Ćwczene nr 4 WYZACZAIE MOMETU BEZWŁADOŚCI WALCA (wersja z dna VI 18) A. Majhofer R. owak WYMAGAIA TEORETYCZE ewtona równana ruchu bryły sztywnej. Średna ważona, nepewność zewnętrzna wewnętrzna, spójność danych. Defncja zmennej. Sformułowane metody najmnejszych kwadratów w przypadku znanych odchyleń standardowych oraz w przypadku neznanych, ale dentycznych. Wartość oczekwana warancja kombnacj lnowej statystyczne nezależnych zmennych losowych. Pearsona test zgodnośc modelowej zależnośc matematycznej modelowego rozkładu z danym dośwadczalnym. WSTĘP Celem ćwczena jest wyznaczene momentu bezwładnośc bryły o kształce zblżonym do walca (pełnego lub wydrążonego). Pomary pozwalają na wyznaczene momentu bezwładnośc walca na dwa sposoby. Perwszy sposób opera sę o pomary zależnośc położena walca od czasu podczas staczana go z równ pochyłej o znanym kące nachylena wyznaczene jego przyspeszena a stąd momentu bezwładnośc. Drug natomast polega na zmerzenu wymarów walca skorzystanu z teoretycznej zależnośc określającej moment bezwładnośc. Jak zwykle, poza samą wartoścą badanej welkośc, ustalmy także, jak dokładne tę wartość zmerzylśmy. Układ dośwadczalny wykorzystywany w ćwczenu prezentuj fotografa na Rys. 1. Rys.1. Wdok układu pomarowego (fot. T. owak) Pomary wykonują dwe osoby, wykorzystując do tego celu jedną równę, ale każda z osób wyznacza moment bezwładnośc przydzelonego jej walca. Przyspeszena a walca, o momence bezwładnośc I (względem os symetr) zewnętrznym promenu R, podczas staczana sę bez poślzgu z równ pochyłej o kące nachylena wynos mgr sn a, (1) mr I gdze m jest masą walca, a g przyspeszenem zemskm. adając wyrażenu na moment bezwładnośc postać I = mr, uzyskujemy g sn a. 1 W tym ćwczenu, w zakrese analzy danych, poznamy metodę najmnejszych kwadratów w zastosowanu do wyznaczane ocen parametrów zależnośc lnowej nepewnośc tych ocen. Poznamy także test zgodnośc postulowanej zależnośc funkcyjnej lub kształtu rozkładu prawdopodobeństwa z danym.
Zadane 1 (do domu do wykonana przed przystąpenem do pomarów) a) Wyprowadź równane (1). b) Wyprowadź wzór na współczynnk zdefnowany zwązkem I = mr dla jednorodnej powłok walcowej o mase m, promenu zewnętrznym R wewnętrznym r. Ile ten współczynnk wynos dla walca pełnego? c) ech symbol a oznacza długość podstawy równ, b jej wysokość, c jej długość, natomast jej kąt nachylena. Funkcję sn można wyznaczyć na trzy sposoby: sn b, sn c a, sn b, c c a b merząc dwe: (b,c), (a,c) lub (a,b) z trzech welkośc. Przypuśćmy, że każdą z długośc a, b c merzymy z taką samą nepewnoścą standardową u. Czy któraś z tych metod jest najlepsza, tj. pozwol wyznaczyć nepewność funkcj sn z najmnejszą nepewnoścą? POMIARY Masz do dyspozycj walec z metalu; suwmarkę pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do,1 mm; taśmę mernczą pozwalającą na odczyt długośc z dokładnoścą do 1 mm; równę pochyłą o regulowanym (w newelkm zakrese) kące nachylena; do równ przymocowane są dwe fotokomórk, które można wzdłuż nej przesuwać; walec, staczając sę z równ przysłanając perwszą z nch powoduje uruchomene pomaru czasu, a gdy dotrze do drugej ją przysłon, stosowany układ elektronczny zatrzymuje zegar wyśwetla, z dokładnoścą do,1 s, czas ruchu walca mędzy tym dwema fotokomórkam. Wykonane pomarów Podczas wykonywana pomarów pamętaj o szczegółowej dokumentacj, tj. o notowanu wszystkch nformacj mogących meć znaczene podczas analzowana uzyskanych wynków. Wytrzyj dokładne ręcznkem paperowym powerzchnę równ. Wypozomuj podstawę równ. Sprawdź, czy walec ne blokuje sę na szczyce równ walec przycśnęty do lstwy na szczyce równ pownen sam ruszać swobodne, bez popychana. Gdy tak ne jest, poproś asystenta prowadzącego ćwczene o nny walec. Przy każdym z nachyleń równ do pozomu zmerz wszystke nezbędne welkośc, które pozwolą C wyznaczyć kąt nachylena równ lub wybraną funkcję tego kąta. Oceń dokładność pomaru odległośc L mędzy fotokomórkam borąc pod uwagę ch rozmary, luzy umocowań dokładność taśmy mernczej. Zmerz wszystke nezbędne wymary walca. Wytrzyj dokładne ręcznkem paperowym walec jak równeż równę powtarzaj tę czynność za każdym razem przed rozpoczęcem ser pomarów przy nowej odległośc medzy fotokomórkam. Przy ustalonej odległośc mędzy fotokomórkam, wykonaj 1 pomarów czasu t staczana walca mędzy nm. Powtarzaj pomar dla różnych, łączne przynajmnej sedmu, odległośc L mędzy fotokomórkam. Zacznj od odległośc około 1 cm 15 cm. Fotokomórkę rozpoczynającą pomar czasu ustaw w odległośc 1 cm 15 cm od początku równ zmenaj jedyne położene fotokomórk kończącej czas pomaru. Pomary wykonaj dla dwóch różnych nachyleń równ. ezwykle stotnym jest, aby w momence, kedy uwalnamy walec pozwalamy mu na staczane sę, przylegał on całą swoją długoścą do ogranczena na szczyce równ. Gdy o to ne zadbamy, walec będze staczał sę pod katem do kerunku w dół wzdłuż równ wkrótce, natrafwszy w swym ruch na boczne krawędze równ, będze sę o ne objał. Spowoln to jego ruch doprowadz, w oczywsty sposób, do błędnej wartośc oceny momentu bezwładnośc. Aby tego unknąć, należy stanąć na przedłużenu równ, twarzą do jej szczytu. Walec należy docskać
