Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy

Transkrypt

1 Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011

2 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Edycja X - kwiecień 2011 etap 2 Zadanie 1 Kalkulator adresów IP 8pkt Każdy komputer w sieci otrzymuje unikatowy numer zwany adresem IP. Adres IP w wersji podstawowej (IPv4) jest czterobajtową liczbą, którą zapisuje się w postaci kropkowo-dziesiętnej, tzn. takiej, w której każdy kolejny bajt oddzielony jest kropką, np Możliwe adresy IP mieszczą się w przedziale od do (część adresów z tego przedziału jest zarezerwowana) i w celu uporządkowania podzielone zostały na klasy przedstawione poniżej: Klasa A maksymalna liczba sieci w klasie 126 Klasa B maksymalna liczba sieci w klasie Klasa C maksymalna liczba sieci w klasie Klasa D Klasa E Dwie ostanie klasy adresów IP zarezerwowane są m. in. do celów eksperymentalnych. Nie należy używać także adresów oraz Na podstawie adresu IP i maski można w prosty sposób określić numer komputera w sieci. Dla przykładu, wyznaczmy numer sieci i numer komputera w sieci o adresie IP klasy B: i masce W tym celu należy kolejne liczby adresu IP i maski zamienić z systemu dziesiątkowego na system dwójkowy, co najłatwiej zapisać w dwuwierszowej tabeli: IP maska Odczytując cyfry numeru IP odpowiadające jedynkom w masce, otrzymujemy adres sieci: , czyli w postaci dziesiętnej: Numer komputera w sieci odczytujemy z cyfr IP, którym odpowiadają zera w masce, czyli 11001, co w postaci dziesiętnej daje liczbę 25. Jeśli znamy adres IP dowolnego komputera z danej sieci, możemy również w bardzo prosty sposób obliczyć adres rozgłoszeniowy (broadcast). Wystarczy do adresu sieci dodać zanegowany (każda jedynka w adresie jest zamieniona na zero, a zero na jedynkę) adres maski sieci. Obliczmy adres rozgłoszeniowy sieci z poprzedniego przykładu o numerze: : adres sieci zanegowany adres maski adres rozgłoszeniowy str. 2 Otrzymaliśmy więc adres rozgłoszeniowy: , czyli w postaci dziesiętnej: Twoje zadanie polega na napisaniu programu obliczającego na podstawie adresu IP (np ) i maski (np ) podawanych w postaci kropkowo-dziesiętnej: adresu sieci (zgodnie z powyższym przykładem: ) - (2 pkt), numeru komputera w tej sieci (zgodnie z powyższym przykładem: 12) - (1 pkt), zanegowanego adresu maski (zgodnie z powyższym przykładem: ) - (1 pkt), adresu rozgłoszeniowego (zgodnie z powyższym przykładem: ) - (3 pkt). Ponadto program powinien określić, do jakiej klasy należy podany przez użytkownika adres IP (zgodnie z powyższym przykładem: klasa C) - (1 pkt).

3 Edycja X kwiecień 2011 etap 2 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Zadanie 2 Liczby bliźniacze 6pkt Liczby pierwsze to liczby naturalne, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i samą siebie, np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, itp. Liczby naturalne większe od 1, które mają więcej niż dwa dzielniki, ale ilość ich dzielników jest skończona, nazywa się liczbami złożonymi. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone, ponieważ liczba 0 ma nieskończenie wiele dzielników, a liczba 1 ma tylko jeden dzielnik. Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2, np. 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, itd. Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Twoje zadanie polega na napisaniu programu wypisującego wszystkie liczby bliźniacze mniejsze od Liczb takich jest 61. Punkty możesz otrzymać za: skonstruowanie algorytmu wyszukującego liczby pierwsze - (3 pkt), wypisanie wszystkich 61 par liczb bliźniaczych mniejszych od (3 pkt), BRUDNOPIS: str. 3

4 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Edycja X - kwiecień 2011 etap 2 Zadanie 3 Symbole i wzór Newtona 8pkt Silnią liczby naturalnej n>1 nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie i oznaczamy ją wykrzyknikiem, czyli!=1 2 3, >1. Ponadto przyjmuje się, że: 0! = 1 i 1! = 1. Popatrz jak oblicza się silnię liczby 6: 6!= =720. Symbol Newtona (czytamy n nad k ) określamy następująco:! =, np.!! 4 2 = 4! 2! 4 2! = = ! =24 4 =6! =! 0! =1,! = 0 0!! =1 Za pomocą symboli Newtona można ułożyć trójkąt Pascala. Jeżeli numerację wierszy i numerację elementów każdego wiersza rozpoczynamy od 0, to wówczas jest elementem trójkąta Pascala stojącym w n-tym wierszu na k-tej pozycji. Otrzymujemy więc trójkąt Pascala przedstawiony po stronie prawej, który po wykonaniu obliczeń z zastosowaniem wzoru =!!! daje nam trójkąt przedstawiony poniżej Zwróć uwagę, że każdy element nie stojący na brzegu wiersza trójkąta jest równy sumie dwóch najbliższych elementów poprzedniego wiersza, np. patrząc na przedostatni wiersz mamy: 5 = 1 + 4, 10 = 4 + 6, 10 = 6 + 4, 5 = Dla każdej liczby naturalnej n oraz dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest równość: + = zwana wzorem Newtona, np. + = = = = str. 4

