Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 0

Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności x (,) x,5) x 5, ) x+ 4 x+ 5 x x x 4 x+ 5 x x 4+ x 5 x x 7 Wyznaczamy części wspólne otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, x sprzeczność x 7 i bierzemy sumę tych przedziałów: x (, 7, ). II sposób rozwiązania zapisanie czterech przypadków x 4 0 x 4 0 x 4 < 0 Zapisujemy cztery przypadki: x 5 0 x 5 < 0 x 5 0 Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przypadkach: x 4 0 x 5 0 x 4 0 x 5 0 x 4+ x 5 x x 5 x x x 5 x 7 ) x 7, x 4 0 x 5 < 0 x 4 0 x 5 < 0 x 4 x+ 5 x x < 5 x niemożliwe x 4 < 0 x 5 0 niemożliwe x 4 < 0 x 5 < 0 x 4 < 0 x 5 < 0 x 4< 0 x 5 < 0 x + 4 x + 5 x < x < 5 x x < x < 5 x x (, Zapisujemy odpowiedź: x (, 7, ). 0-09-4

Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (, ),,5), 5, ) x 4 0 x 4 0 x 4 < 0 x 4 < 0 zapisze cztery przypadki: x 5 0 x 5 < 0 x 5 0 x 5 < 0 Uwaga: Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy 0 punktów. Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np: x, x+ 4 x+ 5 I. ( ) II. x,5) x 4 x+ 5 III. x 5, ) x 4 + x 5 Uwagi:. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź: x lub x 7. Uwaga:. We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o pkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.. Jeżeli zdający przy przekształcaniu nierówności podanej w treści zadania popełni błąd (np. ( x 4 ) + x 5 ), to otrzymuje punkt mniej niż przewidziany w schemacie w danej kategorii rozwiązania. 0-09-4

Zadanie. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x ( m ) x m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x, spełniające warunek x + x x x 5. Rozwiązanie: Zapisujemy układ warunków: Δ > 0 x + x xx 5 Rozwiązujemy nierówność Δ > 0 : m + 4m >, ( ) 0 m + 0m + 4 > 0 m, 0 4 6 0 + 4 6, +. ( ) ( ) Rozwiązujemy nierówność ( x + x ) x x 5 4 b c 4 5 a a m + 0m 96 0 Otrzymujemy m 4, 4. x + x x x 5. Częścią wspólną obu zbiorów jest suma przedziałów 4, 0 4 6) ( 0 + 4 6,4. Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części. a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0, gdzie Δ = m + 0m + 4, czyli m + 0m + 4 > 0 m (, 0 4 6) ( 0 + 4 6, + ). Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność Δ 0, to nie otrzymuje punktu za tę część. b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty. x + x x x 5, m 4, 4. c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b). Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt. W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt zapisanie nierówności x x xx 5 x + x 4xx wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności + w postaci równoważnej ( ) 5 0-09-4 4

m m + 0m+ 4 m + m + 0m+ 4 + 4 4 m m + 0m+ 4 m + m + 0m+ 4 5 4 4 Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania... pkt Doprowadzenie nierówności do postaci m + 0m 96 0. Rozwiązanie bezbłędne części b)... pkt Rozwiązanie nierówności: m 4, 4 Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi: m 4, 0 4 6) ( 0 + 4 6,4. Uwaga. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności, to otrzymuje 4 punkty. 0-09-4 5

Zadanie. (5 pkt) Ciąg ( a, b, c ) jest geometryczny. Ciąg (a+, b, c ) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c. I sposób rozwiązania Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: b = a c, a z własności ciągu b = a+ + c. arytmetycznego zapisujemy równanie: ( ) ( ) ( ) ( a+ ) + ( b) = ( c ) Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: b = a c. ( b) = ( a+ ) + ( c ) Przekształcamy układ równań do równania z jedną niewiadomą: ( a ) a( 9a ) b = b ( b+ ) lub c 4 = c c 9 9. Rozwiązujemy równania i otrzymujemy: a = lub b = lub c = 48. Warunki zadania spełniają liczby: a=, b=, c= 48. + = + lub II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, a przez q iloraz tego ciągu. Wówczas b= a q, c= a q. Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania zapisujemy układ równań: ( aq) = ( a + ) + ( aq ) a( q 4q+ ) = 9 lub. ( a+ ) + ( aq) = aq a( q q ) = 5 9 9 Z pierwszego równania mamy a = 5 q 4q q 4q q q =. + +, zatem ( ) Po uproszczeniu otrzymujemy równanie q 7q+ = 0. Rozwiązaniem tego równania są liczby: q = oraz q = 4. Zauważamy, że dla q = pierwsze równanie jest sprzeczne. Warunki zadania spełniają liczby: a=, b=, c= 48. Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np. b = a c ( b) = ( a+ ) + ( c ) ( a+ ) + ( b) = ( c ) 0-09-4 6