w połowe jego długośc do blokady jednym palcem gdy jesteśmy gotow do pomaru, usunąć go zdecydowanym ruchem, bez poślzgu wzdłuż walca. Każdy pomar, w którym dostrzeżemy uderzene walca w boczną krawędź równ nm mne on dolną fotokomórkę, należy powtórzyć. W celu zmnmalzowana groźby takch błędów, dolną fotokomórkę ne należy ustawać dalej nż 1 m od szczytu równ. Gdy walec mne fotokomórkę zatrzymującą pomar czasu postaraj sę go złapać ne pozwalaj na to, by walec po stoczenu sę dół uderzał o ogranczene na dole równ. Powoduje to drgana całej równ, które mogą doprowadzć do przesunęć fotokomórek. Gdy pomar wykonywany jest w parach, to jedna osoba uruchama walec, a druga obsługuje zegar zapsuje zmerzony czas. Tak zebrane dane należą do osoby, która uruchama walec. AALIZA DAYCH a strone, z której pobrałaś/pobrałeś nnejszą Instrukcję, znajduje sę arkusz kalkulacyjny do programu Calc paketu Lbre Offce/Open Offce przygotowany do wykonana oblczeń będących przedmotem ponższych zadań. Arkusz ten lub równoważny będze nezbędny podczas ćwczeń rachunkowych może być pomocny podczas przygotowywana raportu końcowego. Jeśl masz własny komputer, możesz z nm przyjść na ćwczena rachunkowe, w przecwnym przypadku będze można skorzystać z jednego z komputerów na Pracown. Pamętaj jednak, że na Pracown ne ma dostępu do nternetu, węc arkusz kalkulacyjny mussz przyneść na zajęca na urządzenu pamęc zewnętrznej (typu pen-drve, do wypożyczena w sekretarace Pracown). Zadane (obowązkowe do domu do wykonanu przed ćwczenam rachunkowym) Uzupełnj w arkuszu wszystke brakujące dane. Jeśl uznasz to wygodnym, przepsz je do nstrukcj. Wykonaj punkt a) w Zadanu 5. Wykonaj punkt c) oraz d) w Zadanu 6. W nnejszym ćwczenu zajmujemy sę zagadnenam, których wspólnym manownkem jest suma kwadratów reszt zastosowanu tego podejśca do oceny welkośc fzycznej metodą średnej ważonej, ocen parametrów ln prostej metodą najmnejszych kwadratów zagadnenem testów statystycznych operających sę na rozkładze. Głównym celem zadań rachunkowych rozważanych ponżej jest opanowane zwązanych z tym technk rachunkowych. Głębszy wgląd w teoretyczne aspekty metody najmnejszych kwadratów pojaw sę w następnym ćwczenu. Przykłady lczbowe berzemy z Ćwczeń 1. Celowo ne odwołujemy sę do danych uzyskanych w częśc pomarowej obecnego ćwczena, gdyż w obecnym ćwczenu wybór właścwej metody analzy danych pozostawamy Tobe, a ćwczena rachunkowe mają C w tym wyborze dopomóc. Trafność tego wyboru będze ocenaną częścą raportu końcowego. ŚREDIA WAŻOA Zadane 3 (na ćwczenach) Tabela 1 podaje wynk pomaru gęstośc (Ćwczene ) uzyskane przez autorów nstrukcj. Posługując sę średną ważoną, wyznacz najlepszą ocenę gęstośc nepewność tej oceny. Skąd borą sę te wzory? Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 1. metoda [g/cm 3 ] u [g/cm 3 ] Tabela 1. Wyznaczane średnej ważonej 1 u [cm 6 /g ] u [cm 3 /g] w [g/cm 3 ] w [g /cm 6 ] A,6776,75 17777,7778 4761,78 B,6966,61 66,9913 719,97 C,68667,14 514,816 13775, suma = 5848,857 141971,75 suma = = u nt = u ext = w w u 3
Przypomnamy nezbędne wzory. Jeżel ta sama welkość została zmerzona nezależnym metodam otrzymano wartośc x wraz z nepewnoścam u, to najlepszą oceną poszukwanej welkośc jest x w, a za oceny nepewnośc przyjmujemy wększą z wartośc u nt u ext, gdze: x 1 u nt x x w xw unt, u nt, uext, 1 u 1 1. 1 u 1 u Dyskusja wyboru nepewnośc zostane przeprowadzona na wykładze. Zadane 4 (do domu dla trenngu) Pewen teoretyczny model głos, że dwa parametry: a oraz b uważane dotychczas za nezależne służące do opsu klasy zjawsk, których tenże model ma jakoby dotyczyć, mają tą samą wartość. W celu sprawdzena modelu wykonano eksperyment w dwu nezależnych pomarach znalezono wartośc parametrów: a = 1,,4 oraz b =,3,3. Co możesz powedzeć na temat słusznośc modelu, przyjmując, że każdy z pomarów opsany jest rozkładem normalnym? Jeśl uznasz słuszność modelu, jak wyznaczysz najlepszą eksperymentalną wartość postulowanego parametru jego nepewność? METODA AJMIEJSZYCH KWADRATÓW I TEST ZGODOŚCI DOPASOWAIA Jeden z przykładów zastosowana metody najmnejszych kwadratów napotykamy, gdy wyznaczamy krzywą kalbrującą układu