Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra macierzy Własności macierzy Macierze blokowe Przestrzenie liniowe wektora Wartości własne Przekształcenia przez podobieństwo Normy wektorów i macierzy 2 1
Pojęcia podstawowe Macierzą rzeczywistą A o wymiarach m n nazywamy prostokątną tablicę zawierającą elementy rzeczywiste, ustawione w m wierszach i n kolumnach. 3 Pojęcia podstawowe Macierze oznacza się zazwyczaj dużymi literami alfabetu: A, B, X, natomiast elementy macierzy małymi literami z indeksami oznaczającymi numer wiersza i kolumny: a i,j, b i,j, x i,j. Macierz A można także zapisać [a i,j ] m n lub [a i,j ]. Macierz A=[a i,j ] 1 n lub A=[a i,j ] m 1 nazywa się wektorem. Macierz o wymiarze n n określa się jako macierz kwadratowa. 4 2
Pojęcia podstawowe Macierz której wszystkie elementy są 0 nazywa się zerową. Macierz kwadratową której wszystkie elementy poza leżącymi na przekątnej są 0 określa się jako macierz diagonalną. Macierz diagonalna w której wszystkie elementy leżące na przekątnej są równe 1, nazywa się macierzą jednostkową n-tego stopnia i oznacza I n. 5 Pojęcia podstawowe Macierzą hermitowską określamy macierz kwadratową zawierającą elementy rzeczywiste lub zespolone która jest równa swojemu sprzężeniu. A=A T 6 3
Pojęcia podstawowe Własności macierzy hermitowskiej: 1. W głównej przekątnej są wyrazy rzeczywiste 2. Ma rzeczywiste wartości własne 3. Wyznacznik macierzy jest rzeczywisty 4. Macierz o elementach rzeczywistych jest symetryczna 7 Pojęcia podstawowe Macierz trójkątną dolną lub górną określa się macierz której wszystkie elementy leżące nad lub pod przekątną są równe 0. 8 4
Własności macierzy Sumą macierzy A=[a i,j ] m n i B=[b i,j nazywa macierz C=[c i,j ] m n gdzie c i,j i,j ] m n i,j =a i,j +b i,j Iloczyn macierzy A=[a i,j ] m n przez liczbę αϵr nazywa macierz C=[c i,j ] m n gdzie c i,j =α a i,j 9 Własności macierzy Dla macierzy A, B i C tego samego wymiaru, oraz liczb rzeczywistych α i β zachodzą zależności: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A = A A + (-A) = 0 α (A + B) = α A + α B (α + β) A = α A + β A 1 A = A (α β) A= α (β A) 10 5
Własności macierzy Iloczynem macierzy A=[a i,j ] m n i B=[b i,j ] n k nazywa macierz C=[c i,j ] m k gdzie c i,j =a i,1 b 1,j +a i,2 b 2,j + +a i,n b n,j Przemienność mnożenia macierzy nie zawsze zachodzi AB BA 11 Własności macierzy Jeżeli macierze A, B i C są odpowiednich wymiarów, a α jest liczbą rzeczywistą to: A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC A(αB) = (αa)b = α(ab) (AB)C = A(BC) AI n =I m A=A A n A m =A n+m 12 6
Własności macierzy Macierzą transponowaną do macierzy A=[a i,j ] m n nazywamy macierz B=[b i,j ] n m taką że: b i,j = a j,i Macierz transponowaną do macierzy A oznacza się A T Przy transponowaniu macierzy kolejne jej wiersze stają się kolumnami macierzy transponowanej. 13 Własności macierzy Dla macierzy A, B odpowiednich wymiarów, α liczby rzeczywistej oraz n liczby całkowitej: (A + B) T = A T + B T (A T ) T = A (α A) T = α A T (A B) T = B T A T (A n ) T = (A T ) n Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną (antysymetryczną), gdy A T = A (A T = -A) 14 7
Wyznacznik macierzy Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywa się funkcję A =det A przyporządkowująca liczbę rzeczywistą w sposób indukcyjny: 1. Jeżeli macierz A ma stopień n=1 to: 2. Jeżeli macierz A ma stopień n 2 to: 15 Wyznacznik macierzy Dla macierzy kwadratowej A o stopniu n 2, można określić dopełnienie algebraiczne elementu a i,j takie że: D i,j =(-1) i+j deta i,j Można więc dla macierzy kwadratowej A stopnia n 2, oraz i 1, j n opisać wyznacznik macierzy jako: deta=a i,1 i,1 D i,1 i,1 + +a i,n i,n D i,n =a 1,j D 1,j 1,j + +a n,j n,j D n,j 16 8
Wyznacznik macierzy Reguły te nie mają zastosowania do obliczania wyznaczników wyższych rzędów n>3 17 Wyznacznik macierzy Interpretacją geometryczną wyznacznika II stopnia jest pole równoległoboku opisanego wektorami v=( =(a,b) i u=( =(c,d) Interpretacją geometryczną wyznacznika III stopnia jest objętość równoległościanu opisanego wektorami v=( =(a,b,c), u=( =(d,e,f) i w=( =(g,h,i). 18 9
Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej lub dolnej, niezależnie od stopnia macierzy równy jest iloczynowi elementów znajdujących się na przekątnej macierzy. 19 Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy: gdzie A1,,Ak są macierzami kwadratowymi (niekoniecznie tego samego stopnia, 0 oznaczają macierze zerowe, a B dowolne macierze to wyznacznik takiej macierzy liczymy jako iloczyn wyznaczników. 20 10
Wyznacznik macierzy 21 Wyznacznik macierzy 1. Wyznacznik macierzy kwadratowej zawierającej kolumnę lub wiersz zerowy wynosi 0. 2. Zmiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn spowoduje że zmieni się znak wyznacznika macierzy 3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie takie same kolumny lub wiersze wynosi 0 4. Jeżeli można z jednego wiersza lub kolumny wydzielić stały współczynnik to można wyłączyć go przed wyznacznik macierzy. 22 11
Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy w której w jedną kolumnę lub wiersz opisze się jako sumę liczb można policzyć jako sumę wyznaczników dwóch macierzy w której wskazany wiersz lub kolumna są zastąpione wskazanymi składnikami: 23 Wyznacznik macierz Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeżeli do wartości dowolnego wiersza lub kolumny dodamy dowolną wielokrotność innego wiersza lub kolumny. 24 12
Wyznacznik macierzy 1. Wyznacznik macierzy i wyznacznik macierzy do niej transponowanej są sobie równe: deta=deta T 2. Jeżeli macierze A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia to det(a B)= )=deta detb 3. Dla dowolnego n całkowitego: det(a n )=(deta) n 25 Wyznacznik macierzy Algorytm Gaussa obliczania wyznaczników, dla macierzy kwadratowych stopnia n 3 i a 1,1 0. 26 13
Wyznacznik macierzy 27 Wyznacznik macierzy 28 14
Wyznacznik macierzy 29 Macierz odwrotna Macierzą odwrotna do macierzy kwadratowej A stopnia n określa się macierz A - 1 spełniającą warunek: AA - 1 =A - 1 A=I n gdzie I n jest macierzą jednostkową n-tego stopnia. Macierz jest odwracalna tylko wtedy gdy jest nieosobliwa, a więc spełniony jest warunek: deta 0 30 15
Własności macierzy odwrotnej Dla macierzy A i B tego samego wymiaru, odwracalnych, αϵr\{0} i nϵn to A - 1, A T, AB, αa, A n są odwracalne det(a - 1 )=(deta) -1 (A - 1 ) - 1 =A (AB) - 1 =B - 1 A -1 (αa) - 1 =(1/α)(A - 1 ) (A n ) - 1 =(A n ) -1 31 Macierz odwrotna Macierz odwrotną do A liczy się według zależności: gdzie D jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A: D ij =(-1) i+j M ij Gdzie M ij jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez usunięcie z macierzy A i-tego wiersza i j-kolumny 32 16
Przykład 1 Wyznaczyć macierz odwrotną do A. 33 Przykład 1 Należy wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych: 34 17
Przykład 1 Macierz D T : Macierz odwrotna do A wynosi: 35 Przykład 2 Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa poprzez przekształcanie układu macierzy AI do układu IA-1 za pomocą elementarnych przekształceń: 1. Mnożenia macierzy przez stałe różne od zera 2. Dodawania do elementów wiersza odpowiadających ich elementów innego wiersza przemnożonych przez dowolną stałą 3. Przestawianie wierszy 36 18
Przykład 2 Za pomocą przekształceń elementarnych można z zalewności: AA - 1 =I Wyznaczyć macierz odwrotną A - 1 do macierzy A 37 Przykład 2 38 19
Przykład 2 39 Macierz blokowa (klatkowa) Jeżeli elementami macierzy A są inne macierze, to taką macierz określa się mianem macierzy blokowej (klatkową). Podział na bloki (klatki) może być prowadzony w sposób dowolny. 40 20
Macierze blokowe Dodawanie i mnożenie macierzy blokowych realizowane jest analogicznie jak przy dodawaniu i mnożeniu macierzy, traktują bloki jak elementy macierzy. Bloki utworzone w macierzach muszą mieć wymiary umożliwiające wykonanie działań: Dodawanie macierze tego samego wymiaru Mnożenie zgodna liczba kolumn w pierwszej i wierszy w drugiej macierzy 41 Przykład 3 42 21
Macierze blokowe Macierz diagonalna-blokowa jest macierzą zawierającą na swojej przekątnej macierze, a pozostałe elementy są równe 0. 43 Macierze blokowe Wyznacznik macierzy blokowej diagonalnej równa się iloczynowi wyznaczników macierzy znajdujących się na przekątnej. Jeżeli kwadratowe to: deta=deta 1 deta 4 Jeżeli kwadratowe, nieosobliwe to: i macierze A 1 i A 4 są i macierze A 1 i A 4 są Jeżeli wymiarach m n to: i B jest dowolną macierzą o 44 22