( aq) = ( a + ) + ( aq ) ( a+ ) + ( aq) = aq Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań z trzema lub dwiema niewiadomymi np.: b = ac 4aq = a + + aq a( q q ) = 5 4b = a + + c lub lub a+ + aq= aq a + + b = c a( q 4q+ ) = 9 Uwaga: Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Doprowadzenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np. ( a + ) = a( 9a + ) lub b = b ( b+ ) lub q 7q+ = 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Rozwiązanie bezbłędne... 5 pkt a =, b =, c = 48. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje układ z niewiadomymi a, q i nie odrzuci rozwiązania q =, to otrzymuje 4 punkty. 0-09-4 7

Zadanie 4. (4 pkt) Rozwiąż równanie 6sin x+ 7cosx = 0 dla x 0, π. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja 6 cos x + 7 cos x = 0 trygonometryczna ( ) 6 6cos x+ 7 cos x = 0 6cos x 7cos x 5 = 0 Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np. t = cos x, gdzie t,. Otrzymujemy równanie kwadratowe 6t 7t 5= 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe Δ= 49 4 5 6 = 69 Δ= ( ) 7 7+ 5 t = = t = = 5 Odrzucamy rozwiązanie t =, ponieważ 5, Rozwiązujemy równanie cos x = Zapisujemy rozwiązania równania w podanym przedziale 4 x = π lub x = π Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np.: 6cos x + 7cos x + 5 = 0 lub 6cos x 7cos x 5 = 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. t = cos x, zapisanie równania w postaci 6t + 7 t+ 5= 0 lub 6t 7 t 5= 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt 5 5 Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = lub t = ) i odrzucenie rozwiązania t =. Uwaga: Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest 5 cos x ) i zapisać rozwiązanie w postaci cos x = lub cos x = oraz zapisać, że równanie 5 cos x = jest sprzeczne. 0-09-4 8

Rozwiązanie pełne... 4 pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: π 4π x = lub x = x = 0 lub x = 40 Uwagi:. Jeżeli zdający podstawia cos x = sin x bez żadnych założeń, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający podniesie obie strony równania 6cos x 5= 7cosx do kwadratu i potem nie sprawdza rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów. 4. Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. t,, o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go. 5. Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania 5, to otrzymuje punkty. 6. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału,, konsekwentnie rozwiąże oba równania w podanym przedziale, to otrzymuje punkty. 7. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego 4 x = π + kπ, x = π + kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 4 punkty. 0-09-4 9

Zadanie 5. (4 pkt) Dany jest trójkąt ostrokątny o bokach a, b, c i kątach α, β, γ (zobacz rysunek). Wykaż, że b + c a a + c b tgβ =. tgα C b a A c I sposób rozwiązania Wykorzystujemy twierdzenie cosinusów i zapisujemy zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ Przekształcamy zależności do postaci: bc cosα = b + c a i ac cosβ = a + c b Zapisujemy lewą stronę równości w postaci: b + c a bcosα = a + c b acos β Wykorzystujemy związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i przekształcamy zależność do postaci: sinα b bcosα tgα b sinα tgβ = = acos β sin β a a sin β tgα tgβ Wykorzystujemy twierdzenie sinusów a sin β = b sinα i wykazujemy tezę: b sinα tgβ tgβ b + c a = = a sin β tgα tgα a + c b Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ B Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Przekształcenie zależności do postaci: bc cosα = b + c a i ac cosβ = a + c b Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt b + c a bcosα Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie, że = a + c b acos β 0-09-4 0

