/s 44 4 4 8 6 5 6 7 8 9 czs ts Met.Numer. wkłd 4 Iterpolc kwdrtow De są pukt,,,,,, szukm f f f f f f Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc kwdrtow Wdomo, że: t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 7.48 Zduem: v t 7.4 v t v t 6.78 7.4 t t 5 v t v t v t v t t t t t.94 7.48 t t.766 Met.Numer. wkłd 6
Iterpolc kwdrtow A ztem: v t t t t t t t 7.4 7.48 t.766 t t 5, t dl t6s: v 6 6 t 6 t 6 t 7.4 7.486.7666 6 5 9.9 m / s Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede Met.Numer. wkłd 7 Iterpolc kwdrtow 55 5 45 de vm/s 4 5 5 9 4 5 6 7 8 9 czs ts Błąd względ w odeseu do poprzede terpolc 9.9 9.69 9.9.85 % Met.Numer. wkłd 8 Ogól formuł f gdze f [ ] f f f f [, ] lorz różcow perwszego rzędu f f f f [, ] f [, ] f [,, ] A ztem lorz różcow drugego rzędu f f [ ] f [, ] f [,, ] Met.Numer. wkłd 9
Ogól formuł Mąc puktów,,,...,,,,, f...... gdze f ] [ f [, ] f [,, ] M f,,..., [ f [,,..., ] ] Met.Numer. wkłd 4 Iterpolc sześce Welom -cego stop, mąc de,,,,,,,, m postć f f [ ] f [, ] f [,, ] f [,,, ] f f [, ] f f [,, ] f, ] f,,, ] [ f f [,, ] f, ] f [ [ Met.Numer. wkłd 4 Iterpolc sześce Zde domowe Zleźć rówe prędkość olczć v6s podstwe terpolc sześcee Newto : v t t t t t t t t t t t t t De t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 t.5, v t 6.97 Zleźć współczk Zleźć drogę przetą w czse od s do 6 s. Zleźć przspeszee w chwl t6 s. Met.Numer. wkłd 4 4
Rozwąze t 7. 4 7.48 t 5, 6. 78. 766.94 t, 57. 5. 4445 t.5, 6. 97 4.48 5.447 7.4; 7.48;.766; 5.447* - Met.Numer. wkłd 4 Porówe Rząd welomu vt6 9.69 9.9 9.6 m/s Błąd względ przlże ----------.85 %.47 % Met.Numer. wkłd 44 Iterpolc z rówo-odległm węzłm De są wrtośc fukc f dl,, w puktch rozmeszczoch w edkowch odstępch: h Perwsz welom terpolc Newto m postć: I Δ Δ N o... o! h! h Δ o...! h gdze k f est różc progresw k-tego rzędu Met.Numer. wkłd 45 5
6 Met.Numer. wkłd 46 Iterpolc z rówo-odległm węzłm Welom terpolc Newto est korzst w polżu początku tlc. W polżu końc tlc stosuem...!...!! h h h N II Δ Δ Δ drug welom terpolc Newto z różcm wsteczm Met.Numer. wkłd 47 Różce progreswe Δ Δ Δ Δ Δ f h f Δ h f f Różce wstecze Met.Numer. wkłd 48 Icze: Wzór terpolc Lgrge gdze: ω estwrtoścą pochode welomu ω pukce ędącm zerem tego welomu f f W ' ω ω ω ω... ω Ogóle:............ f W
Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s 7.4 5 6.78 57.5.5 6.97 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 de 5 5 5 czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę terpolc welomem Lgrge dl dwóch puktów Met.Numer. wkłd 49 Iterpolc low welomem Lgrge v t L t v t L t v t L t v t Wdomo, że: Zduem: t t t t L t t t t t t t t t L t t t t t A ztem: t t t t v t v t v t t t t t t t 5 6.78 57.5 5 5 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc low welomem Lgrge 6 6 5 v6 6.78 57.5 5 5.8 6.78. 57.5 9.7 m / s 5 5 48 de 46 vm/s 44 4 4 8 6 5 6 7 8 9 czs ts Met.Numer. wkłd 5 7