pomarowego, kedy to wzorcujemy nasz układ, badając jego odpowedź na dokładne znany bodzec. Odpowada to sytuacj, w której dla dokładne znanej wartośc zmennej nezależnej x, wykonywany jest pomar zmennej zależnej = ax + b, w którego wynku otrzymujemy wartość y z nepewnoścą u (Zadane 5). W praktyce najczęścej spotykamy jednak problemy, w których obe wartośc: x oraz y są wyznaczane z nepewnoścam. Aby wtedy zastosować omawany w nnejszym ćwczenu warant metody najmnejszych kwadratów, za zmenną nezależną przyjmujemy welkość znaną dokładnej (Zadane 6). Zadane 5 (na ćwczenach) W Tabel podane są wynk pomarów wydłużena sprężyny pod wpływem zaweszanych na nej cężarków. Masy cężarków znane są bardzo dokładne, a wydłużene merzone było taśmą stalową z podzałką mlmetrową. Prawo Hooke a przewduje, że wydłużene sprężyny jest proporcjonalne do dzałającej sły, a węc w naszym przypadku do masy zaweszonych cężarków. Tabela. Wynk pomarów wydłużena sprężyny masa m [g] 65,1 118,47 171,59 4,75 78,7 wydłużene L [mm] 138 53 365 479 59 Uwaga: Informacja o dokładnośc pomaru L (taśma z podzałką mlmetrową) tej samej dla wszystkch punktów, wyznacza ocenę wkładu dokładnośc przyrządu do nepewnośc pomaru. W ponższej analze ocenmy nepewnośc standardowej pomaru wydłużena na podstawe rozrzutu s (patrz nżej) punktów wokół dopasowywanej zależnośc funkcyjnej, której postać (lnowy charakter) uznajemy za ścsłą. Uzyskaną wartość nepewnośc należy porównać z wkładem od dokładnośc przyrządu. a) arysuj na paperze mlmetrowym wykres danych z Tabel na paperze. Sprawdź, za pomocą lnjk, czy dane układają sę na ln prostej, a jeśl tak, to wyznacz oceny parametrów tej prostej z wykresu. b) Poneważ ne wadomo na le ścśle podane wydłużena odnoszą sę do pomarów od długośc swobodnej sprężyny, przyjmj, że poszukwana zależność mędzy długoścą sprężyny a zaweszoną na nej masą ma postać L = am + b. Załóż też, że wszystke wartośc mas, jako wartośc wzorcowe, znane są dokładne, a pomary wydłużena wykonano z takm samym, neznanym, odchylenem standardowym. Sformułuj zagadnene wyznaczena ocen neznanych 4
współczynnków a b metodą najmnejszych kwadratów: podaj postać wyrażena, które ma osągnąć mnmalną wartość wyjaśnj względem jakch welkośc ma być ono mnmalzowane. c) Wyznacz oceny â ˆb parametrów a b oraz nepewnośc tych ocen. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 3. Dla przypomnena podajemy stosowne wzory: m [g] L Lm m 1 aˆ, bˆ L am ˆ, m, m L L 1 1 m m 1 5 1 1 1 s 1 s L am b s s m s m m ˆ ˆ, a, b a, 1 1 m m 1 Tabela 3. Schemat oblczeń przy wyznaczanu zależnośc lnowej L = am + b L [mm] m m m [g] Zdefnowana welkość s jest nepewnoścą standardową wydłużena ocena ona neznane odchylene standardowe w pomarze wydłużena sprężyny. Welkość s uzyskujemy ze średnego rozrzutu punków wokół założonej zależnośc funkcyjnej, zawerającej dwa swobodne parametry. Parametry te znajdujemy z dwóch równań metody najmnejszych kwadratów, które to równana wprowadzają dwa węzy łączące wszystke wartość y, co powoduje, że mamy jedyne nezależnych wynków stąd czynnk w manownku. UWAGA. Podejśce to zakłada, że badana zależność ma faktyczne postać L = am + b. d) a podstawe wynków oblczeń rozstrzygnj, stosując test 3, czy wydłużene merzono od długośc swobodnej sprężyny. e) Jeśl uznałaś/uznałeś, że wyraz wolny dopasowanej zależnośc lnowej jest zgodny z zerem, to sformułuj problem wyznaczena oceny neznanego współczynnka A w zależnośc L = Am metodą najmnejszych kwadratów: podaj postać wyrażena, które ma być mnmalzowane wyjaśnj względem jakch welkośc. Przyjmj, jak poprzedno, że wszystke wartośc mas, jako wartośc wzorcowe, znane są dokładne, a pomary wydłużena wykonano z takm samym, neznanym, odchylenem standardowym. f) Wyznacz ocenę Â neznanego parametru A nepewność tej oceny. Skorzystaj ze wzorów: L L L [mm] m L [gmm] ml ˆ s 1 A s s L Am 1,, ˆ A 1 1 m m 1 1 Welkość s nterpretujemy analogczne jak w punkce c). W oblczenach wzoruj sę na Tabel 4. Zadane 6 (na ćwczenach) W Ćwczenu 1, badając drgana wahadła, wyznaczyłaś/wyznaczyłeś pęcokrotne czas trwana 1 okresów dla klku różnych jego długośc. Dane te wykorzystamy teraz, aby za pomocą (m ) [g ]. m [g ] 65,1 138 45,34 118,47 53 53,148 11,4 5973,838 84,799 1435,14 171,59 365,8,4,11,8 9443,13 4,75 479 53,13 113,6 635,795 83,94 551,56 78,7 59 16,45 6,6 41,3 1133,83 773,9 858,9 187 suma suma 175566,9 171,618 365,4 średna m 35113, aˆ sa bˆ s b s =,, L ˆ ˆ am b [mm ] na stopeń swobody
