MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ



Podobne dokumenty
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

1 Macierze i wyznaczniki

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

1 Zbiory i działania na zbiorach.

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Algebra liniowa z geometrią

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

A A A A A A A A A n n

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

1 Elementy logiki i teorii mnogości

Macierze Lekcja I: Wprowadzenie

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

3. Wykład Układy równań liniowych.

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

MACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Metody i analiza danych

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

Zadania egzaminacyjne

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Macierze i Wyznaczniki

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

13 Układy równań liniowych

Układy równań liniowych

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski

Zaawansowane metody numeryczne

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

Układy równań liniowych

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

Podstawowe struktury algebraiczne

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

Przestrzenie liniowe

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Zastosowania wyznaczników

Rozwiązywanie układów równań liniowych

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

Własności wyznacznika

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ

Układy równań i nierówności liniowych

Transkrypt:

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. (Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2,, 6,, 2, 5 (czyli: a = 2, a 2 = 5,..., a 8 = 5 ). Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a =,... a 0 = 94... Suma wyrazów ciągu liczbowego: Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z Z, n=z a n = a z + a z+ +... + a Z. (suma Z z + składników) W szczególności: (suma m składników). m n= a n = a + a 2 +... + a m.

Proste przykłady: 8 n= n = = + 2 + +... + 8 = 6 ; 0 k=7 k = = 7 + 8 + 9 + 0 = 4 ; 8 i=4 (i ) = = (4 ) + (5 ) + (6 ) + (7 ) + (8 ) = 5 ; j= 5 j 2 = = ( 5) 2 + ( 4) 2 +... + 4 2 + 5 2 = 0. n=0 2 n = = 2 0 + 2 + 2 2 + 2 + 2 4 + 2 5 = + 2 + 4 + 8 + 6 + 2 = 6..2. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI (a) Z n=z (a n + b n ) = Z n=z a n + Z (b) z n=z a n = a z np. n=5 n=z b n n = 5 (c) Z n=z (c a n) = c (d) dla z w Z n=z a n np. 8 n=0 (7 n 2 ) = 7 8 n 2 n= w n=z a n + n=z a n Z n=w+ (np. 7 n= a n = (2n ) + 9 n=8 (2n ) = 9 n= (2n ) )

(e) Z 9 c = (Z z + ) c np n=z = 5 + 5 +... + 5 = 7 5 = 5. n= 5 =.. OBLICZANIE 9 4 j=6 = = 27; n= 2 (2n + ) = = 2 ( 2) + + 2 ( ) + + 2 0 + +... 2 + 6 k= k 2 0 i= 0 i j=0 (2 j ).4. ZAPISYWANIE Zapisać z użyciem znaku sumy: + 4 + 5 +... + 5 ; x + x 2 + x + x 4 ; x 2 + x 4 +... + x 50 5 k= oraz k x n 25 x 2k n= k= 5 + 6 +... + 29 ; 5x 2 + 6x 4 + 7x 6 +... + 29x 50 29 n=5 n (lub 25 n= (n + 4)) 25 n= (n + 4)x 2n

.5. INTERPRETACJA Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D), w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż). Oznaczamy przez x ij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas: liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr to x j a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to i= x i5. Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie p ij, a sprzedaje po z ij za litr, to jego dzisiejszy utarg na piwie wynosi a zysk (z ij x ij ), ((z ij p ij ) x ij ). A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci? Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (s i ) dostaniemy i= s i = 4 i= x ij. Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (r j ) dostaniemy r j = 5 x ij. i= Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną: i= x ij = 5 i= x ij.

.6. SUMA PODWÓJNA Definicja jak wyżej: Y x ij = Z Y x ij = i=y j=z j=z i=y = Y x ij = Z Y x ij. i=y j=z j=z i=y Podstawowe właściwości: Y i=y j=z Y i=y j=z Przykład: ale prościej: = (a ij + b ij ) = Y (a i b j ) = Y m=0 m=0 n= i=y i=y j=z a i m + n (m + ) j=z = +... + m=0 n= n= a ij + Y b j. i=y j=z + 2 + 5 + 5 2 + 5 b ij ; + 2 + 2 2 + 2 + = 6 + 22 6 +... 55 6 = 65 6 m + = 4 (m + ) n m=0 n= n = 5 n + 2 + = = 5 6 = 65 6 = 55 2..7. ILOCZYN Na przykład: 5 Z n=z a n = a z a z+... a Z. j = 2 4 5 = 20 = 5! ; 9 j= j = 0 ; n k= n k = n! ; a = a n.