Rozwiązanie pełne... 4 pkt Wykorzystanie twierdzenia sinusów i wykazanie tezy. II sposób rozwiązania Wykorzystujemy związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i przekształcamy zależność do postaci: tg β sin cos = β α tgα sinαcos β b sin β Wykorzystujemy twierdzenie sinusów = i zapisujemy zależność w postaci: a sinα sin β cosα b cosα = sinα cos β a cos β Wykorzystujemy twierdzenie cosinusów i zapisujemy zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ Przekształcamy zależności do postaci: b + c a a + c b cosα = i cos β = bc ac Wykazujemy tezę: b + c a b b cosα bc b + c a tgβ = = = a cos β a + c b a + c b tgα a ac Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt tgβ sin βcosα Zapisanie, że = i wykorzystanie twierdzenia sinusów: sin β b tgα sinαcos β sinα = a. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Przekształcenie zależności do postaci: b + c a a + c b cosα = i cos β = bc ac Rozwiązanie pełne... 4 pkt 0-09-4

Zadanie 6. ( pkt) Wykaż, że nie istnieje wielomian W ( x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: W ( ) = i W ( ) =. I sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W ( x) = ax + bx + cx + d, gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi. Ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b+ c+ d = i ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b c+ d =. Po dodaniu otrzymanych równań stronami otrzymujemy równanie 8 b + d = 5, czyli ( 4b+ d) = 5. Ponieważ prawa strona równania jest nieparzysta, a lewa jest parzysta (b, d są zgodnie z założeniem liczbami całkowitymi), to zapisujemy wniosek, że taki wielomian nie istnieje. II sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W ( x) = ax + bx + cx + d a, b, c, d są liczbami całkowitymi. Ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b+ c+ d =, zatem d musi być liczbą nieparzystą. Ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b c+ d =, zatem d musi być liczbą parzystą. Zatem nie istnieje wielomian spełniający warunki zadania., gdzie Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje wielomian stopnia drugiego zamiast stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie ogólnej postaci wielomianu trzeciego stopnia: W ( x) = ax + bx + cx + d, gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi a, b, c, d: 8a + 4b + c + d = 8a + 4b c + d = Rozwiązanie pełne... pkt Dodanie stronami obu równań: 8 b + d = 5. oraz zauważenie, że lewa strona równania 8 b + d = 5 jest parzysta, a prawa nieparzysta i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomian spełniający podane warunki zauważenie, że d w równaniu 8a+ 4b+ c+ d = musi być nieparzyste, a w równaniu 8a+ 4b c+ d = parzyste i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomian spełniający podane warunki. 0-09-4

Uwagi:. Jeżeli zdający zauważy, że d w równaniu 8a+ 4b+ c+ d = jest nieparzyste, a w równaniu 8a+ 4b c+ d = jest parzyste i nie sformułuje wniosku, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający zauważy, że lewa strona równania 8 b + d = 5 jest parzysta, a prawa nieparzysta i nie sformułuje wniosku, to otrzymuje punkty. 0-09-4

Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AC = 5 i AB = 8. Pole tego trójkąta jest równe 0. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Rozwiązanie Oznaczamy CAB = α oraz R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. Obliczamy 5 8 sinα = 0 sin α ze wzoru na pole trójkąta; stąd sin α = α jest kątem ostrym więc cos α =. Korzystamy z tw. cosinusów do obliczenia długości boku BC: BC = 5 + 8 5 8, BC = 7 Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC obliczamy korzystając z tw. sinusów: 7 7 R = czyli R =. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania... pkt Obliczenie sin α : sin α =. Istotny postęp.... pkt obliczenie cos α = obliczenie długości odcinków, na jakie wysokość trójkąta dzieli bok AB: AD =, 5 i BD = 5,5 lub dla boku AC: AE = 4 i EC =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie BC : BC = 7. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 7 Obliczenie: R =. Uwaga:. Jeżeli zdający w obliczeniach popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, to przyznajemy 4 punkty. 0-09-4 4

Zadanie 8. (5 pkt) Punkty A = ( 5,5), C = ( 8, 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB CD. Prosta o równaniu y = x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu. y y = x ( 5,5) = A (, ) = M D = ( 0,0) N = ( 4,8) ( 7, ) = B C = ( 8,6) I sposób rozwiązania (punkty symetryczne względem osi symetrii) Wyznaczamy równania prostych AB i CD prostopadłych do osi symetrii trapezu. prosta AB prosta CD y = x+ b y = x+ b 5 = b 0 = b 5 y = x+ y = x+ 0 Wyznaczamy współrzędne punktu M leżącego na prostej AB i osi symetrii trapezu y = x 5 y = x + M = (, ). Punkt B leży na prostej AB, równość 5 + 5 + 5 = + x. x x 5= 0 x = 5 x = 7 ( ) ( ) ( x ) 5 B= x, x+, AM = MB możemy więc zapisać x 0-09-4 5