Tabela 4. Schemat oblczeń przy wyznaczanu zależnośc proporcjonalnej L = am m [g] L [mm] m L [gmm] m [g ] ˆ 65,1 138 8998,98 45,34 118,47 53 997,91 1435,14 171,59 365 663,35 9443,13 4,75 479 17655,5 551,56 78,7 59 164617,44 773,9 sumy 373874,93 175566,1 Aˆ s A s = metody najmnejszych kwadratów wyznaczyć wysokość punktu zaweszena wahadła nad podłogą. Jak wadomo, dla małych wychyleń, okres drgań T wahadła o długośc L wynos L T, g gdze g to przyspeszene zemske. Jeśl wprowadzmy welkośc: H wysokość punktu zaweszena wahadła nad podłogą, h wysokość środka cężkośc wahadła na podłogą, kedy to L = H h, a wtedy znajdzemy, że: 4 4 H 4 T H h czyl ahb, gdze T, b, a. g g g Wdzmy, że wprowadzene welkośc zadanej kwadratem okresu pozwolło zapsać relację mędzy okresem a wysokoścą wahadła nad podłogą w prostszej postac. W naszym dośwadczenu zarówno welkość h jak pochodzą z pomaru, węc równe dobrze możemy rozważać zależność: g g h H T czyl h c d, gdze d H, a 4 4. Decyzja o wyborze dopasowywanej formy zależnośc wymaga stwerdzena, czy merzony był dokładnej kwadrat okresu czy wysokość. W tym celu: a) wyznacz nepewnośc u T pomaru okresu dla każdej z wysokośc kul wahadła nad podłogą; b) wyznacz wynkające z nch nepewnośc u kwadratów okresów; c) skorzystaj z Tabel 5 wykonaj na paperze mlmetrowym wykres zależnośc T od h; d) oszacuj wartość a współczynnka a zależnośc lnowej = ah + b na podstawe wykresu; e) porównaj przenesone wartośc = a u h nepewnośc u h z wartoścą u. Jeśl << u, to za zmenną nezależną możemy przyjąć h. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, uzupełnj odwzorowaną tam Tabelę 5 (tabela zawera dane uzyskane przez autorów nstrukcj) podejmj decyzję. Uwaga: W tabel przyjęlśmy dopuszczalny błąd granczny wskazań stopera t =, s (jak nektórzy z Państwa zaobserwowal, stoper ne wyśwetlał wszystkch możlwych wartośc). Zauważmy, że w wynku takej analzy może sę zdarzyć, że np. wyznaczając współczynnk lnowej rozszerzalnośc ceplnej próbk metalu w kształce odcnka drutu analzując relację mędzy temperaturą a długoścą tego odcnka umeszczonego w kąpel z regulowaną temperaturą, będzemy musel przyjąć temperaturę jako zmenną zależną, a długość odcnka drutu jako zmenną nezależną, choć, jako żywo, nkt z nas ne powe, że długość drutu decyduje o temperaturze kąpel, w jakej jest on utrzymywany. Jak wdzmy, podejśce to gnoruje relację przyczynowośc mędzy zmennym bynajmnej ne śwadczy to przecw metodze. Jest to mmanentna cecha statystyk matematycznej ne wnka ona w relacje determnstyczne mędzy badanym welkoścam ona tylko opsuje obserwowany obraz, a decyzja o stnenu lub braku zwązków przyczynowych pozostawona jest w ręku badacza. f) Przyjmj, że dana jest sera zadanych dokładne znanych wartośc x zmennej nezależnej 6 L Am [mm ] na stopeń swobody
Tabela 5. Wyznaczane domnującej nepewnośc wysokość h kul wahadła nad podłogą [m],4,69 1,4 1,7 numer pomaru czas t dzesęcu kolejnych okresów [s] 1 34,8 3, 5,3,34 34,35 3,19 4,97,37 3 34,31 3,19 4,97,31 4 34,8 3,15 4,9,34 5 34,5 3,13 5,3,5 średna t 1 okresów [s] 34,94 3,176 4,98,3 nepewność st średnej t [s],16,41,3 dopuszczalny błąd granczny t [s],,,, nepewność u [s],197,67,34 t st t 3 okres T =t/1 [s] 3,176,498,3 nepewność u T = u t /1 [s],197,67,34 = T [s ] 9,1591 6,4 4,987 nepewność T : u = Tu T [s ],1191,1334,144 h =,3 m, a stąd u h [m],173,173,173,173 nepewność = a u h z przenesena [s ] oraz zmerzonych, w punktach x, wartośc y zmennej zależnej. W swym modelowym podejścu metoda najmnejszych kwadratów wymaga znajomośc odchyleń standardowych welkośc y (w praktyce zastępowane nepewnoścam standardowym u ). Sformułuj problem wyznaczena ocen neznanych współczynnków a b pełnej ln prostej = ax + b metodą najmnejszych kwadratów, co oznacza: podaj postać wyrażena, które ma osągnąć mnmalną wartość wyjaśnj względem jakch welkośc ma być ono mnmalzowane. W zadanu rolę zmennej nezależnej x odgrywa wysokość h kul wahadła nad podłogą. g) Oblcz metodą najmnejszych kwadratów oceny parametrów a oraz b ln prostej = ah + b oraz nepewnośc tych ocen. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 6. Dla kompletu nformacj podajemy stosowane wzory: x xwy yw ˆ 1 aˆu, ˆ a b y,,, w axw ua u b xwua 1 u x x w 1 u 1 x 1 y 1 x 1 xw, y,,. w x w S S u S u S u u 1 1 1 1 h) Przeprowadź Pearsona test zgodnośc zależnośc modelowej w postac ln prostej z danym. ) (Do domu dla trenngu) Jeśl test dopuszcza ops danych za pomocą ln prostej, to wykorzystując wartość przyspeszena zemskego w Warszawe, wyznacz ocenę wysokośc H punktu zaczepena kul nad podłogą wraz z nepewnoścą tej oceny. j) (Do domu dla trenngu) Jeśl test dopuszcza ops danych za pomocą ln prostej, to skorzystaj z ocen wartośc parametrów ln prostej podaj swoją ocenę wartośc przyspeszena zemskego w Warszawe oraz nepewność tej oceny, wynkającą z przeprowadzonego eksperymentu. k) Załóżmy, że dopasowywana zależność lnowa mędzy kwadratem okresu a wysokoścą kul wahadła nad powerzchną podłog jest poprawna, ne jesteśmy jednak przekonan co do poprawność naszych nepewnośc standardowych pomaru czasu. Sądzmy jedyne, że właścwe odzwercedlone są ch wzajemne stosunk, ale ne jest nam znany wspólny czynnk multplkatywny. Oznacza to, że faktyczne nepewnośc pomaru kwadratu okresu to ne u lecz welkośc w = zu, gdze z jest neznanym współczynnkem. Wyznacz ocenę współczynnka z. 7
