Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10

Transkrypt

1 Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1

2 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności

3 Badamy czy hipotezy teoretyczne (wyniające z teorii) znajdują potwierdzenie w danych Hipotezy narzucają pewne ograniczenia na wartości parametrów Oszacowania parametrów powinny spełniać te ograniczenia w przybliżeniu Jeśli oszacowania parametrów odbiegają od postulowanych związów wyniających z teorii to odrzucamy hipotezę jao sprzeczną z danymi Uwzględnienie w modelu wiedzy z hipotezy prawdziwej poprawia precyzję oszacowań Uwzględnienie w modelu wiedzy z hipotezy fałszywej prowadzi do obciążenia estymatora Do testowania hipotez wyorzystujemy testy statystyczne

4 Y ~ N( 0, 2 I) Reszty mają rozład normalny z wartością oczeiwaną znajdującą się na linii regresji. X

5 Rozład estymatora b: 2 ' 1 b N(, ( X X ) ) Rozład pojedynczego elementu tego wetora : b b N(,[ ] ) b

6 b Korzystając z rozładu : b [ ] b b se( b ) N(0,1) Tej statystyi nie da się policzyć ponieważ macierz jest nieznana Oszacowaniem tej macierzy jest b ale zastosowanie jej w powyższym wzorze wpłynie na rozład statystyi b Ta zmodyfiowana statystya (będziemy ją nazywać t) będzie miała rozład t-studenta

7 Hipoteza prosta: dotyczy pojedynczego parametru modelu albo ombinacji liniowej parametrów * Załóżmy, że H0:, spełnione są założenia KMRL i H0 jest prawdziwa, wtedy t b * se( b ) t NK

8 Najczęściej testujemy H0: przy hipotezie alternatywnej H1: stosując dwustronny obszar rytyczny Możliwe taże jest testowanie H0: przy hipotezie alternatywnej H1: lub H1: używając jednostronnych obszarów rytycznych * * * * *

9 Testowanie prostych hipotez przebiega w następujących roach: Dla modelu: y i X... tórego oszacowaniem jest: 1 Kro 1. Stawiamy ta zwaną hipotezę zerową co do wartości nieznanego parametru K Hipotezie tej towarzyszy hipoteza alternatywna: 2 2i ˆi b1 b2 X 2i y H0 : K 0 (zmienna XKi jest nieistotna) H1 : K 0 (zmienna XKi jest istotna) K... b X K Ki X Ki i

10 Kro 2. Przy założeniu, że postawiona hipoteza zerowa jest prawdziwa, wyznaczamy statystyę testową z rozładu t - Studenta o N - K stopniach swobody postaci: t b K se( b ) K Gdzie: ( ) se b K - odchylenie standardowe estymatora b K

11 Kro 3. Odczytujemy z tablic rozładu t-studenta wartość rytyczną (α - poziom istotności 1) ) t* t N K;1 2 Stopni swobody Rząd wantyla 1) masymalne dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu polegającego na odrzuceniu prawdziwej hipotezy zerowej

12 Kro 4. Podjęcie decyzji statystya rytyczna.95 statystya rytyczna Obszar Odrzucenia Obszar Nieodrzucenia Obszar Odrzucenia t t * - odrzucamy hipotezę zerową, czyli zmienna X Ki jest istotna. t < t * - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli zmienna X Ki jest nieistotna.

13 Przyład xi: reg wynagrodzenie i.plec i.wysztalcenie godziny wie szara dorywcza Source SS df MS Number of obs = F( 9, 26342) = Model e e+10 Prob > F = Residual e R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = wynagrodze~e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _Iplec_ _Iwysztal~ _Iwysztal~ _Iwysztal~ _Iwysztal~ godziny wie _Iszara_ dorywcza _cons

14 W popularnych paietach eonometrycznych obo wyliczonej wartości statystyi t podawane jest również odpowiadające mu prawdopodobieństwo p, że. Oznaczane ono jest z angielsiego 0 przez p value. W przypadu hipotez dwustronnych: p * 2[1 F( )] gdzie: F- dystrybuanta rozładu, * - wartość statystyi testowej W przypadu hipotez jednostronnych: p * 1 F( ) gdzie: F- dystrybuanta rozładu, * - wartość statystyi testowej

15 Jeśli p-value < α (poziomu istotności), to odrzucamy hipotezę zerową. Jeśli p-value > α (poziomu istotności), to bra podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

16 Przyład xi: reg wynagrodzenie i.plec i.wysztalcenie godziny wie szara dorywcza Source SS df MS Number of obs = F( 9, 26342) = Model e e+10 Prob > F = Residual e R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = wynagrodze~e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _Iplec_ _Iwysztal~ _Iwysztal~ _Iwysztal~ _Iwysztal~ godziny wie _Iszara_ dorywcza _cons

17 Jai jest przedział, w tórym z oreślonym prawdopodobieństwem znajdzie się nieznana wartość parametru K. Odpowiedź na to pytanie uzysamy wyznaczając ta zwany przedział ufności. Przedział ufności pozwala na sprawdzenie precyzji oszacowań Przedział ufności dla nieznanego parametru K na poziomie ufności 1 α budujemy w oparciu o wzór: b Pr( t t ) Pr t 1 2[1 F ( t )] 1 t 1 1 N K 1 2 se( b ) 2 2

18 Na podstawie ostatniego równania znajdujemy: Przedział ufności uzysujemy: t 2 1 F t (1 ) 1 N K 2 b Pr t Pr( b t1 2se( bk )) 1 se( b ) 2 Pr( b t se( b ) b t se( b )) K 1 2 K K K 1 2 K

19 Przyład xi: reg wynagrodzenie i.plec i.wysztalcenie godziny wie szara dorywcza Source SS df MS Number of obs = F( 9, 26342) = Model e e+10 Prob > F = Residual e R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = wynagrodze~e Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] _Iplec_ _Iwysztal~ _Iwysztal~ _Iwysztal~ _Iwysztal~ godziny wie _Iszara_ dorywcza _cons

20 Przedział ufności dla wieu przy 0,05 Pr( b t se( b ) b t se( b )) K 1 2 K K K 1 2 K t F t (0,975) 1, ,59-13,53*1,95-121,97-95,59+ 13,53*1,95-69,20

21 Dzięuję za uwagę 21