Regresja linowa metoda najmniejszych kwadratów. Tadeusz M. Molenda Instytut Fizyki US

Transkrypt

1 Regresja lowa metoda ajmejszch kwadratów Tadeusz M. Moleda Isttut Fzk US

2 Regresja lowa (też: metoda ajmejszch kwadratów, metoda wrówawcza, metoda Gaussa) Zagadea stota metod postulat Gaussa współczk prostej a kostrukcja prostej teoretczej przkład trasformacja fukcj elowch

3 Regresja lowa a czm polega? Jeśl merzoe dwe welkośc zwązae są ze soą rówaem lowm = a + to orazem grafczm jest la prosta. Wkoując pomarów welkośc uzskujem par lcz (, ) Pukt o współrzędch są rozrzucoe a pewm oszarze. Regresja lowa to: ustalae prawdłowośc rozrzutu puktów czl: dopasowae prostej do zoru puktów dośwadczalch szukae rówaa l prostej (tj parametrów a ), ajlepej "pasującej" do tch puktów.

4 a) ) Rs. dla ajlepszego dopasowaa l prostej do puktów pomarowch, w te sposó a suma kwadratów odległośc od l ła mmala a) przpadek porówwalch epewośc pomaru ; ) a) przpadek pomjale małch epewośc pomaru welkośc.

5 Postulat Gaussa Wkoując pomarów welkośc ędącch w zależośc lowej = a + uzskujem par lcz (, ) grafczm orazem są pukt rozrzucoe a pewm oszarze, ekoecze a l prostej! Rozeżość wku pomaru wartośc teoretczej z rówaa = a + wka z epewośc pomarowej moża zapsać w postac: = (a + ) dopasowae metodą regresj lowej ozacza, że wrażee ( a ) m

6 Metoda ajmejszch kwadratów?? a f m

7 Regresja lowa polega a zalezeu parametrów a prostej = a + takch a spełał postulat Gaussa a gdze a współczk regresj lowej. = mmum, tj. a suma kwadratów różc mędz wartoścam zmerzom olczom ła jak ajmejsza (prz założeu, że wszstke pukt pomarowe oarczoe są jedakowm epewoścam przpadkowm o rozkładze Gaussa) Współczk a wprowadzee f ( a, ) a Jeśl = m to zacz że: f ( a, ) f 0 a ( a, ) 0,

8 Po zróżczkowau otrzmujem układ rówań: 0 ) ( a a 0 ) ( Po rozwązau układu rówań otrzmuje sę wzor a współczk a, gdze =,,3,...,, ( jest loścą par puktów (, )). a a a a S ) ( a S S a a f ), ( 0 ), ( 0, ), ( a f a a f

9 Metoda ajmejszch kwadratów wzor dla parametrów regresj lowej a

10 gdze: a d S a d d S Metoda ajmejszch kwadratów wzor dla odchlea stadardowego parametrów regresj lowej

11 Współczk korelacj lowej Pearsoa r ezwmarow wskaźk z przedzału [, ] określając stopeń lowej zależośc mędz zmem losowm. r Dla olczeń komputerowch przdat jest wzór Warukem stosowaa regresj lowej jest a wartość ezwględa współczka r ła lska.

12 Przkładowe wkres dach (, ) odpowadające m wartośc współczka korelacj lowej Pearsoa Źródło: Wkpeda: Współczk korelacj Pearsoa, ch_terpretacja

13 Aalza dach pomarowch Regresja lowa. Wkorzstae arkusza kalkulacjego. Metoda Najmejszch Kwadratów

14 Regresja lowa klascza (metoda ajmejszch kwadratów) Jeżel pomędz dwema welkoścam fzczm wstępuje zależość lowa to regresja lowa jest prostą metodą wzaczea parametrów ajlepej dopasowaej prostej. Parametr prostej określoej rówaem = m + wzaczam prz użcu ogóle dostępch (dość złożoch) wzorów. Zając współczk m regresj lowej oraz współczk korelacj (Pearsoa) r moża, korzstając z poższch wzorów, olczć epewośc pomaru (odchlea stadardowe) tpu A (statstcze) / r u A ( m) m, u A ( ) u A ( m). / Wartośc współczków charakterzującch prostą dla regresj lowej szko otrzmam korzstając z fukcj wudowach w arkuszu kalkulacjm. Współczk korelacj lowej Pearsoa r ezwmarow wskaźk z przedzału [, ] określając stopeń lowej zależośc dwóch zestawów dach. Składa w Ecelu: =PEARSON(talca;talca).