8 Tabela 6. Schemat oblczeń dla zależnośc T = ah + b z uwzględnenem nepewnośc welkośc T welkość numer pomaru wysokośc h 1 3 4 suma średna x [m] (x = h),4,69 1,4 1,7 y [s ] (y = T ) 9,1591 6,4 4,987 u [s ],1191,1334,144 1/u 751,7 5616,46 9166,89 = S x /u 4865,69 7863,4 15767,5 xw y /u 641,33 3546,73 45676, yw x = (x x w )/u y = (y y w )/u Przedstawone w tym punkce zagadnene może wydawać sę sztuczne w kontekśce nnejszego zadana. Bywa ono jednak często wykorzystywane w analze danych natknemy sę na przykład jego zastosowana w następnym ćwczenu. Zwracamy uwagę, że jest ono neco rozwnętą formą analzy przeprowadzonej w Zadanu 5, gdze nepewnośc pomaru długośc sprężyny były dentyczne w całośc neznane. Przypomnamy sposób postępowana przy wykonywanu Pearsona testu zgodnośc modelu wyrażonego zależnoścą matematyczną f(x;), gdze to zbór parametrów, do danych zadanych w postac zestawu wartośc (x, y ) zmennej nezależnej x zmennej zależnej wraz z wartoścam odchyleń standardowych welkośc y : ustalamy dopuszczalne prawdopodobeństwo odrzucena prawdzwej hpotezy (błędu perwszego rodzaju, zwanego też pozomem zgodnośc testu); mnmalzując ważoną sumę kwadratów reszt y f x; 1 względem parametrów, wyznaczamy oceny ˆk tych parametrów zależnośc matematycznej, które ne są częścą testowanej hpotezy; ustalamy lczbę = m stopn swobody, gdze m jest lczbą parametrów w zależnośc matematycznej, których wartośc zostały wyznaczone w poprzednm kroku; korzystając z DODATKU A, wyznaczamy wartość krytyczną kr, dla zadanego prawdopodobeństwa lczby stopn swobody; x y (x ) x /u 3357,3 118,6 7119,3 x w wynk: aˆ ua bˆ u b ˆ y ˆ ax b u wykorzystując wcześnej wyznaczone oceny ˆk parametrów, oblczamy wartość mnmalnej, ważonej sumy kwadratów reszt: y ˆ f x; ˆ ; 1 porównujemy uzyskaną wartość, jeśl spełnony jest warunek: z wartoścą kr,, to odrzucamy testowaną hpotezę jako nezgodną z obserwacjam. W przecwnym przypadku ne uważamy, że udowodnlśmy słuszność hpotezy, lecz jedyne kr = P =
godzmy sę z ną, jako nesprzeczną z obserwowanym danym. UWAGA 1. Stosując metodę najmnejszych kwadratów wykorzystującą odchylene standardowe, jak wykonując Pearsona test, na ogół ne znamy jej wartośc dlatego w praktyce w ch mejsce stosujemy oszacowana u, czyl nepewnośc standardowe wynków pomaru. Wprowadza to dodatkową neoptymalność otrzymanych ocen parametrów ocen ch nepewnośc, a w odnesenu do testu osłaba kategoryczność jego konkluzj. UWAGA. Można by sądzć, że m mnejszą wartość otrzymamy, tym bardzej warogodną jest testowana hpoteza, jako że dopasowywana zależność wydają sę dobrze odtwarzać dane dośwadczalne. e jest to jednak prawda, bo mała wartość podpowada nam, że dane ne fluktuują wokół wyznaczanej zależnośc w skrajnym przypadku, gdy dopasowana zależność przechodz dokładne przez punkty pomarowe, welkość przyjmuje wartość zero. Mała wartość sumy kwadratów reszt w mnmum jest mało prawdopodobna, a węc wnna wzbudzć naszą czujność. Typowo, wartość pownna być zblżona do lczby stopn swobody, gdyż każdy z nezależnych składnków sumy defnującej welkość ma wartość oczekwaną równą jednośc, a węc wartość pownna być zblżona do jednośc. Oczywśce, przy wyborze wartośc krytycznej dopuszczamy dużą, znaczne wększą od jedność wartość, kr, jako że chcemy zmnmalzować ryzyko odrzucena hpotezy prawdzwej. Ale, jeśl chcemy sę ustrzec przed sytuacją, w której wyznaczana krzywa zbyt dobrze podąża za punktam, pownnśmy z podejrzlwoścą odnosć sę także do wartośc kr, 1. Przyczyn takej relacj może być klka. W modelowym podejścu formuła na sumę kwadratów reszt używa odchyleń standardowych welkośc merzonych y w praktyce wykorzystujemy nepewnośc standardowe u przyczyną małej wartośc mogą być przeszacowane wartośc nepewnośc. Możlwe jest także, że zmerzone wartośc y ne są nezależne, a to oznacza, że formuła wyznaczająca welkość ( ) ne jest poprawne skonstruowana, co może prowadzć do zanżena wartośc. W końcu pownnśmy także zawsze rozważyć możlwość zmanpulowana danych. Zadane 7 (do domu dla trenngu) W Tabel 7 podane są długośc L (w tzw. jednostkach astronomcznych) połowy welkej os orbt kolejnych cał nebeskch w ch ruchu wokół Słońca (E. Rybka, Astronoma ogólna, PW, Warszawa 1983, s. 154). Odkryj regułę Ttusa Bodego: L = an + b, gdze n =,1,,4,8,16,, robąc wykres zależnośc L od n. Wykonując dopasowane parametrów a oraz b metodą najmnejszych kwadratów, pokaż, że ch wartośc w przyblżenu wynoszą: a =,3 oraz b =,4. Tabela 7. Odległośc, w jednostkach astronomcznych, cał nebeskch od Słońca Merkury Wenus Zema Mars Ceres Jupter Saturn Uran eptun Pluton,39,7 1 1,5,77 5, 9,54 19, 3,1 39,5 Zadane 8 (do domu dla trenngu) Pokaż, że przy dopasowanu zależnośc proporcjonalnej = Ax, gdy uzyskane w punktach x wartośc y, = 1,,...,, określone odchylenam standardowym, wzory pozwalające ocenć neznany współczynnk A odchylene standardowe A tej oceny, mają postać: ˆ xy 1 A A, A. 1 x 1 Zadane 9 (do domu dla trenngu) Pokaż, że podane we wcześnejszych zadanach wzory na oceny ch warancje neznanych współczynnków a oraz b zależnośc = ax + b można przedstawć w równoważnej postac 9
gdze: 1 1 1 1 aˆ SS S S, bˆ S S S S, S, S xy x y xx y x xy a b xx n 1 n x n n n, x, x, y y, x xx xy y, xx x 1 1 1 1 1, S S S S S SS S jeśl wynk y pomarów welkośc charakteryzują sę odchylenam standardowym. Jeśl odchylena te są take same w każdy punkce pomarowym, wnoszą, ale są neznane, to wyrażena na oceny parametrów pozostają bez zmany, przy czym n n n n x xx xy y xx x 1 1 1 1, S, S x, S x, S x y, S y, S S a wyrażena na kwadraty nepewnośc ocen parametrów a oraz b przyjmują postać: s s sa, sb Sxx, gdze welkość s to wyznaczona z rozrzutu ocena odchylene standardowe każdego z wynków y : 1 s y ˆ ˆ ax b. 1 PEARSOA TEST ZGODOŚCI Z MODELOWYM ROZKŁADEM (ten materał jest nadobowązkowy jego realzacja pozostawona jest decyzj asystenta) W Ćwczenu 3 dowedzelśmy sę, jak należy porównywać grafczne (jakoścowo) rozkład modelowy z rozkładem dośwadczalnym. Teraz poszerzymy tę wedzę o przykład metody (testu) loścowego sprawdzana zgodnośc obu rozkładów. Wykorzystamy, najczęścej stosowany, Pearsona test zgodnośc modelowego rozkład. W rozważanach naszych odwołujemy sę do tych samych danych, które wykorzystalśmy przy porównanu grafcznym, tzn. porównamy modelowy rozkład Gaussa z rozkładem zebranych danych dośwadczalnych. Zadane 1 (na ćwczenach) Przyjmując, że wynk T pomaru okresu drgań wahadła podlegają rozkładow Gaussa z wartoścą oczekwaną = 3,448 s dyspersją =,456 s, przeprowadź test Pearsona zgodnośc tego modelu z danym dośwadczalnym. Skorzystaj z arkusza kalkulacyjnego odwzorowanej tam Tabel 8 oraz DODATKU B, gdze podane są wartośc całek rozkładu Gaussa. Tabela 8. Test zgodnośc Pearsona krawędź dolna T k [s] 3,35 3,4 3,45 3,5 krawędź górna T k + [s] 3,35 3,4 3,45 3,5 suma obserwowana lczba n k danych 5 43 91 63 14 16 zmenna standaryzowana z k = (T k )/ 1,991,8947,18 dystrybuanta F(z k ) rozkładu Gaussa,33,1855,5799 z k + 1 = (T k + 1 )/,8947,18 1,98 F(z k + 1 ),1855,5799,99 p k = P(z k < z < z k + 1 ) = F(z k + 1 ) F(z k ),16,3945,33 oczekwana lczba ˆ pˆ danych 35,4 85,1 69,76 n pˆ pˆ k k 1,87,394,655 k k k Przypomnamy sposób postępowana przy wykonywanu testu Pearsona zgodnośc modelowego rozkładu prawdopodobeństwa f(x;), określonego zestawem neznanych parametrów = ( 1,,, m ) ne będących częścą hpotezy, z rozkładem dośwadczalnym: 1,
ustalamy dopuszczane prawdopodobeństwo odrzucena prawdzwej hpotezy (błędu perwszego rodzaju, zwanego też pozomem zgodnośc testu); dzelmy cały teoretyczny zakres wartośc zmennej losowej na n przedzałów [x k, x k + k ], k = 1,,, n, (nekoneczne tej samej długośc) tak, aby lczba k oczekwanych wynków w każdym z przedzałów była ne mnejsza nż 5 w praktyce zadowalamy sę zaobserwowaną lczbą n k danych w przedzale ne mnejszą nż 5; konstruujemy ważoną sumę kwadratów reszt n nk pk, k 1 pk gdze k ; 11 xkk p f x dx to prawdopodobeństwo znalezena wynku x pomaru w przedzale [x k, x k + k ], a jest całkowtą lczbą danych; mnmalzujemy tę sumę względem neznanych parametrów, wyznaczając w ten sposób poszukwane oceny ˆ tych parametrów rozkładu, które ne są częścą testowanej hpotezy; oblczamy lczbę stopn swobody = n 1 m, gdze n jest lczbą przedzałów, zaś m lczbą parametrów, których wartośc zostały wyznaczone zgodne z zarysowana wyżej procedurą; korzystając z DODATKU A, wyznaczamy wartość krytyczną kr, odpowadającą zadanemu prawdopodobeństwu lczbe stopn swobody; na podstawe modelu wyznaczonych bądź zadanych wartośc parametrów oblczamy ocenę pˆ ˆ k p k prawdopodobeństwa p k znalezena wartośc zmennej losowej w przedzale o numerze k; oblczamy ocenę oczekwanej lczby ˆ pˆ danych w przedzale o numerze k; k oblczamy wartość ważonej sumy kwadratów w mnmum; n ˆ n ˆ k pk ; k1 pˆ k porównujemy uzyskaną wartość, jeśl spełnony jest