Procesy stochastycze WYKŁAD 6 SMO Systemy masowe obsługi (zastosowaie procesu urodzeń i śmierci) - przyłady: - cetrala telefoicza, - staca bezyowa, - asa biletowa, - system omputerowy.
Założeia: - liczba staowis (aałów) obsługi, m - liczba miesc w poczeali. - strumień zgłoszeń est procesem Poissoa z parametrem >, - czas obsługi ma rozład wyładiczy z parametrem > (itesywość obsługi), - staowisa działaą iezależie, - zgłoszeia tóre astąpią gdy wszystie staowisa obsługi są zaęte przechodzą do poczeali (eśli est), - eśli wszystie staowisa obsługi są zaęte i wszystie miesca w poczeali są zaęte to zgłoszeie opuszcza SMO. 2
X(t) - proces stochastyczy ozaczaący liczbę lietów w SMO w chwili t, (t) P(X(t) ), Naczęście iteresuą as prawdopodobieństwa graicze π, π,..., π,... 3
SMO ze stratami (bez poczeali), bez współpracy. < <, m i itesywość zgłoszeń, itesywość obsługi - tego staowisa, [ ] [ ] 2 [ 2] 3... ( ) [ ] [ ] 4
5 Prawdopodobieństwa graicze (wzory Erlaga): 3 3 2 2... 3 2 gdzie `, 2,..., Prawdopodobieństwo odmowy obsługi to P odm.
Ager Krarup Erlag (878-929), duńsi matematy, pioier zastosowań procesów stochastyczych w teleomuiaci. 6
SMO ze stratami (bez poczeali), z pełą współpracą. < <, m itesywość obsługi - tego staowisa, [ ] [ ] [ 2]... [ ] [ ] 7
8 Prawdopodobieństwa graicze:... 2 gdy gdy gdzie `, 2,..., Prawdopodobieństwo odmowy obsługi to P odm.
SMO z ograiczoymi stratami, bez współpracy. m > staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] 9
Prawdopodobieństwa graicze: ( ) 2 2...... 2 m gdzie, zatem ( ) gdy m gdy m `, 2,..., `, 2,..., m Prawdopodobieństwo odmowy obsługi P odm m.
SMO z ograiczoymi stratami, z pełą współpracą. m > staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ m ] [ m] Prawdopodobieństwa graicze: 2... m m m gdy gdy gdzie `, 2,..., m Prawdopodobieństwo odmowy obsługi P odm m.
SMO bez strat (iesończeie wiele staowis), bez współpracy., i itesywość zgłoszeń, itesywość obsługi - tego staowisa, [ ] [ ]... [ ] [ 2 ( ) ]... 2
3 Prawdopodobieństwa graicze: e gdzie, 2,..., Uwaga. Te typ SMO ie może być rozpatryway z pełą współpracą obsługi.
SMO bez strat (iesończeie długa olea), bez współpracy. m staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] [... ] [ ]... 4
5 Prawdopodobieństwa graicze: załadamy, że < (warue istieia prawdopodobieństw graiczych) zatem `, 2,..., `, 2,...
SMO bez strat (zgłoszeia iecierpliwe), bez współpracy. m T czas oczeiwaia w olece, νt e gdy t > P( T < t) gdy t ν - itesywość iecierpliwości, staowisa obsługi poczealia [ ] [ ]... [ ] ν [... ] mν [ m]... 6
7 Prawdopodobieństwa graicze: ( )( ) ( ) ( ) 2......... 2 ν ν ν ν ν m m załadamy, że powyższy szereg est zbieży. Zatem `, 2,..., ( ) ( ) ν ν... `, 2,...
haraterystyi SMO. m l - średia liczba lietów w SMO (st. obsł. lub poczealia), m - średia długość olei, m zs - średia liczba zaętych staowis, 8
SMO z ograiczoymi stratami, bez współpracy. Y - liczba zaętych staowis obsługi, Y... - p... -... m m zs ) P EY (- m obsł 9
Z - liczba zaętych miesc w poczeali, Z... m p i... i m m EZ m( m 2 ) ( m ) m ( ) m 2 m dla dla X - liczba zgłoszeń w SMO, X Y Z, Zatem m l EX EY EZ m zs m 2
Wiose. Jeśli m (bra poczeali) to EZ, EX EY ( - ) 2
Wiose. Jeśli m to m (gdy m ) oraz EZ EY ( ) 2 22
t syst - średi czas przebywaia w SMO, t syst m l / t ol - średi czas przebywaia w olece, t ol m / 23
Niech m (wtedy < ) Z - czas oczeiwaia zgłoszeia w olece. P(Z > z) z( e ) dla dla z < z 24
Priorytety obsługi: Klasyfiaca olee. FIFO (first i first of), SIRO (selectio i radom order), LIFO (last i first out). Rozpatryway przez as priorytet to FIFO. 25