Iterpolc kwdrtow De są pukt,,,,, szukm v t L t v t L t v t L t v t L t v t t t L t t t Met.Numer. wkłd 5 Wdomo, że: t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 A ztem: Iterpolc kwdrtow Zduem: t t t t t t L t t t t t t t t t t t t t L t t t t t t t t t t t t t L t t t t t t t t t t t t t t t t t t t v t v t v t v t t t t t t t t t t t t t Met.Numer. wkłd 5 Iterpolc kwdrtow dl t6s: 6 5 6 6 6 v6 7.4 6.78 5 5 5 6 6 5 57.5 5.87.4.966.78.57.5 9.9 m / s Jko zde domowe, proszę sprwdzć cz wk uzsk est zgod z wkem terpolc ezpośrede metodą Newto. Met.Numer. wkłd 54 8
Iterpolc kwdrtow 55 5 45 de vm/s 4 5 5 9 4 5 6 7 8 9 czs ts Błąd względ w odeseu do poprzede terpolc 9.9 9.7 9.9.85% Met.Numer. wkłd 55 Iterpolc sześce Zde domowe Zleźć rówe prędkość olczć v6s podstwe terpolc sześcee Lgrge De t, v t 7.4 t 5, v t 6.78 t, v t 57.5 t.5, v t 6.97 Zleźć drogę przetą w czse od s do 6 s. Zleźć przspeszee w chwl t6 s. Porówć wk z uzskm podstwe terpolc metodą ezpośrede Newto. Met.Numer. wkłd 56 Porówe Rząd welomu vt6 9.69 9.9 9.6 m/s Błąd względ przlże ----------.85 %.47 % Met.Numer. wkłd 57 9
Wzór terpolc Lgrge - przkłd Nech de ędą pukt:,,, 6. Zleźć welom terpolc Lgrge, któr ędze przlżć fukcę π s 6 Rozwąze: Wrtośc fukc f wwęzłch terpolc są stępuące:, f, f, 6. f f Moż pokzć, że welom terpolc Lgrge przmue postć: 7 W 9 9 5 Met.Numer. wkłd 58 5 Wzór terpolc Lgrge - przkłd -5 fukc f - -5 - -5 sπ/6 welom terpolc W 7 W 9 9 5-5 - -5 5 5 Welom terpolc przlż fukcę f tlko pomędz skrm węzłm, tz. w przedzle [,6]. Im mesze odległośc mędz węzłm, tm lepsze przlżee uzskuem Met.Numer. wkłd 59 Oszcowe łędu wzoru terpolcego Z ką dokłdoścą welom terpolc W przlż fukcę f w pozostłch puktch leżącch wewątrz przedzłu <, >? Zkłdm, że fukc f w rozptrwm przedzle <, > m pochode do rzędu włącze. sup <, > W! zleż od woru węzłów terpolc Met.Numer. wkłd 6
Iterpolc z pomocą fukc sklech-sple Wd terpolc welomowe: Motwc Pogorszee wków terpolc prz zwększu lcz węzłów. Przkłd: Zwsko Rugego przkłd źle uwrukowego zd: Iterpolc welomm wsokch stop prz stłch odległoścch węzłów prowdz do powżch odchleń od terpolowe fukc zwłszcz końcch przedzłu. Iterpolc środkowch częścch przedzłu est tomst rdzo dor użtecz Przkłd: 5 Met.Numer. wkłd 6 Iterpolc welomow szczególch fukc Met.Numer. wkłd 6 Zwsko Rugego Met.Numer. wkłd 6
Iterpolc z pomocą lowch fukc sklech Mąc de pukt:,,,,...,,, prowdzm le proste pomędz puktm. Met.Numer. wkłd 64 Iterpolc z pomocą lowch fukc sklech f f f f f f. chlee proste. pomędz węzłm. f f f Met.Numer. wkłd 65 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Mąc de pukt:,,,,...,,, zpsuem róże fukce kwdrtowe pomędz kżdą prą puktów. Met.Numer. wkłd 66
Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech c c... Zleźć współczk c,, c,,..., Mm ewdomch czl potrzeuem rówń Met.Numer. wkłd 67 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Kżd prol przechodz przez dw sąsede pukt, czl mm rówń f c f c. f c f c. f c c f Met.Numer. wkłd 68 Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Dodtkowe wruk otrzmuem żądąc cągłośc perwszch pochodch w - wewętrzch puktch węzłowch:. c f ' c dl f ztem Met.Numer. wkłd 69
Iterpolc kwdrtow z pomocą fukc sklech Prowdz to do - rówń postc:.. Cłkowt lcz rówń wos -- Potrzee edo rówe może prząć postć p. Perwsz fukc skle est low. Met.Numer. wkłd 7 Przkłd Tel Prędkość v ko fukc czsu t ts vm/s 7.4 5 6.78 57.5.5 6.97 9.67 predkosc vm/s 8 6 4 de 5 5 5 czs ts Zleźć prędkość w chwl t6 s stosuąc metodę terpolc z pomocą kwdrtowch fukc sklech Met.Numer. wkłd 7 Rozwąze c v t t t, t t t, t 5 c, t t c 5 t t. 5 4t 4t c4,, 5t 5t c5.5 t Met.Numer. wkłd 7 4
Kżd fukc skle przechodz przez dw sąsede pukt v t t t, t c c c 7.4 predkosc vm/s 8 6 4 de 5 5 5 czs ts Met.Numer. wkłd 7 Dlsze rów ts vm/s 7.4 5 6.78 57.5.5 6.97 9.67 Jest rówń, 5 poszukwch współczków c 7.4 5 5 c 6.78 5 5 c c 4 4 c4 4.5 4.5 c4 5.5 5.5 c5 5 5 c5 6.78 57.5 57.5 6.97 6.97 9.67 Met.Numer. wkłd 74 d dt Żąde cągłośc pochodch v t t t, t c t t c, t 5 d t t c t t c t dt t t t t t Met.Numer. wkłd 75 5
6 Met.Numer. wkłd 76 5 5 4 4.5.5 5 5 4 4 dl ts dl t5s dl ts dl t.5s 4 dodtkowe rów Żąde cągłośc pochodch - cd ostte rówe Met.Numer. wkłd 77 9.67 6.97 6.97 57.5 57.5 6.78 6.78 7.4 7.4 45 45 4 4 9.5 56.5.5 56.5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 c c c c c Osttecz ukłd 5 rówń 5 ewdomch Met.Numer. wkłd 78 c c.74.8888 4.98 88.88 -.56 5.66-4.6 4.648 -.956 554.55 5.889 8.86-5. Wrtośc współczków Proszę sprwdzć cz pode wrtośc są prwdłowe
Osttecze rozwąze v t.74t, t.8888t 4.98t 88.88, 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t 554.55, t. 5.889t 8.86t 5.,.5 t Met.Numer. wkłd 79 Prędkość w określom pukce Prędkość w chwl t6s v t.74t, t.8888t 4.98t 88.88, t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t 554.55, t. 5.889t 8.86t 5.,.5 t 6.56 6 5.66 6 v 94.4 m/s 4.6 Jko zde domowe, proszę porówć olczoą wrtość prędkośc z wrtoścą otrzmą z pomocą terpolc welomowe Met.Numer. wkłd 8 Przspeszee w określom pukce Accelerto t t6 v t.74t, t.8888 t 4.98 t 88.88, t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t 554.55, t. 5.889t 8.86t 5.,.5 t d dt 6 v t t 6 Met.Numer. wkłd 8 7