warunek kr, k xk z wartoścą, to odrzucamy testowaną hpotezę jako nezgodną z obserwacjam. W przecwnym przypadku ne uważamy, że udowodnlśmy, ż dane stotne pochodzą z rozważanego rozkładu modelowego, a jedyne, że ne mamy podstaw do odrzucena takego stwerdzena jako sprzecznego z danym dośwadczalnym. Oczywśce, tu także ma zastosowane UWAGA umeszczona w częśc odnoszącej sę do testu zgodnośc dopasowana o małej wartośc. Zadane 11 (do domu dla trenngu) Zgromadzono dane (B. G. Mason, D. M. Pyle, W. B. Dade, and T. Jupp, Seasonalty of volcanc eruptons, J. Geophys. Res., 19, (4), B46) dotyczące czasu wystąpena każdej z 338 erupcj wulkanu, jake pojawły sę w latach 17 1999. Wydarzena te, zgodne z datam ch wystąpena, rozłożono mędzy 1 mesęcy roku, przy czym słowo mesąc oznacza tu dokładne dwunastą część roku. Lczby erupcj w każdym mesącu przedstawa Tabela 9. Przyjmując wartość błędu perwszego rodzaju = 1%, zweryfkuj hpotezę o tym, że wulkany wybuchając, ne preferują żadnego z mesęcy. Tabela 9. Lczba erupcj wulkanów w mesącu mesąc I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII lczba k erupcj 35 38 95 97 61 64 53 5 88 4 3 75 kr
RAPORT KOŃCOWY Wynk pomarów, w postac plku tekstowego, plku do programu Excel paketu MS Offce lub plku do programu Calc paketu Lbre/Open Offce proszę przesłać e-malem prowadzącemu zajęca nezwłoczne po złożenu raportu. Raport będze czekał na sprawdzene, aż to uczynsz. Psane raportu rozpocznj od ponownego przeczytana w nstrukcj do Ćwczena 1 uwag o tym, jak należy sporządzać raport. 1. Wyznacz, wraz z nepewnoścą, ocenę współczynnka, jaka wynka z pomarów geometrycznych (wzór w Zadanu 1, punkt b)).. Przedyskutuj dokładność pomarów drog L czasu t w pomarach na równ. W szczególnośc porównaj udzał dokładnośc odczytu rozrzutu statystycznego w pełnej nepewnośc pomaru czasu. Zwróć uwagę na realstyczny dobór nepewnośc pomaru drog. 3. Wykonaj wykres zależnośc drog L(t) oraz welkośc (t) = L(t)/t dla każdego z kątów nachylena równ. Co sugerują C te wykresy? Jak charakter ruchu jaka postać zależnośc matematycznej drog od czasu wynka z przyjętego modelu teoretycznego? 4. Aby zastosować metodę najmnejszych kwadratów w celu wyznaczena neznanych parametrów wybranego modelu teoretycznego, ustal, którą ze zmennych należy wybrać jako zmenną nezależną (odwołaj sę do wynków uzyskanych w punktach. 3.). 5. Zdecyduj, którą wersję metody najmnejszych kwadratów wykorzystasz, aby ocenć te neznane parametry podaj postać mnmalzowanej funkcj zadbaj, aby wszystke występujące w nej welkośc były precyzyjne zdefnowane. 6. Stosując wybraną metodę wyznacz, dla każdego z kątów nachylena równ, oceny neznanych parametrów nepewnośc tych ocen, a także zweryfkuj, metodą testu Pearsona, zgodnośc wybranego modelu ruchu z danym. 7. Dla jednego z kątów nachylena równ narysuj, jako funkcję welkośc x, wykres reszt ˆ ˆ y ax b, czyl różnc wartośc zmerzonych wartośc oblczonych z dopasowana. 8. Wyznacz ocenę wartośc przyspeszena w badanym ruchu wraz z jej nepewnoścą dla obu kątów nachylena równ. Dla każdej z wartośc przyspeszena podaj odpowadającą jej ocenę parametru nepewność tej oceny. 9. Rozważ możlwość uzyskana najlepszej oceny parametru z nnejszego dośwadczena drogą uśrednana wartośc z pomarów na równ, a następne uśrednena z wartoścą z pomarów geometrycznych lub też drogą uśrednena wartośc z pomarów geometrycznych z jedną z wartośc z pomarów na równ, a następne uśrednena wynku z drugą wartoścą z pomarów na równ. 1. Jeśl któryś ze sposobów uśrednana jest neuzasadnony, wskaż przyczynę (lub przyczyny) dla każdej z nch oszacuj (co do rzędu welkośc) jej wkład w obserwowaną rozbeżność. Raport końcowy pownen zawerać wszystke surowe wynk pomarów, aby można było, bez odwoływan sę do zapsków sporządzonych w trakce wykonywan dośwadczena, powtórzyć wszystke oblczena sprawdzć ch poprawność. Raport należy oddać, wraz z ostemplowanym arkuszem otrzymanym przy przystępowanu do częśc pomarowej, w Sekretarace Pracown na następnych zajęcach, po zakończenu ćwczeń rachunkowych do nnejszego dośwadczena. W raporce możesz wykorzystać jedyne własne dane. Raport ne może uzyskać pozytywnej oceny końcowej, jeśl choć jedna z wartośc lczbowych jest błędna z powodu błędów rachunkowych bądź wyboru błędnej metody analzy! 1