Klasyfiaca Kedalla: X /X 2 / : (N, m), X - rozład czasu między oleymi zgłoszeiami, X 2 - rozład czasu obsługi edego zgłoszeia, - liczba staowis obsługi, N - liczebość obsługiwae populaci, m - liczba miesc w poczeali. Dla rozładów X, X 2 przyęto m i. ozaczeia: D - rozład determiistyczy (rówe odstępy czasu), M - rozład wyładiczy, G - dowoly rozład, Rozpatryway przez as marowsie SMO ma ozaczeie M/M/ : (, m) 5.4.2 26
Dodate Tablica rozładu Poissoa i tablica sumulowaego rozładu Poissoa. Poisso-f.prawdopodobieństwa iesumulowaa alfa 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5,,99,99,,,,,,,,,,,,,,,5,952,476,2,,,,,,,,,,,,,,,948,95,45,2,,,,,,,,,,,,,2,887,637,64,,,,,,,,,,,,,,3,748,2222,333,33,3,,,,,,,,,,,,4,673,268,536,72,7,,,,,,,,,,,,5,665,333,758,26,6,2,,,,,,,,,,,6,5488,3293,988,98,3,4,,,,,,,,,,,7,4966,3476,27,284,5,7,,,,,,,,,,,8,4493,3595,438,383,77,2,2,,,,,,,,,,9,466,3659,647,494,,2,3,,,,,,,,,,3679,3679,839,63,53,3,5,,,,,,,,,,,3329,3662,24,738,23,45,8,,,,,,,,,,2,32,364,269,867,26,62,2,2,,,,,,,,,3,2725,3543,233,998,324,84,8,3,,,,,,,,,4,2466,3452,247,28,395,,26,5,,,,,,,,,5,223,3347,25,255,47,4,35,8,,,,,,,,,6,29,323,2584,378,55,76,47,,2,,,,,,,,7,827,36,264,496,636,26,6,5,3,,,,,,,,8,653,2975,2678,67,723,26,78,2,5,,,,,,,,9,496,2842,27,7,82,39,98,27,6,,,,,,, 2,353,277,277,84,92,36,2,34,9,2,,,,,, 2,2,8,2438,268,966,82,476,74,55,5,4,,,,,, 2,4,97,277,263,29,254,62,24,83,25,7,2,,,,, 2,5,82,252,2565,238,336,668,278,99,3,9,2,,,,, 2,6,743,93,25,276,44,735,39,8,38,,3,,,,, 2,8,68,73,2384,2225,557,872,47,63,57,8,5,,,,, 3,498,494,224,224,68,8,54,26,8,27,8,2,,,, 3,5,32,57,85,258,888,322,77,385,69,66,23,7,2,,, 4,83,733,465,954,954,563,42,595,298,32,53,9,6,2,, 5,67,337,842,44,755,755,462,44,653,363,8,82,34,3,5,2 8,3,27,7,286,573,96,22,396,396,24,993,722,48,296,69,9,,5,23,76,89,378,63,9,26,25,25,37,948,729,52,347 27
Poisso p-stwo sumulowae (dystrybuata prawostroie ciągła) alfa 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5,,99,,,,,,,,,,,,,,,,5,952,9988,,,,,,,,,,,,,,,,948,9953,9998,,,,,,,,,,,,,,2,887,9825,9989,9999,,,,,,,,,,,,,3,748,963,9964,9997,,,,,,,,,,,,,4,673,9384,992,9992,9999,,,,,,,,,,,,5,665,998,9856,9982,9998,,,,,,,,,,,,6,5488,878,9769,9966,9996,,,,,,,,,,,,7,4966,8442,9659,9942,9992,9999,,,,,,,,,,,8,4493,888,9526,999,9986,9998,,,,,,,,,,,9,466,7725,937,9865,9977,9997,,,,,,,,,,,3679,7358,997,98,9963,9994,9999,,,,,,,,,,,3329,699,94,9743,9946,999,9999,,,,,,,,,,2,32,6626,8795,9662,9923,9985,9997,,,,,,,,,,3,2725,6268,857,9569,9893,9978,9996,9999,,,,,,,,,4,2466,598,8335,9463,9857,9968,9994,9999,,,,,,,,,5,223,5578,888,9344,984,9955,999,9998,,,,,,,,,6,29,5249,7834,922,9763,994,9987,9997,,,,,,,,,7,827,4932,7572,968,974,992,998,9996,9999,,,,,,,,8,653,4628,736,893,9636,9896,9974,9994,9999,,,,,,,,9,496,4337,737,8747,9559,9868,9966,9992,9998,,,,,,, 2,353,46,6767,857,9473,9834,9955,9989,9998,,,,,,, 2,2,8,3546,6227,894,9275,975,9925,998,9995,9999,,,,,, 2,4,97,384,5697,7787,94,9643,9884,9967,999,9998,,,,,, 2,5,82,2873,5438,7576,892,958,9858,9958,9989,9997,9999,,,,, 2,6,743,2674,584,736,8774,95,9828,9947,9985,9996,9999,,,,, 2,8,68,23,4695,699,8477,9349,9756,999,9976,9993,9998,,,,, 3,498,99,4232,6472,853,96,9665,988,9962,9989,9997,9999,,,, 3,5,32,359,328,5366,7254,8576,9347,9733,99,9967,999,9997,9999,,, 4,83,96,238,4335,6288,785,8893,9489,9786,999,9972,999,9997,9999,, 5,67,44,247,265,445,66,7622,8666,939,9682,9863,9945,998,9993,9998,9999 8,3,3,38,424,996,92,334,453,5925,766,859,888,9362,9658,9827,998,,5,28,3,293,67,3,222,3328,4579,583,6968,796,8645,965,953 28