wykorzystujemy własność: punkt M jest środkiem odcinka AB: ( ) Współrzędne punktu B to B = ( 7, ). Analogicznie postępujemy przy obliczeniu współrzędnych wierzchołka D. 5+ xb 5+ yb, =, Wyznaczamy współrzędne punktu N leżącego na prostej CD i osi symetrii trapezu. y = x y = x + 0 N = ( 4,8) D leży na prostej CD, D= x, x+ 0 CN = ND ( 4 8) + ( 8 6) = ( x 4) + 0 x 8 5 0 0 4 x x= x= 0 lub x= 8 wykorzystujemy własność: punkt N jest środkiem odcinka CD: ( ) Współrzędne punktu D to D = ( 0,0). 8+ xd 6+ yd 4,8 =, W celu wyznaczenia pola trapezu musimy obliczyć długości podstaw i wysokości trapezu. AB = 80 = 6 5 CD = 80 = 4 5 Długość wysokości h trapezu jest równa, np. odległości wierzchołka C od prostej AB. 5 4+ 6 h = = 5 + 4 6 5+ 4 5 Obliczamy pole trapezu P = 5 = 75. Odpowiedź: Pole tego trapezu P = 75. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt 5 Wyznaczenie równań prostych AB i CD: y = x+ y = x+ 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt, N = 4,8 Obliczenie współrzędnych punktów M i N: M = ( ), ( ) 0-09-4 6

Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie współrzędnych punktów B i D jako symetrycznych do punktów A i C względem prostej y x B= 7,, D= 0,0. = : ( ) ( ) Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie pola trapezu 75 B= 7,, D= 0,0. P = oraz podanie współrzędnych ( ) ( ) Uwagi:. Jeżeli zdający nie wyznaczy współrzędnych wierzchołków B i D, ale obliczy pole trapezu, to przyznajemy punkty.. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie długości podstaw oraz wysokość trapezu i nie obliczy pola trapezu, to przyznajemy 4 punkty.. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości podstaw lub wysokości trapezu i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu, to przyznajemy 4 punkty. II sposób rozwiązania (prosta i okrąg) S = a,a oznacza środek okręgu opisanego na trapezie ABCD. Niech ( ) Środek okręgu opisanego na trapezie leży na osi symetrii trapezu i jest równoodległy od punktów A i C, więc AS = CS. ( a+ 5) + ( a 5) = ( a 8) + ( a 6) 0a = 50 5 a = 50 Środek okręgu S =,. Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym. 5 0 5 7 r = AS = + 5 + 5 =. Wyznaczamy równania prostych AB i CD prostopadłych do osi symetrii trapezu. prosta AB prosta CD y = x+ b y = x+ b 5 = b 0 = b 5 y = x+ y = x+ 0 Obliczamy współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu rozwiązując układy równań. wierzchołek B wierzchołek D 5 0 45 5 0 45 x + y = x + y = 9 9 5 y = x + y x 0 = + 0-09-4 7

5 5 45 x + x = 5 0 45 x + x+ = 6 9 9 5 x x 5= 0 0 0 4 x x= x = 5 x = 7 x = 0 x = 8 x= 5 x= 7 x= 0 x= 8 y = 5 y = y = 0 y = 6 A 5,5 B 7, D= 0,0 C = 8, 6 = ( ) = ( ) ( ) ( ) W celu wyznaczenia pola trapezu obliczamy długości podstaw i wysokość trapezu. AB = 44 + 6 = 80 = 6 5 CD = 64 + 6 = 80 = 4 5 Wysokość h trapezu jest równa odległości wierzchołka C od prostej AB 5 4+ 6 h = = 5. + 4 80 + 80 Obliczamy pole trapezu P = 5 = 75. Odpowiedź: Pole tego trapezu jest równe 75. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie układu równań lub równania, z którego można wyznaczyć współrzędne środka okręgu np. b= a ( a+ 5) + ( a 5) = ( a 8) + ( a 6) ( a+ 5) + ( b 5) = ( a 8) + ( b 6) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 50 Obliczenie współrzędnych środka okręgu S =, oraz promienia okręgu 5 7 r = 5 0 45 i podanie równania okręgu x + y =. 9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie współrzędnych punktów B i D, np. poprzez rozwiązanie układów równań: 5 0 45 5 0 45 x + y = x + y = 9 9 : B= ( 7, ), D= ( 0,0) 5 y = x + y = x + 0 Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie pola trapezu 75 B= 7,, D= 0,0. P = oraz podanie współrzędnych ( ) ( ) 0-09-4 8