5 Edycja X kwiecień 2011 etap 2 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Otrzymaliśmy więc jeden ze wzorów zwanych wzorami skróconego mnożenia: + = Analogicznie, dla n = 0, 1, 2, 3 otrzymujemy: + =1 + =+ + = = Zwróć uwagę, że współczynniki wielomianów stanowiących rozwinięcie tych potęg tworzą trójkąt Pascala, np. dla n = 3 mamy współczynniki 1, 3, 3, 1 czyli czwarty wiersz trójkąta Pascala. Twoje zadanie polega na napisaniu programu wyznaczającego wzór skróconego mnożenia dla n określonego przez użytkownika z wykorzystaniem trójkąta Pascala, symbolu Newtona i wzoru Newtona. Punkty możesz otrzymać za: skonstruowanie algorytmu obliczającego silnię - (2 pkt), prawidłowe zastosowanie symboli Newtona - (2 pkt), prawidłowe zastosowanie wzoru Newtona lub trójkąta Pascala - (2 pkt), prawidłowe wyznaczenie właściwego wzoru skróconego mnożenia - (2 pkt). BRUDNOPIS: str. 5

6 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Edycja X - kwiecień 2011 etap 2 Zadanie 4 Rozwinięcie Laplace'a 8pkt Macierz (ang. matrix) jest złożonym tworem matematycznym, którego dokładna definicja jest dosyć skomplikowana. Na nasze potrzeby wystarczy przyjąć, iż macierz jest tablicą dwuwymiarową przechowującą wiele wartości. Macierz przechowuje dane w wierszach i kolumnach. Ilość wierszy i kolumn macierzy nazywamy jej wymiarami. Poszczególne elementy macierzy są numerowane wg wierszy i kolumn, w których się znajdują. Dzięki numeracji możemy określić położenie każdego elementu macierzy. Poniżej przedstawiona jest macierz o wymiarach 3x4 wypełniona wartościami symbolicznymi oraz macierz wypełniona przykładowymi wartościami liczbowymi: = 5 = Łatwo więc określić wartość każdego elementu macierzy, np. a 2,3 = 7. Jeśli ilość wierszy i kolumn w macierzy jest taka sama, to mówimy, iż macierz jest macierzą kwadratową. Jeśli jeden z wymiarów macierzy (wiersze lub kolumny) równy jest 1, to macierz nazywamy wektorem odpowiednio wierszowym lub kolumnowym (popatrz na poniższy opis): macierz kwadratowa:, wektory: wierszowy: i kolumnowy:. Wyznacznik n-tego stopnia (ang. determinant) macierzy kwadratowej A o wymiarach n x n jest liczbą, którą obliczamy rekurencyjnie. Jeśli n = 1, to wyznacznik macierzy jest równy wartości elementu tej macierzy, czyli: det A 1x1 = det [ a 1 ] = a 1. Dla n > 1 wybieramy dowolny wiersz lub kolumnę. Następnie każdy wyraz tego wiersza lub kolumny przemnażamy przez wyznacznik macierzy, która powstaje przez usunięcie wiersza i kolumny z mnożonym wyrazem (wyznacznik ten obliczamy rekurencyjnie tą samą metodą). Jeśli suma numeru wiersza i kolumny mnożonego wyrazu jest nieparzysta, to otrzymany iloczyn mnożymy dodatkowo przez (-1). Wyliczone iloczyny sumujemy otrzymując wartość wyznacznika. Sposób ten nosi nazwę metody Laplace'a. Rozwinięcie Laplace'a można przedstawić za pomocą wzoru: = 1 gdzie: A - macierz kwadratowa o rozmiarze n, której wyznacznik liczymy i - ustalony wiersz macierzy A, wg którego dokonujemy rozwinięcia Laplace'a j - kolejne numery kolumn w macierzy A a i,j - element macierzy A leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie M i,j - minor elementu a i,j - jest to wyznacznik macierzy powstałej z A po usunięciu z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny str. 6

7 Edycja X kwiecień 2011 etap 2 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Obliczmy więc wyznacznik 2 stopnia przykładowej macierzy (det wyznacznik macierzy): = = = =14 18= 4 Wykorzystując powyższy opis, możemy w prosty sposób obliczyć wyznacznik 3 stopnia macierzy: det = = 1 det det det, gdzie det, i obliczamy analogicznie jak w powyższym przykładzie. Obliczmy teraz wyznacznik 3 stopnia przykładowej macierzy kwadratowej: = 9 = = = = = = = = = 9 Twoje zadanie polega na napisaniu programu obliczającego wyznacznik stopnia określonego przez użytkownika z macierzy kwadratowej rekurencyjną metodą Laplace'a (rozwinięciem Laplace'a). str. 7

8 Fordoński Turniej Wiedzy Algorytmicznej Edycja X - kwiecień 2011 etap 2 Poniżej przedstawionych zostało kilka przykładowych wyznaczników macierzy z wynikami w celu sprawdzenia poprawności działania programu: =5, = 2, 5 7 1= 122, = Punkty możesz otrzymać za: prawidłowe zastosowanie wzoru rozwinięcia Laplace a - (4 pkt), prawidłowe utworzenie funkcji rekurencyjnej - (4 pkt). BRUDNOPIS: str. 8