Przestrzenie liniowe wektora Przestrzenią liniową nad nazywamy dowolny niepusty zbiór V,, na którym określone są binarne działanie dodawania wektorów i unarne (jednoargumentowe) działanie mnożenia wektorów przez liczby (tϵ ) spełniające zależności dla wszystkich u,v,wϵv i r,sϵ (1-7). Przestrzenie liniowe są analogicznie opisane dla zbiorów 2, 3, n, gdzie n 4. Elementy przestrzeni liniowej V nazywa się wektorami. Natomiast liczby rzeczywiste w kontekście przestrzeni liniowej określa się jako skalary. 45 Przestrzenie liniowe wektora 1. v+w=w+v przemienność 2. v+( +(w+u)=( )=(v+w)+v łączność 3. Istnieje element OϵV (wektor zerowy) taki, że dla wszystkich vϵv O+v=v+O=v 4. Dla każdego vϵv istnieje v ϵv taki, że v+v = =v +v=o 5. r(v+w)= )=rv+rwrw 6. (r+s)v=rv+sv 7. r(sv)= )=(rs)v 8. 1v=v 46 23
Wartości własne macierzy Dla dowolnej macierzy kwadratowej A można zapisać wielomian charakterystyczny w postaci: Równanie w postaci nazywa się równaniem charakterystycznym, a pierwiastki to wartości własne macierzy. 47 Wartości własne a) Suma wartości własnych (z krotnościami) jest równa śladowi macierzy tzn. sumie elementów jej przekątnej. b) Macierz jest osobliwa wtedy i tylko wtedy gdy zero jest jej wartością własną, c) Macierz jest pierwiastkiem własnego równania charakterystycznego, d) Macierz symetryczna ma tylko rzeczywiste wartości własne, e) Jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to c λ jest wartością własną macierzy c A, f) Jeśli λ 0 jest wartością własną macierzy A, to 1/λ jest wartością własną macierzy A - 1, g) Jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to λ m jest wartością własną macierzy A m, mϵn 48 24
Przykład 4 Wyznaczyć wartości i wektor własny macierzy A. 49 Przykład 4 50 25
Wektory wartości własnych Wektory x wartości własnych otrzymuje rozwiązując równanie, gdzie 0 jest wektorem zerowym dla każdego. Otrzymany układ będzie nieoznaczony, posiadający wiele rozwiązań. Zazwyczaj zapisuje się postać ogólną x1=x, a pozostałych elementów wektora zależnych od x, lub przyjmuje się że jeden z elementów jest równy 1. 51 Wektory wartości własnych 52 26
Wektory wartości własnych 53 Wektory wartości własnych 54 27
Podobieństwo macierzy Macierze A i B określa się jako podobne jeżeli istnieje taka macierz C, że spełniona jest poniższa zależność: C -1 A C=B 55 Przekształcenia przez podobieństwo Dla każdej macierzy hermitowskiej można zdefiniować przekształcenie przeprowadzające ją w macierz diagonalną. C -1 H C=D Przekształcając powyższe równanie: C i -1 H C i =d i H C i =d i C i Otrzymamy zależność na i-ty element macierzy diagonalnej. 56 28
Przekształcenia przez podobieństwo H C i =d i C i Macierz H pomnożona przez wektor (i-tą kolumnę macierzy C) w wyniku daje ten sam wektor pomnożony przez liczbę di. Wówczas wektor C i jest wektorem własnym macierzy H z wartością własną d i. Wektory własne macierzy H są więc kolumnami macierzy C. Przekształcenie macierzy H macierzą C w macierz diagonalną D określa się diagonalizacją macierzy. 57 Diagonalizacja macierzy Dla macierzy symetrycznych (rzeczywistych) podstawowymi metodami diagonalizacji są: Metoda Jacobiego Metoda Householdera Metoda Davidsona Dla macierzy niesymetrycznych: Metoda QR Metoda Hirao i Nakatsujego 58 29
Norma macierz Normą macierzy kwadratowej A jest nieujemna liczba A (nie wyznacznik) która spełnia poniższe warunki: 1. A (0, ), A =0 <=> A=0 2. αa = A = α A, A, gdzie α jest liczbą a) A+B A + B b) A B A B 59 Norma wektora Dla macierzy jednokolumnowej (wektora) określane są następujące normy: 1. Suma modułów: 2. Norma euklidesowa: 3. Norma maksimum: 60 30
Normy macierzy Normy macierzy kwadratowy określa się następująco: 1. Suma kolumny: 2. Norma euklidesowa: 3. Norma spektralna: max (A) maksymalna wartość wartości własnych macierzy A 4. Sumy wierszy: 61 Przykład 5 Obliczyć normy wektora: 62 31
Przykład 6 Obliczyć normy macierzy kwadratowej: 63 Przykład 6 64 32