Przspeszee w określom pukce, Fukc kwdrtow skle prwdzw w pukce t6s est d ko t.56 t 5.66t 4.6, v 5 t d t.56t 5.66t 4.6 dt.7t 5.66, 6.76 5.66.m/s Jko zde domowe, proszę porówć olczoą wrtość przspesze z wrtoścą otrzmą z pomocą terpolc welomowe Met.Numer. wkłd 8 Drog z proflu prędkośc c Zleźć drogę przetą przez rketę od ts do t6s. v t.74t, t.8888t 4.98t 88.88, t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t.648t.956t 554.55, t. 5.889t 8.86t 5.,.5 t 6 S S 6 v t dt Met.Numer. wkłd 8 t.8888 t 4.98t 88.88, v t 5.56t 5.66t 4.6, 5 t 6 S v t dt v t dt S 6 v t dt Drog z proflu prędkośc 5.8888t 6 5 5.56t 595.9 m 6 5 4.98t 88.88 dt 5.66t 4.6 dt Jko zde domowe, proszę porówć olczoą wrtość przete odległośc z wrtoścą otrzmą z pomocą terpolc welomowe Met.Numer. wkłd 84 8
Błąd wzoru terpolcego sup <, > W! Przmuem ozcze: M sup <, > Kres gór modułu -sze pochode fukc f przedzle <,> ω... Met.Numer. Wkłd 4 85 Błąd wzoru terpolcego Przkłd: M W ω! Oceć, z ką dokłdoścą moż olczć wrtość l,5 prz użcu wzoru terpolcego Lgrge, eżel de są wrtośc: l, l, l, l l,,,, f 4 6 M 4 sup 4 <,> 6 l,5 W,5,5,5,5,5,44 4 4! 4 6 4 9 Met.Numer. Wkłd 4 86 Optml doór węzłów terpolc M W ω! Welkość łędu zleż od woru węzłów terpolc poprzez ω. N M e mm wpłwu. Jk wrć węzł terpolc, : sup ω <, > mło k meszą wrtość Zgdee zostło sformułowe przez rosskego mtemtk P.L. Czeszew ko zgdee zdow welomu lgerczego lepe przlżącego zero zdm przedzle. Met.Numer. Wkłd 4 87 9
Welom Czeszew T cos rc cos T cos rc cos Welom Czeszew perwszego rodzu: Moż pokzć, że welom T est detcz z pewm welomem lgerczm zwężom do przedzłu <-,>. wzór rekurec T T cosrc cos T cosrc cos 4 T T T Met.Numer. Wkłd 4 88 Welom Czeszew Welom Czeszew perwszego rodzu są rozwązem rów różczkowego: d T dt T d d Defue sę e poprzez wzór Rodrgues: T [ ] d!! d Welom Czeszew perwszego rodzu są ortogole w przedzle <-,> z wgą: w Met.Numer. Wkłd 4 89 Optml doór węzłów terpolc Kżd welom Czeszew stop m różch perwstków w puktch: m m cos π, m,,,..., zwrtch mędz - Współczk prz wższe potędze w T est rów -. Szukm welomu, któr prz wższe potędze m współczk rów edośc T T... gdze m m,,,, są perwstkm welomu T Met.Numer. Wkłd 4 9
Wrżee: wówczs: Optml doór węzłów terpolc sup ω <, > w przedzle <-,> m meszą wrtość dl welomu: ω T... sup ω <,> Jeżel w przedzle <-,> z węzł terpolc przmem zer welomu Czeszew, to M W! Met.Numer. Wkłd 4 9 Optml doór węzłów terpolc W dowolm przedzle <,> oszcowe łędu wos: prz worze węzłów f M! W m m cos, m,,,..., π Nowe węzł m e są rozmeszczoe w rówch odstępch lecz są zgęszczoe prz końcch przedzłu. [ z ] Proste trsformce lowe sprowdzą z przedzłu <,> do z leżącego do z <-,> Met.Numer. Wkłd 4 9 Podsumowe terpolc Przecztć przelzowć rozdzł..8 Uwg końcowe, Z.Fortu, B.Mcukow, J.Wąsowsk, Metod umercze Wosk:. Prz olczu wrtośc welomu terpolcego w edm lu klku puktch prolem woru postc wzoru terpolcego e est stot.. Rodz wrego wzoru rozmeszczee węzłów m wpłw ede łąd olczeń.. O czsochłoośc olczeń decdue lcz możeń dzeleń. dl welomu Lgrge stow to 4 dl welomu Newto / / Met.Numer. Wkłd 4 9