Uwagi:. Jeżeli zdający nie wyznaczy współrzędnych wierzchołków B i D, ale obliczy pole trapezu, to przyznajemy punkty.. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie długości podstaw oraz wysokość trapezu i nie obliczy pola trapezu, to przyznajemy 4 punkty.. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości podstaw lub wysokości trapezu i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu, to przyznajemy 4 punkty. 0-09-4 9

Zadanie 9. ( pkt) Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Wykaż, że MP = NP. Rozwiązanie M D P C N A B Założenie: AC, BD przekątne trapezu ABCD, P punkt przecięcia przekątnych, MN prosta równoległa do podstaw trapezu, punkt P leży na prostej MN. Teza: MP = NP. Dowód: Trójkąt ABD jest podobny do trójkąta MPD (kkk), więc MP = MD. AB AD Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta PNC (kkk), więc PN = NC. AB BC Z twierdzenia Talesa dla prostych AD i BC przeciętych prostymi równoległymi AB, MN MD NC i DC zapiszemy proporcję =. AD BC Z zapisanych proporcji wnioskujemy, że MP = PN, stąd MP = NP. AB AB Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zauważenie dwóch par trójkątów podobnych: ABD i MPD oraz ABC i PNC i zapisanie MP MD PN NC proporcji =, =. AB AD AB BC Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Skorzystanie z twierdzenia Talesa dla prostych AD i BC przeciętych prostymi równoległymi AB, MN i DC i zapisanie proporcji MD = NC. AD BC Uwaga: Zdający może skorzystać z proporcji AM = BN i z niej wyprowadzić żądaną MD NC proporcję do niej sprowadzić żądaną proporcję. Rozwiązanie pełne... pkt Zapisanie równości MP = NP i wyprowadzenie wniosku, że MP = NP. AB AB 0-09-4 0

Zadanie 0. (5 pkt) Dany jest kwadrat ABCD o boku równym. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F takie, że CE = DF = x. Oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole. Rozwiązanie D x F x C x E A x Z warunków zadania AB = BC = CD = AD =, CE = x i DF = x 0 x. Określamy długość odcinków BE i CF : BE = x, CF = x. Obliczamy pole trójkąta AEF. PAEF = PABCD PABE PCCEF PADF = 4 ( x) x ( x) x= x x+ Pole trójkąta AEF jest funkcją zmiennej x: P( x) = x x+ dla x 0,. Funkcja ta osiąga najmniejszą wartość dla x = =. Wówczas pole trójkąta AEF jest równe. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie, że P P P P P P = P P + P + P. AEF = lub ( ) ABCD ADF CEF ABE Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie pól trójkątów ADF, CEF i ABE: PΔ ADF = x, PΔ ABE = x x + x i PΔ CEF = = x + x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie P AEF jako funkcji x: f ( x) = x x+. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum: x =. Obliczenie pola trójkąta AEF:. AEF B ABCD ADF CEF ABE 0-09-4

Uwagi:. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu sumy pól trójkątów ADF, ABE i CEF i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 4 punkty.. Jeżeli zdający popełni błąd w obliczeniu odciętej wierzchołka paraboli i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta AEF, to otrzymuje 4 punkty.. Nie wymagamy uzasadnienia, że dla znalezionej wartości x = funkcja przyjmuje minimum (a więc stwierdzenia, że ramiona paraboli są skierowane do góry, czy uzasadnienia, że w jedynym znalezionym miejscu zerowym pochodnej funkcja ma minimum). 4. Jeżeli zdający wyznaczy wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i nie obliczy pola tego trójkąta, to otrzymuje 4 punkty. 0-09-4