15 Współczk regresj lowej, składa w Ecelu: m: =NACHYLENIE(zae_;zae_); : =ODCIĘTA(zae_;zae_) Uwaga: zwrócć uwagę, że a perwszm mejscu jest a a drugm. Wartośc: m, u A (m) u A () oraz r u(r) otrzmam korzstając z ardzej wszechstroej fukcj talcowej REGLINP, która zwraca talcę wartośc. Składa: =REGLINP(zae_;zae_;stała;statstka). Stała argumet opcjoal; domśla wartość PRAWDA ozacza ormale lczee wartośc wpółczka ; wartość FAŁSZ wmusza, to stała = 0 (wartość m jest dopasowaa do dach tak, a spełć rówae = m), tak jest w aszm przpadku. Statstka argumet opcjoal. Jeżel dla wśwetlea wartośc fukcj ozaczm oszar kolum a wersze (3 wersze) wartoścą jest: PRAWDA, to fukcja w kolejch werszach zwraca kolejo: m, u A (m) u A () prz zazaczeu oszaru z werszam (oraz r u(r) prz zazaczeu oszaru z 3 werszam). FAŁSZ lu argumet został pomęt, to fukcja zwraca jede wartośc współczków m. A użć fukcję REGLINP trzea: () zazaczć oszar w którm ma sę zaleźć wk; () wpsać azwę fukcj; () zatwerdzć jej wprowadzae komacją klawsz Ctrl+Shft+Eter. Na temat wszstkch statstk, geerowach przez fukcję REGLINP moża przecztać w Pomoc. Uwaga. W arkuszu kalkulacjm jest wkorzstaa tzw. ormala metoda ajmejszch kwadratów, pojawa sę ptae a le ta metoda, w porówau do prostej regresj ortogoalej z rs. odręczego, jest zgoda.

16 Przkład utworzea wkresu I = I (U) z zazaczeem odcków epewośc a podstawe dach z dośwadczea: Dośwadczale potwerdzee prawa Ohma Szczegół patrz: M. Djak, Istrukcja właścwego wkoaa wkresów a zajęca ddaktcze Taela: Dae pomarowe U, I z wartoścam epewośc graczch dla merków cfrowch Lp. U, mv 0,5 % {U} + 0, mv I, ma 0,8 % {I}+ 0,0 ma. 0,0 0,0 0,00 0,0. 7,4 0,47,07 0,0 3. 5,0,35 6,86 0, ,5,98 5,60 0, ,3 3, 6,30 0, ,7 3,49 8,60, ,3 4,5 4,0,3 8. 5,0 5,85 3,0, ,0 6,0 3,70, ,5 7,98 43,30,7 {W} wartość lczowa welkośc fzczej W

17 Rs. Wkres zależośc atężea prądu I od przłożoego apęca U dla przewodka. Przedstawoo zależośc dla klku długośc połączeń drutów oporowch. Zazaczoe są odck epewośc. Szczegół patrz: M. Djak, Istrukcja właścwego wkoaa wkresów a zajęca ddaktcze

18 Grafcza ocea parametrów l, rówoległook epewośc pomaru.

19 Prosta teoretcza Prostą o achleu a przecającą oś w pukce azwam prostą teoretczą. Ta prosta o wlczoch parametrach a jest rezultatem ajlepszego uśredea wków. Wkoując wkres ależ aeść prostą teoretczą a astępe pukt pomarowe. Wada metod: W wku olczeń otrzmuje sę wartośc a awet wted, gd merzoe wartośc e są lowo zależe. Przkład:. s = f (t), s = vt = s, = t, a = v, 0. V = f (t), V = V 0 + at = V, = t, a = a, = V 0 3. R = f (t), R = R 0 ( + t) = R, = t, a = R 0, = R 0 4. = f (t), = k T, dc = /d, = c, a = k T, 5. T = f (R, C), T = krc = T, = RC, a = k, 0

20 Przkład opracowaa dach metodą regresj lowej R = R 0 ( + T) zależość rezstacj od temperatur R = f (T) T, K R, Zaleźć rówae prostej ajlepej pasującej do tch dach lp T, K R,. wzór: R = R 0 ( + T) R = R 0 + R 0 T. zaleźć 3. sporządzć taelę =5 =839 = = 4930 = 453

21 4. podstawć wartośc: = 5, = 839, = 43567, = 4930, =453 do wzorów a a,, S a S : a = 0,5748; = 38,83; S a = 0,039; S =,5 5. zapsać wzor końcowe a a a = (0,57 0,04) K, = (38,8,) 6. zapsać rówae regresj lowej = 0, ,8 R = R 0 T + R 0 czl R = 0,57T + 38,8 7. sporządzć wkres R = f (T) = T, = R a = R 0 = R 0 8. aeść a wkres epewośc proste m ma m = (a S a ) + S, ma = (a + S a ) + + S

22 = a +, dla dowolego z pomarów oraz a olczoch metodą regresj wlczam. Mam dwa pukt (0,) (,) prowadzę prostą teoretczą R, = 0, ,83 R = 0,9863 R = f (T) pomar teora 30 T, K

23 Trasformacja fukcj elowch do fukcj lowch S at S = f(t ) S =, /a = a, t =. E T 4 E = f(t) le = l + 4lT Q Q e 0 t RC le =, l =, 4 = a, lt =. Q = f(t) lq = lq 0 t/rc lq =, lq 0 =, -/RC = a, t =