2. Algebra liniowa 2.. WEKTORY DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ Wektor n-wymiarowy x układ n liczb rzeczywistych: x = (x, x 2,..., x n ). Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej R n. Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x = lub jako wektory wierszowe: x = [x x 2... x n ]. Działania na wektorach Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) : Dla x = [x x 2... x n ], y = [y y 2... y n ] R n np. [2 5] + [ 0 ] = [5 4]. Mnożenie wektora przez liczbę Dla x = [x x 2 np. [2 5] = [6 9 5]. x x 2... x n x + y = [x + y x 2 + y 2... x n + y n ]... x n ] R n i liczby c R c x = [cx cx 2... cx n ] Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru) Dla x = [x x 2... x n ], y = [y y 2... y n ] R n x y = x y + x 2 y 2... + x n y n = n np. [2 5] [ 0 ] = 6 + 0 + ( 5) =. x j y j (liczba),

Wektor d R n jest kombinacją liniową wektorów a, a 2,..., a k jeżeli istnieją liczby z, z 2,..., z k (współczynniki kombinacji) takie że d = z a + z 2 a 2 +... + z k a k. Jeśli z, z 2,..., z k 0 i k z j =, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą. Np. wektor d = 8 jest kombinacją liniową wektorów a = i a 2 = 0 2 (bo d = a a 2 ), a wektor e = 0 nie jest; wektor 2 5 jest kombinacją wypukłą wektorów 6 i 0 6, a wektor 2 2 jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą. Wektory a, a 2,..., a k R n są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacją liniową pozostałych. Np. wektory a =, a 2 = 0 2 i a = 0 są liniowo niezależne, a wektory a, a 2 i a 4 = nie są (bo a 4 = a 2a 2 ), czyli są liniowo zależne. Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w R n może składać się z co najwyżej n wektorów. Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w R n : [ 0... 0], [0 0... 0],..., [0 0... 0 ] (baza kanoniczna układ wszystkich wersorów).

2.2. MACIERZE OKREŚLENIE Macierz wymiaru m n = Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach. A = a a 2... a n a 2 a 22... a 2n......... a m a m2... a mn Macierz wymiaru n wektor wierszowy długości n Macierz wymiaru m wektor kolumnowy długości m. 2.. DZIAŁANIA NA MACIERZACH Transpozycja A T = a a 2... a m a 2 a 22... a m2......... a n a 2n... a nn ( A transponowana, wymiaru n m). Np. gdy A = (A T ) T =? 0 2 4, to A T = 2 0 4.

Mnożenie przez liczbę Gdy c R, A macierz wymiaru m n to c A taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = c a ij. Np. gdy A = 0 2 4, to 4 A = 2 2 0 8 4 6 Dodawanie macierzy TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU! Gdy A, B macierze wymiaru m n to A + B taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = a ij + b ij. Np. gdy A jak wyżej, B = A + B = 4 4 2 2 0 5, to., A + 2 B = Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne. Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy Gdy A macierz wymiaru m n, x wektor kolumnowy długości n, to y = A x wektor kolumnowy długości m otrzymany tak: y k = n (a kj x j ) dla k =, 2,... m (iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x). Np. 0 0 4 2 2 0 = ( 2) + 0 + 0 0 ( 2) + 4 0 + 2 = 6 2 5 6 6 6..

Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy X macierz liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnych barach (4 5), q wektor kolumnowy długości 5, gdzie x j cena sprzedaży litra piwa typu j to z = X q jest wektorem długości 4 ; q k = co? Mnożenie macierzy Gdy A macierz wymiaru m n, B macierz wymiaru n p (TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ!) to C = A B macierz wymiaru m p otrzymana tak: c kl = n (a kj b jl ) dla k =, 2,... m, l =, 2,... p. c kl = k-ty wiersz A l-ta kolumna B. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożenia A przez odpowiednie kolumny macierzy B. Na przykład: 0 0 4 2 Innymi słowy : A B istnieje 2 4 0 = = + 4 + 0 ( 2) + 0 + 0 0 + 4 4 + 2 0 ( 2) + 4 0 + 2 7 6 22 2. A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy wiersze A są tej samej długości co kolumny B.

Macierze do poćwiczenia działań : E = A = B = C = D = F = 0 2 2 4 2 0 2 2 2 4 2 0 0 2 5 0 2 4

Macierz kwadratowa A (n n) jest : symetryczna A = A T i,j a ij = a ji trójkątna górna (i > j a ij = 0) trójkątna dolna (i < j a ij = 0) diagonalna (i j a ij = 0) jednostkowa a ij = gdy i = j, 0 gdy i j np. np. np. np. 2 2 5 4 4 0 2 0 5 4 0 0 6 0 0 2 5 0 4 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 ; ; ; ;. Macierz jednostkową wymiaru n n oznaczamy przez I n. Własności mnożenia macierzy: jest łączne (tj. A (B C) = (A B) C ), nie jest przemienne może zachodzić A B B A nawet gdy oba iloczyny istnieją, iloczyn A A T zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną, (A B) T = B T A T, dla dowolnej macierzy A wymiaru m n A I n = I m A = A.