DODATEK A WARTOŚCI KRYTYCZE ROZKŁADU Tabela ponżej podaje wartośc krytyczne, kr zmennej dla nektórych wartośc ryzyka błędu perwszego rodzaju oraz lczb stopn swobody. Prawdopodobeństwo błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne, 13 kr dla podanych lczb stopn swobody = 1 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 1,1 1,83 13,8 16,7 18,47,51,46 4,3 6,1 7,88 9,59,3 9, 11,83 14,16 16,5 18,1,6 1,85 3,57 5,6 6,9,5 7,88 1,6 1,84 14,86 16,75 18,55,8 1,95 3,59 5,19,1 6,63 9,1 11,35 13,8 15,8 16,81 18,47,9 1,67 3,1,5 3,84 5,99 7,8 9,49 11,7 1,59 14,7 15,51 16,9 18,31,1,71 4,61 6,5 7,78 9,4 1,64 1, 13,36 14,68 15,99 Prawdopodobeństwo błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne, kr dla podanych lczb stopn swobody = 11 = 1 = 13 = 14 = 15 = 16 = 17 = 18 = 19 =,1 31,6 3,91 34,53 36,1 37,7 39,5 4,79 4,31 43,8 45,31,3 8,51 3,1 31,66 33, 34,71 36, 37,7 39,17 4,63 4,8,5 6,76 8,3 9,8 31,3 3,8 34,7 35,7 37,16 38,58 4,,1 4,73 6, 7,69 9,14 3,58 3, 33,41 34,81 36,19 37,57,5 19,68 1,3,36 3,68 5, 6,3 7,59 8,87 3,14 31,41,1 17,8 18,55 19,81 1,6,31 3,54 4,77 5,99 7, 8,41 Prawdopodobeństwo błędu perwszego rodzaju Wartośc krytyczne, kr dla podanych lczb stopn swobody = 1 = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 3,1 46,8 48,7 49,73 51,18 5,6 54,5 55,48 56,89 58,3 59,7,3 43,5 44,94 46,36 47,76 49,16 5,55 51,93 53,31 54,68 56,4,5 41,4 4,8 44,18 45,56 46,93 48,9 49,65 5,99 5,34 53,67,1 38,93 4,9 41,64 4,98 44,31 45,64 46,96 48,8 49,59 5,89,5 3,67 33,9 35,17 36,4 37,65 38,89 4,11 41,34 4,56 43,77,1 9,6 3,81 3,1 33, 34,38 35,56 36,74 37,9 39,9 4,6 Uwaga: jeśl dysponujemy oprogramowanem, który umożlwa wyznaczane całek rozkładów prawdopodobeństwa, lepej jest, w mejsce wartośc krytycznej, podawać tzw. wartość p testu, czyl prawdopodobeństwo p, że zmenna u = przyjme wartość wększą nż wartość uzyskana z danych: gdze p : P u f u du, v 1 1 u fv u u exp v v to rozkład zmennej o stopnach swobody. Podejśce to ne zwalna Cę z obowązku podjęca decyzj co do zgodnośc wybranego modelu z danym, a dostarcza wększej lośc nformacj czytelnkow, umożlwając mu, nekedy, wyrażene własnej opn (jak równeż pozwala mu zorentować sę w jakośc rygoryzme Twych decyzj). Symbol powyżej oznacza funkcję gamma Eulera (z), zdefnowaną za pomocą całk z1 x z x e dx.
Wykres prawdopodobeństwa p jako funkcj obserwowanej wartośc lczby stopn swobody 14 dla nektórych wartośc
DODATEK B CAŁKI ROZKŁADU ORMALEGO (GAUSSA). Tabela ponżej podaje wartość całk standardowego rozkładu normalnego z 1 1 x Fz: P x z exp dx, z. Z uwag na symetrę rozkładu, wartość całk dla ujemnych wartośc argumentu można wyznaczyć ze zwązku F( z) = 1 F(z). Tabela 5. Wartośc całek rozkładu Gaussa z,,1,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,51,516,5199,539,579,5319,5359,1,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675,5714,5753,,5793,583,5871,591,5948,5987,66,664,613,6141,3,6179,617,655,693,6331,6368,646,6443,648,6517,4,6554,6591,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,6915,695,6985,719,754,788,713,7157,719,74,6,757,791,734,7357,7389,74,7454,7486,7517,7549,7,758,7611,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,7881,791,7939,7967,7995,83,851,878,816,8133,9,8159,8186,81,838,864,889,8315,834,8365,8389 1,,8413,8438,8461,8485,858,8531,8554,8577,8599,861 1,1,8643,8665,8686,878,879,8749,877,879,881,883 1,,8849,8869,8888,897,895,8944,896,898,8997,915 1,3,93,949,966,98,999,9115,9131,9147,916,9177 1,4,919,97,9,936,951,965,979,99,936,9319 1,5,933,9345,9357,937,938,9394,946,9418,949,9441 1,6,945,9463,9474,9484,9495,955,9515,955,9535,9545 1,7,9554,9564,9573,958,9591,9599,968,9616,965,9633 1,8,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699,976 1,9,9713,9719,976,973,9738,9744,975,9756,9761,9767,,977,9778,9783,9788,9793,9798,983,988,981,9817,1,981,986,983,9834,9838,984,9846,985,9854,9857,,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881,9884,9887,989,3,9893,9896,9898,991,994,996,999,9911,9913,9916,4,9918,99,99,995,997,999,9931,993,9934,9936,5,9938,994,9941,9943,9945,9946,9948,9949,9951,995,6,9953,9955,9956,9957,9959,996,9961,996,9963,9964,7,9965,9966,9967,9968,9969,997,9971,997,9973,9974,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,998,9981,9,9981,998,998,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999 3,1,999,9991,9991,9991,999,999,999,999,9993,9993 3,,9993,9993,9994,9994,9994,9994,9994,9995,9995,9995 3,3,9995,9995,9995,9996,9996,9996,9996,9996,9996,9997 3,4,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9998 3,5,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998 3,6,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,7,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,8,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999 3,9 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Aby odczytać wartość całk dla np. z = 1,3 wyberz wersz odpowadający lczbe 1, kolumnę odpowadającą wartośc,3, a na ch przecęcu znajdzesz wartość F(z) =,897. 15