Zadanie. (4 pkt) Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {,, } losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7. Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie czteroelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru {,,}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne, mamy model klasyczny, 4 Ω= = 8. Zauważmy, że zdarzeniu A - suma wszystkich czterech cyfr wylosowanej liczby jest równa 7, odpowiada sytuacji, gdy w zapisie liczby występują cyfry,,,,,,, w dowolnej kolejności. A 6 Stąd A = 4 + 4 = 6i P( A ) = =. Ω 8 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt 4 Zdający zapisze Ω = poda rozkład 7= +++=+++ i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 4 Zdający zapisze Ω = i poda rozkład 7= +++=+++ i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy A = + 4 = 6 i nie obliczy prawdopodobieństwa. Zdający obliczy prawdopodobieństwo P (A) z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 6 6 Obliczenie prawdopodobieństwa: PA= ( ) lub PA= ( ). 4 8 Uwagi:. Zdający otrzymuje punkty, gdy obliczy prawdopodobieństwo tylko dla jednego przypadku: 7= +++, A =, zatem P ( A) = 4 4 7= +++, A = 4, zatem P ( A) = 4. Zdający otrzymuje punkty, gdy obliczy prawdopodobieństwo P (A) z błędem rachunkowym. 0-09-4

Zadanie. (4 pkt) W ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są: AB = AC = BS = CS = 9 i AS = BC = 8. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Rozwiązanie I sposób (ostrosłup jako samodzielna bryła ) Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BDS obliczamy wysokość ściany bocznej BCS: S A 8 x O SD = 9 4 = 65 Trójkąty BCS i BCA są przystające, więc AD = SD = 65 Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AOS i ODS mamy h + x = 8 i ( ) h + 65 x = 65 64 x + 65 65x+ x = 65 9 h. 9 9 9 B. Stąd h D 8 C = 64 x i 64 x + ( 65 x) = 65 x =, więc h = 64 65 65, 56 a stąd h =. 65 56 4 Objętość ostrosłupa jest więc równa V = PABC h= 8 65 = = 74 65 Uwaga. Wysokość ostrosłupa możemy obliczyć inaczej, np. A. Ze wzoru Herona obliczamy pole trójkąta ADS 0-09-4 4

( ) ( )( )( )( ) ( )( ) p = 8 + 65 + 65 = 4 + 65, P = 4+ 65 4+ 65 65 4+ 65 65 4+ 65 8 = 4+ 65 65 4 4 4 = 4 49 = 8 ADS ale PADS = 65 h, więc 56 65 h = 8, stąd h =. 65 B. Trójkąt ADS jest równoramienny, więc z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADE, gdzie E jest środkiem boku AS obliczamy wysokość DE trójkąta ADS ( ) DE = 65 4 = 7 Wykorzystując dwukrotnie wzór na pole trójkąta ADS mamy PADS = AD h oraz PADS = AS DE, stąd 56 65 h = 8 7, więc h = 65 To samo uzyskamy wykorzystując podobieństwo trójkątów AOE i AED (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku A) OS ED =, czyli h 7 =, stąd h = 56 AS AD 8 65 65 Możemy też zapisać sinus kąta przy wierzchołku A raz w trójkącie prostokątnym AOS, drugi raz w trójkącie prostokątnym AED OS ED OS ED sin A = oraz sin A =, stąd =, czyli h 7 =, więc h = 56 AS AD AS AD 8 65 65 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa P = 4 65. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 56 65 obliczenie wysokości ostrosłupa h = i nie obliczenie pola podstawy ostrosłupa 65 obliczenie pola podstawy ostrosłupa i wskazanie metody obliczenia wysokości ostrosłupa. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt 56 65 Obliczenie wysokości ostrosłupa h = oraz pola podstawy ostrosłupa i nie obliczenie 65 objętości lub obliczenie objętości ostrosłupa z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 4 Obliczenie objętości ostrosłupa: V =. 0-09-4 5

II sposób (ostrosłup wpisany w prostopadłościan) Wpiszmy ostrosłup w prostopadłościan o podstawie kwadratowej (zobacz rysunek). Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu obliczamy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu 8 B a = Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE obliczamy wysokość tego prostopadłościanu 8 b = 9 = 8 = 7. b Objętość ostrosłupa ABCS obliczymy S odejmując od objętości prostopadłościanu objętości czterech przystających ostrosłupów: AESB, ADSC, BFCA i BGCS. Wysokość każdego z tych ostrosłupów jest zarazem E wysokością prostopadłościanu, a podstawą każdego z nich jest połowa podstawy prostopadłościanu, więc 4 7 74 8 4 VABCS = V V = V = a b= 6 = =. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wpisanie ostrosłupa w prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 8 Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu a = i b = 7. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie objętości ostrosłupa ABCS jako różnicy objętości prostopadłościanu i czterech przystających ostrosłupów. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 4 Obliczenie objętości ostrosłupa: V =. 9 G a 9 8 8 9 A F 9 a C D 0-09-4 6